25.2.2公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，涵盖求根公式推导、根的判别式应用及解方程步骤。通过配方法解方程实例导入，衔接前后知识，搭建从具体运算到抽象公式的学习支架。 其亮点是分层递进练习设计（基础到拓展），规范“一化二定三算四求”步骤，融入中考考法实例。培养学生抽象能力与推理意识，助力学生夯实知识体系，教师可提升教学效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2.2公式法 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/16 人教版数学九年级上册25.2.2公式法专项练习 本次专项练习针对一元二次方程公式法核心考点设计，紧扣教材25.2.2课时内容，涵盖求根公式推导、根的判别式应用、基础解方程、参数求值、根的情况判断及综合拓展题型。题型由浅入深、分层递进，贴合课堂教学重难点，适配课后巩固、专项提升与随堂检测，配套完整详细解析，帮助学生熟练掌握公式法解题思路与判别式核心用法。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式是（） A. x=(-b±√(b²-4ac))/2a B. x=(b±√(b²-4ac))/2a C. x=(-b±√(b²+4ac))/2a D. x=(-b±√(b²-4ac))/a 2. 一元二次方程x²-3x+2=0的根的判别式的值为（） A. 1 B. -1 C. 17 D. -17 3. 已知方程2x²+3x-1=0，则该方程根的情况是（） A. 无实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等实数根 D. 无法判断 4. 若一元二次方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为（） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 5. 用公式法解方程3x²-4x-2=0，其中a、b、c的值分别是（） A. 3、-4、-2 B. 3、4、-2 C. 3、-4、2 D. -3、-4、-2 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 一元二次方程根的判别式Δ=__________，当Δ__________时，方程有两个不相等的实数根。 7. 方程x²+2x+1=0的判别式Δ=__________，方程根的情况是__________。 8. 已知方程x²+kx+4=0有两个相等实数根，则k=__________。 9. 用公式法解方程2x²-x-1=0，代入公式前a=2，b=__________，c=__________。 10. 若一元二次方程x²-5x+k=0无实数根，则k的取值范围是__________。 三、解答题（共40分） 11. 用公式法解下列一元二次方程（每题8分，共24分） （1）x²+x-6=0 （2）2x²-5x+2=0 （3）4x²-12x+9=0 12. 已知一元二次方程x²-(m+2)x+2m=0，求证：该方程总有实数根。（8分） 13. 已知方程2x²+3x+m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。（8分） 四、拓展提升题（20分） 14. 已知关于x的一元二次方程(k-1)x²-2kx+k+2=0有实数根，求k的取值范围。 15. 用公式法解方程x²-√2 x-1=0，并求出方程的两根。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. A 解析：一元二次方程标准求根公式为x=(-b±√(b²-4ac))/2a（a≠0，Δ≥0）。 2. A 解析：a=1，b=-3，c=2，Δ=b²-4ac=9-8=1。 3. C 解析：a=2，b=3，c=-1，Δ=9+8=17>0，方程有两个不相等实数根。 4. B 解析：Δ=4-4m=0，解得m=1。 5. A 解析：标准式ax²+bx+c=0，对应a=3，b=-4，c=-2。 二、填空题 6. b²-4ac、>0 7. 0、有两个相等的实数根 8. ±4 9. -1、-1 10. k>25/4 三、解答题 11. （1）解：a=1，b=1，c=-6，Δ=1+24=25>0，x=(-1±5)/2，解得x₁=2，x₂=-3。 （2）解：a=2，b=-5，c=2，Δ=25-16=9>0，x=(5±3)/4，解得x₁=2，x₂=1/2。 （3）解：a=4，b=-12，c=9，Δ=144-144=0，x=12/8=3/2，方程有两个相等实数根x₁=x₂=3/2。 12. 证明：Δ=(m+2)²-8m=m²+4m+4-8m=(m-2)²≥0，无论m取何值，Δ≥0，故方程总有实数根。 13. 解：方程有两个不相等实数根，则Δ>0，Δ=9-8m>0，解得m<9/8。 四、拓展提升题 14. 解：方程为一元二次方程则k-1≠0，即k≠1；有实数根则Δ≥0，Δ=4k²-4(k-1)(k+2)=-4k+8≥0，解得k≤2。综上k≤2且k≠1。 15. 解：a=1，b=-√2，c=-1，Δ=2+4=6>0，x=(√2±√6)/2，即x₁=(√2+√6)/2，x₂=(√2-√6)/2。 本次练习聚焦公式法核心知识点，重点巩固根的判别式的三种取值情况、求根公式的规范代入计算、含参数方程根的情况分析，覆盖基础计算与高频易错题型。公式法是解一元二次方程的通用方法，熟练掌握判别式应用与公式计算，可有效衔接后续根与系数的关系及方程实际应用题型，夯实一元二次方程知识体系。（字数：1215） 情境导入 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程.(难点) 2. 会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程. (重点) 3. 理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理. 学习目标 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ? 配方法能解所有的一元二次方程吗？ 解：方程整理得 配方得 开平方得 解得 情境导入 探究 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？ 我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题. 移项，得 二次项系数化为 1，得 探究新知 配方，得 即 探究新知 ① 因为 ，所以 . 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (1) 当 b2-4ac > 0 时， 由①得 方程有两个不相等的实数根 探究新知 ① 因为 ，所以 . 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (2) 当b2-4ac = 0 时， 由①可知，方程有两个相等的实数根. 探究新知 ① (3) 当 b2-4ac < 0 时， 由①得 而  取任何实数都不能使 成立，因此方程无实数根. 探究新知 可以发现，式子b2-4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b2-4ac. 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. 探究新知 利用根的判别式判断下列方程的根的情况. (1) 2x2-3x-=0； (2) 16x2-24x+9=0. 所以方程有两个不相等的实数根. 解：（1）因为a=2，b=-3，c=- 所以Δ=b2-4ac =(-3)2-4×2×(﹣) =21>0. 解：（2）因为a=16，b=-24，c=9 所以Δ=b2-4ac =(-24)2-4×16×9 =0. 所以方程有两个相等的实数根. 例1 探究新知 1.一元二次方程3x2－2x－4＝0根的判别式的值为( 　) A. －44 B. 16 C. 52 D. 56 C 2.方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是(　B　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一个根为0 B 举一反三 当Δ≥0时，方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的实数根可写为 x 的形式， 这个式子叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式. 探究新知 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 探究新知 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0). 二定：确定a,b,c的值，不要漏掉符号. 三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况 四求： 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. 用公式法解一元二次方程的步骤 探究新知 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(1)因为a=1，b=﹣4，c=-7， 所以△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0， 方程有两个不相等的实数根x===2. 即 探究新知 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(2) 因为 ， 所以， 方程有两个相等的实数根 探究新知 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(3) 方程化为 ，此时 ， 所以 = (-4)2-4×5×(-1) =36>0. 方程有两个不相等的实数根x===. 即 探究新知 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(4) 方程化为 ， 此时a=1，b=-8，c=17， 所以 (-8)2-4×1×17=-4＜0. 方程无实数根. 探究新知 3.若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有实 数根，则k的取值范围是 ⁠. 4. [教材变式]用公式法解下列方程： k≥－1　 (1)x2－5x－6＝0； 书写通关 解：a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠. ∵Δ＝ ＞0， ∴x＝ ⁠， 即x1＝ ，x2＝ ⁠. 1　 －5　 －6　 (－5)2－4×1×(－6)＝49　 　 6　 －1　 举一反三 (2)x2－3x＋4＝0； 解：x1＝2，x2＝. (3)2y2＋4y＝y＋2； 易错通关：先化为一般式，再确定a， b，c的值，注意其符号. 解：y1＝，y2＝－2. (4)4x(x－1)＝－3. 解：无实数根. 解：x1＝2，x2＝. b，c的值，注意其符号. 解：y1＝，y2＝－2. 解：无实数根. 举一反三 1. 返回 [石家庄期中]一元二次方程x2－4x＋3＝0的根的判别式的值是(　　) A．28 B．4 C．25 D．16 B 考试考法 21 返回 2. 关于x的方程x2＋mx＝3的根的判别式的值是(　　) A．m2－12 B．m2＋12 C．m2－3 D．m2＋3 B 考试考法 返回 3. [扬州中考]关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结论正确的是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 A 考试考法 返回 4. [上海中考]以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　) A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0 C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0 D 考试考法 [教材P17习题T4变式]不解方程，判断下列方程的根的情况： 返回 5. 考试考法 解：方程整理得3x2－8x－1＝0， 则a＝3，b＝－8，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×3×(－1)＝64＋12＝76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)8x＝3x2－1； 返回 考试考法 返回 考试考法 (4)5x2＋5x＝4x2－10. 解：方程整理得x2＋5x＋10＝0， 则a＝1，b＝5，c＝10， ∴Δ＝b2－4ac＝52－4×1×10＝－15＜0， ∴方程无实数根． 返回 考试考法 用公式法解方程x2－2＝－3x时，a，b，c的值依次是(　　) A．0，－2，－3 B．1，3，－2 C．1，－3，－2 D．1，－2，－3 返回 6. B 考试考法 返回 7. [邢台襄都区期中]若某一元二次方程的根为x＝ ，则该一元二次方程可以为(　　) A．2x2＋3x＋1＝0 B．2x2－3x＋1＝0 C．2x2－3x－1＝0 D．2x2＋3x－1＝0 A 考试考法 返回 8. 用公式法解方程：2x2＋4x＝x＋2. 解：方程化为一般形式，得______________． a＝________，b＝________，c＝________． Δ＝b2－4ac＝________． 方程有________________实数根， 为x＝ ＝________＝________， 即x1＝________，x2＝________． 2x2＋3x－2＝0 2 3 －2 25>0 两个不相等的 －2 考试考法 公式法解一元二次方程 根的判别式 步骤 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式△=b2-4ac，求根公式 x （b2-4ac≥0） 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 . 二定：确定a,b,c的值，不要漏掉符号. 三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况. 四求： 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 解：∵a＝1，b＝－1，c＝， ∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝1－1＝0， ∴方程有两个相等的实数根． (1)x2－x＋＝0; (3)x2－2 x＋4＝0; 解：∵a＝1，b＝－2 ，c＝4， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2 )2－4×1×4＝－4＜0， ∴方程无实数根． $