第13章 三角形相关的角和长几何求解综合训练 2026-2027学年 人教版数学八年级上册

**基本信息** 以三角形几何模型为核心，通过导角与线段求长分层训练，结合新定义题型培养知识迁移与模型应用能力，逻辑递进且注重核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题组A|选择+填空+解答（折叠导角、多边形内角和）|导角模型应用（内角和、外角性质）|从基础导角概念到复杂图形转化，培养几何直观| |题组B|选择+填空（中点、角平分线综合求长）|线段性质综合（中线、中位线等）|从单一性质到多性质结合，发展推理能力| |章节特色|新定义解答（“8字形”模型）|新定义知识迁移|从模型理解到变式应用，强化模型意识|

初中数学几何模型研究大讲堂 章末诊断3：跟踪复习 复习目录： 1.复习总结； 2.跟踪训练（导角复习难度较易，三角形线段求长复习难度中偏上）； 3.章节特色（新定义，选取八上导角题型）。 PART 1——复习总结. 本章我们主要对三角形中的模型进行了学习，题组A针对八上的三角形导角模型进行复习，在一些证明求解题发挥了很大作用，题组B针对中线、角平分线、垂直平分线、中位线的几何复杂问题进行拔高，题组A也可供八上学习的同学练习.接下来，我们将展开题组训练. PART 2——跟踪训练. 题组A 一.选择题。 1.（2024·江苏盐城练习）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 二.填空题。 2.（2024·河北唐山校级月考）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________． 3.（2025·四川内江期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__． 三.解答题。 4.（2025·重庆两江新区校级作业）已知：四边形中，，，D为射线上一动点，连接，交直线于点M，作的角平分线与的角平分线所在直线交于点N． (1)如图1，当D在线段上时，小芳将和的部分对应角度记录如下表：           ①请将上表补全； ②猜想和的数量关系，并说明理由． (2)当D点在延长线上运动时，在图2和图3中补全图形；分别写出和的数量关系． 题组B 一.选择题。 1.（2026·重庆南开期末）如图，在中，点D在线段上且，E为的中点，与相交于点O，若四边形的面积是，则的面积是（     ） A． B．5 C． D．6 2.（2026·陕西咸阳校级期末）如图，D，E是的边，上的点，连接，F，G，H分别是的中点，连接，若，，，则的长为（     ） A．7 B．6 C． D．5 二.填空题。 3.（2026·天津南开期末）如图，在中，，，点，点分别在边，上，且，，，分别为线段，，的中点． （1）的大小为________（度）； （2）过作交于点，若，则的长为________． 4.（2026·四川达州校级期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 5.（2026·山东青岛期末）如图，在中，，，平分，交于点，为的中点，，交于点，若，则的长为__________． 6.（2026·重庆八中期末）在中，，，，分别是线段，上一点，且满足，，．若，，则______． 7.（2026·湖北武汉期末）如图，中，，，，点，分别在，上，且，若，则的长是__________． PART 3——章节特色. 本章新考法主要是给出新定义，读懂题意并运用所学知识回答即可，一般最后1小问会给出变化加大难度，考察学生的知识迁移及运用能力. 考向1：运用数学模型 1.（2025·甘肃张掖校级月考）如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题． (1)如图1，试说明：． (2)如图2，若，，求的度数． (3)在图2中，若，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学几何模型研究大讲堂 章末诊断3：跟踪复习 复习目录： 1.复习总结； 2.跟踪训练（导角复习难度较易，三角形线段求长复习难度中偏上）； 3.章节特色（新定义，选取八上导角题型）。 PART 1——复习总结. 本章我们主要对三角形中的模型进行了学习，题组A针对八上的三角形导角模型进行复习，在一些证明求解题发挥了很大作用，题组B针对中线、角平分线、垂直平分线、中位线的几何复杂问题进行拔高，题组A也可供八上学习的同学练习.接下来，我们将展开题组训练. PART 4——答案详解. 题组A 一.选择题。 1.（2024·江苏盐城练习）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得： ， ∴， ∵， ∴， 即． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键． 二.填空题。 2.（2024·河北唐山校级月考）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 3.（2025·四川内江期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__． 【答案】1080° 【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数． 【详解】解：连KF，GI，如图， ∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°． 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°． 故答案为：1080°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 三.解答题。 4.（2025·重庆两江新区校级作业）已知：四边形中，，，D为射线上一动点，连接，交直线于点M，作的角平分线与的角平分线所在直线交于点N． (1)如图1，当D在线段上时，小芳将和的部分对应角度记录如下表：           ①请将上表补全； ②猜想和的数量关系，并说明理由． (2)当D点在延长线上运动时，在图2和图3中补全图形；分别写出和的数量关系． 【答案】(1)①见表格；② (2)如图2：；如图3： 【分析】（1）①根据表中数据变化规律可得结论； ②利用平行线的性质和角平分线的定义求解即可； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①根据表格数据，每增加，减少， ∴当时，， 当时，， 补全表格如下表：           ②猜想：． 理由：如图1，过N作，则， ∴，， ∴， 同理，， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：如图2，过N作，则， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 如图3：过N作，则， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． 题组B 一.选择题。 1.（2026·重庆南开期末）如图，在中，点D在线段上且，E为的中点，与相交于点O，若四边形的面积是，则的面积是（     ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】如图：连接，设，，，，利用等高三角形面积比等于底边比及中线性质建立方程求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴，，， ∵E为的中点， ∴设， ∴，解得：， ∵， ∴， ，解得：， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 2.（2026·陕西咸阳校级期末）如图，D，E是的边，上的点，连接，F，G，H分别是的中点，连接，若，，，则的长为（     ） A．7 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理，得，，再利用勾股定理求解即可； 【详解】解：F，G，H分别是的中点，，， ，， ， . 二.填空题。 3.（2026·天津南开期末）如图，在中，，，点，点分别在边，上，且，，，分别为线段，，的中点． （1）的大小为________（度）； （2）过作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】（1）利用三角形中位线定理，得到与、与的位置和数量关系，结合已知，判断的形状，由中位线的平行关系，将转化为中与相关的角，结合得到的度数，进而推导的大小； （2）结合中位线性质推导与的夹角，再由得到的度数，在中利用角的性质和已知长度，结合是中点的条件，计算的长度． 【详解】（1）∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴，且； ， ∵是中点，是中点， ∴同理，且， ， ∵， ∴，。 又∵，， ， ，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）过作于， ∵在中，，， ， 由（1）中，， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ∵， ∴， ∴ 在中，，， ∴， 又∵是中点， ∴． 4.（2026·四川达州校级期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【答案】3.9 【分析】由D是中点且，得是的垂直平分线，所以．由，结合邻补角关系，推出E在的外角平分线上，所以E到的距离与E到的距离相等．过E作延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得，再证明，得到对应边相等．根据的长度，结合线段和差关系列等式，求解的长度． 【详解】连接， ∵是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴ ． 过作，交的延长线于． ∵，且， ∴， 即平分． 又，， ∴，且． 在和中，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴，代入，得． 5.（2026·山东青岛期末）如图，在中，，，平分，交于点，为的中点，，交于点，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，则可得为等腰直角三角形，题目即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平分，，， ，， ，为的中点， 是的垂直平分线， ，， ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， ∴． 6.（2026·重庆八中期末）在中，，，，分别是线段，上一点，且满足，，．若，，则______． 【答案】 【分析】作的垂直平分线交于点，连接，过作于点，则，证明，所以，，设，则，，又，即，解得，所以，，通过直角三角形性质可得，最后通过即可求解． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，过作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 7.（2026·湖北武汉期末）如图，中，，，，点，分别在，上，且，若，则的长是__________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，延长分别至点，使得，则是的中位线，然后根据直角三角形性质以及勾股定理求解，，设，再证明得到，即可求解，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点，延长分别至点，使得 ∴，， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ 设，则， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． PART 3——章节特色. 本章新考法主要是给出新定义，读懂题意并运用所学知识回答即可，一般最后1小问会给出变化加大难度，考察学生的知识迁移及运用能力. 考向1：运用数学模型 1.（2025·甘肃张掖校级月考）如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题． (1)如图1，试说明：． (2)如图2，若，，求的度数． (3)在图2中，若，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) 证明：∵， 又∵， ∴； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论； （2）由（1）可得， ，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案； （3）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，①， ②， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①+②，得， 即， 又∵，， ∴， ∴； （3）解：由（1）得①， ② ， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由，得， ∵，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $