25.2.3 因式分解法 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过“抛学士帽何时落下”的生活情境导入，结合物理竖直上抛问题引例，先复习配方法、公式法，再对比引出因式分解法，搭建从已知到未知的学习支架。 其特色在于以数学眼光观察现实问题，用物理情境抽象方程模型，通过解法对比培养数学思维，归纳“右化零 左分解 两因式 各求解”歌诀强化数学语言表达。设置易错题辨析和解法选择指导，助力学生提升运算能力与推理意识，也为教师提供清晰教学路径和多样化练习资源。

25.2 降次———解一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版九年级上册 我们经常看到大学毕业的学生，穿着学士服，将学士帽高高抛起的样子，那么抛起的学士帽什么时候落下，什么时候抬头接才不会被砸到呢？ 情境导入 引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10x−4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)? 分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m ，即 10x−4.9x2 =0 ① 探究点1：因式分解法解一元二次方程 新知探究 解： 解： ∵ a=4.9,b=−10,c=0. ∴ b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0 =100. 公式法解方程10x−4.9x2=0. 配方法解方程10x−4.9x2=0. 方程可化为4.9x2−10x=0. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 新知探究 因式分解 如果a · b = 0， 那么 a = 0或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10x−4.9x2 =0 ① x(10−4.9x) =0 x =0 10−4.9x=0 ② 探究点1：因式分解法解一元二次方程 新知探究 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 因式分解法的概念： 因式分解法的基本步骤： 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 探究点1：因式分解法解一元二次方程 【归纳总结】 新知探究 试一试：下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x−2)=0； (1) x1=0，x2=2； (2) (y+2)(y−3)=0； (2) y1=−2，y2=3 ； (3) (3x+6)(2x−4)=0； (3) x1=−2，x2=2； (4) x2=x. (4) x1=0，x2=1. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 新知探究 例1 解下列方程： 解：(1)因式分解，得 于是得 x−2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=−1. (2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x−1 )=0. 于是得 2x＋1=0或2x−1=0, (x−2)(x＋1)=0. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 新知探究 练一练 解下列方程： (1)(x+1)2=5x+5； ∴x1=4，x2=−1． (2)x2−6x+9=(5−2x)2． 解：∵(x+1)2=5(x+1)， ∴(x+1)2-5(x+1)=0， 则(x+1)(x−4)=0， ∴x+1=0，或x−4=0， 解：方程整理得 (x−3)2−(5−2x)2=0，则 [(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0， ∴−x+2=0，或3x−8=0， x1=2，x2= . 探究点1：因式分解法解一元二次方程 新知探究 十字相乘法 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 整式的乘法 反过来，得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积 因式分解 如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 新知探究 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式 简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 试一试 解方程：x2+6x-7=0. 解：因式分解得 (x+7)(x−1)=0. ∴x+7=0,或x−1=0. ∴x1=−7,x2=1. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 新知探究 练一练 解下列方程： (1)x2−5x+6=0； 解：分解因式， 得(x−2)(x−3)=0， (3)(x+3)(x−1)=5； 解：整理得x2+2x−8=0， (4)2x2−7x+3=0. (2)x2+4x−5=0； 解：分解因式， 得(x+5)(x−1)=0， 解：分解因式， 得(2x−1)(x−3)=0， 解得x1=2，x2=3. 解得x1=−5，x2=1． 解得x1=−4，x2= 2. 分解因式， 得(x+4)(x−2)=0， 解得x1= ，x2=3. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 新知探究 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 即 3x − 5 = 0 或 x + 5 = 0. ∴ x 1= 0 , x2= 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x − 5) (x + 5) = 0. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 探究点2：选用适当的方法解方程 新知探究 (3) x2 − 12x = 4 ; (4) 3x2 = 4x + 1. 开平方，得 解得 x1= ， x2= 解：化为一般形式 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, 分析：二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快. 解：配方，得 x2 − 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x − 6)2 = 40. 分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. 探究点2：选用适当的方法解方程 新知探究 1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法； 2.若常数项为0( ax2+bx=0)，应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 解法选择基本思路： 探究点2：选用适当的方法解方程 新知探究 填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 x2 + px + q = 0 (p2− 4q ≥0) (x+m)2＝n (n ≥ 0) ax2 + bx +c = 0 (a≠0 ， b2−4ac≥0) (x + m) (x + n)＝0 探究点2：选用适当的方法解方程 新知探究 1. 将（2x－1）2＝10x－5转化为两个一元一次方程，这两个方程分别是（　C　） A. 2x－1＝0，2x＋1＝－5 B. 2x＋1＝5，2x－1＝0 C. 2x－1＝0，2x－1＝5 D. 2x＋1＝0，2x－1＝－5 2. 一元二次方程（x－2）（x＋7）＝0的根是 　x1＝2，x2＝－7　. C x1＝2，x2＝－7　 3. 解一元二次方程x2＋12x＋35＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程： 　x＋5＝0（或x＋7＝0）　. x＋5＝0（或x＋7＝0）　 随堂练习 4. （易错题）小敏与小霞两名同学解方程3（x－3）＝（x－3）2的过程如图所示. 小敏：两边同除以（x－3），得3＝x－3. ∴ x＝6. 小霞：移项，得3（x－3）－（x－3）2＝0. 提取公因式，得（x－3）（3－x－3）＝0. ∴ x－3＝0或3－x－3＝0. ∴ x1＝3，x2＝0. （第4题） 你认为她们的解法是否正确？请在下面对应同学后面的横线上填“对”或“错”： 小敏 　错　，小霞 　错　.若错误，请写出正确的解答过程. 解：移项，得3（x－3）－（x－3）2＝0.提取公因式，得（x－3）（3－x＋3）＝0.∴ x－3＝0或3－x＋3＝0.∴ x1＝3，x2＝6 错　 错　 5. 下列一元二次方程中，最适合用因式分解法来解的是（　B　） A. （x－2）（x＋5）＝2 B. 5x2－x＝0 C. x2＋5x－2＝0 D. 12（2－x）2＝3 6. [2024贵州]一元二次方程x2－2x＝0的根是（　B　） A. x1＝3，x2＝1 B. x1＝2，x2＝0 C. x1＝3，x2＝－2 D. x1＝－2，x2＝－1 B B 7. 若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ ax＋a2＝0的一个根，则a的值为（　B　） A. 1或4 B. －1或－4 C. －1或4 D. 1或－4 B 8. 教材变式题 用因式分解法解方程： （1） [2024齐齐哈尔]x2－5x＋6＝0； 解：x1＝2，x2＝3 （2） 5x（3x＋2）＝6x＋4. 解：x1＝－ ，x2＝ 9. 若二次三项式x2＋mx－n可以分解为（x＋3）（x－7），则关于x的方程－3x2－3mx＋3n＝0的两个根为（　D　） A. x1＝3，x2＝7 B. x1＝－3，x2＝－7 C. x1＝3，x2＝－7 D. x1＝－3，x2＝7 D 10. 一个直角三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15＝0的两根，则这个直角三角形的第三边长为 　 或4　. 11. 用适当的方法解下面的方程： （1） x2－3x－1＝0； 解：x1＝ ，x2＝ （2） 4x（x－1）＝6－6x. 解：x1＝－ ，x2＝1 或4　 12. 新考向 新定义题 若关于x的方程x2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“隔根方程”.例如：方程x2＋2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝－2，则方程x2＋2x＝0是“隔根方程”. （1） 方程x2－x－20＝0是“隔根方程”吗？请说明理由. 解：（1） 方程x2－x－20＝0不是“隔根方程”　理由：∵ 原方程可变形为（x－5）（x＋4）＝0，∴ x1＝5，x2＝－4.∵ 5＞－4，5－（－4）＝9≠2，∴ 方程x2－x－20＝0不是“隔根方程”. （2） 若关于x的方程x2＋（m－1）x－m＝0是“隔根方程”，求m的值. 解：（2） ∵ x2＋（m－1）x－m＝0，∴ （x＋m）（x－1）＝0.∴ x1＝－m，x2＝1.当－m＝1＋2时，解得m＝－3；当－m＋2＝1时，解得m＝1.综上所述，m的值为－3或1 微专题 用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 　　依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积和中央”（如图）对x2－7x－18分解因式. 　　所以x2－7x－18＝（x＋2）（x－9）. 我们把这种分解因式的方法叫作“十字相乘法”，用式子表示为x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）. 利用十字相乘法分解因式解方程： （1） 2x2＋x－6＝0； 解：原方程可化为（2x－3）（x＋2）＝0，解得x1＝－2，x2＝ （2） 4x2－8x－5＝0. 解：原方程可化为（2x－5）（2x＋1）＝0，解得x1＝ ，x2＝－ 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 原理 当右边=0时，将方程左边因式分解. 因式分解常见的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c)； a2±2ab+b2=(a±b)2； a2-b2=(a +b)(a -b). 课堂小结 $