25.2.1 配方法 第2课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过回顾直接开平方法和完全平方公式导入，以“方程能否直接开平方”的问题引导学生思考转化，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解配方的核心思路。 其亮点在于采用探究式教学，通过“试一试”“想一想”等活动结合分层例题（含二次项系数为1、不为1及无实根情况），培养学生的数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型意识）。如例2证明多项式恒正、例3结合三角形边长配方，既深化方法理解又拓展应用，学生能提升解题能力，教师可借助系统流程高效教学。

25.2 降次———解一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 第2课时 配方法 人教版九年级上册 (1) 9x2=1 ； (2) (x－2)2=2. 1.用直接开平方法解下列方程. 2.你还记得完全平方公式吗？填一填： (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a−b 解： 解： 回顾导入 3.下列方程能用直接开平方法来解吗? (1) x2+6x+9 =5； (2)x2+4x+1=0. 转化成(x+3)2=5的形式，再利用开平方 回顾导入 解：方程变形为(x+3)2=5， 试一试 解方程： x2+6x+9 =5. 开平方，得 解得 将方程左边因式分解，配成完全平方式 用开平方法解方程 如何配方呢？ 探究点：用配方法解方程 新知探究 填上适当的数或式，使下列各等式成立. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2 − 6x+ = ( x − )2 （3）x2+8x+ = ( x+ )2 （4） x2 − x+ = ( x − )2 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 探究点：用配方法解方程 新知探究 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 填一填： x2+px+( )2=(x+ )2 配方的方法： 探究点：用配方法解方程 新知探究 想一想 怎样解方程: x2+4x+1=0 (1) 问题1 方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？ 解： x2+4x+1=0 x2+4x=−1 移项 x2+4x+4=−1+4 两边都加上4 为什么在方程x2+4x=−1的两边加上4？加其他的数，行吗？ ( x+2)2=3 左边写成完全平方形式 探究点：用配方法解方程 新知探究 像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法的定义： 配方法解方程的基本思路： 把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 探究点：用配方法解方程 【知识要点】 新知探究 8 例1 解下列方程： 分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法. (2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程. (3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方. 探究点：用配方法解方程 新知探究 解：移项，得 配方，得 由此可得 即 探究点：用配方法解方程 新知探究 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2 − 3x= −1， 即 移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢? 探究点：用配方法解方程 新知探究 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为1，得 为什么方程两边都加12？ 即 探究点：用配方法解方程 新知探究 12 练一练 解下列方程： (1)x2+8x+4=0； (2)4x2+8x=-4； (3)－2x2+6x－8=0. 解：移项，得x2+8x=－4. 配方，得(x+4)2=12. 开平方，得 解得 解：整理得x2+2x+1=0. 配方，得(x+1)2=0. 开平方，得x+1=0. 解得x1=x2=−1. 解：整理得x2 − 3x= −4. 配方，得 所以原方程无实数根. 探究点：用配方法解方程 新知探究 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. （Ⅱ） ①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根 ②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根 x1=x2=-n. ③当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 探究点：用配方法解方程 【归纳总结】 新知探究 思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项时需注意改变符号. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程. 探究点：用配方法解方程 新知探究 例2 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2 −4k＋5=k2−4k＋4＋1 =(k−2)2＋1 因为(k −2)2≥0，所以(k−2)2＋1≥1. 所以k2 −4k＋5的值必定大于零. 探究点：用配方法解方程 新知探究 应用配方法求最值. (1) 2x2 − 4x+5的最小值； (2)−3x2 + 6x−7的最大值. 解：原式 = 2(x −1)2 +3 当x =1时，有最小值3. 解：原式= −3(x − 1)2 －4 当x =1时，有最大值− 4. 方法指导：含有二项式的代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，都要想到运用配方法，将含字母部分配成 a(x+m)2+n 的形式来解决. 探究点：用配方法解方程 新知探究 例3 若a，b，c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为直角三角形. 探究点：用配方法解方程 新知探究 配方法的应用 类别 解题策略 2.求最值或 证明代数式 的值恒为正 （或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 1.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2−4b＋4=0，则a2＋(b−2)2=0，即a=0，b=2. 探究点：用配方法解方程 【归纳总结】 新知探究 19 1. 若x2＋（m－3）x＋4是一个完全平方式，则常数m 的值为（　　） A. 1或5 B. 7或－1 C. 5 D. 7 B 随堂练习 2. 把多项式x2－3x＋4进行配方，结果是（　B　） A. ＋ B. ＋ C. ＋ D. ＋ B 3. 教材变式题 填空： （1） x2＋16x＋ 　64　＝（x＋ 　8　）2； （2） x2－14x＋ 　49　＝（x－ 　7　）2. 64　 8　 49　 7　 4. 用配方法解一元二次方程x2－2x－2025＝0，将它转化为 （x＋a）2＝b的形式，则ab的值为（　D　） A. －2026 B. 2026 C. －1 D. 1 5. 将一元二次方程x2－4x＋3＝0变形为（x－2）2＝k，则k的值为 　1　. D 1　 （1） x2－6x＋5＝0； 解：x1＝1，x2＝5 （2） x2＋3x＝－1. 解：x1＝－ ＋ ，x2＝－ － 6. 教材变式题 用配方法解下面的方程： 7. 用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，变形正确的是 （　A　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ A 8. （易错题）阅读下面的解答过程，在横线上填入恰当的内容. 解方程：2x2＋8x－18＝0. 解：移项，得2x2＋8x＝18①. 两边同时除以2，得x2＋4x＝9②. 配方，得x2＋4x＋4＝9③， 即（x＋2）2＝9. ∴ x＋2＝±3④. ∴ x1＝－5，x2＝1⑤. 上述过程中开始出现错误的步骤是 　③　（填序号），原因是 　配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加　. 请写出正确的解答过程. 解：移项，得2x2＋8x＝18.两边同时除以2，得x2＋4x＝9.配方，得x2＋4x＋4＝9＋4.∴ （x＋2）2＝13.∴ x＋2＝± .∴ x1＝－2＋ ，x2＝－2－ ③　 配 方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记 加　 9. 教材变式题 用配方法解下面的方程： （1） 2x2－4x＝－1； 解：x1＝ ，x2＝ （2） 3x2＋3x－5＝0. 解：x1＝ ，x2＝ 10. 通过配方法可以把关于x的一元二次方程x2－10x＋k＝0化成（x＋m）2＝n（n≥0）的形式，则k的值不可能是（　D　） A. 9 B. 20 C. 25 D. 26 11. 通过配方使下面的等式成立： （1） 2x2－6x＋ 　 　＝2（x－ 　 　）2； （2） x2＋4x＋ 　12　＝ （x＋ 　6　）2. D 　 　 12　 6　 12. 若方程x2＋8x＋3＝0能变形成（x＋p）2＋q＝0的形式，则直线y＝px＋q不经过第 　二　象限. 13. 教材变式题 用配方法解方程： （1） x（x＋9）＝4x－1； 解：x1＝－ ＋ ，x2＝－ － （2） 3（x－1）（x＋2）＝9x－4. 解：x1＝1＋ ，x2＝1－ 二　 14. 对于二次三项式x2－10x＋36，小聪得出如下结论：无论x取何实数，这个二次三项式的值都不可能等于11.你是否同意小聪的说法？请说明理由. 解：不同意　理由：∵ x2－10x＋36＝x2－10x＋25＋11＝（x－5）2＋11，∴ 当x＝5时，x2－10x＋36＝11.∴ 不同意小聪的说法. 微专题 用配方法求代数式的取值范围（最值） 【例】 （1） 设x是实数，求x2＋4x＋8的取值范围. （2） 当x取何值时，多项式－x2－2x－5有最大值？最大值是多少？ 解：（1） x2＋4x＋8＝（x＋2）2＋4，∵ x是实数，∴ （x＋2）2 ≥0.∴ （x＋2）2＋4≥4，即x2＋4x＋8的取值范围是不小于4的一切实数. （2） －x2－2x－5＝－（x＋1）2－4，∵ －（x＋1）2≤0，∴ －（x＋1）2－4≤－4.∴ 当x＝－1时，－x2－2x－5有最大值，最大值是－4. 【方法归纳】 用配方法求代数式的取值范围（最值）时，需要把代数式配方成a（x＋h）2＋k（a≠0）的形式.当a＞0，x＝－h时，该式有最小值k；当a＜0，x＝－h时，该式有最大值k. 【同步演练】 1. 当x取何值时，多项式2x2－4x＋7有最小值？最小值是多少？ 解：∵ 2x2－4x＋7＝2（x－1）2＋5≥5，∴ 当x＝1时，2x2－4x＋7有最小值，最小值是5 2. 已知a，b为实数，求代数式a2＋b2－4a－2b＋6的取值范围. 解：a2＋b2－4a－2b＋6＝a2－4a＋4＋b2－2b＋1＋1＝（a－2）2＋（b－1）2＋1.∵ （a－2）2≥0，（b－1）2≥0，∴ （a－2）2＋（b－1）2＋1≥1. ∴ 代数式a2＋b2－4a－2b＋6的取值范围是不小于1的实数 配方法 定义 通过配成完全平方的形式解一元二次方程的方法. 步骤 一.移常数项； 二.配方[配上 ]； 三.写成（x+n)2=p (p ≥0); 四.直接开平方法解方程. 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 课堂小结 $