1.1 集合的概念 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合的概念这一核心知识点，系统梳理元素与集合的关系、元素的确定性互异性无序性、常用数集及列举法描述法等表示方法，作为后续集合关系与运算的基础学习支架，衔接初中对整体与元素的认知。 资料以思维导图构建知识脉络，9类题型分层设计，通过概念辨析培养抽象能力（数学眼光），依托元素关系求参训练逻辑推理（数学思维），列举法描述法运用强化数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后精练与培优拓展助力学生查漏补缺，提升数学素养。

1.1 集合的概念 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：集合的有关概念 3 知识点二：集合的表示方法 3 03 题型精讲 5 题型 1：集合的概念辨析 5 题型 2：元素与集合的关系判定 5 题型 3：依托元素‑集合关系求参 6 题型 4：集合元素性质的运用 6 题型 5：列举法表示集合 7 题型 6：描述法表示集合 7 题型 7：集合表示方法综合运用 8 题型 8：方程与集合综合问题 9 题型 9：集合创新定义运算 10 04 课后精练 12 05 培优拓展 15 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 题型 1：集合的概念辨析 【典例1】（2026·高一·安徽阜阳·期中）下列各项中能表示集合的是（    ） A．温柔的老师 B．所有偶数 C．漂亮的花朵 D．好玩的玩具 【变式1-1】（2026·高一·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（   ） A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生 C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数 【变式1-2】（2026·高一·安徽·阶段检测）下列各组对象不能组成集合的是（   ） A．大于6的所有整数 B．安徽省的所有高个子 C．太阳系的所有行星 D．函数图象上所有的点 【变式1-3】（2026·高一·河北·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．跑得快的运动员 B．所有的正三角形 C．接近0的实数 D．著名的科学家 【方法技巧与总结】（判断一组对象能否组成集合的标准） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 题型 2：元素与集合的关系判定 【典例2】（2026·高一·山东聊城·开学考试）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【变式2-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【变式2-3】已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 题型 3：依托元素‑集合关系求参 【典例3】（2026·高三·湖北·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-1】（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 【变式3-2】（2026·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【变式3-3】（2026·高三·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【方法技巧与总结】 根据元素与集合的关系求参数，关键在于利用集合中元素的确定性、互异性，以及集合间的关系或运算结果。通过观察元素是否属于集合、集合间是否存在子集或交集等关系，我们可以建立关于参数的数学条件，进而求解出参数的具体值或取值范围。 题型 4：集合元素性质的运用 【方法技巧与总结】（根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的3个步骤） 【典例4】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式4-1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【变式4-2】（2026·全国·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高二·新疆·学业考试）数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 题型 5：列举法表示集合 【典例5】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 【变式5-1】（2026·高一·山东济南·期中）已知集合，则集合的所有元素之和为______. 【变式5-2】（2026·高一·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 【变式5-3】（2026·高一·重庆开州·阶段检测）已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示___________． 【方法技巧与总结】（用列举法表示集合的三个步骤） 1、求出集合的元素； 2、把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3、用花括号括起来． 题型 6：描述法表示集合 【方法技巧与总结】（描述法表示集合的2个步骤） 【典例6】用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【变式6-1】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【变式6-2】用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【变式6-3】（2026·高一·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 题型 7：集合表示方法综合运用 【典例7】（2026·高一·上海·阶段检测）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 【变式7-1】已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合． 【变式7-2】求方程的解集． 【变式7-3】设，，，若，试用列举法表示集合B． 【方法技巧与总结】（集合表示法中元素与集合的关系） 1、若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； 2、若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 题型 8：方程与集合综合问题 【典例8】已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【变式8-1】已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【变式8-2】用集合表示关于的方程的根组成的集合． （1）若集合是空集，求实数的取值范围； （2）若集合中仅有一个元素，求实数的值． 【变式8-3】方程的根组成集合A．当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素． 【方法技巧与总结】 集合中元素的个数即为方程的根的个数． 题型 9：集合创新定义运算 【典例9】（2026·高一·广东广州·阶段检测）定义：若任意m，（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； 【变式9-1】（2026·高二·北京·学业考试）已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 【变式9-2】（2026·高一·北京房山·期中）已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 【变式9-3】（2026·高一·北京·期中）设A是实数集的非空子集，称集合为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值． 【方法技巧与总结】 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性． 1．已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 6．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． 8．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2 014且小于2 026的所有整数不能组成集合 9．（多选题）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 10．（多选题）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 11．（多选题）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 12．（多选题）设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 13．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 14．由方程和的根组成的集合中的元素的个数为____. 15．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 16．用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 17．含有三个实数的集合，若且，求的值． 1．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 2．（多选题）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 5．（多选题）已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有.则下列说法正确的是（    ） A． B．中所有元素之积可能为 C．中所有元素之积可能为1 D．若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 6．定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 7．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 8．根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 9．已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求； (3)若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值． 10．已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 11．已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：集合的有关概念 3 知识点二：集合的表示方法 3 03 题型精讲 5 题型 1：集合的概念辨析 5 题型 2：元素与集合的关系判定 6 题型 3：依托元素‑集合关系求参 7 题型 4：集合元素性质的运用 9 题型 5：列举法表示集合 10 题型 6：描述法表示集合 12 题型 7：集合表示方法综合运用 13 题型 8：方程与集合综合问题 15 题型 9：集合创新定义运算 16 04 课后精练 20 05 培优拓展 25 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 题型 1：集合的概念辨析 【典例1】（2026·高一·安徽阜阳·期中）下列各项中能表示集合的是（    ） A．温柔的老师 B．所有偶数 C．漂亮的花朵 D．好玩的玩具 【答案】B 【解析】由集合的性质可知，B中所有偶数都是确定的，可以构成集合. 而ACD中研究对象都不确定，不能构成集合. 故选：B 【变式1-1】（2026·高一·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（   ） A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生 C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数 【答案】B 【解析】对于A，“一个平面内的所有点”是确定的，能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“某校高一（1）班的高个子学生”的标准不确定，因而不能构成集合，故B符合题意； 对于C，“所有大于零的正整数”的标准确定，能构成集合，故C不符合题意； 对于D，“不等于0的偶数”的标准确定，能构成集合，故D不符合题意. 故选：B. 【变式1-2】（2026·高一·安徽·阶段检测）下列各组对象不能组成集合的是（   ） A．大于6的所有整数 B．安徽省的所有高个子 C．太阳系的所有行星 D．函数图象上所有的点 【答案】B 【解析】对于A，大于6的所有整数，满足确定性，故A能组成集合； 对于B，高个子的标准不确定，不满足确定性，所以B不能构成集合； 对于C，太阳系的所有行星，满足确定性，故C能组成集合； 对于D，函数图象上所有的点，满足确定性，故D能组成集合； 故选：B. 【变式1-3】（2026·高一·河北·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．跑得快的运动员 B．所有的正三角形 C．接近0的实数 D．著名的科学家 【答案】B 【解析】A.不具有确定性；故错误； B.符合集合元素的特征，所以所有的正三角形能构成集合，故正确； C.不具有确定性，故错误； D.不具有确定性，故错误； 故选：B 【方法技巧与总结】（判断一组对象能否组成集合的标准） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 题型 2：元素与集合的关系判定 【典例2】（2026·高一·山东聊城·开学考试）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 【变式2-1】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解析】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 【变式2-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【解析】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. 【变式2-3】已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 为有理数集，集合表示区间 内的所有有理数. 是无限不循环小数，属于无理数，不满足有理数条件，因此 即 . 【方法技巧与总结】判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 题型 3：依托元素‑集合关系求参 【典例3】（2026·高三·湖北·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由题意得，即，此时显然不成立，舍去， 或，此时集合，满足互异性， 所以. 【变式3-1】（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 【答案】A 【解析】由题意，若，， ， ， ， 易知为四个各不相同的实数，所以集合. 因此集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 【变式3-2】（2026·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【解析】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 【变式3-3】（2026·高三·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 【方法技巧与总结】 根据元素与集合的关系求参数，关键在于利用集合中元素的确定性、互异性，以及集合间的关系或运算结果。通过观察元素是否属于集合、集合间是否存在子集或交集等关系，我们可以建立关于参数的数学条件，进而求解出参数的具体值或取值范围。 题型 4：集合元素性质的运用 【方法技巧与总结】（根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的3个步骤） 【典例4】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 【变式4-1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【解析】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【变式4-2】（2026·全国·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为. 故选：C. 【变式4-3】（2026·高二·新疆·学业考试）数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由集合的互异性可得，即， 所以不能取的数值的集合是， 故选：D. 题型 5：列举法表示集合 【典例5】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 【答案】 【解析】当时， ；当时， ；当时， ； 当时， ；当时， ；当时， . 所以. 故答案为： 【变式5-1】（2026·高一·山东济南·期中）已知集合，则集合的所有元素之和为______. 【答案】5 【解析】由或. 所以. 则集合中的元素之和为. 故答案为：5 【变式5-2】（2026·高一·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 【答案】 【解析】当都为正数时，可得； 当都为负数时，可得； 当一正一负时，可得； 综上所述：所以集合. 故答案为：. 【变式5-3】（2026·高一·重庆开州·阶段检测）已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示___________． 【答案】 【解析】由有， 当方程有两个相等实数解时，，解得； 当方程可化为一元一次方程时，此时一元一次方程有一解，符合题意， 由于， 则令或，则或； 此时为或，只有一解， 所以集合. 故答案为：. 【方法技巧与总结】（用列举法表示集合的三个步骤） 1、求出集合的元素； 2、把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3、用花括号括起来． 题型 6：描述法表示集合 【方法技巧与总结】（描述法表示集合的2个步骤） 【典例6】用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【解析】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 【变式6-1】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【解析】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 【变式6-2】用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【解析】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 【变式6-3】（2026·高一·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【解析】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 题型 7：集合表示方法综合运用 【典例7】（2026·高一·上海·阶段检测）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 【解析】（1）由得， 当时，解得， 当时，，方程无解， 当时，解得， 综上所述，当时，原方程的解为； 当时，原方程无解； 当时，原方程的解为， （2）因为关于的方程存在两个不相等实根, 所以，得，或， 且， 所以， 解得， 当时，由解得，或，所以集合； 当时，由解得， 所以方程无解，所以集合； 综上所述，当时，集合； 当时，集合. 【变式7-1】已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合． 【解析】当时，化方程为． 方程有唯一实数根， 由判别式为零可得，得， 此时的解为，符合题意． 当时，有唯一实数解． 当时，有唯一实数解． ，，． 【变式7-2】求方程的解集． 【解析】令，则原方程化为． 两边平方，整理得， 即． 解得， 由知，所以， 即， 解得或． 经检验，原方程的解集为． 【变式7-3】设，，，若，试用列举法表示集合B． 【解析】将代入集合A中的方程并整理得. 因为，所以方程的两根为-3，1， 由韦达定理得 解得 所以. 将，代入集合B中的方程并整理得，解得或，所以. 【方法技巧与总结】（集合表示法中元素与集合的关系） 1、若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； 2、若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 题型 8：方程与集合综合问题 【典例8】已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【解析】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 【变式8-1】已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【解析】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 【变式8-2】用集合表示关于的方程的根组成的集合． （1）若集合是空集，求实数的取值范围； （2）若集合中仅有一个元素，求实数的值． 【解析】（1）若集合是空集，则关于的方程无解， 则有 即． （2）当时，原方程变为， 所以，此时集合中仅有一个元素2． 当时，要使一元二次方程有两个相等的实根， 需要，即． 此时方程的解为，集合中仅有一个元素4． 综上所述，或1． 【变式8-3】方程的根组成集合A．当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素． 【解析】A中有且只有一个元素，即有且只有一个根或有两个相等的实根． ①当时，方程的根为，符合题意； ②当时，由，得，此时方程有两个相等的根为. 综上，当时，集合A中的元素为；当时，集合A中的元素为. 【方法技巧与总结】 集合中元素的个数即为方程的根的个数． 题型 9：集合创新定义运算 【典例9】（2026·高一·广东广州·阶段检测）定义：若任意m，（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； 【解析】（1）由题可知 ①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 所以； （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， B的子集个数为4个，则B中有2个元素， 当时，解得或， 若，则，此时B中只有1个元素，故舍去， 若，则，符合， 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合， 若，则，符合， 当时，解得（舍去）， 综上所述，或或． 【变式9-1】（2026·高二·北京·学业考试）已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为，， 所以为中元素， 故. （2）取，此时， 满足. （3）不存在，理由： 当时，不存在集合，使得. （反证法） 假设时，存在集合，使得， 不妨设，且， 则， 所以为中7个不同的元素， 所以， 由解得. 此时，与矛盾， 所以假设不成立， 故不存在这样的集合. 【变式9-2】（2026·高一·北京房山·期中）已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）根据题意可得，, 所以. （2）令，且， 任取两个元素作和，可得：，共个， 任取两个元素作差，可得：，共个， 因此，，则有； 显然，当时，， 此时集合T中只有3个元素，因此， 对于是满足的任意4个实数， 必有， 显然，当时，集合S中只有5个元素， 因此，所以， 综上所述，的取值范围为. 【变式9-3】（2026·高一·北京·期中）设A是实数集的非空子集，称集合为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值． 【解析】（1）根据题意，， ， （2）设， 不妨设， 所以中元素个数大于等于7个， 所以生成集合中元素个数最小值为7. 【方法技巧与总结】 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性． 1．已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意得集合的元素为，不在集合中，因此不可能为3. 2．集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】找条件为大于1且小于等于5的自然数，则符合条件的元素为， 所以列举法表示为. 3．下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①，正确；②，正确； ③，错误；④，错误. 故判断正确的共2个. 4．下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】（1）一元一次方程 的实数解为，为有限集； （2）能被5整除的全体整数（末位是0或5的整数均可）有无数个，为无限集； （3）一周所有星期名称共7个，为有限集； （4）正奇数有无数个，为无限集. 所以有限集有2个. 5．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，方程组解集为点集，即为. 6．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，代入, 可得，解得，所以， 所以方程组的解集为. 7．已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以与集合的关系为， 故选项B正确，其他选项都错误. 故选：B. 8．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2 014且小于2 026的所有整数不能组成集合 【答案】AC 【解析】对于A，由于中国的所有直辖市是确定的，所以可以组成一个集合，故A正确； 对于B，由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，故B错误； 对于C，由于正偶数是确定的，所以正偶数的全体可以组成一个集合，故C正确； 对于D，由于大于2 014且小于2 026的所有整数是确定的， 所以大于2 014且小于2 026的所有整数能组成集合，故D错误． 9．（多选题）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【解析】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 10．（多选题）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【解析】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 11．（多选题）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD 【解析】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 12．（多选题）设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 【答案】AC 【解析】，，则的值必为奇数， 又，，故AC正确． 故选：AC 13．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【解析】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 14．由方程和的根组成的集合中的元素的个数为____. 【答案】3 【解析】方程，解得或. 方程，解得， 所以组成的集合为，共个元素. 故答案为： 15．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【解析】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 16．用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【解析】（1）由方程，得或， 所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 17．含有三个实数的集合，若且，求的值． 【解析】因为中，为分母，所以. 又因为，所以. 因为，且，所以或. 当时，不满足集合的互异性，故舍去. 当时，集合为 . 综上所述，，. 所以 1．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，变形为，得， 令，则，， 因为，所以为偶数，则为奇数，与一奇一偶， 由得， 可得， 当为奇数，则，，此时为偶数，有2027种情况； 当为偶数，则，，此时为奇数，有2027种情况； 所以共有4054种情况，即集合的元素个数为4054. 2．（多选题）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 3．（多选题）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，集合中元素绝对值的最小值为1， 易知当时，不存在使得成立，故错误； 对于，集合，对于任意的存在，使得成立，故C正确； 对于，集合，当时，， 易知当时不存在使得成立，故错误； 故选：AC 4．（多选题）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 【答案】ABD 【解析】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知，即0是任何数域中的元素，A正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确； 记则，但，所以集合不是一个数域，故C错误； 因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q是一个数域，故D正确． 故选：ABD 5．（多选题）已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有.则下列说法正确的是（    ） A． B．中所有元素之积可能为 C．中所有元素之积可能为1 D．若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 【答案】BCD 【解析】对于A选项：假设，则，又因为，则无意义，与题意矛盾，故A错误； 对于B选项：假设，则，则，则， 若中有3个元素，则，此时中所有元素之积，故B正确； 对于C选项：假设，则，则，则，则， 若中有4个元素，则，此时中所有元素之积，故C正确； 对于D选项：若由四个元素组成，则， 所有元素之和为3，即，化简得， 两边同时除以得， 所以或， 当时，， 当时，, 所以 所以，满足题意，故D正确. 故选：BCD. 6．定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 【答案】3 【解析】因为集合，， 根据定义可得， 所以集合中包含3个元素， 故答案为：3 7．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 【答案】7 【解析】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 8．根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【解析】（1）若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合，， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 9．已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求； (3)若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值． 【解析】（1）因为，所以． （2）因为，所以． 因为中除0外还有6个元素，所以中除0外至少还有4个元素． 因为中除0外有3个负数，3个正数，所以中除0外的4个数是1负3正或1正3负． ①若中除0外的4个数是1负3正，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． ②若中除0外的4个数是1正3负，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． 综上所述，或． （3）因为将中的所有元素均变为原来的相反数时，不变， 所以不妨设中正数个数不少于负数个数． ①当中没有负数时，设，其中， 则． 上式从小到大的数共有个，它们都是的元素，说明最少有10个元素． ②当中至少有一个负数时，设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，． 因为，其中从小到大的数共有个， 所以中至少有6个非正元素． 因为，所以中至少有3个正元素， 所以中至少有9个元素．综上所述，中至少有9个元素． 10．已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【解析】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 11．已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 【解析】（1）任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． （2），且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素. （3）不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合. （4）因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $