专题04 圆锥曲线中必考七类离心率问题（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题04 圆锥曲线中必考七类离心率问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 求椭圆的离心率】 2 【类型2 求椭圆的离心率的最值或取值范围】 7 【类型3 由椭圆的离心率求参数】 11 【类型4 求双曲线的离心率】 14 【类型5 求双曲线的离心率的最值或取值范围】 19 【类型6 由双曲线的离心率求参数】 24 【类型7 椭圆与双曲线离心率的综合问题】 27 知识点1 圆锥曲线的离心率及其求解方法 1．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 2．求椭圆离心率或其取值范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: 方法1：直接求出a, c，利用离心率公式求解. 方法2：由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. 方法3：构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 3．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 方法1：直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. 方法2：列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 5．抛物线的离心率 抛物线的离心率e =1. 知识点2 圆锥曲线的离心率的范围的求解方法 1．不等式法求离心率的范围 (1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解. (2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解. (3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解. (4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解. 2．函数法求离心率的范围 (1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； (2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； (3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围. 3．坐标法求离心率的范围 根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可. 【类型1 求椭圆的离心率】 1．（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求证四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义和离心率的定义可求. 【解答过程】由直线经过原点，且椭圆关于原点对称可知，四边形是平行四边形， 所以， 由椭圆定义得：，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 2．（25-26高二上·广东潮州·期末）设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助椭圆上的点到焦点的距离的最小值及椭圆定义可得周长的取值范围，即可得、间关系，即可得离心率. 【解答过程】设为椭圆：（）的右焦点， 周长， 由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为， 故， 由，， 故， 当且仅当、、三点共线时取等号， 故有，，即， 则，故. 故选：D. 3．（25-26高二上·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，根据椭圆的定义可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可. 【解答过程】设，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， 故，，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得，故. 故选：B. 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）若直线与椭圆交于两点，且，则的离心率为__________． 【答案】/ 【解题思路】将代入椭圆求出即可分析计算求解离心率. 【解答过程】将代入椭圆得. 所以，即， 所以，则的离心率为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意，分别求出B点和点坐标，可得b和c的值，根据的关系，可得a值，代入离心率公式，即可得答案. （2）由（1）得椭圆的方程，与直线l联立，可得A点横坐标，代入面积公式，即可得答案. 【解答过程】（1）因为直线过椭圆的左焦点和一个顶点B， 令，解得，则上顶点，即， 令，解得，则左焦点，即， 所以，则离心率 （2）由（1）得，椭圆的方程为，与直线联立 ，消去y得， 解得或，则A点的横坐标， 所以的面积.    6．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的左焦点为，上顶点为为的中点，且． (1)求椭圆的离心率； (2)直线，与椭圆有唯一公共点，与轴的正半轴相交，若的面积为，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据几何关系可得，再结合题干条件可得，以此求出离心率即可； （2）根据题意设直线l的方程为，联立椭圆方程，依据可求出m的值，再根据平行线间的距离公式求出的高，最后以的面积列等式求解即可． 【解答过程】（1）为直角三角形，为的中点， 则，又，所以， ，所以，所以椭圆离心率为． （2）如图所示， 由（1）可知，，又因为，所以可设直线l的方程为，， 联立，得， 又与椭圆有唯一公共点，故，即，即， 又所在直线方程为，直线与的距离为， ，解得，所以， 故椭圆的方程为． 【类型2 求椭圆的离心率的最值或取值范围】 7．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据得出，与联立得出即可求出. 【解答过程】由题意可知，， 设，则，， 因为， 所以， 则， 联立，得， 则，即，则解得， 故椭圆离心率的取值范围是. 故选：D. 8．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意，分析几何关系，建立关于的不等式，求解即可. 【解答过程】设交轴于点，则， ， 则，即， 即，结合椭圆离心率， 得， 则离心率的最小值为. 故选：D. 9．（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆在第一象限上的一个点，点与点关于原点对称，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先得出是矩形，结合椭圆的定义和勾股定理求出，利用解不等式即可. 【解答过程】由点与点关于原点对称，结合椭圆的对称性可知，是平行四边形， 因为，所以是矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为点是椭圆在第一象限上的一个点， 所以， 则，，， 因为，，所以， 则，即， 得，得， 得或（舍），即， 故椭圆的离心率的取值范围为. 故选：D. 10．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对称性得到平行四边形为矩形，根据得到，求出，上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，故，从而得到，得到答案. 【解答过程】由对称性可知，四边形为平行四边形， 因为，所以平行四边形为矩形， ，即， 由椭圆的定义可知，， 由勾股定理得，即， 故，， 由得， 故，，解得， 上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，故， 所以，即，所以，解得， 所以离心率的取值范围是 故选：B. 11．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】设是椭圆的左右焦点，进而结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【解答过程】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，可知， 又，所以， 因此，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，所以. 故答案为：. 12．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】用表示出，结合三角形的存在性判断即可. 【解答过程】 因为，且， 所以， 又因为， 所以在三角形中， ， 即， 所以， 又因为的最大值为， 所以， 所以， 故离心率的范围为. 故答案为：. 【类型3 由椭圆的离心率求参数】 13．（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将椭圆的方程转化为椭圆的标准方程，进而结合的范围得，再根据离心率公式计算即可得答案. 【解答过程】椭圆变形为， 因为，所以，所以椭圆的焦点在轴上，， 所以离心率，解得. 故选：D. 14．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【解答过程】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 15．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解题思路】由椭圆的离心率求法得，进而求目标式的值. 【解答过程】由题设，可得， 所以. 故选：C. 16．（25-26高二上·辽宁·期中）记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 17．（24-25高二上·广东茂名·期末）焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为__________. 【答案】4 【解题思路】根据离心率公式计算求参即可. 【解答过程】由，故离心率为，解得. 故答案为：4. 18．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】根据椭圆的方程和离心率公式可得到，结合椭圆的离心率的取值范围解不等式即可. 【解答过程】依题意，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以， 又椭圆的离心率为，所以， 即，即，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【类型4 求双曲线的离心率】 19．（25-26高二上·天津河东·阶段检测）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的渐近线方程求出，进而求出离心率. 【解答过程】双曲线的渐近线方程为， 依题意，，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 20．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支相交于P、Q两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，，，易得，令，则，利用双曲线的性质可得，可求出、，结合勾股定理可求得结果. 【解答过程】如下图所示： 由，不妨设，则，， 于是，，设，则， 由双曲线的定义得， 即，解得，因此，解得， ，，由勾股定理得， 即，解得，所以该双曲线的离心率为. 故选：B. 21．（25-26高二上·贵州遵义·期末）设，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，若的平分线垂直于，且交轴于点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】根据角平分线性质可得，，结合双曲线定义可得，，利用余弦定理列式求解即可. 【解答过程】因为为的平分线，且，，， 则，即， 由双曲线定义可得，即，解得， 又因为的平分线垂直于，则， 可得，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 整理可得，所以双曲线的离心率为. 故选：D. 22．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，分别是双曲线的左、右焦点.是坐标原点.过作一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为___________. 【答案】 【解题思路】根据题意可得，则，在中，由正弦定理可得：，再结合余弦定理化简可得，由双曲线的离心率公式即可求解. 【解答过程】由于直线的方程为，点， 由于， 所以， 则, 所以，则, 在中，由正弦定理可得：,则， 所以, 在中，由余弦定理可得：, 则,由， 化简可得：，则, 所以双曲线的离心率, 故答案为：. 23．（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为、. (1)求双曲线的方程和离心率； (2)过且斜率为1的直线与双曲线交于两点，求线段的长度. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据渐近线方程结合求出，再利用求出，即可求出答案； （2）由题意求出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，再利用弦长公式即可求解. 【解答过程】（1）由题意得，又，所以， 所以， 所以双曲线的方程为，离心率. （2）设，， 由题意得，则直线的方程为， 联立双曲线方程得，即， 所以，， 所以. 所以线段的长度为. 24．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的离心率； (2)若，直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据焦点到双曲线渐近线的距离得出的关系，结合的关系得出的关系即可求解； （2）由（1）得出双曲线标准方程，利用点差法求出直线斜率，从而得出直线方程，然后联立直线与双曲线的方程组，化简写出韦达定理，最后利用弦长公式计算即可. 【解答过程】（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 故焦点到渐近线的距离， 所以即， 所以. （2）因为，所以， 所以双曲线的方程为：， 如图所示：    设点，，因为是弦的中点， 则， 由于，，所以两式相减得， 所以， 即直线的斜率为，     所以直线的方程为， 即． 联立消去并整理， 得， 所以， 且，， 所以. 【类型5 求双曲线的离心率的最值或取值范围】 25．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【解答过程】根据双曲线的定义，有， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时， 所以，又， 则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D. 26．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线方程，可得渐近线方程，设，设PA中点为Q，根据中点坐标公式，可得Q点坐标，根据Q在渐近线上，代入可得，由题意，点P为圆M与直线的公共点，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线距离公式，计算化简，即可得答案. 【解答过程】根据双曲线方程可得，渐近线方程为，即， 设，设PA中点为Q，由，得， 因为Q在渐近线上，所以，即， 所以点P为圆M与直线的公共点， 由题意圆M的圆心为，半径为2， 则圆心M到直线的距离，， 得到，解得. 故离心率的取值范围为. 故选：B. 27．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知双曲线（，）的焦距为，左、右顶点分别为，，过作轴的垂线与的渐近线交于，两点，若，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出双曲线渐近线方程及顶点坐标，进而求出线段长，再利用三角形面积列出不等式求解. 【解答过程】双曲线的渐近线方程为，， 直线与渐近线方程联立得，则，， 由，得，即，则， 整理得，即，而，解得， 所以的离心率的取值范围为. 故选：A. 28．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知点为双曲线 的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】由得，整理得： ，与双曲线方程联立得： ，计算即可. 【解答过程】点为双曲线 的右顶点， ， 若上存在一点（不与点重合），使得，设， ， ，， ， 整理得： ， 与双曲线方程联立得：， 整理得：， 解得： ， 由题意知要使点P存在，须，解得， 又P不与A重合，故，则点P必在双曲线右支上， 则， 整理得：即，结合， . 故答案为：. 29．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）设双曲线与直线相交于不同的两点. (1)若求直线与双曲线相交所得的弦长； (2)求离心率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）时，联立直线与双曲线方程，代入弦长公式计算即可得出. （2）联立得：，因为有两个不同的交点，所以，解得，双曲线的离心率，求得的取值范围. 【解答过程】（1）由得 显然恒成立，设两交点分别为， 所以， 故弦长； 直线与双曲线相交所得的弦长. （2） 由双曲线与直线相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的实数解. 消去并整理得：， 所以，解得且. 所以双曲线的离心率. 因为且，所以且. 故离心率e的取值范围为. 30．（25-26高二上·重庆九龙坡·期末）设双曲线的右焦点为，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于两点． (1)若，求的离心率的取值范围； (2)若恒为锐角，求的实轴长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可； （2）设直线l的方程，与双曲线方程联立，以双曲线的实半轴长和表示，两点坐标，根据恒为锐角，转化为，代入坐标计算，由关于m的不等式恒成立，求得a的取值范围. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为，所以，，所以， 则的离心率， 又，所以的离心率的取值范围是. （2）因为，直线的斜率不为零，所以可设其方程为. 结合， 联立消去整理得， 设，由韦达定理得， 由于两点均在的右支上，故，即. 则 . 由恒为锐角，得对，均有， 即恒成立. 由于，因此不等号左边是关于的增函数， 所以只需时，成立即可，解得， 结合，可知的取值范围是. 综上所述，的实轴长的取值范围是. 【类型6 由双曲线的离心率求参数】 31．（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【解题思路】将双曲线的方程化为标准式，可得出，由离心率得出关于的等式，求解即可. 【解答过程】因为双曲线的焦点在轴上， 所以其标准方程为 所以， 所以解得． 又因为双曲线的离心率，所以． 又，所以， 即， 即，解得或（舍去）． 故选：C． 32．（25-26高二上·河南·阶段检测）设双曲线，的离心率分别为，.若，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解题思路】根据离心率列方程，从而求得. 【解答过程】，，因为，所以，解得. 故选：B. 33．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断双曲线的焦点位置，写出，利用离心率列出方程，求解即得. 【解答过程】由双曲线的方程可知其焦点在轴上，， 因，，，， 则，解得，符合题意． 故选：A. 34．（25-26高二上·重庆渝北·期中）若双曲线的离心率为3，则___________. 【答案】 【解题思路】分若焦点在轴、轴上两种情况，求出的范围，结合离心率的定义求解. 【解答过程】若焦点在轴上，则，，得， 则，得，满足题意； 若焦点在轴上，则，，无解， 则. 故答案为：. 35．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知双曲线C：，为双曲线C的两个焦点. (1)若双曲线C的离心率，求实数m的取值范围； (2)若，为双曲线C上一点，且，求的值. 【答案】(1)； (2)10. 【解题思路】（1）根据离心率公式及关系，结合题意列式求解即可； （2）根据双曲线的定义及勾股定理列式求解即可. 【解答过程】（1）因为 ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. （2）当时，双曲线， 所以， 所以， 所以， 所以.. 36．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线C：（）. (1)若双曲线的离心率，求实数m的值； (2)若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； (3)直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率公式求解即可； （2）根据双曲线的离心率公式的运用，计算求解即可； （3）联立直线与双曲线C，消去y解一元二次方程，再由双曲线C与直线相交于互异两点列出不等式组，求解即可； 【解答过程】（1）由已知， 可得，解得； （2）由已知， 可得；解得； （3）联立方程组；消去y得 而双曲线C与直线相交于互异两点， 等价于不等式组， 解得或；依题意得， 当时，；当时，； 所以k的取值范围是. 【类型7 椭圆与双曲线离心率的综合问题】 37．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，根据椭圆与双曲线的定义可得，从而可得，于是可得的取值范围. 【解答过程】设椭圆与双曲线的焦距为，则， 由椭圆与双曲线的定义得，可得， 因为，所以，即， 则，故，且，则 所以， 由于函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 故选：C. 38．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）若双曲线的离心率是椭圆离心率的6倍，则正实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆和双曲线的离心率计算公式即可求解． 【解答过程】椭圆的离心率， 双曲线的离心率 由题意可知，解得． 故选：D． 39．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合题意，利用，找到，的关系，再应用均值不等式求的最小值即可. 【解答过程】设公共半焦距为，,， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点， 所以，， 由椭圆和双曲线定义可知，，， 所以， 又因为，所以， 所以，所以，即， 所以，即. 所以 （当且仅当，即时取等号）. 故选：A. 40．（25-26高三下·山东·开学考试）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由的垂直平分线经过点，可得，再利用椭圆和双曲线定义，可得到，故，利用对勾函数性质求出的范围. 【解答过程】不妨设设双曲线的实轴为轴，中心为原点， 根据题意，可得椭圆和双曲线在同一直角坐标系中的大致位置，如图.    因为的垂直平分线经过点，所以， 记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为， 由椭圆的定义得，所以； 由双曲线的定义得，所以. 所以，所以， 所以. 所以， 又，所以，， 由函数在单调递减，可得， 所以， 所以. 故选：B. 41．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】设半焦距为，根据椭圆与双曲线的定义可得，，由得，从而可得，由的范围即可求的取值范围. 【解答过程】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为， 于是得，. 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在轴上，在轴右侧，如图， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，. 因为，即， 而是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有. 又，则有，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 42．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义，可求得，又根据中垂线的性质，可得，进而可求得，代入所求代数式，结合双曲线离心率的性质和不等式，即可求解. 【解答过程】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，焦距都为， 根据椭圆定义，可得①， 根据双曲线定义，可得，又，所以②， 联立①②，可求得， 又线段的中垂线过，所以， 所以，所以，即，所以， 所以， 又根据双曲线的性质，可得，所以，所以， 即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线中必考七类离心率问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 求椭圆的离心率】 2 【类型2 求椭圆的离心率的最值或取值范围】 4 【类型3 由椭圆的离心率求参数】 4 【类型4 求双曲线的离心率】 5 【类型5 求双曲线的离心率的最值或取值范围】 6 【类型6 由双曲线的离心率求参数】 7 【类型7 椭圆与双曲线离心率的综合问题】 8 知识点1 圆锥曲线的离心率及其求解方法 1．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 2．求椭圆离心率或其取值范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: 方法1：直接求出a, c，利用离心率公式求解. 方法2：由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. 方法3：构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 3．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 方法1：直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. 方法2：列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 5．抛物线的离心率 抛物线的离心率e =1. 知识点2 圆锥曲线的离心率的范围的求解方法 1．不等式法求离心率的范围 (1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解. (2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解. (3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解. (4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解. 2．函数法求离心率的范围 (1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； (2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； (3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围. 3．坐标法求离心率的范围 根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可. 【类型1 求椭圆的离心率】 1．（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东潮州·期末）设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）若直线与椭圆交于两点，且，则的离心率为__________． 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 6．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的左焦点为，上顶点为为的中点，且． (1)求椭圆的离心率； (2)直线，与椭圆有唯一公共点，与轴的正半轴相交，若的面积为，求椭圆的方程． 【类型2 求椭圆的离心率的最值或取值范围】 7．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆在第一象限上的一个点，点与点关于原点对称，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 12．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围为__________. 【类型3 由椭圆的离心率求参数】 13．（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 14．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 16．（25-26高二上·辽宁·期中）记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·广东茂名·期末）焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为__________. 18．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是__________. 【类型4 求双曲线的离心率】 19．（25-26高二上·天津河东·阶段检测）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支相交于P、Q两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 21．（25-26高二上·贵州遵义·期末）设，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，若的平分线垂直于，且交轴于点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 22．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，分别是双曲线的左、右焦点.是坐标原点.过作一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为___________. 23．（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为、. (1)求双曲线的方程和离心率； (2)过且斜率为1的直线与双曲线交于两点，求线段的长度. 24．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的离心率； (2)若，直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求弦的长． 【类型5 求双曲线的离心率的最值或取值范围】 25．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知双曲线（，）的焦距为，左、右顶点分别为，，过作轴的垂线与的渐近线交于，两点，若，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知点为双曲线 的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为__________. 29．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）设双曲线与直线相交于不同的两点. (1)若求直线与双曲线相交所得的弦长； (2)求离心率的取值范围. 30．（25-26高二上·重庆九龙坡·期末）设双曲线的右焦点为，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于两点． (1)若，求的离心率的取值范围； (2)若恒为锐角，求的实轴长的取值范围． 【类型6 由双曲线的离心率求参数】 31．（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 32．（25-26高二上·河南·阶段检测）设双曲线，的离心率分别为，.若，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 33．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 34．（25-26高二上·重庆渝北·期中）若双曲线的离心率为3，则___________. 35．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知双曲线C：，为双曲线C的两个焦点. (1)若双曲线C的离心率，求实数m的取值范围； (2)若，为双曲线C上一点，且，求的值. 36．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线C：（）. (1)若双曲线的离心率，求实数m的值； (2)若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； (3)直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 【类型7 椭圆与双曲线离心率的综合问题】 37．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）若双曲线的离心率是椭圆离心率的6倍，则正实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 39．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高三下·山东·开学考试）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是___________. 42．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $