2.4 解直角三角形的应用（第2课时）-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的应用”，核心讲解坡度、坡角与方向角问题。通过“山脚两条路陡缓比较”的观察思考导入，衔接锐角三角函数知识，搭建从实际情境到数学概念的学习支架。 其亮点在于情境化实例与结构化教学，如水库大坝横断面、渔船触礁等问题，培养学生用数学眼光抽象现实模型，通过典例精析和四步解题步骤发展数学思维，用符号表达强化数学语言。助力学生提升应用能力，教师教学流程清晰高效。

2 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 2.4 　解直角三角形的应用 第2课时 坡度、坡角与方向角问题 3 新课导入 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路更陡呢？ 观察与思考 C 知识讲解 知识点1 坡角问题 如图，从坡脚点 A 上坡走到点 B 时，升高的高度 h（即线段 BC 的长度）与水平前进的距离 l（即线段 AC的长度）的比叫作坡度，用字母 i 表示，即i=（坡度通常写成1∶m的形式）. 　　在下图中，∠BAC 叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作 α，显然，坡度等于坡角的正切，即i==tan α. 坡度越大，山坡越陡． 1. 斜坡的坡度是1∶ ，则坡角 α =___度. 2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 练一练 典例精析 例1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1 m)． 解：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形． 已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5.5，∠A＝24°，求AB. 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米． 解： 斜坡 CD 的坡度 i = tan α = 1∶2.5 = 0.4， 由计算器可求得 α ≈ 22°. 故斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°. 例2：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求： (1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)； A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1 : 3 解：分别过点 B，C 作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F . 由题意可知 BE = CF = 23 m， EF = BC = 6 m. 在 Rt△ABE 中， (2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1 m). E F A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1:3 = 69 + 6 + 57.5 = 132.5 (m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 在 Rt△DCF 中， 故坝底 AD 的长度为132.5 m，斜坡 AB 的长度为 72.7 m. E F A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1:3 知识点2 解与方向角有关的问题 方向角一般是指目标与参照物所在的直线与南北方向所在的直线所夹的锐角. 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 北偏东30° 南偏西45° 例 3：如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 解：在 Rt△APC 中， PC = PA·cos(90°－65°) = 80×cos25° ≈ 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile． 例4 ：如图，海岛 A的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？ 解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F， 则 AF 的长是 A 到 BC 上所有 点中的最短距离. 北 东 A C B 60° 30° D E F 因为BD∥CE∥AF， 所以∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°． 所以∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°. 又因为∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC， 所以 BC = AC = 12 海里． 所以AF = AC · cos30° = 6 ≈ 10.392 ＞ 8， 故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 北 东 A C B 60° 30° D E F 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 随 堂 小 测 1. 如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是1 :，坝高BC = 3 m，则坡面 AB 的长度是 ( ) A. 9 m B. 6 m C. 6 m D. 3 m A C B B 2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 等于 °． 90 3. 如图，海上 B，C 两岛分别位于 A 岛的正东和正北方向，一艘船从 A 岛出发，以 18 海里/时的速度向正北方向航行 2 小时到达 C 岛，此时测得 B 岛在 C 岛的南偏东 43° 方向，则 A，B 两岛之间的距离为 ．(结果精确到 0.1 海里，参考数据： sin 43° = 0.68，cos 43° = 0.73，tan 43° = 0.93) 33.5 海里 4. 如图，有一个古建筑 A，它周围 800 米内有古建筑群，乡村路要由西向东修筑，在 B 点处测得古建筑 A 在北偏东 60° 方向上，向前直行 1200 米到达 D 点，这时测得古建筑 A 在 D 点北偏东 30° 方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑群会不会遭到破坏？ 解：过点 A 作 AE⊥BD，垂足为 E. 因为 点 A 在点 B 的北偏东 60° 方向上， 在点 D 的北偏东 30° 方向上， 所以 ∠ABE = 30°，∠ADE = 60°. 所以∠BAD = ∠ADE -∠ABE = 30° =∠ABE. 所以 AD = BD = 1200 米. 所以 AE = AD·sin60° = 1200×≈ 1039.2＞800（米）. 所以不会遭到破坏. 小结 解直角三角形的应用 坡度问题 方向角问题 坡角 坡度(或坡比) i= 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 26 $