第25章 一元二次方程（举一反三讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学一元二次方程复习讲义通过题型归类构建知识体系，按“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”递进组织20个核心题型，涵盖定义辨析、四种解法、根的判别式与系数关系、实际应用等基础要点，以及含参方程、几何结合、高次降次等进阶内容，清晰呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向，如“根据实际问题列方程”培养模型意识，“方程与几何图形结合”发展几何直观，“构造一元二次方程求解”提升创新思维。基础题巩固运算能力，拔高题强化推理意识，助力不同层次学生提升，为教师实施精准分层教学提供有力支持。

第25章 一元二次方程（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 定义与一般形式辨析】 1 【题型2 直接开平方法求解】 3 【题型3 配方法步骤演练】 4 【题型4 公式法求根运算】 7 【题型5 因式分解法应用】 9 【题型6 根的判别式的应用】 11 【题型7 根与系数的关系】 14 【题型8 根据实际问题列方程】 17 【进阶拔高】 19 【题型9 含参方程根的讨论】 19 【题型10 整数根与有理根问题】 22 【题型11 根据方程根的情况求解】 26 【题型12 方程与几何图形结合（动点）】 29 【题型13 分式方程转化为整式方程】 36 【题型14 双根号方程的求解】 39 【题型15 根的代数式化简求值】 41 【创新思辨】 43 【题型16 高次方程降次与换元】 43 【题型17 构造一元二次方程求解】 44 【题型18 含绝对值的一元二次方程】 48 【题型19 函数与一元二次方程综合】 52 【题型20 存在性与探索性问题】 56 【夯实基础】 【题型1 定义与一般形式辨析】 【例1】（25-26八年级下·山东东营·月考）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 【答案】 【详解】解：， ， ； 故一次项系数为. 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，因此令，求解的值． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：4． 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【变式1-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 【答案】D 【详解】解：对于①：将代入得，若，则满足方程，即方程的根为，不是，故①错误； 对于②：当时，方程变为，若，方程有实数解，故②错误； 对于③：是方程的一个根，代入得，整理得， 或，不是一定有，故③错误； 对于④：一元二次方程有两个相等的实根， ，且判别式，即， 对两边同乘得，代入得： ， ，故④正确； 综上只有④正确． 【题型2 直接开平方法求解】 【例2】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）已知方程的两个根为，，且，则________． 【答案】． 【分析】运用直接开平方法求出，，从而求出． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 【变式2-2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过计算每个一元二次方程进行解题． 【详解】解：A：，，有实数根，故该选项不合题意； B：，，，有实数根，故该选项不合题意； C：，，无实数根，故该选项符合题意； D：，，，有实数根，故该选项不合题意． 故选：C． 【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 【答案】10 【分析】根据新定义运算规则列出关于的方程，解方程后计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据定义可得， 整理可得：， ∴， ∴． 【题型3 配方法步骤演练】 【例3】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）用配方法解方程时，若将方程变形为，则____． 【答案】 【分析】先对原方程进行配方，得到的形式后确定与的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理，得， 对比，可得，， ∴． 【变式3-1】（2026·上海静安·二模）当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形，逐个判断各选项是否满足代数式的值一定为正数即可． 【详解】解：A、当时，，0不是正数，故A选项不符合题意； B、当时，，0不是正数，故B选项不符合题意； C、，当时，，故C选项不符合题意； D、，∵，∴，即代数式的值一定为正数，故D选项符合题意． 【变式3-2】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则该方程的一个正实数根等于线段_______的长． 【答案】/ 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，在中，利用勾股定理列出关系式，把各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即可求解． 【详解】解：， ，即， ， 则， 在中，，， ， 又， ， 图形中线段的长是方程的一个解， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级下·浙江·期中）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程，如图1：在边长为x的正方形的四条边向外作边长为x和的长方形，再把它补充成一个边长为的大正方形，得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形的边长为，得到．聪明的小明也用图形割补法解关于x的方程时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形面积为64，小正方形面积为25，则中的_______；_______． 【答案】 10 39 【分析】将配方得，得出，，求解即可； 【详解】解：∵， ∴， 配方得：， 根据题意：大正方形是配方后的正方形，面积为， ∴， ∴右上角的小正方形就是配方额外补充的正方形，面积为， ∴它的面积就是； ∵边长为正数， ∴，解得， 代入得，解得． 【题型4 公式法求根运算】 【例4】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的较小的实数根应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】利用一元二次方程求根公式得到较小的根的表达式，再通过估算无理数的大小，确定较小根所在区间； 【详解】解：将原方程两边同乘，整理得 ，，， 判别式， 由求根公式得 ， ， 较小的实数根为， 又，，且， ，即， 不等式同减得； 因此较小的实数根在2和3之间． 【变式4-1】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）解方程：（公式法） 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，． 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 【答案】 或 【分析】（1）通过平方比较法判断与的大小，从而确定二者中的最大值； （2）根据的正负分类讨论的取值，分别建立方程求解并结合前提条件筛选出符合要求的解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）由题意得，，即， 当时，，即， 解得，， ∵，， ∴x的值为； 当时，， 即，解得，， ∵，， ∴． 综上，的值是或． 【题型5 因式分解法应用】 【例5】（25-26八年级下·山东东营·期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算周长即可得到答案. 【详解】解：∵ ， ∴ 因式分解得 ， 解得 ， ∵ 三角形两边长分别为3和6， ∴ 当第三边长为时，，不满足三角形三边关系，此种情况舍去， 当第三边长为时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为 . 【变式5-1】（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____． 【答案】 【分析】将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，筛选得到符合条件的的值． 【详解】解：把代入得， 因式分解得， 解得，， 原方程是关于的一元二次方程， ， 即， 因此． 【变式5-2】（25-26八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得方程，根据该方程无实数根，利用判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________． 【答案】3或 【分析】先求出一元二次方程的解，，根据方程和为“牵手方程”,分情况求解即可． 【详解】解：， ， 解得：，， 当相同的根是时， 代入方程可得， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 代入方程得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； ∴m的值是3或． 【题型6 根的判别式的应用】 【例6】（2026·河北·二模）下列一元二次方程，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A．， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B ．， ， 方程没有实数根，符合题意； C ．， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D．， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 【变式6-1】（2026·河南新乡·一模）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．时，没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程根的判别式，先将已知根代入方程求出的值，再计算根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 是方程 的一个根， ∴ 将 代入方程，得． ∴． ∴原方程为． ∵根的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根． 【变式6-2】（2026·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】由数轴可得，且，则，，再求出，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴，， ∴， ∴这个方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 【变式6-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围． (2)若，求的值． (3)若 ，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解； （）由一元二次方程根和系数的关系可得，，进而由可得，，再代入计算即可求解； （）利用因式分解由已知可得 或 ，又由一元二次方程根的定义及根和系数的关系可得 ，即得到 或，再分情况解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元一次方程根和系数的关系，一元二次方程根的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴ ， 解得； （2）解：∵一元二次方程有两个实数根和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ， ∵是方程的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ 或， 当 时，解得， ∵，不符合， ∴不合题意，舍去； 当时，解得， ∵，符合， ∴符合题意； 综上，的值为． 【题型7 根与系数的关系】 【例7】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系和根的判别式得到，，，进而得到，结合可得出关于的方程，解之可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ，，， ， 或 （舍去），或， 故答案为：． 【变式7-1】（2026·天津和平·二模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，． 【变式7-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程两根之和的关系整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴由方程根的定义得， 由一元二次方程两根之和的关系得：， ∴， ∴ ． 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）对于关于x的代数式（a，b，c是常数，且），若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)下列x的取值：①，②，③，④；其中是关于x的代数式的“不动值”是______（填序号）； (2)判断关于x的代数式是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说明理由； (3)若关于x的代数式有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3倍，求c的值． 【答案】(1)①④ (2)不存在，理由见解析 (3)3 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）由题意得方程，再由根的判别式求解即可； （3）由题意得，有两个实数根，且一个根是另一个根的3倍，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，，不符合题意； ④当时，，符合题意， ∴其中是关于x的代数式的“不动值”是①④； （2）解：不存在，理由如下： 若关于x的代数式存在“不动值”， 则， 整理得，， 此时， ∴此方程无实数根， 故关于x的代数式不存在“不动值”； （3）解：由题意得，有两个实数根，且一个根是另一个根的3倍， 整理得，， 设两个实数根为， 则由一元二次方程根与系数的关系得到，， 解得 ∴． 【题型8 根据实际问题列方程】 【例8】（25-26九年级下·重庆开州·期中）随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某品牌电动车今年1月份的销量为2000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了1000辆．设每个月销量的平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个月销量的平均增长率为，由题意可得，2月份销量为，3月份销量为，根据3月份的销量比1月份增加了1000辆，即可列出方程． 【详解】解：设每个月销量的平均增长率为， ∵1月份销量为辆， ∴2月份销量为，3月份销量为， 又∵3月份的销量比1月份增加了辆，即3月份销量为， ∴可得方程． 【变式8-1】（2026·重庆秀山·一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】根据长与宽的和以及长比宽多步，表示出长和宽，再结合矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解∶ 设长比宽多步，由题意得，长+宽，长宽， 所以长，宽． ∵矩形面积为平方步， ∴可得方程． 【变式8-2】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为、宽为的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设照片四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意得，矩形挂图的宽为，长为，根据长方形面积公式列方程即可． 【详解】解：依题意得：． 【变式8-3】（2026·山西晋城·一模）某家电商铺售卖符合1级能效标准的节能台灯，每盏台灯的进价为40元，当售价定为每盏50元时，每天可售出500盏台灯．经市场调研发现，该台灯每盏售价每上涨1元，每天的销售量就会减少10盏．若设此款台灯每盏上涨x元（x为正整数），且该商铺每天销售该台灯的总利润为8000元，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总利润公式“总利润每盏利润销售量”，分别求出涨价后每盏台灯的利润和销售量，即可列出正确方程. 【详解】解：涨价元后，每盏台灯售价为元，进价为40元， ∴每盏台灯的利润为元； ∵售价每上涨1元，每天销售量减少10盏， ∴涨价元后，每天销售量为盏； ∵每天总利润为8000元， ∴可得方程. 【进阶拔高】 【题型9 含参方程根的讨论】 【例9】（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出，根据平方的非负性作答即可； （3）根据“该方程有两个相等的实数根”得到，进而根据“和谐方程”的定义得到，根据完全平方公式得到，即可得到a，c的数量关系． 【详解】（1）解：①，是“和谐方程”； ②，不是“和谐方程”； ③，是“和谐方程”； ∴属于“和谐方程”的是①③； （2）证明：∵该方程为和谐方程， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴和谐方程总有实数根； （3）解：∵该方程有两个相等的实数根 ∴， 即． ∵方程为和谐方程， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴a，c的数量关系为． 【变式9-1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个直角三角形的两条边的长度，第三条边为时，则的值为___________． 【答案】或5 【分析】求出根的判别式判断该方程一定有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程一定有两个不相等的实数根； 设方程的两个根为， 则：，， 当该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，且这个直角三角形的斜边长为， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， ∵， 当时，，不合题意，舍去． ∴． 当该方程的两根一个是直角三角形的边长记为，另一个斜边记为， 则：，， 由勾股定理得，即， ∴， ∴， 解得：或（舍去） 综上，的值为或5． 【变式9-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 【变式9-3】（2026·四川乐山·一模）关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况分析，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的判定方法结合具体的数值列式解答即可． 【详解】解：当时，方程为有两个不同的实数根，不符合题意； 当且时，方程  有个不同的实数根， ∴方程 一定有2个不同的正实数根， ∴ 解得：； 当且时，方程  有个不同的实数根， ∴方程 一定有2个不同的负实数根， ∴ 解得：； 的取值范围是． 【题型10 整数根与有理根问题】 【例10】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【答案】7 【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得，再根据x，m均是整数且，得m为完全平方数，即可求解． 【详解】解：将方程整理得：， ∴， ∴当时，方程根为，     ∵，均是整数且， ∴为完全平方数， ∴，1、4、9、16、25、36． ∴符合条件的整数m的个数为7． 【变式10-1】设m是整数,关于x的方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（ ）． A． B．x=-1 C．x1=−1, D．有无数个根 【答案】C 【分析】因为二次项系数含参数,所以需要分类讨论：当m=0时,方程为一次方程；当m0时,方程为一元二次方程,△0,再根据m是整数,找到符合要求的整数即可. 【详解】解：当m=0时,方程为x+1=0,解得：x=-1, 当m0时,方程为一元二次方程, ∵方程有有理根, ∴△0,且△是完全平方数, 即△=(m-1)2-4m=(m-3)2-8为完全平方数, 设(m-3)2-8=n2, (m-3)2=n2+8, ∵m是整数,完全平方数末尾数只能是1,4,5,6,9, ∴n2的末尾只能是1,6,才能保证n2+8有可能是完全平方数, 又∵大于10的两个完全平方数相差大于8, ∴n=1, ∴m-3=3,得m=6, ∴原方程为6x2-5x+1=0, 解得： 综上,方程一共有3个解,为x1=−1, , 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程二次项含参问题,难度较大,分类讨论和理解平方数是解题关键. 【变式10-2】已知关于的方程有实数根． (1)若方程的两根之和为整数，求的值； (2)若方程的根为有理根，求整数的值． 【答案】(1) (2)0或10或或12 【分析】（1）根据关于的方程有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知，若方程的两根之和为整数，即为整数，即可确定的值； （2）分两种情况讨论：当时，此时关于的方程为，求解可得，符合题意；当时，对于关于的方程可有，若方程的根为有理根，且为整数，则为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个根，且为实数根， ∴，且， 根据一元二次方程的根与系数的关系，可知， 若方程的两根之和为整数，即为整数， ∵， ∴是整数， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，，为整数，符合题意； ∴的值为； （2）当时，此时关于的方程为，解得； 当时，对于关于的方程的根为：， 若方程的根为有理根，且为整数， 则为完全平方数， 设（为正整数）， 则：， ∵为整数， 设（为正整数）， ∴， ∴或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去） ∴或； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或， 综上所述，若方程的根为有理根，则整数的值为0或10或或12． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键． 【变式10-3】（25-26九年级上·江苏盐城·月考）已知关于的方程． (1)求证：无论常数取何值，方程总有实数根； (2)当整数取何值时，方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】本题考查根据方程的根的情况，求参数的值．熟练掌握一元二次方程判别式和根的个数关系，以及根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据二次项系数为零和不为零两种情况进行分类讨论，利用判别式的取值进行证明即可； （2）根据方程的两个根都是整数，说明方程为一元二次方程，利用根与系数的关系，结合两个根都是整数，进行计算即可． 【详解】（1）证明：当，即：时， 方程变为：， 解得：，方程有实数根； 当，即：时，方程为一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根； ∴无论m为何值，方程总有实数根． （2）解：依题意，方程有两个整数根，则该方程为一元二次方程，故，即， 设方程的两个根为：， 则：， ， ∵方程的两个根都为整数， ∴和为整数，即为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴当或或或时，该方程的两个根都为整数． 【题型11 根据方程根的情况求解】 【例11】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程是“倍根方程”， ∴当时，， 此时； 当时，， 此时， 综上所述，代数式的值为或． 故选：C 【变式11-1】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的知识，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义．根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可． 【详解】解：设、是方程的两根， 解得，， ∵原方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9． 故答案为：9． 【变式11-2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (3)若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 【答案】(1)的值为0或； (2)或； (3)见解析 【分析】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，，即， 解得或； （2）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或； （3）解：∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 将代入方程，得，即， ∵， ∴， ∴把代入方程，得左边右边， ∴是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 【变式11-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或； ③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据“特根方程”的定义，需满足两个实数根均负且比值在3到4之间．结论①直接计算验证；结论②通过根与系数关系求k，但需检验是否满足定义；结论③通过分析m的取值范围，确定整数解个数． 【详解】解：对于结论①：解方程得：， 满足，且，符合；∴①正确． 对于结论②：由一元二次方程可得：， 由得，解得． 当时，方程，解得，满足定义； 当时，方程，解得，则有，不满足定义，∴②错误． 对于结论③：方程，判别式， 由题意可知需且根均负，故． 解方程得（时）或（）． 比值，当时，，需，解得，无整数m； 当时，，需，解得，则有整数m仅为，∴③正确． 综上，①③正确； 故选C． 【题型12 方程与几何图形结合（动点）】 【例12】（25-26八年级上·海南三亚·期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 【变式12-1】（24-25八年级下·广西百色·期中）如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过________s后，的面积恰为． 【答案】4或6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键． 设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解． 【详解】解：设经过时间为，过点F作于点D， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 即经过或后，的面积恰为． 故答案为：4或6． 【变式12-2】（2026·湖南长沙·一模）如图，将 与正方形按如图所示的方式摆放，边 在直线上，，， ，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点 重合时停止运动，在运动过程中，当与正方形重叠部分面积为时，其运动时间为（  　 ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，根据三角形与正方形的相对位置，分三种情况讨论重叠部分的面积：当时，三角形部分进入正方形，重叠部分为直角梯形；当时，三角形完全在正方形内部，重叠部分为三角形；当时，三角形部分移出正方形，重叠部分为等腰直角三角形；分别列出面积关于的函数关系式，令求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，则点运动的距离为， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 分三种情况讨论： 当时，点在点左侧或重合，点在上，此时重叠部分为直角梯形，其高为，下底为，如图， 设交于点，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 令，整理得， 解得，， ∵， ∴； 当时，点在上，点在上（未到达）， 此时 完全在正方形内部，如图 ∴， ∵， ∴此时无解； 当时，点在右侧，点在左侧，此时重叠部分为（为与的交点），如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点运动的总距离为，初始在左侧处，点相对于的位置为， ∴， ∴， 令，即， 解得或， ∴或， ∵， ∴， 综上所述，当重叠部分面积为时，运动时间为或． 【变式12-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 【题型13 分式方程转化为整式方程】 【例13】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）将方程去分母后，所得的整式方程的一般式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，首先将分母因式分解，然后确定最小公倍数，两边同乘去分母，再展开和整理得到整式方程的一般式． 【详解】解：， 方程可化为， 去分母，得， 整理，得， 故答案为：． 【变式13-1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解题关键是掌握解分式方程解法． 通过换元法，设，将原分式方程转化为关于y的整式方程． 【详解】解：∵设， ∴， 原方程化为，即， 两边乘以y得， 移项得． ∴整式方程为， 故选：A． 【变式13-2】 （25-26八年级上·山东青岛·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤． （1）先去分母，再解一元二次方程，最后检验即可； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】（1）解： ， 解得，， 经检验，，都是原方程的解， ∴原方程的解为，； （2）解： 方程两边同乘以，得， 解得，， 经检验，是方程的解， ∴原方程的解为． 【变式13-3】对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程．分和两种情况，将变形为分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：，（舍去）， 经检验，是分式方程的解； 当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上可知，方程的解为或， 故选：D． 【题型14 双根号方程的求解】 【例14】（24-25八年级下·上海闵行·期末）无理方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的步骤是解题的关键． 先将无理方程化为整式方程求解，然后再检验． 【详解】解： ， ， 解得：， 经检验：是增根，舍去，是原方程的根， ∴原方程的解为， 故答案为：． 【变式14-1】方程＝0的解是___． 【答案】x＝5. 【分析】把两边都平方，化为整式方程求解，注意结果要检验. 【详解】方程两边平方得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， 经检验，x2＝5是方程的解， 所以方程的解为：x＝5. 【点睛】本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根． 【变式14-2】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的技巧和解一元二次方程是解题的关键． 根据方程的特点可以构造平方差公式，进而转化为一元二次方程，解一元二次方程即可，最后根据无理方程的特点，要进行检验． 【详解】解：① 设②， 得：， 解得：， ∴ ∴③， 得：， 两边同时平方，得：， 整理得： 解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 当时，，不符合题意，舍去， ∴原方程的解为． 【变式14-3】． 【答案】 【分析】利用平方法将原方程通过变形转化为有理方程，然后计算求解． 【详解】解： 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题主要考查了平方法解无理方程，掌握完全平方公式是解题关键，另外注意无理方程的结果要进行检验． 【题型15 根的代数式化简求值】 【例15】已知是方程的一个根，则____． 【答案】 【分析】由方程根的定义可得，变形为．再将等号两边同时乘并变形得，代入逐步化简即可． 【详解】∵是方程的一个根． ∴，即． 将等号两边同时乘得： ，即． ∴． 故答案为：-2021． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键． 【变式15-1】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简原方程，将代入方程得到关于的等式，变形求出，最后代入代数式计算结果． 【详解】解：，整理得：． ∵是该一元二次方程的根， ∴，移项得：， ∴． 【变式15-2】（25-26九年级下·山东东营·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2021 【答案】A 【分析】先利用根的定义得到关于m的关系式，再结合根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】∵ 是方程的根， 代入方程得： ，整理得 ． ∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． ∴． 【变式15-3】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是_____． 【答案】8． 【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b进行变形计算可得结果. 【详解】解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1， ∴原式＝3（1﹣a）﹣b+ ＝3﹣3a﹣b+ ＝3﹣2a﹣（a+b）+ ＝3﹣2a+1+ ＝4﹣2a+ ＝4+ ＝4+ ＝4+4 ＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关键. 【创新思辨】 【题型16 高次方程降次与换元】 【例16】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【答案】A 【分析】本题把看作整体，将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解，再根据平方的非负性舍去不合理的解，最后代入计算即可. 【详解】解：∵， 令，由平方数的非负性得， 原方程可化为， 因式分解得， ∴或， 解得或， ∵， ∴不符合题意舍去，得， ∴． 【变式16-1】（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于的方程有________个实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，通过换元法将高次方程转化为二次方程，利用判别式求解，再根据平方的非负性判断实数根个数． 【详解】解：令，则原方程化为． ∵判别式． ∴， 解得，． 由，知有两个实数根，无实数根． 因此原方程有2个实数根． 故选：B． 【变式16-2】（25-26八年级下·安徽淮北·月考）解下列方程： ． 【答案】(1)， (2)， 【分析】设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 【变式16-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）解方程：． 【答案】(1)B (2)， 【分析】本题考查了数学思想的识别以及换元法解方程． 运用换元法，设，将原方程转化为关于t的方程，求解t后再求解a． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴， 解得，， ①当时，，即， 此时，方程无实数解， ②当时，，即， ∴， 解得，， 故原方程的解为，． 【题型17 构造一元二次方程求解】 【例17】阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍． 先根据，将原方程化为；令，将方程转化为关于的一元二次方程，求解得，；根据绝对值的非负性，舍去；解，得，进而求出，． 【详解】解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 【变式17-1】（25-26九年级上·河北保定·期中）． 【答案】， 【分析】本题考查换元法解方程． 通过换元处理绝对值，转化为二次方程求解． 【详解】解：设，则，且， 原方程化为， 即． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴，． 【变式17-2】（24-25九年级上·河南信阳·月考）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【答案】，（舍去）；，；， 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ①当时，即时，原方程化为： ∴ 或 解得，（舍去）； ②当时，即时，原方程化为 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 【变式17-3】（25-26九年级上·重庆万州·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可； （2）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或； （2）解：当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，原方程的解为或． 【题型18 含绝对值的一元二次方程】 【例18】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点． （1）直接写出方程的根序点的坐标为_____； （2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____． 【答案】 1或 【分析】（1）解方程得，根据根序点定义得到点的坐标为； （2）先确定方程有两个不相等的实数根，，由根序点在直线上，满足直线方程：，整理得：，再根据根与系数的关系列方程求解检验即可． 【详解】解：（1）解方程得， ∴根据根序点定义：，横坐标：，纵坐标：， ∴根序点的坐标为； （2）方程有根序点， 该方程有两个不相等的实数根， ， 根序点在直线上， 满足直线方程：，整理得：， 对于方程，由根与系数的关系得：， ， 整理得：， 解得：， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求， 的值为1或． 【变式18-1】在平面直角坐标系中，将直线关于平行于轴的一条直线对称后得到直线，若直线恰好过点，则直线的表达式为______． 【答案】/ 【分析】设平行于y轴的直线为，直线 与x轴的交点为C，与直线的交点为D，则，点C关于直线的对称点坐标为，再根据点D和点在直线上求出直线的解析式，再代入点进行求解即可． 【详解】解：设平行于y轴的直线为，直线 与x轴的交点为C，与直线的交点为D， ∴， ∴点C关于直线的对称点坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 又∵点在直线上， ∴， ∴， 解得（舍去，此时C、D重合了）或， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解一元二次方程，正确理解题意用含a的式子表示出的解析式是解题的关键． 【变式18-2】直线：、为常数分别与轴、轴交于点、，动点的坐标为（为常数）． （1）当 ______ 时，有且仅有一个满足条件的的值，使得点在直线上； （2）若有且仅有两个符合条件的的值，使得点到直线的距离为1，则的取值范围是______ ． 【答案】 或 【分析】（1）用待定系数法可求得直线的表达式为，将点的坐标代入得，根据判别式，进行计算即可得答案； （2）分三种情况：若有两个不相等的解，而无解；若有两个不相等的解，而无解；若有一个解，有一个解，分别列示计算即可得到答案． 【详解】解：（1）分别将两点的坐标代入直线， 得方程组， 解得， 故直线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 若它只有一个根即有两相等实根，则有， 解得， 故答案为：； （2）点到直线的距离为， 整理得，即， 若有两个不相等的解，而无解， 则有， 解得且， 若有两个不相等的解，而无解， 则有， 此不等式组无解， 若有一个解，有一个解， 则有， 此方程组无解， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的根的判别式，解不等式组，熟练掌握一元二次方程的根的判别式，解不等式组的方法，是解题的关键． 【变式18-3】（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得或，则点的坐标为或，再得出点在直线上，从而可得当与两条直线垂直时，的值最小，然后利用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等实数根， ∴这个方程根的判别式为， ∴， ∴或，即或， ∵点的坐标为， ∴或， ∴点在直线或直线上， ∵点在直线下方， ∴点在直线上， ∵点在直线上，且直线与直线平行， ∴当与两条直线垂直时，的值最小， 如图，过点作两条直线的垂线，垂直分别为点，则即为所求， 设直线交轴于点，交轴于点， 当时，，解得，即， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根的判别式、平行线间的距离、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确确定点的位置是解题关键． 【题型19 函数与一元二次方程综合】 【例19】（24-25八年级上·上海·期中）若方程与方程至少有一个相等的实数根，那么实数的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及根的判别式，解题的关键是掌握相关知识．设相等的实数根为，则，，两式相减得： ，得到或，再根据题意和根的判别式综合分析即可求解． 【详解】解：方程与方程至少有一个相等的实数根， 设相等的实数根为， 则，， 得：，即， 解得：或， 当时，方程为， 此时，方程无解； 当时，方程为， 解得：， 此时方程为， 解得：，符合题意， ， 故答案为：． 【变式19-1】假设方程至少有一个整数解，那么k不可能是下列哪个数？（） A．8 B．15 C．24 D．30 E．48 【答案】D 【分析】本题可通过对原方程配方，根据整数解的性质得到必为完全平方数，再逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵方程至少有一个整数解，为整数， 为整数，因此必为完全平方数． 对各选项逐一验证∶ 选项A∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求； 选项B∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求； 选项C∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求； 选项D∶，，31不是完全平方数，不存在整数解，符合要求； 选项E∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求． 因此不可能是30． 【变式19-2】（25-26九年级上·四川南充·期末）已知关于x的二次方程． (1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值； (2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值． 【答案】(1)1 (2)，3，6， 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，一元二次不等式的解法等知识，解题的关键是根据根的判别式列出相关不等式． （1）根据二次项系数，结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其最小整数值即可； （2）先根据得到，，再根据a是正整数得到，从而得到x的所有可能整数解，继而求出对应a值，即可得解．根据题意得到x的所有整数解是解题的关键． 【详解】（1）解：关于x的二次方程有两个实数根， ，且． 解得：， 的最小整数值是1； （2）解：将原方程变形为． 则，， 由于a是正整数， ，即，． ，． ． 当，，，0，1，2时，得a的值为1，6，，3，，1． ，3，6，． 依题意得，当时，有两个整数根，2； 当，6，时，方程只有一个整数根， 综上所述，当，3，6，时，关于x的一元二次方程至少有一个整数根． 【变式19-3】（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 【答案】(1) (2)420 (3)1；3；6；10 【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用平方根的知识估算即可解答； （2）设，k、m为正整数，易得，由1只有因数1和41，可列方程组求得，最后代入即可求得n的值； （3）关于的一元二次方程至少有一个整数解，根据根的判别式可得，则，由方程的解为正整数，为整数，设，则，解得：，设可得，然后代入验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的值为． （2）解：设，k、m为正整数， ∴， ∴， ∵41只有因数1和41， ∴，解得：， ∵， ∴． （3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解， ∴恒成立，即， ∴， ∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数， ∴或为整数， 设(k为非负整数)，则，解得：， ∵a为正整数， ∴k为正奇数，且， 设（为正整数），则， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； ， 当时，，此时，，都不是整数； ∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10． 【题型20 存在性与探索性问题】 【例20】（25-26九年级上·四川·期末）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为36，面积为16，则它的减半矩形的长和宽分别为________ ；原矩形的两边长分别为m和2，若存在另一个矩形是它的“减半矩形”，则m满足的取值范围是__________． 【答案】 8，1 或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．第一问：原矩形周长为36，面积为16，减半矩形周长为18，面积为8．设减半矩形长和宽为x和y，则，解方程组即可求解；第二问：原矩形长m、宽2，周长，面积．则减半矩形周长，面积m．设减半矩形长p、宽q，则．根据根与系数的关系，p和q是方程的两个根，由判别式且，解不等式得m的取值范围． 【详解】解：第一问： 原矩形周长36，面积16，减半矩形周长18，面积8． 设减半矩形长x、宽y，则 ， 整理得方程，得或， 当时，；当时，； 故长和宽为8和1； 第二问：原矩形的两边长分别为m和2，周长，面积． 则减半矩形周长，面积m． 设减半矩形长p、宽q，则 ，即， ∴p和q是方程的两个根． 则判别式， 即． 解方程， 得． 由于，故或． 故答案为：或． 【变式20-1】（25-26九年级上·四川成都·月考）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“圆满点”，例如：直线上存在“圆满点”．若函数的图象上存在唯一“圆满点”，则_____． 【答案】或 或． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，新定义，一次函数的定义，对“圆满点”的理解是解决本题的关键．设函数的图象上存在唯一“圆满点”的坐标是，可得：，分当和两种情况求解． 【详解】解：设函数的图象上存在唯一“圆满点”的坐标是， 根据题意可得：， 整理得：， 当时， 函数的图象上存在唯一“圆满点”， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得：， 解得：或； 当时，函数解析式是， 把“圆满点”的坐标代入， 可得：， 解得：， 当时，有唯一的“圆满点”． 故答案为：或 或． 【变式20-2】数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法和公式法分别求出方程的解，由此即可得； （2）利用公式法求出方程的解，由此即可得； （3）先根据（2）的结论可得，，再根据，代入计算即可得； （4）先化简方程，再比较各项的系数即可得． 【详解】（1）解：， ， ， 则， ， ， 即， 则，， 故答案为：①；②；③． （2）解：， ， 即， 则，， 故答案为：，． （3）解：是方程的两个实根， ，， 则 ． （4）解： ， 则，， 所以，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 【变式20-3】（25-26九年级上·全国·寒假作业）综合与实践：计算器运用与功能探索 计算器运算快捷而又“不辞辛劳”，可以代替我们进行繁杂的运算，让我们腾出更多时间进行规律的探索． 【发现规律】 八年级数学兴趣小组借助计算器进行如下操作：任选一个小于1的正数作为输入值，乘以-1，加上1，再开平方，将计算器输出的值，作为输入值，不断执行上述操作…得到了如下运算记录表： 选定小于1的正数 第1次运算结果 第2次运算结果 第3次运算结果 … 第38次运算结果 第39次运算结果 第40次运算结果 根据记录表的结果，小组成员发现一些规律： ①任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数： (保留3位小数)． ②随着运算次数的增加，_______(从下列选项中选择)． A．运算结果越来越大 B．运算结果越来越小 C．输入和输出的值越来越接近 【验证规律】 组长对规律进行如下分析：设多次运算后某次运算输入值为x，则输出值为 ，根据规律②可以构造一个方程： (保留原始形式，不作变形)，规律①中的常数即为方程的解． 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解．某小组成员将方程转化成，构造如图1的图形，利用面积来解方程，计算4块区域的面积： ， _______， ，整个正方形的面积，所以 ，注意，开方后解得 ． 【应用规律】 若将操作改为“任选一个正数作为输入值，乘以2，加上1，再开平方”，不断执行上述操作，请求出经过足够多次运算后，运算结果趋于的常数(必要的步骤：列出方程、构造图形解方程、结果保留3位小数，参考数据：)． 【答案】发现规律：①；②C；验证规律：，x2，x，；应用规律： 【分析】本题主要考查了规律探索与应用．解一元二次方程；熟练掌握运用现代工具重复计算探索规律，及图形面积法探索验证规律，完全平方公式的几何意义，是解题的关键． [发现规律]：①观察选的3个数第40次运算结果趋近的数为；②多次运算的结果接近输入数； [验证规律]：输出的值构造方程为转化为，构造正方形解得； [应用规律]：构造方程，即，构造正方形，解得，约． 【详解】解：[发现规律]： ①选的第次运算结果， 选的第次运算结果， 选的第次运算结果， 任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：； ②由①知，随着运算次数的增加，输入和输出的值越来越接近，选C； 故答案为：①；②C； [验证规律] 多次运算后某次运算输入值为x，则输出值为根据规律②可以构造一个方程：规律①中的常数即为方程的解． 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解， 某小组成员将方程转化成，构造如图1的图形，利用面积来解方程， 计算4块区域的面积：，，， 整个正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 取， 故答案为：，，，； [应用规律] 构造方程：，即， 构造图形： ，，，， 整个正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一元二次方程（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 定义与一般形式辨析】 1 【题型2 直接开平方法求解】 2 【题型3 配方法步骤演练】 2 【题型4 公式法求根运算】 3 【题型5 因式分解法应用】 4 【题型6 根的判别式的应用】 4 【题型7 根与系数的关系】 5 【题型8 根据实际问题列方程】 5 【进阶拔高】 6 【题型9 含参方程根的讨论】 6 【题型10 整数根与有理根问题】 7 【题型11 根据方程根的情况求解】 7 【题型12 方程与几何图形结合（动点）】 8 【题型13 分式方程转化为整式方程】 9 【题型14 双根号方程的求解】 10 【题型15 根的代数式化简求值】 10 【创新思辨】 11 【题型16 高次方程降次与换元】 11 【题型17 构造一元二次方程求解】 11 【题型18 含绝对值的一元二次方程】 12 【题型19 函数与一元二次方程综合】 12 【题型20 存在性与探索性问题】 13 【夯实基础】 【题型1 定义与一般形式辨析】 【例1】（25-26八年级下·山东东营·月考）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 【变式1-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 【题型2 直接开平方法求解】 【例2】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）已知方程的两个根为，，且，则________． 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 【题型3 配方法步骤演练】 【例3】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）用配方法解方程时，若将方程变形为，则____． 【变式3-1】（2026·上海静安·二模）当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则该方程的一个正实数根等于线段_______的长． 【变式3-3】（25-26八年级下·浙江·期中）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程，如图1：在边长为x的正方形的四条边向外作边长为x和的长方形，再把它补充成一个边长为的大正方形，得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形的边长为，得到．聪明的小明也用图形割补法解关于x的方程时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形面积为64，小正方形面积为25，则中的_______；_______． 【题型4 公式法求根运算】 【例4】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的较小的实数根应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式4-1】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）解方程：（公式法） 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 【题型5 因式分解法应用】 【例5】（25-26八年级下·山东东营·期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【变式5-1】（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____． 【变式5-2】（25-26八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 【变式5-3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________． 【题型6 根的判别式的应用】 【例6】（2026·河北·二模）下列一元二次方程，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·河南新乡·一模）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．时，没有实数根 【变式6-2】（2026·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 【变式6-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围． (2)若，求的值． (3)若 ，求的值． 【题型7 根与系数的关系】 【例7】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 【变式7-1】（2026·天津和平·二模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）对于关于x的代数式（a，b，c是常数，且），若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)下列x的取值：①，②，③，④；其中是关于x的代数式的“不动值”是______（填序号）； (2)判断关于x的代数式是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说明理由； (3)若关于x的代数式有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3倍，求c的值． 【题型8 根据实际问题列方程】 【例8】（25-26九年级下·重庆开州·期中）随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某品牌电动车今年1月份的销量为2000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了1000辆．设每个月销量的平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·重庆秀山·一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则可列方程为__________． 【变式8-2】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为、宽为的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设照片四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·山西晋城·一模）某家电商铺售卖符合1级能效标准的节能台灯，每盏台灯的进价为40元，当售价定为每盏50元时，每天可售出500盏台灯．经市场调研发现，该台灯每盏售价每上涨1元，每天的销售量就会减少10盏．若设此款台灯每盏上涨x元（x为正整数），且该商铺每天销售该台灯的总利润为8000元，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【进阶拔高】 【题型9 含参方程根的讨论】 【例9】（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【变式9-1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个直角三角形的两条边的长度，第三条边为时，则的值为___________． 【变式9-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【变式9-3】（2026·四川乐山·一模）关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型10 整数根与有理根问题】 【例10】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【变式10-1】设m是整数,关于x的方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（ ）． A． B．x=-1 C．x1=−1, D．有无数个根 【变式10-2】已知关于的方程有实数根． (1)若方程的两根之和为整数，求的值； (2)若方程的根为有理根，求整数的值． 【变式10-3】（25-26九年级上·江苏盐城·月考）已知关于的方程． (1)求证：无论常数取何值，方程总有实数根； (2)当整数取何值时，方程有两个整数根？ 【题型11 根据方程根的情况求解】 【例11】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式11-1】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是______． 【变式11-2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (3)若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 【变式11-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或； ③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【题型12 方程与几何图形结合（动点）】 【例12】（25-26八年级上·海南三亚·期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【变式12-1】（24-25八年级下·广西百色·期中）如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过________s后，的面积恰为． 【变式12-2】（2026·湖南长沙·一模）如图，将 与正方形按如图所示的方式摆放，边 在直线上，，， ，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点 重合时停止运动，在运动过程中，当与正方形重叠部分面积为时，其运动时间为（  　 ） A． B． C．或 D．或 【变式12-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【题型13 分式方程转化为整式方程】 【例13】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）将方程去分母后，所得的整式方程的一般式是_____． 【变式13-1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】 （25-26八年级上·山东青岛·期末）解分式方程： (1) (2) 【变式13-3】对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 【题型14 双根号方程的求解】 【例14】（24-25八年级下·上海闵行·期末）无理方程的解是______． 【变式14-1】方程＝0的解是___． 【变式14-2】解方程：． 【变式14-3】． 【题型15 根的代数式化简求值】 【例15】已知是方程的一个根，则____． 【变式15-1】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26九年级下·山东东营·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2021 【变式15-3】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是_____． 【创新思辨】 【题型16 高次方程降次与换元】 【例16】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【变式16-1】（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于的方程有________个实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式16-2】（25-26八年级下·安徽淮北·月考）解下列方程： ． 【变式16-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）解方程：． 【题型17 构造一元二次方程求解】 【例17】阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 【变式17-1】（25-26九年级上·河北保定·期中）． 【变式17-2】（24-25九年级上·河南信阳·月考）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【变式17-3】（25-26九年级上·重庆万州·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【题型18 含绝对值的一元二次方程】 【例18】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点． （1）直接写出方程的根序点的坐标为_____； （2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____． 【变式18-1】在平面直角坐标系中，将直线关于平行于轴的一条直线对称后得到直线，若直线恰好过点，则直线的表达式为______． 【变式18-2】直线：、为常数分别与轴、轴交于点、，动点的坐标为（为常数）． （1）当 ______ 时，有且仅有一个满足条件的的值，使得点在直线上； （2）若有且仅有两个符合条件的的值，使得点到直线的距离为1，则的取值范围是______ ． 【变式18-3】（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型19 函数与一元二次方程综合】 【例19】（24-25八年级上·上海·期中）若方程与方程至少有一个相等的实数根，那么实数的值为_______． 【变式19-1】假设方程至少有一个整数解，那么k不可能是下列哪个数？（） A．8 B．15 C．24 D．30 E．48 【变式19-2】（25-26九年级上·四川南充·期末）已知关于x的二次方程． (1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值； (2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值． 【变式19-3】（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 【题型20 存在性与探索性问题】 【例20】（25-26九年级上·四川·期末）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为36，面积为16，则它的减半矩形的长和宽分别为________ ；原矩形的两边长分别为m和2，若存在另一个矩形是它的“减半矩形”，则m满足的取值范围是__________． 【变式20-1】（25-26九年级上·四川成都·月考）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“圆满点”，例如：直线上存在“圆满点”．若函数的图象上存在唯一“圆满点”，则_____． 【变式20-2】数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 【变式20-3】（25-26九年级上·全国·寒假作业）综合与实践：计算器运用与功能探索 计算器运算快捷而又“不辞辛劳”，可以代替我们进行繁杂的运算，让我们腾出更多时间进行规律的探索． 【发现规律】 八年级数学兴趣小组借助计算器进行如下操作：任选一个小于1的正数作为输入值，乘以-1，加上1，再开平方，将计算器输出的值，作为输入值，不断执行上述操作…得到了如下运算记录表： 选定小于1的正数 第1次运算结果 第2次运算结果 第3次运算结果 … 第38次运算结果 第39次运算结果 第40次运算结果 根据记录表的结果，小组成员发现一些规律： ①任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数： (保留3位小数)． ②随着运算次数的增加，_______(从下列选项中选择)． A．运算结果越来越大 B．运算结果越来越小 C．输入和输出的值越来越接近 【验证规律】 组长对规律进行如下分析：设多次运算后某次运算输入值为x，则输出值为 ，根据规律②可以构造一个方程： (保留原始形式，不作变形)，规律①中的常数即为方程的解． 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解．某小组成员将方程转化成，构造如图1的图形，利用面积来解方程，计算4块区域的面积： ， _______， ，整个正方形的面积，所以 ，注意，开方后解得 ． 【应用规律】 若将操作改为“任选一个正数作为输入值，乘以2，加上1，再开平方”，不断执行上述操作，请求出经过足够多次运算后，运算结果趋于的常数(必要的步骤：列出方程、构造图形解方程、结果保留3位小数，参考数据：)． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $