25.2.2 公式法 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，涵盖根的判别式及求根公式。课堂导入通过回顾配方法解方程，衔接一般形式方程的探究，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于结合表格实例、分层例题及变式题，如含字母系数方程的分类讨论，培养学生抽象能力、推理意识与模型观念。步骤归纳清晰，助力学生系统掌握，提升教师教学效率，促进数学思维与表达能力发展。

25.2 降次———解一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.2.2 公式法 人教版九年级上册 解：方程整理得 配方得 开平方得 解得 想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗？ 能否也用配方法得出它的解呢？ 回顾导入 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把b2−4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ= b2−4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ ≥ 0 探究点1：一元二次方程的根的判别式 新知探究 3 按要求完成下列表格： 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 Δ 探究点1：一元二次方程的根的判别式 新知探究 4 例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x2+x−1=0. ∵b2−4ac=1−4×1×(−1)=5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故选B. B 探究点1：一元二次方程的根的判别式 新知探究 5 例2 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x−3=0； （2）4x2=12x−9. 解：（1）3x2+4x−3=0，a=3，b=4，c=−3， ∴b2−4ac=42−4×3×(−3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2−12x+9=0， ∴b2−4ac=(−12)2−4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． 探究点1：一元二次方程的根的判别式 新知探究 判断一元二次方程根的情况的方法： 方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 b2 −4ac > 0 b2− 4ac = 0 b2− 4ac＜ 0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 探究点1：一元二次方程的根的判别式 【归纳总结】 新知探究 例3 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( ) A.q≤4 B.q≥4 C.q<16 D.q>16 C 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2−4ac>0，即 .解得q＜16，故选C. 探究点1：一元二次方程的根的判别式 新知探究 8 【变式题】二次项系数含字母 若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k>−1 B.k>−1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 B 方法指导： 当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围. 方程有两个不相等的实数根 分析： 二次项系数不为0 k≠0 k>−1且k≠0 探究点1：一元二次方程的根的判别式 新知探究 9 【变式题】删除限制条件“二次” 若关于x的方程kx2 − 2x −1=0有实数根，则k的取值范围是( ) A.k≥ −1 B.k≥ −1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 分析： 分类讨论 k=0 k≠0 原方程变形为 −2x−1=0，有实数根 b2 − 4ac≥0 k≥ −1 A 探究点1：一元二次方程的根的判别式 新知探究 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0). 二次项系数化为1，得 解： 移项，得 配方，得 即 ① 问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ 探究点2：一元二次方程的求根公式 新知探究 ∵a ≠0，∴4a2>0. 式子b2－4ac 的值有一下三种情况： （1）b2－4ac ＞0 这时 ＞0，由①得 方程有两个不等的实数根 探究点2：一元二次方程的求根公式 新知探究 （2）b2－4ac =0 这时 =0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1=x2= - . （3）b2－4ac ＜0 这时 ＜0，由①可知 ＜0 ，而x取任何实数都不能使 ＜0 ，因此方程无实数根. 探究点2：一元二次方程的求根公式 新知探究 由上可知，当 ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式. 方法指导：运用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，判定b2 － 4ac ≥0时，才可以用求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 探究点3：运用公式法解一元二次方程 新知探究 例4 用公式法解下列方程： （1）x2−4x−7=0; 方程有两个不相等的实数根. 解：a=1，b=−4，c=−7 b2－4ac=(−4)2－4×1×(−7)=44＞0. 即 探究点3：运用公式法解一元二次方程 新知探究   方程有两个相等的实数根     x1=x2 探究点3：运用公式法解一元二次方程 新知探究 （3）5x2－3x=x+1; 方程有两个不相等的实数根 =   即 a=5，b=－4，c=－1 b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0. 解：方程化为 5x2－4x－1=0 探究点3：运用公式法解一元二次方程 新知探究 （4）x2+17=8x. 方程无实数根. a=1，b=−8，c=17 b2−4ac=(−8)2−4×1×17=−4＜0. 解：方程化为 x2－8x+17=0 探究点3：运用公式法解一元二次方程 新知探究 公式法解方程的步骤： 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a，b，c写出各项系数； 3.计算：b2−4ac的值； 4.判断：若b2−4ac ≥0，则利用求根公式求出； 若b2−4ac<0，则方程没有实数根. 探究点3：运用公式法解一元二次方程 【归纳总结】 新知探究 19 1. [2025河南]一元二次方程x2－2x＝0的根的情况是（　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 A 随堂练习 2. [2025新疆]若关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0无实数根，则实数a的取值范围是（　B　） A. a＜1 B. a＞1 C. a≤1 D. a≥1 3. 新考向 结论开放题 [2024南通]已知关于x的一元二次方程 x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值： 　答案不唯一，如－1　. B 答案不唯一，如－1　 4. （易错题）若关于x的方程kx2－x－ ＝0有实数根，则k的取值范围是 　k≥－ 　. 5. 教材变式题 利用根的判别式判断下面方程的根的情况： （1） 9x2－6x＋1＝0； 解：∵ Δ＝（－6）2－4×9×1＝0，∴ 方程有两个相等的实数根 （2） 5（x2＋1）－7x＝0. 解：∵ 原方程化为一般形式为5x2－7x＋5＝0，∴ Δ＝（－7）2－4×5×5＝－51＜0.∴ 方程无实数根 k≥－ 　 6. 已知关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根. 解：∵ 关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，∴ Δ＝4－4（2m－1）≥0，解得m≤1.∵ m为正整数，∴ m＝1.∴ 原方程即为x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1 7. 关于x的方程ax2－bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac＞0）的根是（　　） A. x＝ B. x＝ C. x＝ D. x＝ A 8. 教材变式题 一元二次方程x2＋4x－8＝0的根是（　D　） A. x1＝2＋2 ，x2＝2－2 B. x1＝2＋2 ，x2＝2－2 C. x1＝－2＋2 ，x2＝－2－2 D. x1＝－2＋2 ，x2＝－2－2 D 9. 教材变式题 用公式法解方程： （1） x2－2 x－1＝0； 解：x1＝2＋ ，x2＝－2＋ （2） x（x－2 ）＝4. 解：x1＝3＋ ，x2＝－3＋ 10. （易错题）[2024龙东地区]若关于x的一元二次方程 （m－2）x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≤4 B. m≥4 C. m≥－4且m≠2 D. m≤4且m≠2 D 11. 利用公式法解一元二次方程3x2－11x－1＝0可得两解为x1＝a，x2＝b，且a＞b，则a的值为（　D　） A. B. C. D. D 12. 若a2＋5ab－b2＝0（b≠0），则 的值为 　－ ± 　. － ± 　 （1） 2x2－5x＋2＝0； 解：x1＝2，x2＝ （2） （x＋1）（x－2）＝1； 解：x1＝ ，x2＝ （3） 3x2＋5（2x＋3）＝0. 解：无实数根 13. 用公式法解方程： 14. 已知关于x的一元二次方程2x2－（4k＋1）x＋2k2－1＝0. （1） 若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解：Δ＝[－（4k＋1）]2－4×2（2k2－1）＝8k＋9. （1） 由题意，得8k＋9＞0，解得k＞－ （2） 当k取何值时，方程有两个相等的实数根？并求出此时方程的实数根. 解：（2） 由题意，得8k＋9＝0，解得k＝－ .此时方程为2x2＋ x＋ ＝0，解得x1＝x2＝－ （3） 若方程无实数根，求k的取值范围. 解：（3） 由题意，得8k＋9＜0，解得k＜－ 15. 已知关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x＋2m－1＝0的根的判别式的值为1，求m的值及方程的根. 解：由题意，得[－（3m－1）]2－4m（2m－1）＝1，即m2－2m＝0，解得m1＝0，m2＝2.易知m≠0，∴ m＝2.∴ 原方程为2x2－5x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝ 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2−4ac 务必将方程化为一般形式 课堂小结 $