考点02 三角形内切圆4考点5题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“定义-性质-公式-应用”为逻辑主线，构建“概念辨析-角度计算-半径求解-切线长应用-综合压轴”五级题型体系，提炼“模型套用+公式分类+构造转化”解题方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心基础考点|3考点+4变式|性质口诀化（内心在内部，到三边等距）|从定义（内切圆/内心）到性质（位置/距离/角平分线），形成概念认知链| |内切圆半径公式|3公式+5典例|公式分类化（通用/直角/等边）|通过面积法推导通用公式，特殊三角形简化公式，体现从一般到特殊| |切线长定理拓展|2结论+4解答题|解题步骤化（设元+半周长公式）|基于切线长定理，构建线段关系方程，培养模型意识| |内心外心对比|1表格+4辨析题|对比结构化（交点/距离/位置）|通过表格明晰易混概念，强化空间观念| |综合压轴题|5题型+14变式|构造转化法（连内心顶点/切点）|融合圆的性质与内心性质，提升综合推理能力|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点02三角形内切圆 内切圆：与三角形三边都相切的圆 基木概念 内心：内切圆圆心，三亲内角平分线交点 外切三角形：有内切圆的三角形 重要结论：一个三角形有且只有1个内切圆；一个圆有无数个外切三角形 位置：永远在三角形内部（锐角/直角/钝角都成立） 内心核心性质 距离：内心到三边距离相等，距离=内切圆半径 角度：内心与顶点连线，平分对应内角 任意三角形通用半径公式（万能公式） r25 atb+c 内切圆半径公式 直角三角形专属简化公式（秒杀公式） r=atb-c 2 等边三角形专属公式 r 三角形内切圆 交点：角平分线交点 内心（内切圆） 相等量：到三边距离相等 位置：恒在三角形内部 内心vs外心（易混对比） 交点：三边垂直平分线较点 外心（外接圆） 相等量：到三顶点距离相等（外接半径R) 位置：锐角内、直角斜边中点、钝角外部 特例：等边三角形：内心、外心、重心、垂心四心重合 X混淆内心、外心；分清“接”（顶点在圆上）、“切”（边与圆相切） ×乱用半径公式，通用公式不要忘记2倍面积 易错辨析 义误以为内心会跑到三角形外部；内心永远在内 义概念写错：外切三角形≠外接三角形 考点查缺 精准补渴 考点一：核心基础考点 1.基本定义 ()三角形内切圆：与三角形三条边都相切的唯一圆。 (2)三角形内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条内角平分线的交点。 (3)外切三角形：存在内切圆的三角形，任意三角形有且仅有一个内切圆。 2.内心核心性质（必考) 1/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①内心在三角形内部（锐角、直角、钝角三角形均成立）； ②内心到三角形三边的距离相等，距离长度等于内切圆半径； ③内心与三角形顶点的连线，平分对应内角。 3.内心角度万能公式（选择填空高频） 在△ABC中，点I为内心，则：∠BIC=90+ 2<A 逆推公式：∠A=2(∠BIC-90°)】 推导原理：由角平分线定义，结合三角形内角和180°化简可得，为固定几何模型，可直接秒杀做题。 考点二：内切圆半径三大核心公式 设：三角形三边长为a,b,c,面积为S,周长L=a+b+c 1任意三角形通用半径公式（万能公式）：r=,2S a+b+c 原理：连接内心与三顶点，将原三角形拆分为三个等高小三角形，面积求和推导得出，适用于所有三角形。 2.直角三角形专属简化公式（秒杀公式） Rt△ABC中，直角边a、b,斜边c,则：r=a+b-C 2 重点提醒：该公式仅直角三角形可用，普通三角形禁止套用。 3.等边三角形专属公式 3 等边三角形边长为a,则内切圆半径：r= a 6 考点三：切线长定理拓展（解答题核心) 1.切点线段结论 设△ABC内切圆与三边切点分别为D、E、F,则从同一顶点引出的两条切线长相等 AD=AF=s-a,BD=BE=s-b,CE=CF=s-c 其中s=Q+b+c 2 为三角形半周长。 2.圆外切四边形性质 对边和相等：AB+CD=AD+BC 2/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点四：内心与外心对比（易错辨析） 对比项目 内心（内切圆圆心） 外心（外接圆圆心）》 交点来源 三条内角平分线交点 三边垂直平分线交点 相等距离 到三边距离相等（半径r） 到三顶点距离相等（半径R) 位置特点 始终在三角形内部 锐角△内、直角△中点、钝角△外 核心公式 2BC-90+吃4N ∠BOC=2∠A 题型突破通法镂耀 题型一：概念辨析题（选择） 点方法 1.切边为内切、接顶点为外接； 2.内心管角平分线、管边长距离；外心管垂直平分线、管顶点距离； 3.所有三角形内心均在内部，无例外。 【典例1】(25-26九年级上宁夏吴忠期末)三角形内切圆的圆心为() A.三条高的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：·三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又：角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点 【变式1-1】己知⊙0为△ABC的内切圆，则点0是△ABC的() A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 【答案】D 3/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，OO是△ABC的内切圆， ∴点O是△ABC的内心，即三条角平分线的交点， 【变式1-2】(25-26九年级上·安徽准南·期末)下列说法正确的是() A.三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B.三角形的外心是三个内角平分线的交点 C.等腰直角三角形的内心与外心重合 D.等边三角形的内心与外心重合 【答案】D 【详解】解：，三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点 .A选项说法错误，B选项说法错误； :等腰直角三角形的外心在斜边中点处，内心在三角形内部，二者不重合 ∴C选项说法错误； :等边三角形的内角平分线与三边垂直平分线重合，其内心与外心为同一点. ∴D选项说法正确. 故选：D 【变式1-3】(2026河南商丘模拟预测)三角形有“四心”一一内心，外心，重心，垂心（三条高线所在 直线的交点)·任意一个三角形的 心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有()种， A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部： 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部： 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点， 因此外心不满足条件： 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因 此垂心不满足条件。 综上所述，满足条件的心共有2种， 题型二：角度计算题（填空必考) 点方法 直接套用固定模型： 已知顶角求内心夹角∠B1C=90+号<A 4/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2-1】(25-26九年级上山西太原阶段检测)如图，点O为△ABC的内心，∠A=60°，则∠B0C的 度数是」 A 【答案】120 【详解】解：，∠A=60°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°. O是△ABC的内心， &∠AB0=∠C80-5AC,4C0=∠Bc0=∠ACB 2 &∠08c+∠0cB=i8c+∠4CB)=60. .∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB)=120° 故答案为：120° 【典例2-2】(2026九年级上浙江温州专题练习)在△ABC中，若D在BC上，AD平分∠BAC,△ADC的 内心与△ABC的外心重合，求∠C= E(F) B D 【答案】36 【详解】解：设∠1=x,如图， 5/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E(F) D ,点E为△ADC的内心 ∴.1=∠2，∠3=∠4， :点F为△ABC的外心， ∠3=∠2，∠4=∠5， :△ADC的内心与△ABC的外心重合， .∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=x, ,AD平分∠BAC, .∠6=∠1+∠2=2x, ,点E为△ADC的内心， ∴∠7=1+∠6=3x, 则∠7+∠6+∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=3x+2x+x+x+x+x+x=180°， 解得x=18°， 那么，∠C=∠3+∠4=2x=36°， 故答案为：36° 【典例2-3】(25-26九年级上宁夏吴忠期末)如图所示，△ABC的内切圆⊙0与AB、BC、AC分别相切 于点D、E、F,若∠DEF=55°，则∠A的度数是 B E 【答案】70 【详解】解：连接OD、OF,如图， 6/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E ,∠DEF=55o ∴.∠DOF=2∠DEF=110°， :⊙O是△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F, .OD⊥AB,OF⊥AC, .∠AD0=∠AFO=90°， .∠A+∠DOF=180° .∠A=180°-110°=70° 【变式2-1】(25-26九年级上河北邢台期末)如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC的 内心I重合，若∠EIA+∠FIB=210°，则∠C=」 0 E B 【答案】40 【详解】解：：△ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC的内心I重合， ∴.∠EIF=∠C,AI平分∠BAC,BI平分∠ABC, ∠AB=BAC,∠IBA=2ABC, 2 ∠LhB+∠1BA=<Bac+∠ABc)-0-2C)=0-<c, 24B=180-(a+40=1w-o-4c-0+4c. ∴.∠EIA+∠FIB=360°-∠EIF-∠AIB=210° m30w-2c-0+号c=210r, 7/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得∠C=40°， 故答案为：40。 【变式2-2】(25-26九年级上江苏宿迁期末)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心， 连接OB、LA.若∠CAI=40°，则∠OBC的度数为 【答案】10° 【详解】解：如图，连接OC, :点I是△ABC的内心， AI平分∠BAC, .∠CAI=40°， .∠BAC=2∠CA=2×40°=80°， :点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠B0C=2∠BAC=2×80°=160°. ..OB=OC, <08c=<0c8-0s0-∠80c)-0sw-160）=10, 故答案为：10° 【变式2-3】(25-26九年级上·湖北武汉阶段检测)已知0，I分别是△ABC的外心和内心，∠B0C=148°， 则∠BIC的大小是 【答案】127°或143° 【详解】解：，O是△ABC的外心，∠BOC=148° 当点1在优弧BC上时，∠B1C=∠B0C=74。 8/44 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABC+∠ACB=180°-74°=106°， B ,I是△ABC的内心， ∴.∠ABI=∠CBL,∠ACI=∠BCI, 2C81+∠B1-10w=5. .∠B1C=180°-（∠CB1+∠BCI）=180°-53°=127°： 当点A在劣弧BC上时，∠BAC=180°-74°=106°， .∠ABC+∠ACB=180°-106°=74°， ,I是△ABC的内心， ∴∠ABI=∠CBL,∠ACI=∠BCI .∠CBI+∠BCI=5×74°=37°， 2 ∴.∠B1C=180°-（∠CB1+∠BCI）=180°-37°=143° 故答案为：127°或143° 题型三：内切圆半径计算（核心大题) 点方法 1.直角三角形：优先用简便公式r=a+b- 2 ,快速求值； 2. 普通三角形：先求面积S、周长L,再代入万能公式r=,2S a+b+c 【典例3】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别为C,a,b.求△ABC的内切圆半径下. 9/44 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B ab 【答案】T=a+b+c 【详解】解：如图所示，连接OA,OB,OC,设OO与AB,BC,CA的切点分别为点D,E,F,连接 OD,OE,OF,则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC, ,∴.SABC-=S△AOB+S△BOc+S△4oc 1 AB-OD+BC.OE+AC.OF =2AB-r+BCr+7AC-r 1 =2B+BC+AC) =2r(a+b+c). 又S®c=3ACBC=)ab, ..r(a+b+c)=2ab, ab ∴.r= a+b+c A B E 【变式3-1】若三角形的三边长分别为12、12、10，求三角形内切圆的半径. 5V119 【答案】三角形内切圆的半径为17。 【详解】解：如图，设AB=AC=12,BC=10, 过点A作AD⊥BC交于点D,作∠ABC交AD于点O,交AC于点E,连接OC, 10/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D AB=AC.BC=10. &BD=2BC=5,∠BAD=∠CAD: ∴.点O为三角形内切圆的圆心，设内切圆的半径为”， 根据题意可知：△ABC周长为AB+AC+BC=12+12+10=34, 在Rt△ABD中，AD=VAB2-BD2=VI9, se-c4D=5vi丽 由S△Mc=S△MoB+S△Boc+S△MAoc, 1 1 5)AB×r+BC×r+)AC×P (AB+BC4C). 'r= 2S48c_1019_519 AB+AC+BC 3417 5v119 ∴三角形内切圆的半径为 17 【变式3-2】(25-26九年级上广西崇左阶段检测)以6、8、10为三边的△4BC,0是它的外心，I是它的 内心，r是它内切圆半径，求r及O1的长度 【答案】r为2，O1长V5 【详解】解：如图： 11/44 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 62+82=102, :.△ABC为直角三角形， ∴.外心O在斜边AB的中点处， .A0=B0=5, 作∠ABC和∠BAC的平分线交于L,即I就是内心， 作ID⊥BC于D,IE⊥AC于E,IF⊥AB于F, ..r=ID=IE=IF, :四边形CEID为正方形， ∴.CE=CD=r .'AE=AF=8-r,BD=BF=6-r, AB=AF+BF=8-r+6-r=10, r=2=F,BF=6-2=4, OF=BO-BF=5-4=1, 在RtAOIF中，OM=P+22=V5, 综上：r为2，O1长V5 【变式3-3】(25-26九年级上江苏南京阶段检测)如图，已知△ABC. (1)利用直尺和圆规作出△ABC的内切圆： (2)若△ABC的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径. 【答案】(1)如图⊙0即为所求。 12/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (2)2 【详解】(1)解：如图，先分别作∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O,再过点O作OD⊥BC于点D, 以点O为圆心，OD的长为半径画圆； (2)解：设△ABC的内切圆OO分别与AB,AC相切于点E,F,连接OE,OF,OA, :△ABC的周长为24， .AB+BC+AC=24 :△ABC的面积为24，OE=OF=OD, :Sa+5e+5x-4B-0E+3sC-0D+24C-0F=(4B+BC+4AC)-0D-x24×0D=24, 0D=2, ∴.它的内切圆的半径为2. 题型四：切线长线段求值（解答高频) 点方法 1.利用“同顶点切线长相等"设未知数； 2.结合半周长公式表示各线段， 3.列方程求解边长、周长。 【典例4】(24-25九年级上·天津蓟州阶段检测)如图，△ABC的内切圆O0与BC,CA,AB分别相切于 点D、E、F D (1)若∠ABC=50°，∠ACB=75°，求∠BOC的度数： 13/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=13,BC=11,AC=10,求AE的长. 【详解】(1)解：：△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点D、E、F. :∠DB0=)∠ABC,∠DC0=)∠ACB, 2 2 ∠D0+∠Dc0-4cB+4c-4c0+∠ABC)-625. ∠B0C=180°-（∠DB0+∠DCO)=117.5°： (2)解：O0是△ABC的内切圆， .AE=AF,BD=BF,CD=CE, 设AE=x,BD=y,CD=z, :AB=13,BC=11,AC=10, x+y=13 .x+z=10 y+z=11 x=6 解得： y=7 z=4 .AE=6 【变式4-1】(24-25九年级上云南红河阶段检测)如图，△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切 于点D,E,F,且AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm. D 如图，△ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, (1)求AF的长. (2)已知S4c=6N6cm2,求OD的长. 【详解】(1)解：：△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,R, ∴AF=AE,BF=BD,CD=CE, 设AF=AE=x,则BF=BD=5-x,EC=DC=6-x, 14/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据题意得：5-x+6-x=7 解得：x=2cm .AF 2cm,BD=5-x=3cm,EC=6-x=4cm, 则AF的长为2cm; (2)AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm, :半周长s=8+BC+C4=9, 又S△4Bc=6W6cm2, .66=r.9, r=26 3 2v6 则oD的长为3cm 【变式4-2】(25-26八年级下江苏盐城阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,⊙0是△ABC的内 切圆，切点分别是D、E、F F (1)连接OA、OB,则∠AOB= (2)若BD=6,AD=4,求⊙0的半径 (3)在(2)的条件下，Rt△ABC的外心和内心的距离等于 【详解】(1)解：O0是△ABC的内切圆， .OA平分∠CAB,OB平分∠CBA, :在Rt△ABC中，∠C=90°， .∠CAB+∠CBA=90°， ∠01B+∠08A=2C1B+∠CB0=45 ∴.∠A0B=180°-45°=135° 15/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设半径为1，连接OE、OF, :⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F, 由切线长定理得：BE=BD=6,AF=AD=4,CE=CF, ∠C=90°，OE⊥BC,OF⊥AC, ∴四边形OECF是正方形，CE=CF=r, .AC=AF+CF=4+r,BC=BE+CE=6+r, AB=AD+BD=4+6=10, 在Rt△ABC中，由勾股定理得： (4+r)2+(6+r）2=102. 解得：r=2或r=-12(舍去负值)， .⊙0的半径r=2. (3)解：由(2)知AC=6,BC=8,AB=10, 设斜边AB的中点为M,则M是Rt△ABC的外心， 分别连接OM,OD, AD=4,AB=10, :.AM=14B=5, 2 ∴.MD=AM-AD=5-4=1, :OD是内切圆半径，OD⊥AB, ∴OD=r=2, 在RtAOMD中，由勾股定理得： 0M=VOD2+MD2=V22+12=V5, “RtAABC的外心和内心的距离为V5 B M D 【变式4-3】(25-26九年级上江西赣州期末)如图，△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点D, 16/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E.F 图1 图2 (1)点O是△ABC的_ 心； (2)如图1，若AB=9,BC=14,CA=13.设AF=x,求BF的值； (3)如图2，若∠B=90°，AB,BC,CA的长分别是a,b,c,则⊙0半径是 (用含a,b,c的式子表 示) 【详解】(1)解：，⊙O是△ABC的内切圆， ∴点O是△ABC的内心. 故答案为：内： (2)解：：△ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, .AE=AF,BF=BD,CE=CD .AB=9,BC=14,CA=13,AF=x, .'AE=AF=x, .BD=BF=AB-AF=9-x,CD=CE=AC-AE=13-x, ∴BC=BD+CD=9-x+13-x=14,解得x=4, .BF=9-x=5; (3)解：如下图，连接OD,OE,OF, :△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 、AE=AF,BF=BD,CE=CD,∠OFB=∠ODB=90, 设⊙0半径为r, ..OD=OF=r, ,∠B=LOFB=∠ODB=90°， 17/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形ODBF为矩形， 又，OD=OF, ∴四边形ODBF为正方形， .'BD=BF=r, .'AE=AF=a-r,CE=CD=b-r, ..AC=AE+CE=a-r+b-r=c, .a+b-2r=c, .r=a+b-c 2· a+b-c 故答案为： 2 题型五：内心综合压轴（角度+线段+证明） 点方法 1.连内心与顶点：构造角相等，用于角度推导； 2.连内心与切点：构造垂直直角，用于边长、面积计算。 【典例5】(24-25九年级上广东肇庆期未)如图，AB是⊙0的直径，△ABC内接于⊙0，点I为4ABC 的内心，连接CI并延长交⊙O于点D,E是BC上任意一点，连接AD,BD,BE,CE. D B (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数： (2)找出图中所有与D1相等的线段，并证明： (3)若CI=4V2,D1=13V2,求△ABC的周长. 【详解】(1)解：：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， :∠ABC=25°， ∠CAB=90°-25°=65° 18/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABEC是⊙O的内接四边形， ∴.∠CEB+∠CAB=180°， .∠CEB=180°-∠CAB=115°： (2)解：DI=AD=BD,证明如下： 如图所示，连接A[, D E ,点I为△ABC的内心， ÷∠C=∠BAI ACI=∠BC1-54CB=4s, ∴AD=BD, ∴，∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD, :∠DAI=∠DAB+∠BA,∠DIA=∠ACI+∠CAI, ∴.∠DAI=∠DLA, .'DI=AD BD (3)解：过I分别作Q⊥AB,IF⊥AC,P⊥BC,垂足分别为Q、R、P, B ,点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心. ∴.Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点， :.AO=AF,CF=CP,BO=BP, .CI=4V2,∠IFC=90°，∠ACI=45°， ∴.CF=C1.cos45°=4=CP ,DI=AD=BD,DI=13N2,∠ADB=90°， 19/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=VAD2+BD2=26, ∴.△ABC的周长为AB+AC+BC AB+AF+CF+CP+BP =AB+A0+BO+2CF =2AB+2CF =2×26+2×4 =60 【变式5-1】(24-25九年级上山东日照期中)如图，AB是⊙0的直径，△ABC内接于⊙0，点I为△ABC 的内心，连接CI并延长交⊙O于点D,E是BC上任意一点，连接AD,BD,BE,CE, O (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数： (2)求证：DI=DA: 3)若AC=5, M=号5，求BRC的长 【详解】(1)解：：AB是⊙0的直径， ∴.∠ADB=∠ACB=90°，又∠ABC=25°， ∠CAB=90°-25°=65°， ,四边形ABEC是⊙O内接四边形， .∠CEB+∠CAB=180°， ·.∠CEB=180°-LCAB=115°： (2)证明：连接A1, D B E :点I为△ABC的内心， 20/44 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷∠CAl=∠BA,∠AC1-∠BCI-ACB=4, .AD=BD, .∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD, ,∠DAI=∠DAB+∠BAL,∠DIA=∠ACI+∠CAL, ∴.∠DAI=∠DIA, :.DI=DA; 63解01-号5， :.DI=DA- 2 :∠ADB=90°， .AB=2DA=13, :AC=5,∠ACB=90° BC=√AB2-AC2=12 【变式5-2】(24-25九年级上四川自贡期末)如图，AB是⊙0的直径，△ABC内接于⊙0，点E是 △ABC的内心，CE的延长线与⊙O交于点D,F是BC上任意一点，连接AD,BD,BF,CF, D (1)若∠F=110°，求∠ABC的度数： (2)若AC=CF,LBCF=a,∠F=B,请直接写出a与B的数量关系； (3)找出图中所有与DE相等的线段，并证明. 【详解】(1)解：：△ABC内接于⊙0，F是BC上任意一点， ∴四边形ABFC为圆内接四边形， ∴.∠CAB=180°-∠F-70°， :AB是⊙O的直径， 21/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACB=90°， ,∠ABC=90°-∠CAB=20°： (2)同(1)法可得：∠ABC=90°-∠CAB=90°-(180°-B)=B-90°， .AC=CF. .∠CBF=∠ABC=B-90°、 在△BCF中，∠F+∠FCB+∠FBC=18O°， .B+a+B-90°=180° .a+2B=270°： (3)AD=BD=DE, 证明如下：连接AE, B D :点E是△ABC的内心， .AE平分∠CAB,CE平分∠ACB, ：∠EAC=∠EAB,∠ACD=LBCD, :∠DAE=∠BAD+∠BAE,∠DEA=∠ACD+∠EAC,∠DAB=∠DCB=∠ACD, 、∠DAE=∠DEA,∴，AD=DE, ∠ABD=∠ACD=∠DAB,.AD=BD,.AD=BD=DE 【变式5-3】(24-25九年级上·福建福州阶段检测)已知⊙O内接四边形ABCD中，BD平分∠ABC. 0 图1 图2 图3 (1)如图1，若AC,BD相交于E,求证：∠AEB=∠BCD (2)如图2，连接OD交AC于F.若AC=16,AD=10,求⊙0的半径. 22/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B物图3，若4C为o0直径，AB=3,BD= 2，求。4BC的内心与点O的距离。 【详解】(1)证明：，BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD. :∠ACD=∠ABD, ∴.∠ACD=∠CBD. :∠AEB=∠ACB+∠CBD,∠BCD=∠ACD+∠ACB, ·∠AEB=∠BCD: (2)解：如图所示，连接OA, BD平分∠ABC, ∴、∠ABD=∠CBD, .AD=CD. :0L4C4F-4C=8, ∴.在Rt△ADF中，由勾股定理得DF=VAD-AF2=6, 设OA=OD=x,则OF=OD-DF=x-6, 在RtAAOF中，由勾股定理得OA=AF2+OF2, x2=82+(x-6, 解得x25 3 04=2 25 ,即⊙0的半径为3： 图2 (3)解；如图3所示，过点D作DE⊥BA交BA延长线于E,DH⊥BC于H, 23/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 :AC为⊙0直径， .∠ABC=90°， BD平分∠ABC, :ZABD-2 ∠ABC=45° ∴，△BDE是等腰直角三角形， ∴.BE=DE, BD-BE+DE-BE- 2 7 :BE=DE= ·AE=BE-AB= 2: DE⊥BE,DH⊥BC,∠EBH=90°， ∴.四边形EBHD是矩形， .DHBE--DE.B-DE- 1 :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠BAD+∠BCD=180°， ,∠BAD+∠EAD=180°， ∴∠EAD=∠HCD. 又：∠DEA=∠DHC=90°， △DEA≌aDHC(AAS), CH=AE=1 Γ2 ∴.BC=BH+CH=4, .AC=AB2+BC2=5; 24/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图4所示，设△ABC的内心为I,设⊙I分别与AB,BC,AC相切于D、E、F,连接 AI,DI,BI,EI,CI,OI,FI, 图4 .ID=F=IE,ID⊥AB,IE⊥BC,IF⊥AC, :S△ABc=S△AB+SABc+S△Ac, 号4Bc=4BD+cE+号4Cr. “2×3×4=2×5+×4F+号×3F, 1 1 2 2 2 .IF=1: .'ID=IE=1, ,ID⊥AB,IE⊥BC,∠DBE=90°， ∴，四边形BDE是矩形， .'BD=IE =1, .AF=AD=3-1=2, 29 “OF=OA-AF= , ÷01=vF2+0F= 2, ·△4BC的内心与点O的距离为 2 札力是化 融汇黄通 一、单选题 1.(2026江苏南通三模)如图，菱形ABCD中∠ABC=120°，对角线AC、BD相交于点O,△AOB的内 心I与点O的距离为V2,则菱形ABCD的面积为() 25/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.12 B.8V3+12 c.65 D.2V3+3 【答案】B 【详解】解：作E⊥OB于E,作F⊥OA于F,连接B, D F 0 的 ∴.∠IEO=∠IEB=∠IFO=90° ~四边形ABCD是菱形， :ZA0B=90P∠AB0=2∠ABC=60°，DB=20B'AC=240 :I是△AOB的内心， :∠FO1=∠E01=∠A0B=45°，∠IBE=}∠AB0=30. 2 102 0E=E=2-V =1 2 .IB=2IE=2. .EB=IB2 -IE2=22-1=3. .OB=OE+EB=1+V3」 .DB=20B=2+2√5 .·∠A0B=90°，∠AB0=60°， ÷∠B40=90°-60°=30°」 ∴.AB=20B=2+25 .A0=VAB2-OB2=3+V5. AC=2A0=6+2V5 26/44 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S菱形ABCD= x4CxDB=x6+25)k2+2)=8w5+12 2.(2026-湖北武汉一模)如图，∠ACD=∠BCD=45°，AC=8,BC=6,△ACD内切圆半径为() B 15-5√2 B,15+5V2 4 4 C.3N2-2 D.32+2 【答案】C 【详解】解：连接AB,:∠ACD=∠BCD=45°， .∠ACB=90°，AD=BD, ∴.AD=BD, ∴.AB是圆OO的直径. .∠ADB=90°， 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6, 、AB=VAC2+BC2=V82+62=10, .AD2+BD2=AB2, ·AD= -AB=52 过点A作AE⊥CD于点E, 则∠AED=∠AEC=90°， .∠CAE=90°-∠ACD=45°， ·AE=CE=2 AC=42, ∴.DE=VAD2-AE2=32, :CD=CE+DE=72, 设△ACD的内心为点，内切圆半径为，过点I作F⊥CD于点F,作G⊥AC于点G,作H⊥AD于点 H, 27/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则IF=IG=H=r, S..co-CD-IF+AC.IG+AD.M-CD:AE, 5r++5=x4w5. 化简得(8+12V2)r=56, 解得r=3V2-2. 3.(2026山东济宁，二模)已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点 F,交⊙0于点D.如图，AD为⊙0的直径，若AD=10,BC=6,则OE的长为() D A.2 B.5-10 C.3 D.5-2W2 【答案】B 【详解】解：连接OB、BE、BD B D :点E是△ABC的内心， .AD平分LBAC,BE平分∠ABC, 28/44 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD为⊙O的直径， AD⊥BC, BF=1BC=3 在RAOBF中，084D=5,F=3 .0F=0B2-BF2=V53-32=4, ..DF=OD-OF=5-4=1 在Rt△BDF中，BD=VBF2+DF2=V32+1P=V10, :∠DBE=∠DBC+∠CBE,∠DEB=∠DAB+∠ABE, 又：∠DBC=LDAC=LDAB,LCBE=∠ABE, ∴.∠DBE=∠DEB, .'.DE =BD=10, ∴.OE=OD-DE=5-V10 二、填空题 4,(2026-江苏泰州一模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，⊙0是△ABC的内切圆，与三 边分别相切于点D,E,F.若BD=1,则EF的长为一 (结果保留π) Q E 【答案】3 【详解】解：连接OD,OE,OF, 29/44 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E ,⊙O是△ABC的内切圆， ·.∠ODB=∠OEB=LOEC=∠OFC=90°，OD=OE=OF ∠B=90°， ∴.四边形DBE0为正方形，∠C=90°-∠A=60°， ∴.OE=DB=1,∠EOF=360°-∠OEC-∠OFC-∠C=120° 20×π×12 “EF的长= -=一π 1803 5.(2026河北模拟预测)如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，连接AC,BC.点I为 △ABC的内心，且∠B0I=45,OI=V2,则半圆0的半径为一· B 【答案】V3+1 【详解】解：过I作H⊥AB于H,E⊥BC于E,IF⊥AC于F, B. ∠C=90° ∴四边形IECF是矩形 :I是△ABC的内心， ∴.IE=IF=IH, 30/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，四边形IECF是正方形， .∠10B=45°， 、.△lOH是等腰直角三角形， m=0m=21=5x5=. 2 2 .'CE=IE=H=1, .IE =IH,BI=BI .RtABHIS≌RtABEI(HL). ∴BE=BH, .BC=OB. ..BC= AB, 2 .∠A=30°， ∠1BE=)∠ABC=)×60°=30°. .BE=3IE=3, .BC=1+V3, .OB=1+V3 AD 6.(2026-江苏泰州：二模)如图，A4BC内接于O0,CD⊥AB于D点，若0为ABCD的内心，则BD 一 0 D B 【答案】V2-1 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC, 31/44 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D :CD⊥AB于D点， ,∠BDC=90°， .∠DBC+∠DCB=90°， :O为△BCD的内心， &∠08c+0c8-D8C+5nc8-Dac+Dc8)=4. .∠B0C=135°， :OA=OB=OC,∠OBA=∠OBC, .∠OBA=∠OAB=∠OBC=∠OCB, .∠A0B=∠BOC=135°. .∠A0C=360°-135°-135°=90°， ZABC-AOC=A5 :.△BDC是等腰直角三角形， .BD=CD. 设BD=CD=a,则CB=VBD2+CD2=Va2+ad=√2a, 在△ABO和△CBO中， BO=BO ∠AOB=∠COB OA=OC △ABO≌aCBO(SAS). .AB=CB=2a, :.AD=AB-BD=V2a-a=(2-1)a, D_2-a 2-1. BD a 32/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,G、H分别为 ABC的内心和外心，则GH= 5 【答案】2 【详解】解：连接GA、GB、GC,过点G作GD L AB于点D,作GE⊥AC于点E,作GF⊥BC于点F, H D G B ∠C=90°，AC=4,BC=3, .'AB=AC2+BC2=5, ,:H为Rt△ABC的外心， :.AH=BH-2 :G为△ABC的内心， ∴.GD=GE=GF, S.ABC =S.GAB+S.GAC+S.GBC, .x5-GD+x4.GE+x3-GF-x4x3 1 2 ∴.GD=GE=GF=1, :∠GEC=∠GCF=∠GFC=90°. ∴四边形GECF为正方形， ∴.CF=GF=l, BF=3-1=2, GD=GF,BG=BG. .RtaBDGRtBFG(HL). .'BD=BF=2, 21 .DH=BH-BD=5 2, 33/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 故答案为： 2 8.(25-26九年级上重庆渝北期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，P、2分别是 Rt△ABC的内心和外心，连接PQ,若AB=V3+1,则PO的长一， 【答案】V2 【详解】解：如图，过点P作PE⊥CA,PD⊥BA,PF⊥CB,连接BP, -tE A∠A=90°∠C=30°AB=V3+1 BC=2(5+1, ∠ABC=60°， :点Q为Rt△ABC的外心， .BQ=C0=V3+1, 点P为Rt△ABC的内心， .PE=PF=PD,PB平分∠ABC, ·∠PEA=∠PDA=∠CAB=90°， ∴四边形PDAE是正方形， ∴PE=PD=PF=DA, 设正方形PDAE边长为x,则AD=PD=x, 34/44 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠PBD= 2<B=30 .BP=2x. :.BD=BP:PD2 =3x, AB=V5x+x=x(N3+1)=5+1 .x=1, ∴PF=1,BD=3, 在△BPF和△BPD中， ∠PFB=∠PDB ∠PBF=∠PBD BP=BP .△BPF≌aBPD(AAS). :.BF=BD=, .QF=BQ-BF=V3+1-V3=1, QP=VQF2+PF=V2」 故答案为：√2 9.(25-26九年级上：广东广州期末)在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8,点I是△ABC的内心， 直线FG经过点I,过点A作AE⊥GF,连接BE,则BE的最大值是一· E B 【答案】52+√10 【详解】解：如图，以C为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为'轴，建立平面直角坐标系，连接 A、CI、BI,过I分别作OB、OA、AB垂线，垂足分别为M、N、H, 35/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G H EN F OC)M ⊙ 由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=V82+62=10, S.ABC=S.AIC+S.BIC+S.ABI :点I是△ABC的内心， .IM IN =IH ∴2x6x8=号N(4C+Bc+AB)-N(6+8+10). 1 2 .N=2, ∴IM=N=IH=2, 1(2,2, :AE⊥GF, ∴.∠AEF=90°， ∴.点E在以AI为直径，IA中点Q为圆心的圆上运动，如图， EN OC)M B BC=6,AC=8, .A(0,8),B(6,0), .01,5), 36/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，当BQE三点共线时，BE有最大值，为BQ+QE, VA OC)M B :A(0,8).B(6,0).Q(1,5),I(2,2) ÷.B0=V(6-1}+(0-5}2=52,A=V0-22+(8-2}2=210, ∴.QE=10, BE的最大值为BQ+QE=5V2+V10, 故答案为：5W2+V10 三、解答题 10.如图，△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm,BC=7cm, C4=6cm B (1)求AF的长. (2)已知S△4Bc=66cm2,求0D的长. 【详解】(1)解：：△ABC的内切圆O0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,P, .AF=AE,BF=BD,CD=CE, 设AF=AE=x, BF=BD=5-x,EC=DC=6-x, 根据题意得：5-x+6-x=7 解得：x=2cm 37/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.AF=2cm,BD=5-x=5-2=3(cm),EC=6-x=6-2=4(cm). 则AF的长为2cm; (2)解：：AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm, ÷半周长s=4B+BC+C4_5+7+6-9cm. 2 2 又：SaMc=6V6cm2, 6√6=r.9, r=26 3 2√6 则oD的长为3cm, 11.(25-26九年级上江苏南通阶段检测)如图，△ABC中，AB=AC B (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作△ABC的外接圆O:(保留作图痕迹) (2)若AB=10,BC=16，,求△ABC的内切圆半径. 【详解】(1)解：如图所示即为△ABC的外接圆， (2)解：连接OB、OA,设OA交BC于点D, AB=AC, AO⊥BC, 根据垂径定理，得8D=DC=BC=8,∠ODB=90e 38/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=VAB2-BD2=V102-82=6, 设内切圆半径为”， -28Cx4D=48-=(40+AC+6C)r 2S 内切圆半径r=AB+AC+BC 8 =96÷36 3 12.(25-26九年级上：江西上饶期末)已知，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙0相 交于点D,连接BD. A B D 图1 图2 (1)如图1，求证：DE=DB: (2)如图2，若△ABC的边BC恰好为OO的直径，延长BD至点F,使得DF=BD,连接CF.求证：直线 CF为⊙O的切线， 【答案】(1) 证明：如图，连接BE。 B D :点E是△ABC的内心， ∴.AE平分∠BAC,BE平分∠ABC, .∠BAE=∠CAE,∠ABE=∠CBE, ∠BED是△ABE的外角， ∴.∠BED=∠BAE+∠ABE, :∠DBE=∠DBC+∠CBE,∠BAE=∠CAE=∠DBC, ∴.∠BED=∠DBE, .DE DB 39/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 证明：如图，连接CD A 由(1)知∠DAB=∠DAC, .BD=CD .BD=CD, .BD=DF, .'.CD=BD=DF, .∠DBC=∠BCD,∠DCF=∠F, 又：∠DBC+∠BCD+∠DCF+∠F=180°， .∠BCD+∠DCF=90°， ∴.∠BCF=90°. 即BC⊥CF, ∴，直线CF是⊙O的切线， 13.(25-26九年级上江西宜春期末)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆O0相 交于D,过D作直线DGBC. D G (1)求证：DG是⊙0的切线： (2)求证：BD=DE: (3)若DE=7.5,BC=12,求⊙0的半径. 【详解】(1)证明：连接OD,与BC交于点H,如下图所示： 40/44 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B D G :点E为△ABC的内心， ∴.AD平分∠BAC, 即BD=DC, .OD垂直平分BC, .∠OHC=90°， DG BC .∠ODG=∠OHC=90°， 且OD为⊙0的半径， .DG是⊙O的切线. (2)证明：连接OB,如下图所示： D ,点E为△ABC的内心， ∴.BE平分∠ABC, ·∠ABE=∠EBC, 又：∠BAD=∠DAC=∠DBC .∠BED=∠ABE+∠BAE=∠EBC+DBC=∠EBD, 即∠BED=∠EBD, ∴BD=DE」 (3)解：“BD=DE=75,BH=HC=BC=6, 在Rt△BHD中，由勾股定理得HD=√BD2-BH=4.5, 41/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令⊙0的半径为r, 则OB=r,OH=r-4.5. 在RtAOBH中，由勾股定理得OB2=BH2+OH2, 得方程r2=6+(r-4.5)}2, 解得r=6.25. 故⊙0的半径为6.25 14.(25-26九年级上四川自贡期末)如图，AB是⊙0的直径，△ABC内接于⊙0，点I为△ABC的内心， 连接CI并延长交OO于点D,E是BC上任意一点，连接AD,BD,BE,CE. D (1若∠CEB=118°，求∠ABC的度数： (2)求证：DI=AD: 诺BnBN2Dc2,求RC的周R 2 【详解】(1)解：由圆内接四边形的性质可知，∠BAC+∠CEB=180°， ,∠CEB=118°， .∠BAC=180°-∠CEB=62°， ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ·∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-62°=28°： (2)证明：如图，连接A, D B :点I为△ABC的内心， ·AI平分LBAC,CD平分LACB, 42/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAI=∠CAI,∠ACD=∠BCD ∠BCD=∠BAD ∴∠ACD=∠BAD, ,∠AID是△ACI的外角， .∠ID=∠ACD+∠CI, ,∠DAI=∠BAD+∠BAI, ∴.∠AID=∠DI, .DI=AD: (3)解：作DH⊥BC,垂足为H, D B 由(2)可得，CD平分∠ACB, 1 、.∠BCD=)∠ACB, 2 ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ADB=90° ∴.∠BCD=∠BAD=45°， ∴，△ABD是等腰直角三角形， ·AD=BD=132 2 2 132 在直角 中，AB=VAD2+BD2 △ABD 2 DH⊥BC, :.△CDH是等腰直角三角形， ..CH=DH, 在直角△CDH中，CD=VCH2+DH2=VDH2+DH=V2DH, :1=4=2D=17 2 Γ21 43/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在直角 中，BH=VBD2-DH △BDH 3 .BC=CH+BH=12. 在直角△ABC中，AC=VAB2-BC2=V132-122=5, .△ABC的周长为AB+BC+AC=13+12+5=30 44/44 考点02 三角形内切圆 考点一：核心基础考点 1. 基本定义 （1）三角形内切圆：与三角形三条边都相切的唯一圆。 （2）三角形内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条内角平分线的交点。 （3）外切三角形：存在内切圆的三角形，任意三角形有且仅有一个内切圆。 2. 内心核心性质（必考） ① 内心在三角形内部（锐角、直角、钝角三角形均成立）； ② 内心到三角形三边的距离相等，距离长度等于内切圆半径 r； ③ 内心与三角形顶点的连线，平分对应内角。 3. 内心角度万能公式（选择填空高频） 在 中，点 为内心，则： 逆推公式： 推导原理：由角平分线定义，结合三角形内角和180°化简可得，为固定几何模型，可直接秒杀做题。 考点二：内切圆半径三大核心公式 设：三角形三边长为，面积为 ，周长 1. 任意三角形通用半径公式（万能公式）: 原理：连接内心与三顶点，将原三角形拆分为三个等高小三角形，面积求和推导得出，适用于所有三角形。 2. 直角三角形专属简化公式（秒杀公式） Rt 中，直角边 ，斜边 ，则： 重点提醒：该公式仅直角三角形可用，普通三角形禁止套用。 3. 等边三角形专属公式 等边三角形边长为 ，则内切圆半径： 考点三：切线长定理拓展（解答题核心） 1. 切点线段结论 设 内切圆与三边切点分别为D、E、F，则从同一顶点引出的两条切线长相等： 其中 为三角形半周长。 2. 圆外切四边形性质 对边和相等： 考点四：内心与外心对比（易错辨析） 对比项目 内心（内切圆圆心） 外心（外接圆圆心） 交点来源 三条内角平分线交点 三边垂直平分线交点 相等距离 到三边距离相等（半径r） 到三顶点距离相等（半径R） 位置特点 始终在三角形内部 锐角△内、直角△中点、钝角△外 核心公式 题型一：概念辨析题（选择） 1. 切边为内切、接顶点为外接； 2. 内心管角平分线、管边长距离；外心管垂直平分线、管顶点距离； 3. 所有三角形内心均在内部，无例外。 【典例1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【变式1-1】已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 【变式1-3】（2026·河南商丘·模拟预测）三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：角度计算题（填空必考） 直接套用固定模型：已知顶角求内心夹角 【典例2-1】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，点为的内心，，则的度数是______． 【典例2-2】（2026九年级上·浙江温州·专题练习）在中，若D在上，平分的内心与的外心重合，求__________． 【典例2-3】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【变式2-1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______． 题型三：内切圆半径计算（核心大题） 1. 直角三角形：优先用简便公式 ，快速求值； 2. 普通三角形：先求面积、周长，再代入万能公式 。 【典例3】如图，中，的长分别为．求的内切圆半径r． 【变式3-1】若三角形的三边长分别为，求三角形内切圆的半径． 【变式3-2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）以6、8、10为三边的，O是它的外心，I是它的内心，r是它内切圆半径，求r及的长度． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 题型四：切线长线段求值（解答高频） 1. 利用“同顶点切线长相等”设未知数； 2. 结合半周长公式表示各线段； 3. 列方程求解边长、周长。 【典例4】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，的内切圆与，，分别相切于点D、E、F． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【变式4-1】（24-25九年级上·云南红河·阶段检测）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【变式4-3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． 题型五：内心综合压轴（角度+线段+证明） 1. 连内心与顶点：构造角相等，用于角度推导； 2. 连内心与切点：构造垂直直角，用于边长、面积计算。 【典例5】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【变式5-1】（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)求证：； (3)若，，求的长． 【变式5-2】（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【变式5-3】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 一、单选题 1．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题 4．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 5．（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 6．（2026·江苏泰州·二模）如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 7．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在 中，，，，、 分别为 的内心和外心，则__________． 8．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，、分别是的内心和外心，连接，若，则的长______． 9．（25-26九年级上·广东广州·期末）在中，，，，点是的内心，直线经过点，过点作，连接，则的最大值是______． 三、解答题 10．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 11．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，中，． (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） (2)若，，求的内切圆半径． 12．（25-26九年级上·江西上饶·期末）已知，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的边恰好为的直径，延长至点，使得，连接．求证：直线为的切线． 13．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于，过作直线． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 14．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $