第2章 锐角的正弦、余弦、正切（复习课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件系统梳理了锐角三角函数的概念、特殊角值、解直角三角形及应用，通过知识图谱将锐角三角比（含定义、特殊角、计算器使用）与解直角三角形应用（仰俯角、坡度、方位角）串联，构建完整知识网络。 其亮点是“考点串讲-题型全解-针对训练”分层策略，如解直角三角形应用题型通过构造直角三角形解决测量问题，培养数学建模与推理能力，针对训练涵盖基础题与综合题，助力学生巩固知识，教师精准教学。

第2章 锐角的正弦、 余弦、正切 复习课件 湘教版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 02 工具掌握 深化理解 思想与应用 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 能识别锐角三角函数的定义，记住30°、45°、60°的特殊值。 会用三角函数求边、求角，能解直角三角形。 理解三角函数的比值本质、增减性及相关公式。 会用解直角三角形解决测量、坡度、方向角等实际问题，形成建模能力。 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1、理解并利用三角函数解决实际问题； 2、能够识别和应用三角函数解决仰俯角问题； 3、能够利用三角函数解决方位角问题； 4、能够利用三角函数解决坡度比问题。 1.掌握直角三角形中的边角关系，熟记特殊角的三角函数值。掌握锐角三角比的定义；熟记特殊角的三角函数值。 2.掌握已知直角三角形的斜边和一条直角边解直角三角形方法;掌握已知直角三角形的斜边和一条锐角解直角三角形。 4 知识图谱 解直角三角形 解直角三角形应用 锐角三角比 用计算器求三角比 特殊角的三角比 解直角三角形 坡度和坡角 仰角和俯角 方位角 30º,45º,60º的三角比 5 考点串讲 ——考点一、锐角三角函数的概念 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则有： ∠A的正弦： sin A＝ ＝ 　 ； ∠A的余弦： cos A＝ ＝ ； ∠A的正切：tan A＝ ＝ 　​ 　 ​ ​ ​ ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数。 6 考点串讲 ——考点一、锐角三角函数的概念 归纳总结 1、正弦、余弦、正切都是一个比，是两条线段长度的比，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关. 2、范围：锐角三角函数值都是正实数，且 0<sinA<1 ，0<cosA<1 ，tanA>0. 3、增减性：锐角三角函数值随角度的变化而变化. ①正弦值随角度的增大而增大，②余弦值随角度的增大而减小；③正切值随角度的增大而增大（锐角范围内） 4、书写要求：当表示角度时只有一个大写字母或者一个小写字母时，∠的符号可以省略，但是三个大写字母如∠ABC或者数字角如∠1中∠符号不可省略。 7 考点串讲 ——考点二、锐角三角函数之间的关系 1、同一个锐角的三角函数关系：①sin2A +cos2A=1; ②tanA = ​ 　 2、互余两角的三角函数关系： 当∠A+∠B=90°时： sinA=cos(90°-∠A)=cosB; cosA=sin(90°-∠A)=sinB; 即cosA=sinB 3、任意锐角的正切值与它余角的正切值互为倒数： 当∠A+∠B=90°时：tanA·tanB=1 8 考点串讲 ——考点三、特殊角的三角函数值 角α 三角比 30° 45° 60° sin α cosα tanα 1 2 2 2 2 3 2 3 3 3 2 1 2 3 2 1 由特殊角可求出相应三角函数值；反之，由三角函数值也可求出对应角度 9 考点串讲 ——考点四、用科学计算器求三角函数值： 借助计算器可以求锐角的三角函数值，反之计算器也可以根据三角函数值求出相应角度。 正弦：①已知角度求三角函数值： 余弦：①已知角度求三角函数值: 正切：①已知角度求三角函数值： sin ∠A = ②已知三角函数值求角度： ②已知三角函数值求角度： ②已知三角函数值求角度： cos ∠A = tan ∠A = SHIFT sin ∠A = SHIFT cos ∠A = SHIFT tan ∠A = 10 考点串讲 ——考点五、解直角三角形 1.解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2.直角三角形中的边角关系：（∠C为直角） ①角的关系：∠A+∠B=90° ②边的关系：勾股定理：a2+b2=c2 ③边角的关系：三角函数：sinA= A B C a b c ┓ 11 考点串讲 ——考点六、解直角三角形的应用 1、仰角、俯角： 水平线上方的角是仰角 水平线下方的角是俯角 2、坡角、坡度： 坡面与水平面的夹角是坡角 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度(或坡比) 坡度等于坡角的正切值，即i= =tanA；坡度越大，则坡角越大，山坡就越陡 12 考点串讲 ——考点六、解直角三角形的应用 3、方向角： 指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的角叫做方向角. 如右图所示，目标方向线OA,OB,OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西45°。其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向。 13 题型全解 题型01 锐角三角函数的定义与概念 例 1 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4． A (3，0) 在 Rt△APO 中，由勾股定理得 因此 α 14 题型全解 题型01 锐角三角函数的定义与概念 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 方法总结 题型全解 题型02 特殊角的三角函数值 例 2 计算： 解：原式 方法总结 可能考察的知识点有： 绝对值化简、平方根、零次幂、负整数次幂、二次根式化简、特殊三角函数值等。 题型全解 题型03 用科学计算器求一般锐角的三角函数值： 例 3 求tan30°36ˊ，用计算器的按键顺序正确的是（ ） tan 3036 = A. tan 30.6 = B. 或 tan 30 0″ 36 0″ = tan 3036 = C. 0″ 2ndf tan 3036 D. = B 【解析】首先按下tan功能键，激活正切计算模式，再输入度数值30，按下度分秒转换键，确认30的单位为度，最后输入数值36，按下度分秒转换键，确认36的单位为分，由此可得用计算器的按键顺序。 题型全解 题型03 用科学计算器求一般锐角的三角函数值： 方法总结 方法 1： 按原题给出的度数按计算器 tan 30 0″ 36 0″ = tan 30.6 = 方法 2： 将题目所给的角度单位统一为度 30°36ˊ= 30.6° tan 30.6 = 题型全解 题型04 同角三角函数的关系 例 4 在如图的直角三角形中，我们知道 ， ， ， ． (1)请你根据上面的探索过程，探究 ， 与 之间的关系； (2)请利用上面探究的结论解答下面问题：已知a为锐角，且 ，求 的值 【解析】 （1）解：∵ ∴∴ ∴ 【解析】 （2）解：∵ ， ∴ 题型全解 题型04 同角三角函数的关系 方法总结 同一个锐角的三角函数关系： ①sin2A +cos2A=1; ②tanA = ③sinA=cos(90°-∠A) ④tanA·tan(90°-∠A)=1 题型全解 题型05 解直角三角形 例 4 如图，在△ABC中，AB=6，∠B为锐角，AD垂直于BC，垂足为D,若cosB=，tanC=3，求∠B的度数及BC的长。 【解析】解：∵∠B为锐角，且cosB= ∴=，∠B=60° ∵AB=6 则 BD=3 ∴在Rt△ABD中，AD= ∴ tanC==3 ∴CD===1 ∴BC=BD+CD=3+1=4 题型全解 题型05 解直角三角形 方法总结 （一）已知两边解直角三角形的方法 （1）已知斜边和一直角边： 先用勾股定理求出另一条直角边，再利用正弦（或余弦）值求出这个锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角. （2）已知两直角边： 先用勾股定理求出斜边，再利用正切值求出该锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角. 题型全解 题型05 解直角三角形 方法总结 （二）已知一锐角和一边解直角三角形的方法 （1）已知一锐角和一直角边： 先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边. （2）已知一锐角和斜边： 先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再根据斜边用已知角的正弦和余弦求出两条直角边. 题型全解 题型05 解直角三角形 方法总结 （三）构造直角三角形解斜三角形问题的方法 作垂线（高）将斜三角形分割（或补）成两个直角三角形，利用解直角三角形求边或角. 在作垂线时，一般在等腰三角形中作底边上的高， 有特殊角的图形，要保留特殊角做垂线，从而利用含特殊角的直角三角形解决问题。 题型全解 题型06 解直角三角形的应用 例 6 因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌(如图)．已知A、B、C在同一直线上，AC垂直于地面，立杆AB高度是3M，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况指示牌BC的高度（结果保留根号）． 【解析】解：∵侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是 ∴∠CDA=60°，∠BDA=45° ∵AC垂直于地面，立杆AB高度是3m， ∴ AD= = 3（m） ∴ AC=AD·tan60°=3 （m） ∴ 指示牌的高度为BC = AC-AB = 3 -3（m） 25 题型全解 题型06 解直角三角形的应用 方法总结 利用锐角三角函数解决实际问题的一般步骤 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，并通过做辅助线构造直角三角形）； （2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数求出直角三角形中的边或角； （3）通过边或角度的转化，得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案.（注意实际问题的解要有意义） 题型全解 题型07 三角函数与几何综合 例 7 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF垂直于DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G． (1)求证：BG=DE； (2)若点G为CD的中点，AB=4，求DF的长 题型全解 题型07 三角函数与几何综合 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴BC=CD,∠BCG=∠DCE=90° ∵BF垂直于DE， ∴∠GFD=90° ∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF, ∴∠CBG=∠CDE, ∴△BCG≌△DCE(ASA） 即BG=DE 题型全解 题型07 三角函数与几何综合 【解析】(2)证明：∵点G为CD的中点，AB=4，且四边形ABCD为正方形， ∴CD=AB=BC=4,DG=CG=2,即BG= ∴cos∠CBG== 有(1)可知△BCG≌△DCE(ASA） ∴∠CBG=∠CDE，∠CGB=∠E ∵∠CBG+∠CGB=90° ∴∠CBG+∠E=90° 即∠DFG=90° ∴cos∠GDF= = 则 DF= 题型全解 题型07 三角函数与几何综合 方法总结 此类综合题型需综合几何常见知识，例如：全等的性质和判定（ASA、AAS、SSS、SAS以及HL）、用勾股定理、平行四边形或特殊平行四边形的性质和判定、锐角三角函数解直角三角形的相关知识综合计算 针对训练 1. （1）如图，在中， ， ，， 则_ _，__， __， _ _; （2）已知在中, ,,则 的值为___. 2. 计算： ___. 1 针对训练 C 针对训练 2 针对训练 6. 【生活情境】一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯.已知CA＝4米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要(　D　) A. 平方米 B. (4＋4tan θ)平方米 C. 3 平方米 D. 3(4＋4tan θ)平方米 第6题图 D 针对训练 D 针对训练 7.如图，厂房屋顶人字架的跨度为10 米，上弦AB＝BD，∠A = 26° ．求中柱BC 和上弦AB 的长（精确到0 . 01 米）. B A C D 26° 中柱 上弦 跨度 解：由题意可知，△ ABD 是等腰三角形，BC是底 边AD 上的高，AC = CD , AD = 10 米． 在Rt △ABC 中∠ACB =90°， ∠A =26 °， 即中柱BC 长为2 . 44 米，上弦AB 长为5 . 56 米． AC = AD = 5 （米）． 2 1 由tanA = ，得BC = AC · tanA = 5 · tan 26 °= 2 . 44（米）. 由cosA = ，得AB = = =5.56(米) 针对训练 解：过点A作AF⊥BC于点F， 在Rt△ABF中，∵∠ABF =∠α=60°,AB=20m ∴AF=AB·sin60°=m 又∵∠E=∠β=45° 故改造后的坡长AE为 8. 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号) F 针对训练 9. 【综合与实践】(2025•烟台)烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐 落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某 日，数学兴趣小组开展了实践探究活动. 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同 学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向上 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范 第9题图 针对训练 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向上 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范 第9题图 针对训练 解：如答图，过点B作BE⊥AC于点E，设BE＝x海里. 由题意，得∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝10× ＝5(海里)， ∴DE＝BE＝x海里，∠C＝90°－∠EBC＝37°， ∴EC＝ED＋DC＝(x＋5)海里. ∵在Rt△BCE中，EC＝ ＝ ≈ ＝ x(海里)，∴ x＝x＋5，解得x＝15，即BE＝15海里. 第9题答图 针对训练 (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头 A. (参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， sin 14°≈0.24， cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25) 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向上 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范 第9题图 针对训练 解：如答图. 由题意及(1)知∠ABE＝14°，BE＝15海里. ∴在Rt△ABE中，AE＝BE•tan 14°≈15×0.25＝3.75(海里)， ∴AC＝AE＋DE＋DC＝3.75＋15＋5＝ 23.75(海里)， ∴不改变航行速度，渔船从C处到达码头A所 需时间为23.75÷10＝2.375(小时). ∵14：30到17：30共3小时，而2.375＜3， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. 第9题答图 课堂总结/易错复盘 ·分类规则 1、函数类型： sinA、cosA、tanA、(A为锐角) 2、按角度分类; ①特殊角度30°、45°、60°的三角函数值： ②任意角： sinA=，cosA=，sinA= ·核心概念 1、取值范围： 0<sinA<1 ， 0<cosA<1 ，tanA>0. 2、增减性：( 0<A<90°) sinA、tanA随角度增大而增大 cosA随角度增大而减小 3、角互余时： sinA=cosB，cosA=sinB ·答题注意事项 1、三角函数符号不带单位 2、解直角三角形时默认直角为∠C=90°，默认c为斜边，a对∠A,b对∠B 3、选择三角函数原则：不涉及斜边选tan，涉及斜边选sin/cos 4、实际应用时必须先构造直角三角形，区分仰角、俯角、坡度。 43 湘教版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 3.如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是( ) A. B. C. D. 4. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值是___________. 5. 若中，锐角A、B满足，则是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 $