25.2.3 因式分解法 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过复习直接开平方法、配方法、公式法及因式分解方法，结合物理上抛问题引导学生对比已有解法，自然衔接新知，构建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际问题驱动探究，体现用数学眼光观察现实世界，通过对比三种解法特点培养数学思维，设置错误辨析和菱形对角线等综合应用强化数学语言表达。采用问题链和对比总结法，帮助学生理解方法本质及选择策略，为教师提供系统教学资源和分层练习设计。

复习回顾 思考1：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 1.直接开平方法： x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0) 2.配方法： (x+n)2=p(p≥0) 3.公式法： x = （b2–4ac≥0） 思考2：因式分解的方法有哪些？ 1.提取公因式法： am+bm+cm=m(a+b+c) 2.公式法： a2–b2=(a+b)(a–b) a2±2ab+b2=(a±b)2 3.十字相乘法： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 人教版九年级上册 25.2 降次——解一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度（单位：m）约为 10x–5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m. 即 10x–5x2=0. 你能试着用学过的方法解这个方程吗？ 探索新知 配方法解方程 10x–5x2=0. 公式法解方程 10x–5x2=0. 解：移项，二次项系数化为1，得 x2–2x=0. 配方，得 x2–2x+12=12， (x–1)2=1. 由此可得 x–1=±1， x1= 0，x2= 2. 解：因为a= – 5，b=10，c=0， Δ=b2–4ac=102–4×(–5)×0=100>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = ， 即x1= 0，x2= 2. 除了配方法和公式法，你还能找到更简便的方法解这个方程吗？ 探索新知 10x–5x2=0. 因式分解 5x(2–x)=0. 降次，化为两个一次方程 x=0或2–x=0. 解方程 x1=0，x2=2. 如果 ab=0. 那么a=0，或b=0. 探索新知 通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式.再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 因式分解法的基本步骤 一移 方程的右边=0 方程的左边因式分解 二分 三化 方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 知识点1　因式分解法解一元二次方程 1.解方程：（x＋1）（x－3）＝0. 解：由已知，得x＋1＝0，或x－3＝0， 即x1＝－1，x2＝3. 解：由已知，得x＋1＝0，或x－3＝0， 即x1＝－1，x2＝3. 2.解方程：x（x－2）＝0. 解：由已知，得x＝0，或x－2＝0， 即x1＝0，x2＝2. 如果一元二次方程的形式为A•B＝0，那么A＝0，或B＝0. 解：由已知，得x＝0，或x－2＝0， 即x1＝0，x2＝2. 对应练习 例4 解下列方程： （1）x(x–2)+x–2 = 0； （2）5x2 –2x – = x2 –2x + . 解：左边分解因式，得 (x–2)(x+1)=0. 于是 x – 2=0，或 x+1=0， 即 x1=2，x2= – 1. 解：移项、合并同类项，得 4x2–1=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(2x–1)=0. 于是 2x+1=0，或2x–1=0， 即 x1= – ，x2= . 例题解析 1.解方程：9x2－25＝0. 解：左边分解因式，得（3x＋5）（3x－5）＝0. ∴3x＋5＝0，或3x－5＝0， 即x1＝－ ，x2＝ . 解：左边分解因式，得（3x＋5）（3x－5）＝0. ∴3x＋5＝0，或3x－5＝0， 即x1＝－ ，x2＝ . 对应练习 3x2－6x＝－3. （4）移项，得3x2－6x＋3＝0. 二次项系数化为1，得x2－2x＋1＝0. 左边分解因式，得（x－1）2＝0. ∴x－1＝0， 即x1＝x2＝1. 解：移项，得3x2－6x＋3＝0. 二次项系数化为1，得x2－2x＋1＝0. 左边分解因式，得（x－1）2＝0. ∴x－1＝0， 即x1＝x2＝1. 2. 解方程： 对应练习 A层 基础 思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 配方法 配方 所有的一元二次方程 配方 当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可以优先用此法 公式法 求根公式 所有的一元二次方程 确定a，b，c的值，代入求根公式 计算量大，易出现符号错误 因式分解法 若 ab=0. 则 a=0，或 b=0. 能化为一边为0，另一边为两个一次式的乘积的方程 因式分解 适用范围较小，对缺少一次项ax2+c=0或缺少常数项ax2+bx=0的一元二次方程求解 知识点2　选择适当的方法解一元二次方程 我们学习了一元二次方程的解法：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.认真观察下列几个方程，选出较为合适的方法.(填序号) (1)x2＋8x＝3，应选用　　较为合适；  (2)3(x－2)(x＋1)＝(x－2)(x＋3)，应选用　　较为合适；  (3)3x2－x－1＝0，应选用　　较为合适.  ② ④ ③ 对应练习 因式分解法 解一元二次方程 概念 将方程左边因式分解，右边=0. 依据 如果ab=0，那么a=0，或b=0. 步骤 一移，二分，三化，四解. 课堂小结 1. 已知方程3x2＋4x＝0，下列说法正确的是(　C　) C 课堂练习 A层 基础练 2. 方程x(x＋3)＝0的根是 ⁠. x1＝0，x2＝－3　 A层 基础练 3. 解下列方程： (1)x(x＋3)＝2(x＋3)； 解：(1)移项，得x(x＋3)－2(x＋3)＝0. 左边分解因式，得(x＋3)(x－2)＝0. ∴x＋3＝0，或x－2＝0， 即x1＝－3，x2＝2. 解：(1)移项，得x(x＋3)－2(x＋3)＝0. 左边分解因式，得(x＋3)(x－2)＝0. ∴x＋3＝0，或x－2＝0， 即x1＝－3，x2＝2. (2)4x2－121＝0. (2)左边分解因式，得(2x＋11)(2x－11)＝0. ∴2x＋11＝0，或2x－11＝0， 即x1＝－ ，x2＝ . (2)左边分解因式，得(2x＋11)(2x－11)＝0. ∴2x＋11＝0，或2x－11＝0， 即x1＝－ ，x2＝ . A层 基础练 4. 在解一元二次方程(5x－3)2＝5x－3时，小王的解答如下： 解：方程两边同时除以5x－3，得5x－3＝1. 移项，得5x＝4. 解得x＝ . 小王的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过 程. 解：小王的解答过程不正确.正确的解答过程如下： 移项，得(5x－3)2－(5x－3)＝0. 左边分解因式，得(5x－3－1)(5x－3)＝0， 即(5x－4)(5x－3)＝0. ∴5x－4＝0，或5x－3＝0，即x1＝ ，x2＝ . A层 基础练 5. 解下列方程： (1)(x＋4)2－6(x＋4)＋9＝0； 解：(1)左边分解因式，得(x＋4－3)2＝0， 即(x＋1)2＝0. ∴x＋1＝0， 即x1＝x2＝－1. 解：(1)左边分解因式，得(x＋4－3)2＝0， 即(x＋1)2＝0. ∴x＋1＝0， 即x1＝x2＝－1. B层 提升练 (2)(x－4)2＝(5－2x)2. (2)移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0. 左边分解因式，得(x－4＋5－2x)(x－4－5＋2x)＝0， 即(1－x)(3x－9)＝0. ∴1－x＝0，或3x－9＝0， 即x1＝1，x2＝3. (2)移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0. 左边分解因式，得(x－4＋5－2x)(x－4－5＋2x)＝0， 即(1－x)(3x－9)＝0. ∴1－x＝0，或3x－9＝0， 即x1＝1，x2＝3. 5. 解下列方程： B层 提升练 6.已知菱形的两条对角线长是一元二次方程(x－2)(x－3)＝ 4－2x的两个根，则此菱形的边长是( ) A. B. C. D. C 7.[基本思想—整体思想]已知ab≠0，且a2－3ab－4b2＝0，则的值为　 　.  －1或4 8. (核心素养·创新意识)若x＝m时，代数式ax2＋bx＋c的值 也为m，则称m是这个代数式的“x优值”.例如，当x＝0 时，代数式x2－x的值为0；当x＝2时，代数式x2－x的值为 2，所以0和2都是x2－x的“x优值”. (1)x＝1 (填“是”或“不是”)代数式x2的“x优值”； 是　 C层 拓展练 8. (核心素养·创新意识)若x＝m时，代数式ax2＋bx＋c的值 也为m，则称m是这个代数式的“x优值”.例如，当x＝0 时，代数式x2－x的值为0；当x＝2时，代数式x2－x的值为 2，所以0和2都是x2－x的“x优值”. (2)判断代数式x2－x＋n2＋2是否存在“x优值”，并说明理 由； 解：(2)不存在“x优值”.理由如下： 假设存在“x优值”为x，则有x2－x＋n2＋2＝x. 整理，得x2－2x＋n2＋2＝0. ∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4(n2＋2)＝－4n2－4. ∵无论n取何值，－4n2－4＜0， ∴方程无实数根，即代数式x2－x＋n2＋2不存在“x优值”. C层 拓展练 (3)代数式x2－n2＋n存在两个“x优值”且差为5，求n的值. (3)设“x优值”为x，则有x2－n2＋n＝x. 整理，得(x－n)(x＋n)－(x－n)＝0. ∴(x－n)(x＋n－1)＝0. ∴x－n＝0，或x＋n－1＝0， 即x1＝n，x2＝1－n. ∵两个“x优值”差为5， ∴n＝3或n＝－2. (3)设“x优值”为x，则有x2－n2＋n＝x. 整理，得(x－n)(x＋n)－(x－n)＝0. ∴(x－n)(x＋n－1)＝0. ∴x－n＝0，或x＋n－1＝0，即x1＝n，x2＝1－n. ∵两个“x优值”差为5， ∴n－(1－n)＝5或(1－n)－n＝5. ∴n＝3或n＝－2. 8. (核心素养·创新意识)若x＝m时，代数式ax2＋bx＋c的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”.例如，当x＝0时，代数式x2－x的值为0；当x＝2时，代数式x2－x的值为2，所以0和2都是x2－x的“x优值”. C层 拓展练 $