高中数学单元测试——第1章集合与逻辑（较易版01）

**基本信息** 本卷为高中数学集合与逻辑单元较易版测试，覆盖集合概念、运算及逻辑命题核心知识点，通过基础巩固与应用题型适配单元复习，助力夯实数学抽象与逻辑推理基础。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空集判断、命题否定、集合运算|基础概念辨析，强化数学抽象| |多选题|3/18|集合描述法、充要条件、职工上班人数集合问题|选项分层，培养逻辑思维| |填空题|3/15|集合关系参数、命题充分不必要条件|情境简洁，聚焦知识应用| |解答题|5/77|含参集合、命题真假与参数范围、数集性质证明|梯度设计，第18题结合三角形条件判断体现数学眼光，第19题探究数集性质发展创新意识|

高中数学单元测试 —— 第1章 集合与逻辑（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 3．（本题5分）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 6．（本题5分）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（本题5分）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）下列命题是真命题的是（　　） A．是的充要条件 B．或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件 C．在中，是锐角是为锐角三角形的充分不必要条件 D．在中，是钝角是为钝角三角形的充要条件 11．（本题6分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是10，8，6．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 13．（本题5分）设全集，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最小值为__________；最大值与最小值的差为__________. 14．（本题5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 四、解答题 15．（本题13分）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围. 16．（本题15分）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 17．（本题15分）设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 19．（本题17分）已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质； (2)证明：； (3)已知数集具有性质，若，，求数集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 集合与逻辑（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系以及集合间的基本关系逐项分析即可． 【详解】对于A，0不属于空集，故A错误； 对于B，不是自然数，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，成立，但当两者作为集合中的元素时，也即和时，并不是的子集，故D错误． 故选：C． 2．（本题5分）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 3．（本题5分）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，进而求解. 【详解】由命题，所以为：， 故选：A. 4．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，所以. 故选：C. 5．（本题5分）若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】D 【分析】分类讨论和时，的可能取值，得出集合，即可求出集合的真子集. 【详解】集合，集合， 若，则或；若，则或1， ∴， ∴的真子集的个数为. 故选：D. 6．（本题5分）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据补集运算求得，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以或， 又,所以. 故选：A 7．（本题5分）已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据不等式的解法，可判定命题为假命题，再由方程的解，可判定命题为真命题，结合选项，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，解得或， 所以命题为假命题，则为真命题， 又由，解得或或，所以命题为真命题，则为假命题， 故选：B. 8．（本题5分）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为根据集合的包含关系求参数的取值范围问题求解. 【详解】设集合，，由题意可知， ∴，∴. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示逐项分析即得. 【详解】是无限集，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）下列命题是真命题的是（　　） A．是的充要条件 B．或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件 C．在中，是锐角是为锐角三角形的充分不必要条件 D．在中，是钝角是为钝角三角形的充要条件 【答案】AB 【分析】对于选项A：利用集合间的关系与运算即可判断；对于选项B：根据有理数的运算性质即可判断；对于选项C、D：结合三角形的性质即可判断． 【详解】对于选项A：根据交集的性质易知是的充要条件，故选项A正确； 对于选项B：当时，此时， 当，此时满足的解可以为， 所以或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件，故选项B正确； 对于选项C：在中，是锐角，则可能为锐角，直角或钝角， 故无法得出一定为锐角三角形； 若为锐角三角形，根据锐角三角形的定义可知的三个内角均为锐角的三角形， 所以是锐角是为锐角三角形的必要不充分条件，故选项C错误； 对于选项D：当是钝角时，则为钝角三角形. 当为钝角三角形不一定能推出是钝角， 所以是钝角是为钝角三角形的充分不必要条件，故选项D错误； 故选：AB． 11．（本题6分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是10，8，6．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】将问题转化为Venn图问题，然后结合题意确定这三天都开车上班职工人数至多人数，即可得答案. 【详解】解：如图所示：   表示周一上班开车的人数，表示周二上班开车的人数， 表示周三上班开车的人数，表示三天上班开车的人数， 由题意可得表示周三上班开车的人数， 由题意则有， 所以， 从而得， 当时，取最大值. 即三天都开车上班的职工人数至多为人. 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 【答案】 【分析】对进行分类讨论，注意需要满足集合元素的互异性. 【详解】由题意可知或 当，不满足集合元素的互异性，所以不符合题意； 当时，解得或(舍去)，当时，集合为，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 13．（本题5分）设全集，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最小值为__________；最大值与最小值的差为__________. 【答案】 7 24 【分析】根据阴影部分进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】阴影部分表示， 若，真子集最少有个． 若，真子集最多有个． 所以真子集个数的最大值与最小值的差为 故答案为：7；24 14．（本题5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的性质及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由“，”为真命题，等价于在上恒成立， 所以，即可. 设，，则 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增. 当时，取得最小值为，即， 所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 15．（本题13分）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】分与两种情况，结合根的判别式进行求解. 【详解】（1）由题意得：当时，，解得：，解集不为空集，舍去； 当时，，解得：，所以的取值范围是； （2）当时，，，，满足题意； 当时，，解得：， 综上：的取值范围是. 16．（本题15分）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)，使；若为真命题，； (2)或 【分析】（1）根据题意写出，由求出的取值范围； （2）按照为真、为假和为假、为真两种情况分别求出的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，，使. 若为真命题，方程有实数解，，解得. 所以的取值范围为. （2）若命题为真、为假，有，得. 若命题为假、为真，有，得. 综上所述，若命题、一真一假，实数的取值范围为或. 17．（本题15分）设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1), (2) 【详解】（1）当时，， 所以， 又， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围. 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 19．（本题17分）已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质； (2)证明：； (3)已知数集具有性质，若，，求数集. 【答案】(1)不具有性质，具有性质； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）数集中任取元素验证性质判断； （2）由性质证不成立，则成立； （3）由性质从小到大逐个构造数集中的元素. 【详解】（1）对于集合：取，则， 所以数集不具有性质； 对于数集：， 即对中任意，与中至少有一个属于， 所以数集具有性质. （2）由已知， 若，则，，所以， 又，所以数集不具有性质，不符合题意， 所以； （3）由（2）可知，， 因为， 所以，所以， 因为数集具有性质，所以， 所以， 所以，即， 因为，则，所以， 由，又，所以， 所以，所以 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $