1.1 集合的概念【知识清单+8大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“集合的概念”核心知识点，系统梳理集合的含义（元素与集合定义及描述性、广泛性、整体性特性）、元素与集合的关系（属于与不属于）、表示方法（列举法、描述法等）与分类（有限集、无限集）、集合相等，构建从基础定义到应用的学习支架。 资料特色在于知识清单细致呈现核心概念，典型例题分类覆盖判断元素构成、元素与集合关系、表示方法应用、参数求解等，如典例六通过元素特性求参培养推理意识，典例三、四强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后检测助力学生查漏补缺，提升数学眼光与思维。

1.1 集合的概念 第一部分：知识清单 知识点1：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点2：元素与集合 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符号 或 2.集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点4：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 第二部分：典型例题汇总 典例一 判断元素能否构成集合 典例二 元素与集合的关系 典例三 集合的表示方法—列举法 典例四 集合的表示方法—描述法 典例五 判断是否为同一集合 典例六 集合中元素的特性及其求参 典例七 集合元素个数求参数 典例八 集合相等求参数 第三部分：典型例题 典例一 判断元素能否构成集合 1．（25-26高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 2．（2026高一上·全国·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．参加2026年高考的全体考生 B．小于的正整数 C．我校中成绩优异的学生 D．所有有理数 3．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 4．（25-26高一上·全国·专题训练）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 典例二 元素与集合的关系 5．（25-26高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）下列关系中正确的个数为（     ） ①    ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段检测）下列关系中，正确的个数为（    ） ①R；②Q；③N；④Z A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖北孝感·阶段检测）下列关系中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5），正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 典例三 集合的表示方法—列举法 9．（25-26高一上·全国·专题训练）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 10．（25-26高一上·全国·专题训练）集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 12．（25-26高一上·全国·专题训练）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 典例四 集合的表示方法—描述法 13．（25-26高一上·全国·专题训练）（多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 14．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 15．（25-26高一上·全国·专题训练）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有解组成的集合A； (2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B； (3)一年中有31天的月份的全体； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)不等式的解集. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合； (3)不等式的解构成的集合； (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解构成的集合． 典例五 判断是否为同一集合 17．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 18．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 20．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 典例六 集合中元素的特性及其求参 21．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D． 23．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 24．（25-26高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数__________. 25．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 26．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 典例七 集合元素个数求参数 27．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 28．（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 29．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 30．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 典例八 集合相等求参数 31．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 32．（25-26高三上·湖南岳阳·开学考试）集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 33．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知集合，则不等式的解集为______. 34．（25-26高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．方程的解集为 C．集合可以用列举法表示 D．集合与是两个相同的集合 4．（25-26高二下·河南焦作·期末）有下列四个命题中正确命题的个数是（    ） ①是空集；②集合有两个元素； ③若，则；④集合是有限集. A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2026高一·全国·专题练习）设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 6．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）（多选）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．方程的根 10．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 11．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．方程组的解集可表示为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．集合中含有3个元素 12．（25-26高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则__________. 13．（2026高三下·吉林·竞赛）设，则集合中的元素个数为______． 14．（25-26高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 15．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 16．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念 第一部分：知识清单 知识点1：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点2：元素与集合 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符号 或 2.集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点4：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 第二部分：典型例题汇总 典例一 判断元素能否构成集合 典例二 元素与集合的关系 典例三 集合的表示方法—列举法 典例四 集合的表示方法—描述法 典例五 判断是否为同一集合 典例六 集合中元素的特性及其求参 典例七 集合元素个数求参数 典例八 集合相等求参数 第三部分：典型例题 典例一 判断元素能否构成集合 1．（25-26高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 2．（2026高一上·全国·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．参加2026年高考的全体考生 B．小于的正整数 C．我校中成绩优异的学生 D．所有有理数 【答案】C 【分析】根据集合元素的确定性判断 【详解】对于A选项，参加2026年高考的全体考生，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于B选项，小于的正整数，研究的是正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于C选项，我校中成绩优异的学生，没有标准去鉴定成绩是否优异，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合； 对于D选项，所有有理数，研究的是有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 故选：C. 【点睛】考查集合的性质 3．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 4．（25-26高一上·全国·专题训练）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 典例二 元素与集合的关系 5．（25-26高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系、常见数集的定义判断即可. 【详解】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误. 故选：C. 6．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）下列关系中正确的个数为（     ） ①    ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】判断数所在数域，结合常用数集的定义即可得解. 【详解】因为为实数，所以，故①正确； 因为是无理数，所以，故②正确； 因为是正自然数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，④错误； 所以正确的个数为. 故选：B. 7．（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段检测）下列关系中，正确的个数为（    ） ①R；②Q；③N；④Z A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数集的概念以及元素与集合的关系进行判断． 【详解】对于①，④，R与Z是正确的，故①正确，④正确； 对于②，是无理数，故②错误； 对于③，N，故③错误； 故选：B． 8．（25-26高一上·湖北孝感·阶段检测）下列关系中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5），正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据实数集、有理数集、正整数集、自然数集的字母表示的符号逐一判断即可. 【详解】，所以①正确；，所以②正确；，所以③错误；，所以④错误；，所以⑤正确. 故选：C 典例三 集合的表示方法—列举法 9．（25-26高一上·全国·专题训练）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程，得或， 所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 10．（25-26高一上·全国·专题训练）集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列举法的知识确定正确答案. 【详解】找条件为大于1且小于等于5的自然数，则符合条件的元素为， 所以列举法表示为. 11．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表述集合用列举法即可表示； （2）根据表述集合用描述法即可表示； （3）根据表述集合用描述法即可表示. 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）用描述法：. 12．（25-26高一上·全国·专题训练）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4){黄色，红色} 【分析】确定出集合中的元素，利用集合的列举法求解即可. 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}. 典例四 集合的表示方法—描述法 13．（25-26高一上·全国·专题训练）（多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【详解】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 14．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 15．（25-26高一上·全国·专题训练）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有解组成的集合A； (2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B； (3)一年中有31天的月份的全体； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3){ 1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月} (4) (5) 【分析】选择适当方法表示集合即可. 【详解】（1）求出根，运用列举法， （2）根据点的规律，运用描述法，. （3）写出大月份，列举法，{ 1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. （4）根据整除特征，运用描述法． （5）解出不等式，运用描述法. 解集为 16．（25-26高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合； (3)不等式的解构成的集合； (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解构成的集合． 【答案】(1) (2)且 (3) (4) (5)或 【分析】（1）（4）（5）用列举法表示即可；（2）（3）用描述法表示即可. 【详解】（1）由，解得或， 所以方程的解构成的集合可表示为； （2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合可表示为且； （3）由，解得， 则不等式的解构成的集合可表示为； （4）大于且不大于的自然数有，，，，，， 所以大于且不大于的自然数的全体构成的集合可表示为； （5）由，解得， 所以方程组的解构成的集合可表示为或； 典例五 判断是否为同一集合 17．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 18．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 19．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据同一个集合概念进行判断即可. 【详解】A中，都是点集， 和是不同的点，则是不同的集合，所以A是； B中，都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，所以B不是； C中，表示函数的定义域，表示函数的值域，表示的范围相同，是同一个集合，所以C不是； D中，是数集，是点集，则是不同的集合，所以D是. 故选：AD 20．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 典例六 集合中元素的特性及其求参 21．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 22．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系，及集合的性质计算即可. 【详解】由题意可知，即或， 时，无意义，舍去；时，符合题意；即. 故选：B 23．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 24．（25-26高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数__________. 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 25．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 26．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素具有互异性的性质，即可做出判断. 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 典例七 集合元素个数求参数 27．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 28．（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 29．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 30．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 典例八 集合相等求参数 31．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 32．（25-26高三上·湖南岳阳·开学考试）集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题. 33．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知集合，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】集合，由集合相等及集合的互异性可得的值，代入即可得解集． 【详解】解： 若，则无意义， 故有 此时有， 或（舍去，因为中不满足集合的互异性） 代入得 ，解得此不等式解集为R， 故答案为R． 【点睛】本题考查集合相的条件，要特别注意求得的值不能使集合中的元素相同，本题难度不大． 34．（25-26高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据集合的互异性可得出答案. 【详解】根据集合的互异性，， 所以集合中的元素个数为. 故选：B. 2．（2026高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．方程的解集为 C．集合可以用列举法表示 D．集合与是两个相同的集合 【答案】D 【分析】根据集合的概念和表示对选项逐一判断即可. 【详解】对于A：因为0表示元素，不是集合，所以A错误； 对于B：因为集合的元素具有互异性，所以方程的解集是，所以B错误； 对于C：因为满足不等式的元素有无限个，无法一一列举，所以C错误； 对于D：因为集合的元素具有无序性，所以集合是两个相同的集合，所以D正确. 故选：D. 4．（25-26高二下·河南焦作·期末）有下列四个命题中正确命题的个数是（    ） ①是空集；②集合有两个元素； ③若，则；④集合是有限集. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系判断． 【详解】对于①，{0}中有一个元素0，不是空集，不正确； 对于②，解，得，所以，因此集合只有一个元素，不正确； 对于③，当时，且，不正确； 对于④，集合是有限集，正确. 故选：B. 5．（2026高一·全国·专题练习）设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【答案】D 【分析】先求得集合，由此求得. 【详解】解方程，因式分解得， 解得或故. 由得或. 6．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得， 所以. 7．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【分析】分和讨论即可. 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可. 【详解】当时，，故符合题意； 当时，由题意，解得，符合题意， 满足题意的值的集合是. 故选：D. 9．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）（多选）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．方程的根 【答案】BCD 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】对于A，美丽乡村不具有确定性，错误， 对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点，是确定的，正确， 对于C，不小于3的自然数，是确定的，正确， 对于D，解方程， 平方可得：， 移项平方可得：，即，元素确定，正确， 故选：BCD 10．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 【答案】AC 【分析】分析，的特点，得到的值必为奇数，再对选项是奇数的进行验证. 【详解】，，则的值必为奇数， 又，，故AC正确． 故选：AC 11．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．方程组的解集可表示为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．集合中含有3个元素 【答案】BC 【分析】求出解集判断AB；利用绝对值及方根的意义判断C；求出集合A判断D. 【详解】对于A，由二次根式和绝对值均为非负数，得方程的解为，解集为，A错误； 对于B，由，解得，因此给定集合表示为，B正确； 对于C，，当时，；当时，； 当时，，因此所组成的集合最多含2个元素，C正确； 对于D，由，得可取，即可取， 因此集合含有4个元素，D错误. 故选：BC 12．（25-26高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 13．（2026高三下·吉林·竞赛）设，则集合中的元素个数为______． 【答案】31 【分析】以集合为基础，通过线性组合构造集合，分析该组合的取值范围与连续性，即可最终确定集合的元素个数. 【详解】当时，得； 当时，得， 因为变量的系数为1，当固定时，取1，2，3，4可使连续取4个整数； 变量的系数分别为2，3，4，其组合可覆盖从10到40的所有整数，无间隔， 即10到40之间的所有整数都可以表示为的形式， 所以集合中的元素为从10到40的所有整数，共有个. 14．（25-26高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 【答案】 【分析】根据题意，由的符号，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求解 【详解】当都为正数时，可得； 当都为负数时，可得； 当一正一负时，可得； 综上所述：所以集合. 故答案为：. 15．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据集合中元素的特点及个数分别选择用列举法、描述法表示即可. 【详解】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示： （3）描述法表示为： （4）描述法表示为： 16．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【详解】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $