2.4.2解直角三角形的应用 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦解直角三角形的应用，核心内容包括坡度、坡角、方向角的定义及关系，通过“温故知新”复习三角函数定义，结合爬山路线陡缓问题引入新知，构建从旧知到实际应用的学习支架。 其亮点在于以探究活动推导坡度与坡角关系，结合航海、工程等典例及分层练习，培养数学思维的推理能力和数学语言的模型意识、应用意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助系统资源提高教学效率。

解直角三角形的应用 第二章 初中数学 1 经历实际问题的建模求解全过程，在双直角三角形问题中体会数形结合与方程思想。 02 掌握坡度、坡角、方向角的定义及相互关系，会识别方向角，能利用解直角三角形知识解决相关实际计算问题。 01 03 感受数学在工程、航海中的应用价值，提升运用数学解决实际问题的兴趣与信心。 学习目标 2 ， ， 。 问题1： 在Rt△ABC中，∠C=90°，请写出∠A的正弦、余弦和正切的定义。 温故知新 3 问题2：在Rt△ABC中，已知一条边和一个锐角，如何求其他边？ 答案：根据锐角三角函数的定义建立方程求解，如已知斜边和锐角A，则，。 问题3： 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知，你能求出∠A的度数吗？ 答案： ，查表或利用已知条件可知 温故知新 4 假如我们要去爬山，从山脚到山顶有两条路AB与BD（呈现图形）。请大家观察一下，这两条路哪一条比较陡？你是怎么判断的？ 温故知新 5 认识坡度与坡角 从坡脚点A上坡走到点B时，升高的高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离l（即线段AC的长度）的比叫作坡度，用字母i表示。即，坡度通常写成的形式。 图中∠BAC叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作α。 探究新知 探究一： 6 认识坡度与坡角 提问：（1）坡度是一个比还是一个角？ （2）坡角是哪个角？ 坡度是一个比（比值），而不是一个角。它是坡面的垂直高度（h）与水平距离（l）的比，通常写作 的形式。它反映的是山坡的陡峭程度，是一个没有单位的数值。 坡角是坡面与水平面的夹角。在教材的图2.4-5中，坡角是指∠BAC即线段AB与水平线AC之间的夹角），记作 𝛼。 探究新知 探究一： 7 推导坡度与坡角的关系 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=α。根据正切的定义，等于什么？ 而，所以我们得到：坡度等于坡角的正切，即。 探究新知 探究二： 追问：（1）坡度越大，坡角怎样变化？山坡怎样变化？ 坡度 ，在 范围内，正切函数随角度的增大而增大。因此，坡度越大，坡角也越大，山坡越陡。 （2）坡度表示什么意思？ 坡度 表示坡面的垂直高度与水平距离的比为 ，即 。也就是说，在水平方向上前进 2 个单位长度，竖直方向上升（或下降）1 个单位长度。 推导坡度与坡角的关系 探究新知 探究二： 例题2.如图2.4‑6，一山坡的坡度．小华从山脚出发，沿山坡向上到达点，已知，两点间的直线距离为，问：他从点到点高度上升了多少米？（，，结果精确到） 初步应用——求坡角 探究新知 探究三： 初步应用——求坡角 解：由于坡度，即 又，于是。 在中，，， 所以 又，因此 答：小华从点到点高度上升了约。 探究新知 探究三： 例3.如图2.4‑7，一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 典例精析 12 分析：这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔到航线的距离是否大于。 解：作，交的延长线于点．设。 在中，因为 所以 同理，在中， 典例精析 13 因为， 所以 解得 又， 因此，该船能继续安全地向东航行。 典例精析 14 变式1（基础——知坡度求坡角） 已知一斜坡的坡度，求坡角α的度数。 变式2（中等——知坡角求坡度） 已知一山坡的坡角，求该山坡的坡度i。 答案： ，∴。 答案： ，写成。 典例精析 15 变式3（提升——综合应用） 如图，一山坡的坡角为30°，小华从山脚沿山坡向上走了200m到达点B，求他上升的高度。 答案： ，∴（m）。 典例精析 16 练习1（基础）： 一斜坡的坡角为30°，则坡度为______。 练习2（基础）： 一斜坡的坡度，则坡角为______。 45° 课堂练习 17 练习3：一山坡的坡度，小华从山脚A出发，沿山坡向上到达点B，已知A、B两点间的水平距离为120m，求他上升的高度。 解：坡度 ，即 。 设小华上升的高度（即铅直高度）为 m，水平距离 m。 根据坡度的定义： 代入数据：解方程得： 课堂练习 18 坡度（坡比） 坡面竖直高度与水平宽度的比值，。 坡度与坡角关系：。 要点：坡度是比值，不是角度；坡角是坡面与水平面的夹角，是锐角。 课堂小结 知识梳理 19 1、如图，一艘船从A处出发，匀速向正北方向航行30海里至点B，从A处测得一礁石C在北偏西15°的方向上，从B处测得礁石C在北偏西30°的方向上．如果这艘船沿此航线继续航行，则礁石与船的最短距离是（　　）海里． A.10 B.15 C.20 D.30 B 【基础达标】 课后提升 20 2、如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为（     ） B A. B. C. D. 课后提升 21 3、如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若AB的长度为米，则斜坡CD的长度为（ 　　） B A.6米 B.米 C.米 D.米 课后提升 22 4、如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 C A. B. C. D. 课后提升 23 5、小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 ) B A. (600－250)米 B. (600－250)米 C. (350＋350)米 D. 500米 课后提升 24 6、一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了 　 　米． 7、如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了，则该小车上升的高度为    ． 课后提升 25 8、为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动.如图，在坡度i=1∶的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为2 米，则斜坡上相邻两树间AB的坡面距离为_____米。 4 课后提升 26 9、如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝　  m．（结果保留根号） 8   　 课后提升 27 10、水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 课后提升 28 【解析】（1）过点作于，过点作于， ∴． 在中，（米）， ∴（米）． ∴（平方米）． ∴需要填土石方体积为： ． 课后提升 29 （2）在中， ， ∴． ∴加固后大坝背水坡面的坡度． 课后提升 30 11、为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长.(结果精确到0.1米，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) 课后提升 31 解　如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E， 由题意得AF⊥BC，DE=AF， ∵斜面AB的坡度i=3∶4，∴=， ∴设AF=3x米，则BF=4x米， 在Rt△ABF中，AB===5x(米)， 课后提升 32 在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20米， ∴DE=CD·sin 18°≈20×0.31=6.2(米)， ∴AF=DE=6.2米， ∴3x=6.2，解得x=， ∴AB=5x=5×=≈10.3(米)，∴斜坡AB的长约为10.3米. 课后提升 33 12、为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示(图中地面AD与通道BC平行)，通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1∶. (1)求通道斜面AB的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．(结果保留根号) 3 课后提升 34 【答案】解　(1)过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，∵∠BCD＝135°，∴∠DCM＝45°. ∵在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，CD＝6，∴DM＝CM＝CD＝3，∴AN＝DM＝3， ∵通道斜面AB的坡度i＝1∶，∴tan ∠ABN＝＝， ∴BN＝AN＝6， 课后提升 35 ∴AB＝＝3.即通道斜面AB的长约为3米； 故答案为3； (2)∵在Rt△MED中，∠EMD＝90°，∠DEM＝30°，DM＝3， ∴EM＝DM＝3，∴EC＝EM－CM＝3－3， ∴BE＝BC－EC＝8－(3－3)＝8＋3－3.即此时BE的长约为(8＋3－3)米． 课后提升 36 $