周周练3 章末检测——集合与常用逻辑用语-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语基础与综合应用，通过分层题型系统训练量词命题否定、集合运算及充分必要条件判断，强化逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题与量词|3题（1,2,15）|量词命题否定法则、真假判断反例法|从命题定义到量词应用，构建逻辑判断框架| |集合运算|5题（3,5,6,10,16）|元素互异性验证、交并补数轴法|集合概念→基本运算→综合应用，形成完整知识链| |充分必要条件|3题（4,8,17）|定义法+等价转化+反例验证|条件关系判定与集合包含关系联动，强化逻辑推理| |综合应用|2题（11,19）|新定义问题迁移法、参数范围分类讨论|集合与逻辑交叉应用，培养数学抽象与创新意识|

周周练3　章末检测——集合与常用逻辑用语 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．命题“∃x∈Z，x2＋1是4的倍数”的否定为(　　) A．∀x∈Z，x2＋1是4的倍数 B．∀x∈Z，x2＋1不是4的倍数 C．∃x∈Z，x2＋1不是4的倍数 D．∀x∉Z，x2＋1不是4的倍数 解析：选B.因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃x∈Z，x2＋1是4的倍数”的否定为“∀x∈Z，x2＋1不是4的倍数”． 2．下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈R，x2<0 C．∀x∈Q，x2－2≠0 D．∃x∈Q，x2－2＝0 解析：选C.当x＝0时，x2＝0，所以A是假命题；因为∀x∈R，x2≥0，所以不存在x∈R，x2<0，因此B是假命题；由x2－2＝0，得x＝±，而±是无理数，所以C是真命题，D是假命题． 3．已知集合A＝{a，a2}，B＝{1，4}，若1∈A，则A∪B中所有元素之和为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C.由1∈A得a＝1或a2＝1， 解得a＝1或a＝－1， 若a＝1，则a2＝1，不符合集合中元素的互异性； 则a＝－1，A＝{－1，1}，从而A∪B＝{－1，1，4}， 所以A∪B中所有元素之和为4. 4．若a，b∈R，则“a2＋b2＝2(a＋b－1)”是“ab＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由a2＋b2＝2(a＋b－1)得， (a－1)2＋(b－1)2＝0， 所以a＝1且b＝1，则ab＝1，充分性成立； 由ab＝1，不妨取a＝2，b＝， 则a2＋b2＝，2(a＋b－1)＝3， 显然a2＋b2≠2(a＋b－1)，必要性不成立， 所以“a2＋b2＝2(a＋b－1)”是“ab＝1”的充分不必要条件． 5．如图所示，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>0}，则阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2} C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|x＝0或x>2} 解析：选D.题图中阴影部分表示的集合是∁A∪B(A∩B).由题可得A∩B＝{x|0<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，则∁A∪B(A∩B)＝{x|x＝0或x>2}． 6．已知集合M＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，P＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，若m∈P，n∈Q，则(　　) A．m＋n∈P B．m＋n∈Q C．m＋n∈M D．m＋n不属于M，Q，P中的任意一个 解析：选C.因为m∈P，n∈Q，所以m＝4k1＋1，k1∈Z，n＝2k2＋1，k2∈Z， 所以m＋n＝4k1＋1＋2k2＋1＝2(2k1＋k2＋1)，2k1＋k2＋1∈Z， 所以m＋n∈M. 7．(2026·内蒙古月考)已知p：∀x∈R，x2＋4x＋a≠0，若p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a<4 B．a<0 C．a≤4 D．a≥4 解析：选C.由p：∀x∈R，x2＋4x＋a≠0是假命题， 则¬p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0是真命题， 即Δ＝16－4a≥0⇒a≤4， 所以实数a的取值范围是a≤4. 8．已知p：4x－m<0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|m≥8} B．{m|m>8} C．{m|m>－4} D．{m|m≥－4} 解析：选B.由4x－m<0，得x<； 由1≤3－x≤4，得－1≤x≤2. 因为p是q的一个必要不充分条件， 所以>2，所以m>8. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　　) A．若|x|>|y|，则x>y B．若x>5，则x>10 C．若x2＝1，则x＝1 D．若2x＋1＝2y＋1，则x＝y 解析：选BCD.对于A，取x＝1，y＝－1，则x>y，但|x|＝|y|，即“|x|>|y|”不是“x>y”的必要条件； 对于B，若x>10，则x>5，即“x>5”是“x>10”的必要条件； 对于C，若x＝1，则x2＝1，即“x2＝1”是“x＝1”的必要条件； 对于D，若x＝y，则2x＋1＝2y＋1，即“2x＋1＝2y＋1”是“x＝y”的必要条件． 10．已知全集U＝A∪B，集合A＝{1，3，4}，B＝，则(　　) A．集合A的真子集有8个 B．{1}∈U C．U中的元素个数为5 D．(∁UA)⊆B 解析：选CD.因为集合A＝{1，3，4}，所以A的真子集个数为23－1＝7，故A错误；由B＝＝{1，2，4，8}，A＝{1，3，4}，得U＝A∪B＝{1，2，3，4，8}，所以{1}⊆U，U中的元素个数为5，故B错误，C正确；∁UA＝{2，8}，所以(∁UA)⊆B，故D正确． 11．给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是(　　) A．集合M＝{－2，－1，0，1，2}为闭集合 B．整数集是闭集合 C．集合M＝{n|n＝2k，k∈Z}为闭集合 D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合 解析：选AD.显然当a＝－2，b＝2时，a－b＝－4∉M，则集合M不为闭集合，故A不正确； 因为任意两个整数相减或相加都是整数，所以整数集是闭集合，故B正确；若a＝2k，b＝2(k＋l)且k，l∈Z，故a＋b＝2(2k＋l)∈M，a－b＝－2l∈M，则集合M为闭集合，故C正确；若A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，显然有A1，A2为闭集合，2，3∈A1∪A2，但2＋3＝5∉A1∪A2，则A1∪A2不为闭集合，故D不正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 12．若p是q：|x|>1的一个充分不必要条件，请写出满足题意的一个p：________． 解析：由|x|>1，得x<－1或x>1.因为p是q的一个充分不必要条件，所以p可以为x<－1. 答案：x<－1(答案不唯一) 13．设集合S＝{x|x>5或x<－1}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可知 解得－3<a<－1. 答案：{a|－3<a<－1} 14．设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有________个． 解析：U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，S⊆U.因为∁U(∁UP)＝P，所以存在一个∁UP，即有一个相应的P.因为S的子集共有8个，所以P也有8个． 答案：8 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假． (1)任意实数的平方大于或等于0；(3分) (2)对任意实数a，二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称；(3分) (3)存在整数x，y，使得2x＋4y＝3；(3分) (4)有些整数既能被2整除，又能被3整除．(4分) 解：(1)∀x∈R，x2≥0，真命题． (2)∀a∈R，二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称，真命题． (3)∃x∈Z，y∈Z，2x＋4y＝3，假命题，因为2x＋4y＝2(x＋2y)必为偶数． (4)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除，真命题． 16．(本小题满分15分)已知全集为R，集合A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤2}． (1)求A∩B；(7分) (2)求(∁RA)∪(∁RB).(8分) 解：(1)已知A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∩B＝{x|－1≤x＜0}． (2)因为全集为R， 则∁RA＝{x|x≤－2或x≥0}，∁RB＝{x|x＜－1或x＞2}， 故(∁RA)∪(∁RB)＝{x|x＜－1或x≥0}． 17．(本小题满分15分)已知a∈R，p：∀x∈{x|1<x<2}，a≤x；q：∃x∈R，使得x2＋2x－(a－1)＝0. (1)若p是真命题，求实数a的最大值；(7分) (2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求实数a的取值范围．(8分) 解：(1)要使p：∀x∈{x|1<x<2}，a≤x为真命题，只需a≤1，即实数a的最大值为1. (2)若使q：∃x∈R，使得x2＋2x－(a－1)＝0为真命题，则Δ＝4＋4(a－1)≥0，解得a≥0. ①p真q假时，只需所以a<0； ②p假q真时，只需所以a>1， 综上，实数a的取值范围为{a|a<0或a>1}． 18．(本小题满分17分)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|1≤x≤8}． (1)若A∩B＝{x|1≤x≤4}，求实数a的值；(7分) (2)若A≠∅，且“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．(10分) 解：(1)因为B＝{x|1≤x≤8}，A∩B＝{x|1≤x≤4}，所以解得a＝2. (2)因为A≠∅，所以2＋a≥2－a，即a≥0. 因为“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件， 所以AB，所以易知两个等号不同时成立，解得a≤1. 因此，实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}． 19．(本小题满分17分)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有：A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}．据此，试回答下列问题： (1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；(3分) (2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B；(4分) (3)已知A中有3个元素，B中有4个元素，试确定A×B有几个元素．(10分) 解：(1)C×D＝{(a，1)，(a，2)，(a，3)}． (2)因为A×B＝{(1，2)，(2，2)}，所以A＝{1，2}，B＝{2}． (3)从以上解题过程可以看出，A×B中元素的个数与集合A和集合B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与集合B中的每一个元素对应结合，得到集合A×B中的一个新元素，若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A×B中的元素应为(m×n)个，所以若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则集合A×B中有3×4＝12个元素． 学科网（北京）股份有限公司 $