周周测13 第三章圆锥曲线专题复习（数学人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 2026-2027学年高二上学期数学周周测13聚焦圆锥曲线专题，通过8道单选（40分）、3道多选（18分）、3道填空（15分）及5道解答题（77分），覆盖椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质及综合应用，层次分明地考查抽象能力、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|椭圆焦点坐标、双曲线离心率、抛物线定义|基础巩固，聚焦核心概念辨析| |多选|3/18|抛物线切线、椭圆焦点三角形、对称点性质|能力提升，考查多维度推理| |填空|3/15|双曲线渐近线、果圆周长与弦长|创新应用，结合图形情境| |解答题|5/77|轨迹方程、面积定值与最值、中点弦问题|综合探究，体现逻辑推理与运算能力，如17题动直线与双曲线位置关系论证面积定值，19题面积最大值求解|

2026-2027学年高二上学期数学周周测13 第三章圆锥曲线专题复习 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 4．已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知点，点P在抛物线上，则点P到x轴的距离与到点Q的距离之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知抛物线，为抛物线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有一条 B．动点到直线的最小距离为 C．动点到直线的距离与到轴距离之和的最小值为1 D．过作直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则直线斜率为1 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B，若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（    ） A．为定值4 B．的面积为 C．直线PB，QB的斜率之积为定值 D．四边形不可能是矩形 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．如图,我们把由半椭圆：和半椭圆:合成的曲线称作“果圆”.,是曲线的焦点,是曲线的焦点,则的周长为______.过且斜率为的直线交曲线于两点,则=________．    10．如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为________． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知椭圆，直线与椭圆C相交于A，B两点. (1)求实数m的取值范围； (2)证明：线段AB的中点P在定直线上.并求这条定直线的方程； (3)当直线l不过原点O时，求的面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测13 第三章圆锥曲线专题复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆：的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】先化为标准方程，求得，判断焦点位置，写焦点坐标. 【详解】因为椭圆：， 所以标准方程为， 解得， 因为焦点在y轴上， 所以焦点坐标为，. 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的渐近线方程结合两直线垂直斜率关系得到，再由离心率的齐次式计算可得. 【详解】由题意，得双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以渐近线为，且，解得， 所以双曲线的离心率． 故选：B． 3．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，结合题意以及抛物线定义建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，准线， 由题意可得，且， 则点到准线的距离，解得， 所以焦点. 故选：D. 4．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，得，，.    设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故选：C. 5．已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用双曲线定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知，即，得. 故选：D. 6．已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，利用斜率坐标公式，结合椭圆方程列式求出，进而求出离心率. 【详解】椭圆的左顶点，设点，则， 且，由直线AP，AQ的斜率之积为，得， 所以椭圆的离心率. 故选：A 7．已知点，点P在抛物线上，则点P到x轴的距离与到点Q的距离之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知抛物线焦点为，准线为，过点P做准线垂线，垂足为N，由抛物线定义可知，.点P到x轴的距离与到点Q的距离为. 【详解】由题可得抛物线焦点为，准线为，如图过点P做准线垂线，垂足为N， 由抛物线定义可知，. 点P到x轴的距离与到点Q的距离为. 当三点共线时，距离之和最小，则. 故选：C 8．已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的定义列式即可求的范围. 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， 依题意，， 而椭圆的离心率， 双曲线的离心率， 因此， 由，得，∴， ∴，∴. 即. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知抛物线，为抛物线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有一条 B．动点到直线的最小距离为 C．动点到直线的距离与到轴距离之和的最小值为1 D．过作直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则直线斜率为1 【答案】BCD 【分析】由抛物线的性质可知A错误，求出过点且与直线平行的抛物线切线方程可得B正确；利用抛物线定义将距离之和的最小值转化为焦点到直线的距离的最值问题可得C正确；联立直线和抛物线方程并利用的中点坐标求得直线方程可得D正确. 【详解】对于A，如下图所示：    过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条， 一条是以为切点的切线，另一条是过点A且斜率为0的直线；所以A错误； 对于B，将直线平移到与抛物线相切，切点为A时，动点到直线的距离最小，如下图所示：    不妨设切线方程为，联立并整理可得， 此时，解得，即切线为； 此时两平行线之间的距离最小为,即B正确； 对于C，易知抛物线焦点，准线方程为， 作垂直于准线，垂直于直线，如下图所示：    由抛物线定义可得，所以动点到轴的距离为， 而动点到直线的距离为， 所以动点到直线的距离与到轴距离之和为， 显然当三点共线时，距离之和最小； 最小值为焦点到直线的距离再减去1，即，可知C正确； 对于D，设过点的直线的方程为，； 与抛物线联立并整理可得， 由韦达定理可得， 若线段的中点坐标为，可得，可得， 又在直线上，解得，即，即直线斜率为1，可得D正确. 故选：BCD 10．已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B，若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（    ） A．为定值4 B．的面积为 C．直线PB，QB的斜率之积为定值 D．四边形不可能是矩形 【答案】AC 【分析】A.先判断四边形是平行四边形，再根据椭圆的定义求解即可； B.先求出，，然后利用三角形的面积公式求解； C.设出点P的坐标，利用斜率计算公式求直线PB，QB的斜率之积即可； D.利用椭圆的对称性求的最大值，结合A选项即可得到结果. 【详解】A选项：根据对称性，连接OP，OQ；则，，易知四边形是平行四边形， 则，所以，故A正确； B选项：由题意知，， 所以的面积为，故B不正确； C选项：由题意得，设，则， 所以，故C正确； D选项：因为，所以， 则，故椭圆上存在点P，使得， （点拨：根据椭圆的对称性知，当点P位于椭圆的上顶点或下顶点处时， 最大，找到此特殊位置，判断最大角的情况，即可判断满足题意的点P是否存在） 又四边形是平行四边形，所以四边形可能是矩形，故D不正确. 故选：AC 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为C上一点，则（   ） A．长轴长为8 B．存在点P使得 C．内切圆半径的最大值为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】求解长轴长判断A；假设存在点P使得，利用椭圆定义、勾股定理可判断B；设内切圆半径为，根据三角形面积相等、的范围，求出取得最大值可判断C；设，求出，根据的范围可判断D. 【详解】，，所以，， 对于A，长轴长为，故A正确； 对于B，假设存在点使得，由题意可得， 整理可得，因为，方程无解， 故不存在点使得，故B错误； 对于C，设内切圆半径为， 由， 即，若能构成三角形，则， 显然当取得最大值时，取得最大值为，故C正确； 对于D，设，则，，且， ， 所以， 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【分析】由双曲线方程确定一个焦点、一条渐近线，利用点线距离公式列方程求参数b，即可写出渐近线方程. 【详解】由题设，双曲线其中一个焦点为，一条渐近线为， 所以，故该双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 13．如图,我们把由半椭圆：和半椭圆:合成的曲线称作“果圆”.,是曲线的焦点,是曲线的焦点,则的周长为______.过且斜率为的直线交曲线于两点,则=________．    【答案】 【分析】(1)根据椭圆方程，求得三个焦点坐标，结合距离公式求得的周长即可. (2)根据点斜式得出直线的方程，与椭圆联立，代入弦长公式即可. 【详解】(1)由题意得 的周长为 故答案为：. (2)根据题意得直线的方程为 将直线与曲线联立,得 设则 弦长. 故答案为：；. 14．如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】根据双曲线的对称性及中点，得到，结合为的一条渐近线，得到，进而得到，最后在中利用余弦定理得到、之间的关系，最后求出渐近线方程. 【详解】设的右焦点为，连接，. 因为，分别是，的中点，所以． 又直线是的一条渐近线，所以，故． 由双曲线的对称性，得． 由，得． 又，所以，． 在中，由余弦定理得，整理得， 所以，，所以直线的方程为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据题意，求出的值，代入椭圆方程即得； （2）将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用中点的横坐标建立方程，求出的值，即得直线l的方程. 【详解】（1）椭圆E经过点，， 椭圆E的长轴长是短轴长的倍，， 椭圆E的标准方程为； （2） 如图，设， 由消去得：， 由，可得， 则， 线段中点的横坐标为， ， 解得，则，因两个值都满足， 故直线l的方程为，即或. 16．已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且． (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于P，Q两个不同的点．若，求实数m的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用抛物线的定义求解标准方程； （2）利用两个平面向量的垂直，数量积为0，结合韦达定理求参数的值； 【详解】解：（1）已知抛物线过点，且，则， ，故抛物线的方程为． （2）设，，联立， 消去y，整理得， 由，得，且，． 由得 ， 或． 经检验，当时，直线l与抛物线的交点中有一点与原点O重合，不符合题意，由知符合题意． 综上，实数m的值为． 17．已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明如下： 当直线的斜率不存在时，的方程为，此时. 当直线的斜率存在时，不妨设，且. 联立方程组得. 由，得. 联立方程组，得. 不妨设与的交点分别为，则. 同理可求，所以. 因为原点到的距离，所以. 因为，所以. 故的面积为定值，定值为. 【分析】（1）由点到直线的距离公式、离心率公式以及平方关系再结合已知即可求解. （2）当直线的斜率存在时，不妨设，且.动直线与相切可得即，再由弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形面积，结合即可得解. 【详解】（1）设右焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为. 因为，所以. 故的方程为. （2）略 18．设点O为坐标原点，P是圆A：上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线分别交于M，N两点，求面积S的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据几何知识得到Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线，然后求轨迹方程即可； （2）设直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据恰有一个公共点得到，联立直线与渐近线方程，利用韦达定理求三角形面积的最小值即可. 【详解】（1） ， 则Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线， 设方程为，则，，， 所以Q的轨迹方程为． （2） 设l：，代入曲线C的方程得， 由已知得且，即， 将l：，代入得， 设，，则，， 直线l与x轴交点为， 则 由得，即， 则当时，S最小值为． 19．已知椭圆，直线与椭圆C相交于A，B两点. (1)求实数m的取值范围； (2)证明：线段AB的中点P在定直线上.并求这条定直线的方程； (3)当直线l不过原点O时，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可； （3）根据点到直线距离公式，结合椭圆弦长公式，三角形面积公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）由， 因为椭圆，直线与椭圆C相交于A，B两点， 所以， 所以实数m的取值范围为； （2）设，由上可知， 因此， 设， 因为线段AB的中点为P， 所以， 因此直线的方程为； （3）当直线l不过原点O时，， 原点到直线的距离为， 由上可知， ， 所以的面积为， ，即， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 因此有， 所以的面积的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测13 第三章圆锥曲线专题复习 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的渐近线方程结合两直线垂直斜率关系得到，再由离心率的齐次式计算可得. 【详解】由题意，得双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以渐近线为，且，解得， 所以双曲线的离心率． 故选：B． 2．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，结合题意以及抛物线定义建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，准线， 由题意可得，且， 则点到准线的距离，解得， 所以焦点. 故选：D. 3．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，得，，.    设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故选：C. 4．已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用双曲线定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知，即，得. 故选：D. 5．已知点，点P在抛物线上，则点P到x轴的距离与到点Q的距离之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知抛物线焦点为，准线为，过点P做准线垂线，垂足为N，由抛物线定义可知，.点P到x轴的距离与到点Q的距离为. 【详解】由题可得抛物线焦点为，准线为，如图过点P做准线垂线，垂足为N， 由抛物线定义可知，. 点P到x轴的距离与到点Q的距离为. 当三点共线时，距离之和最小，则. 故选：C 6．已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的定义列式即可求的范围. 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， 依题意，， 而椭圆的离心率， 双曲线的离心率， 因此， 由，得，∴， ∴，∴. 即. 故选：D 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知抛物线，为抛物线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有一条 B．动点到直线的最小距离为 C．动点到直线的距离与到轴距离之和的最小值为1 D．过作直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则直线斜率为1 【答案】BCD 【分析】由抛物线的性质可知A错误，求出过点且与直线平行的抛物线切线方程可得B正确；利用抛物线定义将距离之和的最小值转化为焦点到直线的距离的最值问题可得C正确；联立直线和抛物线方程并利用的中点坐标求得直线方程可得D正确. 【详解】对于A，如下图所示：    过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条， 一条是以为切点的切线，另一条是过点A且斜率为0的直线；所以A错误； 对于B，将直线平移到与抛物线相切，切点为A时，动点到直线的距离最小，如下图所示：    不妨设切线方程为，联立并整理可得， 此时，解得，即切线为； 此时两平行线之间的距离最小为,即B正确； 对于C，易知抛物线焦点，准线方程为， 作垂直于准线，垂直于直线，如下图所示：    由抛物线定义可得，所以动点到轴的距离为， 而动点到直线的距离为， 所以动点到直线的距离与到轴距离之和为， 显然当三点共线时，距离之和最小； 最小值为焦点到直线的距离再减去1，即，可知C正确； 对于D，设过点的直线的方程为，； 与抛物线联立并整理可得， 由韦达定理可得， 若线段的中点坐标为，可得，可得， 又在直线上，解得，即，即直线斜率为1，可得D正确. 故选：BCD 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B，若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（    ） A．为定值4 B．的面积为 C．直线PB，QB的斜率之积为定值 D．四边形不可能是矩形 【答案】AC 【分析】A.先判断四边形是平行四边形，再根据椭圆的定义求解即可； B.先求出，，然后利用三角形的面积公式求解； C.设出点P的坐标，利用斜率计算公式求直线PB，QB的斜率之积即可； D.利用椭圆的对称性求的最大值，结合A选项即可得到结果. 【详解】A选项：根据对称性，连接OP，OQ；则，，易知四边形是平行四边形， 则，所以，故A正确； B选项：由题意知，， 所以的面积为，故B不正确； C选项：由题意得，设，则， 所以，故C正确； D选项：因为，所以， 则，故椭圆上存在点P，使得， （点拨：根据椭圆的对称性知，当点P位于椭圆的上顶点或下顶点处时， 最大，找到此特殊位置，判断最大角的情况，即可判断满足题意的点P是否存在） 又四边形是平行四边形，所以四边形可能是矩形，故D不正确. 故选：AC 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．如图,我们把由半椭圆：和半椭圆:合成的曲线称作“果圆”.,是曲线的焦点,是曲线的焦点,则的周长为______.过且斜率为的直线交曲线于两点,则=________．    【答案】 【分析】(1)根据椭圆方程，求得三个焦点坐标，结合距离公式求得的周长即可. (2)根据点斜式得出直线的方程，与椭圆联立，代入弦长公式即可. 【详解】(1)由题意得 的周长为 故答案为：. (2)根据题意得直线的方程为 将直线与曲线联立,得 设则 弦长. 故答案为：；. 10．如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】根据双曲线的对称性及中点，得到，结合为的一条渐近线，得到，进而得到，最后在中利用余弦定理得到、之间的关系，最后求出渐近线方程. 【详解】设的右焦点为，连接，. 因为，分别是，的中点，所以． 又直线是的一条渐近线，所以，故． 由双曲线的对称性，得． 由，得． 又，所以，． 在中，由余弦定理得，整理得， 所以，，所以直线的方程为． 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知椭圆，直线与椭圆C相交于A，B两点. (1)求实数m的取值范围； (2)证明：线段AB的中点P在定直线上.并求这条定直线的方程； (3)当直线l不过原点O时，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可； （3）根据点到直线距离公式，结合椭圆弦长公式，三角形面积公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）由， 因为椭圆，直线与椭圆C相交于A，B两点， 所以， 所以实数m的取值范围为； （2）设，由上可知， 因此， 设， 因为线段AB的中点为P， 所以， 因此直线的方程为； （3）当直线l不过原点O时，， 原点到直线的距离为， 由上可知， ， 所以的面积为， ，即， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 因此有， 所以的面积的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测13 第三章圆锥曲线专题复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆：的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 5．已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知点，点P在抛物线上，则点P到x轴的距离与到点Q的距离之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知抛物线，为抛物线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有一条 B．动点到直线的最小距离为 C．动点到直线的距离与到轴距离之和的最小值为1 D．过作直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则直线斜率为1 10．已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B，若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（    ） A．为定值4 B．的面积为 C．直线PB，QB的斜率之积为定值 D．四边形不可能是矩形 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为C上一点，则（   ） A．长轴长为8 B．存在点P使得 C．内切圆半径的最大值为 D．的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为______． 13．如图,我们把由半椭圆：和半椭圆:合成的曲线称作“果圆”.,是曲线的焦点,是曲线的焦点,则的周长为______.过且斜率为的直线交曲线于两点,则=________．    14．如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为________． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程． 16．已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且． (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于P，Q两个不同的点．若，求实数m的值． 17．已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 18．设点O为坐标原点，P是圆A：上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线分别交于M，N两点，求面积S的最小值． 19．已知椭圆，直线与椭圆C相交于A，B两点. (1)求实数m的取值范围； (2)证明：线段AB的中点P在定直线上.并求这条定直线的方程； (3)当直线l不过原点O时，求的面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $