专题 2.3 有理数的乘除运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数乘除运算核心知识点，系统梳理乘法法则（先定符号再算绝对值、多个因数符号由负因数个数决定）、倒数概念（乘积为1的两数，0无倒数）、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）、除法法则（转化为乘法）及混合运算（统一乘法后定符号约分），构建从基础到综合的学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计（基础单步运算到综合提高的倒数符号判断），融入实际应用题（如警车巡视路程计算、杆秤平衡问题），强调简便运算技巧（乘法分配律逆向应用）。通过多样化题型培养运算能力和应用意识，课中辅助教师教学，课后帮助学生强化练习，查漏补缺。

专题2.3有理数的乘除运算（知识梳理+题型精析+同步检测) 目录 一.知识梳理与基础题型精析！ 1 【知识点一】有理数乘法法则. ……1 【知识点二】倒数的概念… .2 【知识点三】有理数乘法运算律… …2 【知识点四】有理数除法法则… .2 【知识点五】有理数乘除混合运算 .3 二题型精析.… .3 【题型1】有理数单步乘法运算（基础） ..3 【题型2】有理数单步除法运算（基础)… .3 【题型3】乘法运算律简便计算（综合）… 5 【题型4】有理数乘除混合运算（综合）… .9 【题型5】倒数与符号综合判断（综合提高）… .9 【题型6】有理数乘除实际应用题… .11 【题型7】乘法分配律逆向简便运算13 三.同步检测… ..19 (一)选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） ..19 (二)填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）22 (三)解答题（本大题共6小题，共58分）… .25 知识梳理与基础题型精析 【知识点一】有理数乘法法则 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘， 【要点提示】乘法运算必须先定符号，再算绝对值，杜绝先算数值后判符号，避免符号出 错。例：（-4)×5=-20，（-5)×(-7)）=35 1/36 2.任何数与0相乘，积为0。 【要点提示】多个因数相乘，只要其中有一个因数为0，最终乘积直接为0，无需计算其余 因数。 3.多个非零有理数相乘：负因数的个数为偶数时，积为正数；负因数的个数为奇数时，积 为负数。 【要点提示】多个数相乘符号只由负因数个数决定，与正因数个数无关。 【知识点二】倒数的概念 乘积为1的两个有理数互为倒数。 【要点提示】 1.0没有倒数，1和-1的倒数是它本身 2.正数的倒数为正数，负数的倒数为负数，倒数不改变数的符号； 3.整数求倒数直接写成分数形式，分数求倒数直接分子分母互换。例：3的倒数是 3 3 8 的倒数是-8 【知识点三】有理数乘法运算律 1.乘法交换律：a×b=b×a 【要点提示】交换因数位置时，必须连带因数前面的正负号一起移动，不可单独交换数字。 2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 【要点提示】简便运算优先结合能凑整、约分、凑0的因数，简化计算步骤。 3.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 【要点提示】运用分配律时，括号内每一项都要与括号外因数相乘，严禁漏乘；可正向、逆 向使用，是分数、小数简便运算的核心技巧。 【知识点四】有理数除法法则 2/36 1.符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数，结 果都为0。 2.转化法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，公式：ab=a×(b≠0)。 6 【要点提示】O不能作为除数，无意义；除法优先转化为乘法，可套用乘法运算律简便计 算 【知识点五】有理数乘除混合运算 运算顺序：先将所有除法统一转化为乘法，判定符号后约分计算；无括号时从左到右依次运 算，有括号先算括号内的运算。 【要点提示】统一化为乘法后，先根据负因数个数定整体符号，再对绝对值进行约分计算 大幅降低运算失误。 二.题型精析 【题型1】有理数单步乘法运算（基础） 解题核心：牢记“同正异负”，先定符号，再算绝对值乘积。 【例题1】(25-26七年级上·全国随堂练习)计算： (1)6×(-9): (2)(-4)×6； (3)(-6)×(-1): (4)（-6)×0: (5)( 6 3 【答案】(1)-54：(2)-24：(3)6；(4)0：(5)-1：(6)-2 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握乘法法则是解决问题的关键。 (1)利用同号得正，异号得负确定积的符号，再把绝对值相乘即可： (2)利用同号得正，异号得负确定积的符号，再把绝对值相乘即可： (3)利用同号得正，异号得负确定积的符号，再把绝对值相乘即可： 3/36 (4)任何数同0相乘，都得0： (5)利用同号得正，异号得负确定积的符号，再把绝对值相乘即可： (6)利用同号得正，异号得负确定积的符号，再把绝对值相乘即可 (1)解：6×(-9)=-54： (2)(-4)×6=-24； (3)（-6)×(-10=6: (4)(6)×0=0； 5)(4x-1， 6 【变式1】(2026河南平顶山二模)计算 （2(-2 的结果等于() A B -1 C.4 D.1 【答案】D 解：根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. )与2部是负数。符号相同 (x(2x2-1 【变式2】(25-26七年级上山西吕梁期末)计算：（4)x(-0.25) 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘法运算.根据有理数乘法法则，两个负数相乘结果为正数，再计算 绝对值相乘。 解：（4)x(-025)=1 故答案为：1. 4/36 【变式3】(24-25七年级上·全国课后作业)计算： (1) （-0.25)×4 (2)（-2023)×0 (3)(325)x4: 2 (4)4.5× 13 【答案】(1)-1：(2)0：(3)-16：(4)1 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键 (1)根据有理数乘法计算法则求解即可； (2)根据有理数乘法计算法则求解即可： (3)根据有理数乘法计算法则求解即可： (4)根据有理数乘法计算法则求解即可. (1)解： (-0.25)×4=-1 (-2023)×0=0 (2)解： (3)解：（3.25)x 1=-13x1=-13 44416: (4)解：4.5 21 【题型2】有理数单步除法运算（基础） 解题核心：同号得正、异号得负，可直接算绝对值除法，或转化为乘法计算。 【例题2】(25-26七年级上全国课后作业)计算： a 2,（69 【】号：2号 5/36 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解决本题的关键是掌握有理数除法运算法则： (1)先定符号，将带分数转化为假分数，再将除法转化为乘法进行运算 (2)先定符号，将分数转化为转化为整数加分数，再利用乘法分配律简便运算. ②据原t6+》写4+》品 【变式1】(2026天津东丽二模)计算(-27)：() 的结果等于() A.3 B.-3 C.2 D.-2 【答案】A 【分析】运用有理数除法法则计算即可得到结果， 解： (-27)÷(-9)=27÷9=3 【变式2】(25-26六年级上·上海·阶段检测) 5 【答案】42 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，将带分数转换为假分数，利用除以一个数等于乘以它 的倒数的法则，进行乘法运算并约分即可得到答案. 6别 、5 42 5 故答案为：一42· 【变式3】(23-24七年级上全国课后作业)计算： 6/36 (1)（72)÷6 20-) ,〔 【答案1a)-12:2)0,(3)号：4 3 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，据 此作答即可， 解：(1)（-72)÷6=-(72÷6=-12， a,（=》- 4,（2-（)- 【点拨】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键. 【题型3】乘法运算律简便计算（综合） 解题核心：利用交换律、结合律凑整凑0，利用分配律拆分简化分数运算。 【例题3】(25-26六年级上上海嘉定·开学考试)怎样算简便就怎样算. 1+1-1×24 a,6+24 7/36 24品 (4) 6+2+ 【答案】(1)13：(2)20：(3)10：(4)19 1,11 (1)解.(3+424 ×24 24+24- -×24 4 2 =8+6-1 =13 2+x24 (2)解： (36 2 1 =二×24+二×24 3 6 =16+4 =20 ,57 (3)解：24××2 =24×2 =10 (4)解： =36×+36x36x 1 1 6 =9+6+4 8/36 =19 ×12 【变式1】(2026河北唐山模拟预测)在用运算律计算 6)时，题目变形合理的为() 5 -99+ ×12 ×12 -100+x12 A 6 6 o. 【答案】B 解：99= 9+ 6 6 又99+2=100-1 6 6 原式可变形为-10+}12 【变式21(2526七年级上湖商株开期未)计算：（←60兮号争 【答案】58 解：(60r日号到 =(60)x3-(60)×号-(60×号 =-30+40+48 =58 【变式3】(26-27七年级全国小升初衔接)用简便方法计算： 引D 2,4-3)-(3(315 350-125x37+8周 9/36 1 【答案】(1)-6：(2)1：(3)0 【分析】(1)利用加法结合律将同分母的分数先计算，即可实现简便计算： (2)将带分数和带分数计算，小数与小数计算，即可实现简便计算： 1 (1 -0.125×37+63×- (3)将0.125转化为8，可先用乘法分配律计算 (8. 即可实现简便计算. a解原4仔g =0-1 6 、1 6 2解：原我-+片65+31 =8-7 =1 0n+6i =0fg67+63) 50100 2525 22 =0 易错警示：负数与负数相乘为正，分配展开时每一项符号都要单独判断，不可混淆。 【题型4】有理数乘除混合运算（综合） 解题核心：全部转化为乘法，统一形式后先判符号，再约分计算。 【例题4】(26-27七年级浙江暑假作业)计算： 10/36 ( 2,-2-(引 15 【答案】(1)-8：(2)9 【分析】(1)先将式子省略成“和”的形式，再从左往右计算即可： (2)先确定符号，再将式子统一为“乘”的形式计算即可. (+5)+(-)++8 ，1 (1)解： =5-7+1 1 =-2+ 8 s、15 8: (2)解： 2号 =+28x3x3 ×14×2 =9 【变式1】(26-27七年级全国小升初衔接) A.2 B.-1 C.1 D.4 【答案】D 解：×2 1 2 2=2x2x(-22-1-22=2x2=4 【变式2】(23,24七年级上全国课后作业计算(48)：子(-12)水的结果是 【答案】4 【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可. 11/36 解：4树子(12子74合4. 4 7“124 故答案为：4. 【点拨】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【变式3】(26-27七年级江苏小升初衔接)计算： 24-2 (3)14-25+12-17: (4s0子号1o 【答案】(1)9：(2)0，(3)-16：(4)1 (1)解： =54+号14+5 5 =64-14-后)5 =4+0+5 =9； 引 [品(2n 位0(-27) =0÷(-27） =0: (3)解：14-25+12-17 12/36 =14+12-(25+17) =26-42 =-16: 94 (4)解：（8)÷4×)*(-16) 441 =81×-×-× 9916 =1 【题型5】倒数与符号综合判断（综合提高） 解题核心：熟练掌握倒数求解方法，根据负因数个数判断积的符号，结合有理数大小比较解题。 50÷ 11,1 【例题5】(25-26六年级上山东威海期末)【材料阅读】计算： 3412 1 1 解法二：原式50÷350÷4+50÷1门 =150-200+600=550 11,1 解法二：原式的倒数为34+12÷50 (34+250 1.111,11 =3×504502*50 1 300· 所以，原式=300」 【解法评价】 (1)你认为上述正确的解法是一-：（填“解法一”或“解法二”） 【解法应用】 13/36 2們港病的法（冠后子引 【答案】(1)解法二：(2)14 【分析】(1)除法没有分配律，解法一错误使用了分配律，解法二通过倒数转化为乘法，运用乘 法分配律计算是正确的： (2)先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后利用乘法分配律计算，最后取倒数得到原式的结果」 50÷ (1)解：解法一中将 542拆分为0：分50好50日 11,1 12的做法不符合运算法则，除法 不满足分配律，是错误的： 解法二先求原式的倒数，利用乘法分配律计算出倒数的值，再取倒数得到原式的结果，运算过程符 合法则，是正确的： ∴.正确的解法是解法二。 13+22)-1） (2)解：原式的倒数为614'37(42 =6x(42）日×(42)+号x(-42)-2x(42) =-7+9-28+12 =(-7-28)+(9+12) =-35+21 =-14. 11 :.原式-1414 【变式1】(2026新疆鸟鲁木齐·模拟预测)下列各数中不存在的是() A.绝对值最小的数 B.倒数等于本身的数 C.相反数等于本身的数 D.最小的有理数 【答案】D 解：，所有数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是0，存在，故A不符合题意： 14/36 ,倒数等于本身的数是1和-1，存在，故B不符合题意， ,相反数等于本身的数是0，存在，故C不符合题意： ,有理数可以无限小，没有最小的有理数，不存在这样的数，故D符合题意 1) @X =1 【变式2】(2026湖北二模)若 气2026)，则“0”表示的数是 【答案】-2026 【分析】利用有理数除法运算结合倒数的定义求解. 1 解：由0× 2026 =1得 1 0=1÷ =1×(-2026)=-2026 2026 1,11,1 【变式3】(25-26七年级上湖南湘西阶段检测)阅读下列材料，计算：24(3412 1.11.1,1.1 解法一：原式2432442412 s.1 31 1 ×4+ ×12 242424 11+1 解法二：原式的倒数为34+12广24 目+24 =5×24-二×24+，×24 3 4 12 =4. 1 所以，原式4· (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法一错误. 11,173 (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：42(36147 15/36 1 【答案】(1)一：(2)18 【分析】本题考查了有理数的混合运算及倒数的性质. (1)根据除法没有分配律来判断解法的正误； (2)先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果. ()解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即a÷6+c+d)≠a+b+a÷c+a÷d 111,1Y 1.11.1,1.1 在解法一中，将24气3412 错误地运用了分配律，得到243244十242，所以解法一 错误： 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确。 故答案为：一 所骑后-日 -x(42)+名x(427×(42)-x(42) =-14-7+21+18 =18 1 所以，原式18 【题型6】有理数乘除实际应用题 解题核心：根据生活场景规定正负，结合乘除运算列式求解，结果对应实际意义。 【例题6】(25-26七年级上·河南焦作期中)焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视， 某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） +18.3.-9.5.+7.1,-14,-6.2,+13,-6.8,-8.5 (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油0.7升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有50升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 16/36 【答案】(1)B在A地的南方，相距6.6千米；(2)共耗油58.38升：(3)需要加油，至少8.38 升 【分析】本题主要考查了正数与负数、有理数的加法、乘法的应用. (1)把这些数值相加，根据结果就可知道在哪个方向，相距多少千米。 (2)绝对值相加，乘以每千米耗油量即可. (3)总耗油量减去油箱已有油量即可得出至少加油量， (1)解：+18.3-9.5+7.1-14-6.2+13-6.8-8.5=-6.6（千米） 答：B在A地的南方，相距6.6千米. (2)解： +183+9.+7.1+14+62+13+6.8+8.=83.4c千米) 83.4×0.7=58.38(升) 答：这天共耗油58.38升. (3)解：58.38>50， 58.38-50=8.38(升) 答：需要加油，至少838升 【变式1】(2026河南安阳·二模)如图，杆秤是中国传统的计量工具.已知秤钩到提纽的水平距 离是5cm,秤砣质量是0.5kg.用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为20cm时，杆秤左右平 衡，此时苹果质量是() 提纽 ,秤钩 秤砣 A.1kg B.2kg C.3kg D.4kg 【答案】B 【分析】根据杠杆原理得：秤钩到提纽的水平距离×苹果质量=秤砣与提纽的水平距离×秤砣质量， 即可求解 0.5×20÷5=2(kg) 解：苹果质量为： 【变式2】(2026陕西安康·二模)《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十， 粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其大意：“50单位的粟，可换得30单位的粝 17/36 米…”问题：现有4斗(1斗=10升)的粟，若按照此“栗米之法”，则可以换得粝米 升. 【答案】24 【分析】本题主要考查了有理数乘法及除法的实际应用.按照题意列式并进行计算即可. 解：根据题意，得4×10×30 24(升)· 50 【变式3】(25-26七年级上湖北宜昌·期中)如图，A,B两点在数轴上对应的数分别为，b, 且点4在点B的左边， la4=10a+b=80ab<0 (1)求出a,b的值： (2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁 Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动. ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ A B 【答案】(1)a的值是-10，b的值是90；(2)①50：②经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁 在数轴上相距20个单位长度. 【分析】本题考查了有理数的运算、绝对值、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的 条件，利用分类讨论的数学思想解答 (1)根据题意可得a、b的符号相反，且a=-l0,根据a+b=80可得b的值： (2)①根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇时点C对应的数值： ②根据题意和分类讨论的数学思想即可求解。 (1)解：：A,B两点在数轴上对应的数分别为“，b,且点A在点B的左边， a=10 a+b=80,ab<0, .a=-10,b=90 .a的值是-10，b的值是90： (2)解：①由题意可得， 90-(-10)÷(3+2)=20 相遇所需的时间： (秒)， 18/36 ∴.点C对应的数是：90-2×20=50， .点C对应的数为50： ②相遇前两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度： 90-(-10)-20÷(3+2) =(90+10-20)÷5 =80÷5 =16(秒)： 相遇后两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度： 90-(-10)+20÷(3+2) =(90+10+20)÷5 =120÷5 =24(秒)： 综上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度. 【题型7】乘法分配律逆向简便运算 【例题7】(26-27七年级全国小升初衔接)用简便方法计算： 4,3号(83g(1o38, 2292(2, )32-(27+61 43别 【答案】(1)-318 9:(2)-359 32 2:(3)12:(4) 19/36 (1)解：原式=9x318-8×318 29 16x318 29 9 =318×(9-8+16) 29 18- =-318 29 =30×(-12)- ×(-12) 24 =-360+2 1 =-（360-别 =-395 (3)解：原式=3.29+2.75-0.75+6.71 =(3.29+6.71)+(2.75-0.75) =10+2 =12. 78. 78.8 =277 32 7· 【变式1】(25-26七年级上广东汕头期末)如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是 () 20/36 18 …第 步 -60 3…第②步 =-60 3· …第③步 A.第①步运用了乘法交换律 B.第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C.第②步的运算结果正确 D,第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 1 解：第①步是将带分数 8拆分为10-8，没有运用乘法交换律，故A选项错误： 按照乘法对加法的分配律展开计算： 0-0(-)=10(-o)+(-60)=-0+-s9 3 3 ∴，第②步运用了乘法对加法的分配律，但计算时符号错误，结果错误，故B选项正确，C选项错误： 第②步计算已经出错，∴.第③步的结果错误，故D选项错误. 【变式2】(26-27七年级全国小升初衔接)用简便方法计算： （1)(4.8+(-3.6)+(-22)+32= 29 (2)13.7× 2 +19.8× 31 31 -2.5x29 31 【答案】 -7 29 【分析】(1)利用加法交换律、结合律，先凑整再进行计算即可： 29 (2)提取公因数31，括号内小数先合并得到31，约分后直接得结果。 （4解：(48+(-36+(-22+3号 [48)+(22]+（3.6)+3号 21/36 =-7+0 =-7. ②解：37x+198 29-2.5× 29 31 31 20 1×13.7+19.8-2.5) 29 31 31 =29 【变式3】(25-26七年级上江苏扬州周测)计算： a,1(19月-(79201) 【答案】(1)0：(2)13 【分析】利用乘法分配律进行解答即可. 4解，（119月-(7920139 =13x139+7×136-20x13% =03+7-20x139 -0x139 =0 2)解：(86(24 (313 (-24-名(-24-x(-24刘 =-9+4+18 =13 22/36 三.同步检测 (一)选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1,(2026天津西青二模)计算-1)x0 的结果等于() A.0 B.1 C.-1 D.±1 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的运算法则，只需利用0乘任何数都得0的性质计算即可. 解：（x0=0 2.(2026江苏无锡模拟预测)-3的倒数是() A青 1 B.3 C.3 D.-3 【答案】D 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，计算判断即可： ·一3的倒数是-3 3.(26-27六年级上·上海金山开学考试)101×★=() A,100×★+10B.100×★+1 C.★×100×1 D.100×★+★ 【答案】D 【分析】将101拆分为100+1后，利用乘法分配律展开即可得到结果. 101×★=(100+1)×★=100×★+★ 解： 4.(25-26六年级上上海阶段检测)如果两个有理数4、b在数轴上对应的点分别在原点的两侧， 则这两个数相除所得的商是() A.一定是负数 B.一定是正数 C.等于0 D.无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可。 23/36 解：，有理数a,b在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴.a和b一个是正数，一个是负数，即a,b异号， 又，有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴.这两个数相除所得的商一定是负数 9 ÷15× 5.(2022山东泰安模拟预测)计算：5 15得() 9 1 1 1 A.-5 B.-125 c.-5 D.125 【答案】B 【分析】根据有理数混合运算的法则求解即可： 911 解：原式=5×1515： 一X一X 1 125· 6.(2026河北衡水模拟预测)算式(67)中，在0中填入下列运算符号后，运算过程中第一 步不可以直接去掉括号的是() A.+ B.- C.× D.÷ 【答案】D 【分析】判断各运算符号下能否第一步直接去括号，根据除法对减法没有分配律即可得到答案， 解：填度时，5（各引5-（侣引均四直接去指号变形为5+g 53 6+67、5-+ ⊙67’ .A、B不符合题意： 53 填时， 5×67) 3 可直接去括号变形为5× 5-5×7' 6 ∴.C不符合题意： 753 :填时，5+。无法直接去括号变形，需先算括号内的分数减法， ∴.D符合题意. 7.(25-26七年级上河北邯郸阶段检测)在算式6-|-3口5引中的“口”里，填入运算符号_，使得 算式的值最大，则这个符号是() 24/36 A.+ B.- C.× D.÷ 【答案】D 【分析】分别计算四种运算结果，对比即可. 解：A.6--3+54: B.6--3-5=-2; C.6--3x5非-9： D.6-1-3*552 5: :-9<-2<4<52 , “口”里，填入运算符号“÷”时，算式的值最大. 8.(25-26七年级上辽宁大连阶段检测)数轴上三点对应的数为木人2，满足x<-1<y<1<z, 下列式子成立的是() A.(x-10-)<0 B.(2-10-1)>0 c.(x+1)y+1)<0 D.2+y+1)<0 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号， 即可选出正确选项 解：x<-1, .x+1<0,x-1<0, :-1<y<1, .y-1<0,y+1>0. ,z>1, .z-1>0,z+1>0, 逐个分析选项： 选顶A(-心-)》0，A错误： 选项B:(2-y-)<0 B错误： 25/36 选项C: (x+0y+)<0,c成立： (z+1)y+I)>0 选项D: ,D错误 9.(2026广西南宁·三模)如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是( ) 输入x ×2+5 输出 否 A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【分析】根据运算程序示意图，将x=1代入代数式2x+5进行计算，若结果大于等于1则输出，否 则将结果重新代入计算. 解：当输入x=1时，1×2+5=7， 721, 输出结果为7 10.(2026河北廊坊二模)图为正方体展开图，折叠成正方体后相对两个面上的数字之积为1， 则abc为() 2 -3 b a A.3 B.3 D.-1 【答案】A 【分析】根据正方体的展开图中，相对面的特征，判断出a与b的所在面相对，c的所在面的相对 面为3，再根据题目条件：正方体相对两个面上的数字之积为1，求解即可. 解：由正方体展开图的相对面的特征，可知a与b的所在面相对，c的所在面的相对面为-3， .ab=1,-3c=1, 1 c=- 3 26/36 (二)填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11.(26-27七年级全国小升初衔接)计算： (引 【答案】1 解： 12.(25-26七年级上江苏扬州阶段检测)绝对值不大于2.5的所有整数的积是 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值定义和性质，有理数的乘法法则，正确理解绝对值的几何意义是解题的 关键。 先求出所有的整数，再根据有理数的乘法法则计算即可. 解：绝对值不大于2.5的所有整数是-2、-1、01、2， (-2)×(-1)×0×1×2=0 则积为 故答案为：0 13.(25-26七年级上·湖北襄阳期末)计算： ((25 4 【答案】15 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算.先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运 算法则，负负得正，最后计算数值。 -2×8×(-4) =3×5×1 64 =15 64 故答案为：15· 14.(2526七年级上山东聊城阶段检测)下列有理数的运算中正确的有 (填序号) 27/36 -211o0@-0 ④-5+3=2 【答案】② 解：对四个式子运计算判断：02-1=-2+()3-3≠-1，故0错误 ②5+(》5x(2)=-10,结果正确、放②正确 @(×(-)=1,1≠0救③情误： -5+3=-(5-3)=-2 ④ -2≠2，故④错误： 综上正确的有②. 15.(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中)小红读一本文学名著，如果每天读30页，8天可以读完： 小明想6天读完这本文学名著，那么他要比小红每天多读页？ 【答案】10 【分析】先根据小红的日均阅读页数和读完的天数计算出这本著作的总页数，再计算出小明6天读 完时平均每天需要读的页数，最后计算小明比小红每天多读的页数 解：这本著作的总页数为30×8=240（页）， 小明平均每天读的页数为240÷6=40（页） 小明想6天读完，那么小明要比小红每天多读40-30=10（页）· 6.(25-25七年级全国暑假作业)已知xF4,F2,x<y,则y的值等于 【答案】8或-8 鳞时4，以 心x=4,y=± 2, :x<y, 当x4时，4分，4> 2,两种情况均不符合条件，舍去， .x=-4, 28/36 1 ①当x=-4,y=2时，满足x<y x-4-8 y I 1 ②当x=-4,y=2时，满足x<y X=4=8 y I 2 综上所述，于的值为8或8 11 1 1 17.(2023七年级下云南保山竞赛)计算：1x2+2×33x4+…+98×9+99×100一. 99 【答案】1000.99 【分析】观察式子可发现每个分式都可以拆分为两个单位分数的差，据此拆分后中间项可以相互抵 消，只需计算剩余项即可. 111 1 1 解：1x22×3+3×4+…+ 98×99'99×100 子*项可剪 11 100 =99 100· 18.(25-26七年级上·福建宁德·期中)北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下： 1,11 下面是计算346 ×24的两种解法。 -(告+品4 -8×24 =10 29/36 解法二： 号624 3×24+×24-×24 6 =8+6-4 =10 “解法二”计算过程中，运用的运算律是 【答案】乘法分配律 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知在有理数运算中，乘法分配律是指一个数与几个数的和或差 相乘，等于这个数分别与这些数相乘，再把积相加或相减 根据解法二，将24分别与括号内的每个分数相乘，运用了乘法分配律. 111 解：解法二中，24与3、4、6分别相乘，然后相加减，符合乘法分配律。 故答案为：乘法分配律. (三)解答题（本大题共6小题，共58分） 19.(本小题满分8分)（23-24七年级上·全国课堂例题)计算： a 2,56(} 9 【答案】(1)-8：(2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决 定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”· (1)根据有理数乘法法则求解即可： (2)根据有理数乘法法则求解即可. )银.(38) 30/36 =-3x3x9x1 654: 、9 8: (2)解： (56 =5x6×54: 41 =6 20.（本小题满分8分)(25-26七年级上·广西崇左阶段检测)计算： （- 3,（引引02s 【管案】石：24品：3)； 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算是解题的关键： (1)根据有理数的乘法及除法运算可进行求解； (2)根据有理数的除法运算可进行求解： (3)根据有理数的乘法及除法运算可进行求解. 田解原武（ （ 31/36 2)解：原式6-。 ,19.1 =(-36)×g1i9 a那默（引引 5 12*4 5 21.（本小题满分10分)(25-26七年级上广西崇左阶段检测)计算： 别号 (4)94x30 30 【答案】52)-；(3)1(4)2994 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算是解答的关键。 (1)先将除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可： (2)先计算括号内的乘法，再利用除法运算法则求解即可： (3)先将小数化为分数，除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可： 100- ×30 (4)先将原算式化为 5 再利用乘法分配律去掉括号，再利用乘法和减法运算法则求 解即可. 32/36 解默片头 号 =-15x44 8×15×15 ②8- 〔)器 -45x32 1627 =-10 3 ( =-25x3x4x 2115 ÷、30 11； (4)解：原式( =100×30-2×30 =3000-6 =2994 22.（本小题满分10分)(25-26七年级上·全国寒假作业)用简便方法计算： a,19（}5x) 33/36 a,(-5} 【答案】(1)-22：(2)-3 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算： (1)运用乘法分配律计算即可： (2)运用乘法结合律计算即可。 4.别1}5( (-)}19}-5x2号 =(7+19-列(9) =9） =-22 2〔 [〔- =1×(-3) =3 23.(本小题满分10分)(25-26七年级上河北张家口·期末)蔚州贡米是河北蔚县的特产，中国 国家地理标志产品，也是古代“四大贡米”之一，已知某品牌贡米的包装上标明重量为“500±5g ”,重量范围内则为重量合格品，超出重量范围则为重量不合格品.今抽查10袋该品牌贡米，每 袋的标准重量是500g, 超出部分记为正，统计成下表， 贡米的袋数 2 3 3 1 1 每袋重量与标准的差 +1 +2.5 0 -6.5 -4 值/g (1)求所抽查的10袋贡米的合格率： (2)求这10袋贡米平均每袋的重量. 34/36 【答案】(1)合格产品有9袋，合格率为90%：(2)这10袋贡米平均每袋的重量为499.9g 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，根据表格中数据列算式计算是解题的关键. (1)根据题意和表格中的数据可以得到这10袋贡米中，合格的数量： (2)根据题意和表格中的数据可以计算出这10袋贡米的总重量，据此计算即可求解. a)解，+<5,25<5<56>54<5 ∴.合格产品有9袋，合格率为0%： (2)解：2×1+3×2.5+3×0+1×(-6.5)+1×(-4)=-1(g). 500+(-1）÷10=499.9(g). 答：这10袋贡米平均每袋的重量为499.9g 24.（本小题满分12分)(26-27七年级江苏小升初衔接)计算： (1)（-59)-(-46)+(-34)-十73到 2,( 3,8(- a,1*气} 【容案14-120a②6：a)；④ (-59)-(-46)+(-34)--73 (1)解： =-59+46-34-73 =-120: m （98 35/36 9e/9e ) 任)掷 :18- 8 ))e-) （96-)(8) :搏(E) 倍 专题 2.3 有理数的乘除运算（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】有理数乘法法则 1 【知识点二】倒数的概念 2 【知识点三】有理数乘法运算律 2 【知识点四】有理数除法法则 2 【知识点五】有理数乘除混合运算 3 二.题型精析 3 【题型 1】有理数单步乘法运算（基础） 3 【题型 2】有理数单步除法运算（基础） 3 【题型 3】乘法运算律简便计算（综合） 3 【题型 4】有理数乘除混合运算（综合） 4 【题型 5】倒数与符号综合判断（综合提高） 4 【题型 6】有理数乘除实际应用题 5 【题型 7】乘法分配律逆向简便运算 6 三.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 【要点提示】乘法运算必须先定符号，再算绝对值，杜绝先算数值后判符号，避免符号出错。例：，。 2. 任何数与0相乘，积为0。 【要点提示】多个因数相乘，只要其中有一个因数为0，最终乘积直接为0，无需计算其余因数。 3. 多个非零有理数相乘：负因数的个数为偶数时，积为正数；负因数的个数为奇数时，积为负数。 【要点提示】多个数相乘符号只由负因数个数决定，与正因数个数无关。 【知识点二】倒数的概念 乘积为1的两个有理数互为倒数。 【要点提示】 1. 0没有倒数，1和-1的倒数是它本身； 2. 正数的倒数为正数，负数的倒数为负数，倒数不改变数的符号； 3. 整数求倒数直接写成分数形式，分数求倒数直接分子分母互换。例：的倒数是，的倒数是。 【知识点三】有理数乘法运算律 1. 乘法交换律： 【要点提示】交换因数位置时，必须连带因数前面的正负号一起移动，不可单独交换数字。 2. 乘法结合律： 【要点提示】简便运算优先结合能凑整、约分、凑0的因数，简化计算步骤。 3. 乘法分配律： 【要点提示】运用分配律时，括号内每一项都要与括号外因数相乘，严禁漏乘；可正向、逆向使用，是分数、小数简便运算的核心技巧。 【知识点四】有理数除法法则 1. 符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数，结果都为0。 2. 转化法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，公式：。 【要点提示】0不能作为除数，无意义；除法优先转化为乘法，可套用乘法运算律简便计算。 【知识点五】有理数乘除混合运算 运算顺序：先将所有除法统一转化为乘法，判定符号后约分计算；无括号时从左到右依次运算，有括号先算括号内的运算。 【要点提示】统一化为乘法后，先根据负因数个数定整体符号，再对绝对值进行约分计算，大幅降低运算失误。 二.题型精析 【题型 1】有理数单步乘法运算（基础） 解题核心：牢记“同正异负”，先定符号，再算绝对值乘积。 【例题1】（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式1】（2026·河南平顶山·二模）计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【变式2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算：______． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 2】有理数单步除法运算（基础） 解题核心：同号得正、异号得负，可直接算绝对值除法，或转化为乘法计算。 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【变式1】（2026·天津东丽·二模）计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 3】乘法运算律简便计算（综合） 解题核心：利用交换律、结合律凑整凑0，利用分配律拆分简化分数运算。 【例题3】（25-26六年级上·上海嘉定·开学考试）怎样算简便就怎样算． （1） （2） （3） （4） 【变式1】（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）； （2）． （3） 易错警示：负数与负数相乘为正，分配展开时每一项符号都要单独判断，不可混淆。 【题型 4】有理数乘除混合运算（综合） 解题核心：全部转化为乘法，统一形式后先判符号，再约分计算。 【例题4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）（     ） A．2 B． C．1 D．4 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是________． 【变式3】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【题型 5】倒数与符号综合判断（综合提高） 解题核心：熟练掌握倒数求解方法，根据负因数个数判断积的符号，结合有理数大小比较解题。 【例题5】（25-26六年级上·山东威海·期末）【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；（填“解法一”或“解法二”） 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【变式1】（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）下列各数中不存在的是（     ） A．绝对值最小的数 B．倒数等于本身的数 C．相反数等于本身的数 D．最小的有理数 【变式2】（2026·湖北·二模）若，则“”表示的数是______． 【变式3】（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． （2）请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【题型 6】有理数乘除实际应用题 解题核心：根据生活场景规定正负，结合乘除运算列式求解，结果对应实际意义。 【例题6】（25-26七年级上·河南焦作·期中）焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， （1）B在A地哪个方向？相距多少千米？ （2）若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ （3）若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 【变式1】（2026·河南安阳·二模）如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西安康·二模）《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其大意：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”问题：现有4斗（1斗=10升）的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米_______升． 【变式3】（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． （1）求出，的值； （2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【题型 7】乘法分配律逆向简便运算 【例题7】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是（   ） ……第①步 ……第②步 ．……第③步 A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【变式3】（25-26七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·天津西青·二模）计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 2．（2026·江苏无锡·模拟预测）的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 3．（26-27六年级上·上海金山·开学考试）（     ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 5．（2022·山东泰安·模拟预测）计算：得（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北衡水·模拟预测）算式中，在◯中填入下列运算符号后，运算过程中第一步不可以直接去掉括号的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算式中的“”里，填入运算符号 ，使得算式的值最大，则这个符号是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·广西南宁·三模）如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2026·河北廊坊·二模）图为正方体展开图，折叠成正方体后相对两个面上的数字之积为1，则为（     ） A． B．3 C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： ______． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）绝对值不大于的所有整数的积是______ 13．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 14．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 15．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小红读一本文学名著，如果每天读30页，8天可以读完；小明想6天读完这本文学名著，那么他要比小红每天多读________页？ 16．（25-26七年级·全国·暑假作业）已知，，，则的值等于____________． 17．（2023七年级下·云南保山·竞赛）计算： ____． 18．（25-26七年级上·福建宁德·期中）北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下： 下面是计算的两种解法． 解法一： ． 解法二： ． “解法二”计算过程中，运用的运算律是__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）． （2）. （3）． （4）． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： （1）； （2）． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河北张家口·期末）蔚州贡米是河北蔚县的特产，中国国家地理标志产品，也是古代“四大贡米”之一，已知某品牌贡米的包装上标明重量为“”，重量范围内则为重量合格品，超出重量范围则为重量不合格品．今抽查10袋该品牌贡米，每袋的标准重量是，超出部分记为正，统计成下表． 贡米的袋数 2 3 3 1 1 每袋重量与标准的差值/g 0 （1）求所抽查的10袋贡米的合格率； （2）求这10袋贡米平均每袋的重量． 24．（本小题满分12分）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $