第3章 阶段小测（五）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

阶段小测（五） （时间：120分钟 满分：100分） 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意得，当 的斜率为0时，不满足要求，设直线 的方程为，联立 得，设,，则，故，则. 2．已知抛物线，过点,的直线与相交于，两点，且为弦的中点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.显然直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为，由 消去 得，，由弦 的中点为,，得，此时方程 有两个不等实根，所以直线 的方程为，即. 3．已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于,两点，若，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.依题意，设直线 的方程为，由 得，所以，所以，解得，所以直线 的斜率为. 4．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，直线与交于，两点，若，，，四点构成的梯形的面积为18，则（ ） A. 14 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】选.将 代入，得，将 代入，得，所以，因为，，，四点构成的梯形的面积为18，所以，解得，故由抛物线定义知. 5．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】选.如图，,，直线 的方程为 代入 中，消去 整理得，，显然,设,，由根与系数的关系可得 因为,， 所以 ， 将 代入可得，，解得. 6．在直角坐标系中，已知点,,，动点满足线段的中点在曲线上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】选.设，的中点为，则. 即 代入 得到，化简得到，即，则 的轨迹为抛物线，焦点恰好是，过 向抛物线的准线作垂线，垂足为,如图所示.由抛物线定义，知，当,,三点共线时，最小，最小值为. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 7．已知抛物线的焦点为,为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. B. 以为直径的圆与轴相切 C. 的坐标为 D. 【答案】AB 【解析】选.抛物线 的焦点为，故 错误； 点 在抛物线 上，若，则，所以，故 正确； 将 代入，得，故 或，所以，故 错误； 所以以 为直径的圆的圆心为,或,，半径为，所以圆心，或，到 轴的距离为 等于圆的半径，故以 为直径的圆与 轴相切，故 正确. 8．已知抛物线的焦点为，且,,三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为, B. 若直线过点，为坐标原点，则 C. 若，则线段的中点到轴距离的最小值为 D. 若直线，是圆的两条切线，则直线的方程为 【答案】ABD 【解析】选.对于，因为 在抛物线上，所以，解得，所以,，故 正确； 对于，显然直线 的斜率不为0，设直线 的方程为,,，由 得，所以，所以，所以，故 正确； 对于，因为，当且仅当，，三点共线时，等号成立，所以，所以，即线段 的中点到 轴距离的最小值为，故 错误； 对于，显然直线，的斜率存在且不为0.直线 的斜率为，所以直线 的方程为，即，又直线 与圆 相切，所以，整理得，即，同理可得，所以直线 的方程为，故 正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 9．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该抛物线的焦点到准线的距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为 轴，建立平面直角坐标系，依题意可得 的坐标为,，设抛物线的标准方程为，则，解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为. 10．已知动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于,两点，则_ _ _ _ . 【答案】6 【解析】如图，设动圆 的圆心，由题意得，两边取平方，，化简得，故圆心 的轨迹方程为. 联立方程 消去 整理得，.设,， 则,，故. 11．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上除外的任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】根据题意可设,，，，又，， 所以,， 所以 即 所以,， 所以， 当且仅当，即 时，等号成立，所以直线 的斜率的最大值为. 四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 12．（本小题满分13分）已知在抛物线上的第一象限的点到其焦点的距离为2. （1） 求抛物线的方程和点的坐标；（5分） （2） 过点，的直线交抛物线于，两点，若的平分线与轴垂直，求弦的长.（8分） 【答案】（1） 解：由，可得,故抛物线 的方程为,当 时，,又因为,所以,所以点 的坐标为. （2） 由题意可得直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为,,, 由 得,所以,,,因为 的平分线与 轴垂直，所以,即,所以,,,所以. 13．（本小题满分15分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2. （1） 求的方程；（4分） （2） 已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.（11分） 【答案】 （1） 解：由抛物线的定义可知，焦点 到准线的距离为,故, 所以 的方程为. （2） 由（1）知，设, 则, 所以. 由点 在抛物线 上可得, 方法一（基本不等式法）, 所以直线 的斜率. 当 时，. 当 时，, 当 时，, 此时,当且仅当, 即 时，等号成立； 当 时，. 综上，直线 斜率的最大值为. 方法二（换元法），由 得，.设直线 的斜率为, 则. 令,则, 因为二次函数 图象的对称轴为直线,且当 时，,所以,则.故直线 斜率的最大值为. 14．（本小题满分15分）已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，满足. （1） 求抛物线的方程；（7分） （2） 过点且斜率为1的直线被抛物线截得的弦为，若点在以为直径的圆内，求的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：由题意，知,,则直线 的方程为.设,, 由 得. 又,则. 由抛物线的定义可得,解得,所以抛物线 的方程为. （2） 设直线 的方程为,代入,得,由,得.设,,则,.又,所以,. 因为点 在以 为直径的圆内，所以 为钝角，即,得,得,所以,得,解得,满足,所以 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $