13.5 三角形的内角 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学“三角形的内角”同步练，覆盖内角和计算、综合应用及直角三角形性质，通过“学习新知+分层检测”设计，实现从概念理解到实际应用的梯度巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |学习新知|内角和证明、简单计算|通过填空式证明构建推理逻辑，基础计算题强化内角和直接应用| |基础训练|内角基本计算、方位角简单应用|聚焦单一知识点，如已知两角求第三角，巩固核心概念| |能力训练|角平分线与高综合、方程思想应用|结合三角板摆放、长方形角度计算，培养综合分析能力| |拓展训练|多情境方位角、三岛视角问题|通过复杂实际情境（如北偏东/西方向），发展空间观念与应用意识|

13.5三角形的内角 课时1三角形的内角(1) 学习新知 三角形的内角和等于 1.如图，已知△ABC,求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：如图，过，点A作直线DE/1BC 所以∠B=∠2，∠C= 因为∠1+∠2+∠3=°， 所以∠BAC+∠B+∠C= D-21 3 B 2.如图，已知△ABC,求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：如图，过点C作CEI/AB,延长BC至，点D. 1/20 2. 知识，点1三角形内角的简单计算 3.如图，已知△ABC: (1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠C= (2)若∠A=∠C=70°，则∠B= (3)若∠A=50°，则∠B+∠C= 4.求出下列各图形中x的值： 80 △70° x x°x x= x= X三 2/20 知识，点2三角形内角与角平分线、高的综合 5.如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线 求∠ADB的度数， D 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,∠1=∠2，∠C=65°.求 ∠BAC的度数. 2 日658 D C 7.如图，在△ABC中，AD是高，AE,BF是角平分线，且AE,BF相交于 ,点O,∠BAC=50°，∠C=70°.求∠DAC和∠BOA的度数. E方 3120 8.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高， ∠BAC=60°，∠BCE=40,求∠ADB的度数. 知识，点3三角形内角的应用 9.如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在 B处的北偏东80方向求∠ACB的度数， 北 南 C 10.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角 ∠CBD=45,从C处观测A,B两处的视角∠ACB是多少度？ 4/20 过关检测 一、基础训练 11.如图，在△ABC中，DE//BC,∠ADE=40°，∠C=80°，则∠A的度数 为 E B 12.如图，经测量，B处在A处的南偏西55°方向，C处在A处的南偏东10°方 向，C处在B处的北偏东78°方向，则∠C= 北 南y 5/20 二、能力训练 13.(1)将一副三角板（∠E=30)按如图所示的方式摆放，使EF11AB,则 ∠FPC=; (2)如图，△ABC与某长方形相交于A,E,D,F四，点.若 ∠B=35,∠BAF=20,则∠CDE= 三、拓展训练 14.如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A 岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角 ∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？ 6/20 课时2三角形的内角(2) 学习新知 知识，点1直角三角形的性质与判定 图形 直角三角形的性质 直角三角形的判定 有两个角 的三角形是直角三 直角三角形的两个锐角 角形 几何语言：∠C=90°， 几何语言：： .∠C=90° 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在边AB,AC上，且 ∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ D 1 7/20 2.如图，∠C=∠D=90°，AD和BC相交于点E.求证：∠A=∠B. 知识，点2利用方程思想求三角形的内角度数 3.在△ABC中，∠A=∠B=2∠C,求∠C的度数. 4.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A,BD是边AC上的高.求∠DBC 的度数 B 知识，点3利用整体思想求三角形的内角度数 5.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BO,CO相交于点O 8/20 (1)若∠A=60,∠ABC=40,则∠B0C=-----口； (2)若∠A=a°，求∠BOC的度数. 0 B 6.如图，ABI1CD,AE,CE分别平分∠CAB,∠ACD (1)若∠ACD=80°，求∠E的度数； (②)求证：△ACE是直角三角形 过关检测 一、基础训练 7.在△ABC中，已知∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，则∠C=() 9/20 A40 B50° C·60 D70 8.下列四个条件： ①△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3； ②在△ABC中，∠A-∠B=∠C: ③在△ABC中，∠A+∠B=90°. 其中能确定△ABC是直角三角形的是 .(只填序号) 二、能力训练 9.如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 公 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,写出图中相等 的角并证明. B D 10/20 三、拓展训练 11.如图，∠B=42°，∠A比∠1小10°，∠ACD=64°.求证：AB/1CD 64°7 42B 12.如图，在△ABC中，BE,CF是角平分线，且BE,CF相交于点G.求证： ()∠BGC=180∠ABC+∠ACB: 2<A. (2)∠BGC=90°+ 答策 课时1 学习新知：180 1.∠1180 180 2.∴.∠1=∠A,∠2=∠B. 11/20 .∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴.∠A+∠B+∠ACB=180°. 3.1702403130 4.304560 5.解：'AD平分∠BAC,∠BAC=40°， ·∠DAB=1 ∠BAC=20°. .∠B=75°， ∴.∠ADB=180°-∠DAB-∠B =180°-20°-75°=85°. 6.解：'AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADC=90°. ∴.∠DAC=180°-∠C-∠ADC =180°-65°-90°=25°， 1=∠2=号180∠ADB=45 ∴.∠BAC=∠1+∠DAC=45°+25°=70°. 7.解：，'AD是△ABC的高， ∴.∠ADC=90°. .∴.∠DAC=90°-∠C=90°-70° =20°. 12/20 :∠BAC=50°，AE平分∠BAC, ∠BAE= 2 ∠BAC=25°. .∠BAC=50°，∠C=70°， ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60°. BF平分∠ABC? ÷∠ABF=3ABC=30 ∴.∠B0A=180°-∠BAE-∠ABF=180°-25°-30°=125. 8.解：，AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°， ∠BAD=∠BAC=30 :CE是△ABC的高，∠BCE=40, ∴.∠B=50° ..∠ADB=180-∠B-∠BAD =180°-50°-30 =100° 9.解：如图， 南 依题意，得 13/20 ∠BAE=45°，∠CAE=15°， ∠DBC=80°，BD//AE, .∴.∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°. BD//AE' ∴.∠DBA=∠BAE=45 ∴.∠ABC=∠DBC-∠DBA=35: ∴.∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=85° 10.解：.'∠CBA=180°-∠CBD =180°-45 =135°， .∴.∠ACB=180°-∠CAD-∠CBA =180°-30°-135 =15. 答：从C处观测A,B两处的视角∠ACB是15 11.60° 12.92° 13.(①)75 (2）55 14.解：依题意，得 ∠DAC=50°，∠DAB=80°，∠EBC=40°，AD/1BE, ∴∠DAB+∠EBA=180°. .∴.∠EBA=180°-∠DAB=100°. 14/20 ∴.∠ABC=∠EBA-∠EBC =60° 又，'∠CAB=∠DAB-∠DAC =30°， .∴.∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =90°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A,B两岛的视角 ∠ACB是g0° 课时2 知识点1：互余 互余 ∠A+∠B=90°∠A+∠B=90 1.解：△ADE是直角三角形.理由如下： .∠C=90°，.∠A+∠2=90 .∠1=∠2，∴.∠A+∠1=90°. .∴.∠ADE=180°-90°=90°. ∴△ADE是直角三角形 2.证明：.∠A=90°-∠CEA,∠B=90°-∠DEB,∠DEB=∠CEA, ∴.∠A=∠B. 15/20 3.解：设∠C=x,则∠A=∠B=2x .∠A+∠B+∠C=180°， ∴.2x+2x+X=180°， 解得x=36」 ∴.∠C=36°. 4.解：设∠A=x,则∠C=∠ABC=2x. ,∠A+∠C+∠ABC=180°？ .X+2x+2x=180°， 解得x=36° .∠C=72 :BD是边AC上的高， ∴.∠BDC=90: .∴.∠DBC=90°-ㄥC=18° 5.解：(1)120 (2)∠A=a? .∴.∠ABC+∠ACB=180°-a°. :BO,C0是△ABC的角平分线， .∠OBC=∠ABC, ∠OCB=∠ACB. 16/20 ∴.∠OBC+∠OCB ABC+ACB =h80a-900 ∴.∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB =180-90 -90+ 6.(1)解：.AB/1CD .∠BAC+∠ACD=180. .∠ACD=80° ∴.∠BAC=100° :AE,CE分别平分∠CAB,∠ACD, ÷∠CAE=号∠BAC=50, ∠ACE=ACD=40 ∴.∠E=180°-∠CAE-∠ACE=90° (2)证明：，'AE,CE分别平分∠CAB,∠ACD, ·2C-<BaC, ∠ACE=5ACD, AB//CD, 17/20 ∴.∠BAC+∠ACD=180° ,∴.∠EAC+∠ACE ∠ACD -2BMC+∠ACD =90° ∴△ACE是直角三角形. 7.D 8.①②③ 9.300° 10.解：∠ACB=∠ADC=∠BDC, A=∠BCD,∠B=∠ACD 证明如下： ,CD⊥AB, .∠ADC=∠BDC=90°： ∴.∠ACB=∠ADC=∠BDC: ∠A+∠ACD=90°， ∠B+∠BCD=90°. .∠ACB=90°， ∴.∠A+∠B=90° ∴.∠A=∠BCD,∠B=∠ACD 11.证明：在△ABC中， 18/20 ∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°， ∴.∠A+∠1=138 又.∠A+10°=∠1， ∴.∠A+∠A+10°=138， 解得∠A=64°. ,∠ACD=64°=∠A? ..AB//CD 12.证明：1：BE,CF是△ABC的角平分线， .CBE=2 ∠ABC, ∠BCF=∠ACB. 2 ∴.∠BGC=180°-∠CBE+∠BCF =1803∠ABC+3ACB =180-∠ABC+∠ACB (2)由(1)知 ∠BGC=1B0-∠ABC+∠ACB. .∠ABC+∠ACB=180°-∠A' ·∠BGC=180-180-∠A 19/20 =180-90+号 A =90+3A 20/20