专题 3.11 正多边形与圆、弧长扇形面积计算专题（知识储备 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识梳理模块系统构建正多边形与圆、弧长扇形面积计算的知识体系，以核心概念框架图呈现正多边形半径、边心距等参数关系，用公式表格对比弧长、扇形面积（角度/弧长公式）及圆锥展开结论，突出直角三角形模型和阴影面积割补法等重难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，从基础的正多边形中心角计算（题型1）到压轴的割补法求阴影面积（题型9），结合“弧长三步法”“逆向计算步骤标准化”等技巧，培养运算能力与推理意识。同步检测含选择、填空、解答题，适配不同层次学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

专题 3.11 正多边形与圆、弧长扇形面积计算专题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】正多边形与圆核心概念 1 【知识点二】正多边形必背计算公式（n为边数，n≥3且为整数） 2 【知识点三】弧长公式 2 【知识点四】扇形面积两大公式（灵活选用） 2 【知识点五】圆锥侧面展开核心结论 2 【知识点六】阴影面积通用解题思路 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】正多边形中心角、内角基础计算 3 【题型 2】由中心角反求正多边形边数 4 【题型 3】基础弧长公式计算 5 【题型 4】扇形面积角度公式直接计算 6 【题型 5】弧长面积双公式灵活选用 7 【题型 6】圆锥侧面积、全面积基础计算 7 【题型 7】扇形公式逆向求参数压轴 8 【题型 8】正多边形圆内线段综合计算 9 【题型 9】割补法求不规则阴影面积压轴 11 三.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.知识梳理与解读 【知识点一】正多边形与圆核心概念 1. 定义：各边相等、各角相等的多边形为正多边形，正多边形都有唯一外接圆和内切圆，且两圆同心。 2. 核心参数：外接圆半径（正多边形半径R）、内切圆半径（边心距r）、中心角、边长、内角、外角。 3. 关键结论：正n边形的半径、边心距、半边长构成直角三角形，是所有计算的核心模型。 【知识点二】正多边形必背计算公式（n为边数，n≥3且为整数） 1. 中心角： 2. 外角：正多边形外角和恒为360°，单个外角，正多边形中心角=单个外角 3. 单个内角： 【知识点三】弧长公式 半径为R、圆心角为n°的弧长： 适用场景：圆弧路径长度、旋转轨迹长度、正多边形外接圆弧长计算。 【知识点四】扇形面积两大公式（灵活选用） 1. 角度公式（已知圆心角、半径）： 2. 弧长公式（已知弧长、半径）： 核心技巧：求面积优先看已知条件，有弧长直接用第二个公式，简化计算。 【知识点五】圆锥侧面展开核心结论 1. 圆锥侧面展开图为扇形：扇形半径=圆锥母线长，扇形弧长=圆锥底面周长（r为底面半径）。 2. 圆锥侧面积： 3. 圆锥全面积： 【知识点六】阴影面积通用解题思路 不规则扇形阴影，优先用割补法、平移法、等积替换，转化为规则扇形、三角形、圆形面积的和差求解。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】正多边形中心角、内角基础计算 核心考向：中考基础填空选择，直接套公式求值 【例题1】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【变式1】（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 思路总结：正多边形中心角、外角公式一致，内角用内角和公式快速求解，熟记常见正多边形角度。 【题型 2】由中心角反求正多边形边数 核心考向：逆向思维题型，公式变形求解参数 【例题2】（25-26九年级下·全国·课后作业）如果正n边形的中心角等于，求这个正多边形的边数． 【变式1】（25-26九年级下·广西防城港·期中）如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【变式2】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【变式3】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． （1）求的度数； （2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 思路总结：已知中心角求边数，直接用逆向计算。 【题型 3】基础弧长公式计算 核心考向：中考送分题型，直接代入公式运算 【例题3】（2024·江苏盐城·三模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，过点D作，垂足为F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求劣弧的长． 【变式1】（2026·河南·中考真题）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【变式3】（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，弦于点E，F为延长线上一点，且与相切，连接，． （1）求证：平分； （2）若，求劣弧的长度（结果保留）． 思路总结：弧长计算三步法：代n、代R、约分化简，注意保留π不取值。 【题型 4】扇形面积角度公式直接计算 核心考向：基础面积计算，适配已知圆心角、半径题型 【例题4】（2026·山西·中考真题）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 【变式1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·宁夏银川·模拟预测）如图，中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，交边于点，若，，，则扇形的面积为______． 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，，平分． （1）求和的度数； （2）若，求扇形（阴影部分）的面积．（结果保留） 思路总结：已知圆心角优先用角度公式，计算时先约分再运算，减少出错。 【题型 5】弧长面积双公式灵活选用 核心考向：中档必考，规避公式混用失分 【例题5】（25-26九年级上·吉林·阶段检测）已知一扇形所在圆的半径为，弧长为，面积为，若扇形的周长为． （1）当时，则扇形弧长______，扇形面积______． （2）直接写出弧长与半径的函数关系式______； （3）当半径为何值时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？写出求解过程． 【变式1】（2026·四川德阳·模拟预测）已知扇形的半径为3，弧长为，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏盐城·一模）一个扇形的弧长是，半径为，则该扇形的面积是______． 【变式3】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 思路总结：有弧长用½LR，有角度用nπR²/360，按需选择、快速解题。 【题型 6】圆锥侧面积、全面积基础计算 核心考向：江苏中考高频中档填空，模型固定 【例题6】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知圆锥的底面半径，母线长 （1）圆锥的高 cm．侧面展开扇形的圆心角 ° （2）求圆锥的全面积． 【变式1】（2024·浙江温州·三模）某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________ 【变式3】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）已知扇形的半径为6，圆心角为，若将此扇形围成一个圆锥，求： （1）围成的圆锥的侧面积； （2）围成的圆锥的全面积． 思考1：求圆锥的侧面积就是求　　　． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的　　　，而扇形的弧长是圆锥底面圆的　　　，所以可以先求出扇形的弧长． 思路总结：区分母线与底面半径，侧面积不含底面，全面积必须加底面圆面积。 【题型 7】扇形公式逆向求参数压轴 核心考向：填空高频拔高题，已知面积/弧长反求圆心角、半径 【例题7】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）． （1）求扇形的圆心角的度数； （2）求圆锥的底面半径． 【变式1】（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江大庆·二模）如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高的夹角为，那么圆锥的体积为______． 【变式3】（2026·广西南宁·二模）如图，在扇形中，． （1）尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 思路总结：逆向计算先代公式、再约去π、最后解方程，步骤标准化，杜绝计算失误。 【题型 8】正多边形圆内线段综合计算 核心考向：中档综合题型，直角三角形模型结合勾股 【例题8】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（24-25九年级下·江苏苏州·开学考试）如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 【变式2】（2026·广东广州·三模）如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【变式3】（2026·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知． （1）判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由； （2）求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集． 思路总结：正六边形边长=外接圆半径，利用特殊直角三角形快速求解边心距。 【题型 9】割补法求不规则阴影面积压轴 核心考向：江苏中考填空压轴必考，等积转化核心思想 【例题9】（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（2026·安徽·中考真题）如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 【变式3】（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 思路总结：多扇形拼接题型，优先累加圆心角，凑整圆、半圆简化面积计算，无需单独求解单个扇形。 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·上海奉贤·二模）如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（  ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 2．（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 3．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 5．（2026·云南楚雄·二模）用半径为，圆心角是的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南玉溪·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，已知，则该砖雕的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（2026·山东菏泽·模拟预测）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆（与正方形四边都相切的圆）中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，若正方形的边长为2，则黑色部分的面积是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏苏州·模拟预测）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 10．（2025·宁夏银川·二模）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 12．（2026·江苏连云港·三模）一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 13．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 14．（2025九年级·甘肃陇南·专题练习）如图，等边三角形内接于⊙O，，则图中阴影部分的面积是___________． 15．（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）若一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则这个圆锥的侧面积为________． 16．（2026·山西阳泉·三模）如图是某公园围墙上的窗户，它是两个同心圆的一部分，其几何示意图如图2所示，，，，窗户能透光（阴影部分）的面积为________．（结果保留） 17．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 18．（2025·四川自贡·三模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转后得到，若，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_________（结果保留）． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，连接，． （1）填空：的度数为_____． （2）若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． （1）求的长； （2）求扇形的面积． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； （1）求被剪掉的部分的面积； （2）如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·重庆开州·开学考试）如图，为的直径，点、在上，且点是的中点，过点作的垂线交直线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，的半径为，求的长． 23．（本小题满分10分）（2026·河南平顶山·三模）风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． （1）若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． （2）在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点E、F分别是边上的动点． （1）若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点B，C的对应点分别为M、N．点M恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为G，连接，试说明：； （2）若，如图②，且，将四边形沿翻折，点B、C的对应点分别为．当点E从点A运动至点B的过程中，点的运动路径长为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.11 正多边形与圆、弧长扇形面积计算专题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】正多边形与圆核心概念 1 【知识点二】正多边形必背计算公式（n为边数，n≥3且为整数） 2 【知识点三】弧长公式 2 【知识点四】扇形面积两大公式（灵活选用） 2 【知识点五】圆锥侧面展开核心结论 2 【知识点六】阴影面积通用解题思路 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】正多边形中心角、内角基础计算 3 【题型 2】由中心角反求正多边形边数 5 【题型 3】基础弧长公式计算 8 【题型 4】扇形面积角度公式直接计算 13 【题型 5】弧长面积双公式灵活选用 17 【题型 6】圆锥侧面积、全面积基础计算 19 【题型 7】扇形公式逆向求参数压轴 22 【题型 8】正多边形圆内线段综合计算 25 【题型 9】割补法求不规则阴影面积压轴 30 三.同步检测 35 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 35 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 41 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 45 一.知识梳理与解读 【知识点一】正多边形与圆核心概念 1. 定义：各边相等、各角相等的多边形为正多边形，正多边形都有唯一外接圆和内切圆，且两圆同心。 2. 核心参数：外接圆半径（正多边形半径R）、内切圆半径（边心距r）、中心角、边长、内角、外角。 3. 关键结论：正n边形的半径、边心距、半边长构成直角三角形，是所有计算的核心模型。 【知识点二】正多边形必背计算公式（n为边数，n≥3且为整数） 1. 中心角： 2. 外角：正多边形外角和恒为360°，单个外角，正多边形中心角=单个外角 3. 单个内角： 【知识点三】弧长公式 半径为R、圆心角为n°的弧长： 适用场景：圆弧路径长度、旋转轨迹长度、正多边形外接圆弧长计算。 【知识点四】扇形面积两大公式（灵活选用） 1. 角度公式（已知圆心角、半径）： 2. 弧长公式（已知弧长、半径）： 核心技巧：求面积优先看已知条件，有弧长直接用第二个公式，简化计算。 【知识点五】圆锥侧面展开核心结论 1. 圆锥侧面展开图为扇形：扇形半径=圆锥母线长，扇形弧长=圆锥底面周长（r为底面半径）。 2. 圆锥侧面积： 3. 圆锥全面积： 【知识点六】阴影面积通用解题思路 不规则扇形阴影，优先用割补法、平移法、等积替换，转化为规则扇形、三角形、圆形面积的和差求解。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】正多边形中心角、内角基础计算 核心考向：中考基础填空选择，直接套公式求值 【例题1】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，根据点是正八边形的中心，求得，然后根据等腰三角形的性质，得解答即可． 解：如图，连接． 点是正八边形的中心， ， 又是的中点， ． 【变式1】（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的含义． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可. （2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正边形的每个中心角都等于,进行计算即可解答． （1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7. （2）解：由（1）可得该多边形是正七边形， 中心角的度数． 思路总结：正多边形中心角、外角公式一致，内角用内角和公式快速求解，熟记常见正多边形角度。 【题型 2】由中心角反求正多边形边数 核心考向：逆向思维题型，公式变形求解参数 【例题2】（25-26九年级下·全国·课后作业）如果正n边形的中心角等于，求这个正多边形的边数． 【答案】 【分析】根据正多边形的中心角求解即可． 解：设正多边形的边数为， 根据题意，得， 解得， 这个正多边形的边数是15． 【变式1】（25-26九年级下·广西防城港·期中）如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据正边形的中心角公式求出的值即可． 解：∵是的圆周角，是的圆心角，且， ∴． ∵是的内接正边形的一边， ∴， 解得． 【变式2】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． （1）求的度数； （2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】（1）；（2）12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． （1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 思路总结：已知中心角求边数，直接用逆向计算。 【题型 3】基础弧长公式计算 核心考向：中考送分题型，直接代入公式运算 【例题3】（2024·江苏盐城·三模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，过点D作，垂足为F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求劣弧的长． 【答案】（1）证明：连接， ， ， 以为直径作，交于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线； （2） 【分析】（1）连接，证明，得到，根据垂直的定义，得到即可证明为的切线； （2）连接，得到，根据题意，得，，利用弧长公式求解即可． 解：（1）略； （2）解：，， ， 连接， 则， ， ， ； 【变式1】（2026·河南·中考真题）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，利用弧长公式求解即可． 解：连接，如图所示： ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴的长为：． 【变式2】（24-25九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【答案】 【分析】连接，设，的半径为，根据弧长公式得到，由圆周角定理和已知条件推出，据此由弧长公式可得答案． 解：如图所示，连接，设，的半径为， ∵的长度为， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴的长度是． 【变式3】（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，弦于点E，F为延长线上一点，且与相切，连接，． （1）求证：平分； （2）若，求劣弧的长度（结果保留）． 【答案】（1）证明：如图，连接， 与相切， ， 即， ， ，是直径， ， ， ， ， 即平分； （2） 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，即，根据直角三角形的性质得到，求得，等量代换得到，根据角平分线的定义得到平分； （2）连接，证明为等边三角形，即可求得，即可解答． 解：（1）略 （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 劣弧的长度为． 思路总结：弧长计算三步法：代n、代R、约分化简，注意保留π不取值。 【题型 4】扇形面积角度公式直接计算 核心考向：基础面积计算，适配已知圆心角、半径题型 【例题4】（2026·山西·中考真题）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】扇形（即阴影部分）的面积为 【分析】连接，先根据切线性质得到，进而得到，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，继而得到，最后根据扇形的面积公式进行求解即可． 解：连接． 与相切于点． ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 【变式1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 【变式2】（2026·宁夏银川·模拟预测）如图，中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，交边于点，若，，，则扇形的面积为______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，由题意得，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质求出，最后根据扇形面积公式计算． 解：，， ， 由题意得，， ， ， 扇形的面积为． 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，，平分． （1）求和的度数； （2）若，求扇形（阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】（1），=20°；（2） 【分析】（1）根据以及角的和差关系得，又因为平分，得出，最后把数值代入计算，即可作答． （2）结合（1）得，再运用扇形面积公式列式计算，即可作答． （1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ． （2）解：由（1）得 扇形的面积为． 思路总结：已知圆心角优先用角度公式，计算时先约分再运算，减少出错。 【题型 5】弧长面积双公式灵活选用 核心考向：中档必考，规避公式混用失分 【例题5】（25-26九年级上·吉林·阶段检测）已知一扇形所在圆的半径为，弧长为，面积为，若扇形的周长为． （1）当时，则扇形弧长______，扇形面积______． （2）直接写出弧长与半径的函数关系式______； （3）当半径为何值时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？写出求解过程． 【答案】（1）32，64；（2）；（3）当时，S有最大值，为100 【分析】此题考查扇形的面积公式，二次函数的性质， （1）由题意得，，代入求出扇形面积S； （2）根据，即可得到函数关系式； （3）列函数解析式，根据二次函数的性质解答即可 （1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴扇形面积， 故答案为：32，64； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵，， ∴， ∵, ∴当时，S有最大值，为100 【变式1】（2026·四川德阳·模拟预测）已知扇形的半径为3，弧长为，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知扇形的弧长和半径，直接利用扇形面积公式计算即可得到结果． 解：∵ 扇形半径，弧长， ∴ 代入扇形面积公式 ， 得． 【变式2】（2026·江苏盐城·一模）一个扇形的弧长是，半径为，则该扇形的面积是______． 【答案】 【分析】利用扇形面积公式，其中为弧长，为半径，代入已知条件计算即可得到结果． 解：由题意得，，， 根据扇形的面积公式可得． 【变式3】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 【答案】 2 2 /150度 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：． （1）据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式求解即可； （3）先根据求出半径，再根据求解即可． 解：（1）∵，， ∴． ∴， ∴． 故答案为：2； （2）∵扇形的圆心角为，面积为， ∴ 解得（负值舍去）． 故答案为：2； （3）由（1）知，， ∴， ∴． ∵ ∴． 故答案为：． 思路总结：有弧长用½LR，有角度用nπR²/360，按需选择、快速解题。 【题型 6】圆锥侧面积、全面积基础计算 核心考向：江苏中考高频中档填空，模型固定 【例题6】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知圆锥的底面半径，母线长 （1）圆锥的高 cm．侧面展开扇形的圆心角 ° （2）求圆锥的全面积． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）利用勾股定理求高；设侧面展开扇形的圆心角为，再根据扇形弧长等于底面周长列式求解； （2）分别求出圆锥底面面积和侧面积，再求和即可． （1）解：由题可知，， ； 设侧面展开扇形的圆心角为，则， 又底面周长为， ，解得， 则侧面展开扇形的圆心角为； （2）解：圆锥底面积为， 圆锥的侧面积为， 所以圆锥的全面积为． 【变式1】（2024·浙江温州·三模）某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面直径求出底面半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可． 解：底面半径， 圆锥侧面积． 【变式2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________ 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长求出底面半径，再分别计算侧面积与底面积，求和得到全面积． 解：设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径，圆心角为， 由圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，得 解得， 圆锥侧面积为：， 圆锥底面积为：， 因此圆锥的全面积为：． 【变式3】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）已知扇形的半径为6，圆心角为，若将此扇形围成一个圆锥，求： （1）围成的圆锥的侧面积； （2）围成的圆锥的全面积． 思考1：求圆锥的侧面积就是求　　　． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的　　　，而扇形的弧长是圆锥底面圆的　　　，所以可以先求出扇形的弧长． 【答案】（1）；（2）围成的圆锥的全面积是；思考1：扇形的面积；思考2：半径，周长 【分析】本题考查了圆锥的有关计算； （1）根据扇形的面积公式进行计算； （2）分别利用弧长公式，圆的周长和面积公式计算即可． （1）解：圆锥的侧面积是：； （2）思考1：求圆锥的侧面积就是求扇形的面积． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的半径，而扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，所以可以先求出扇形的弧长． 扇形的弧长是：， 则底面圆的周长是，底面圆的半径是2， 所以底面圆的面积是：， 则围成的圆锥的全面积是． 思路总结：区分母线与底面半径，侧面积不含底面，全面积必须加底面圆面积。 【题型 7】扇形公式逆向求参数压轴 核心考向：填空高频拔高题，已知面积/弧长反求圆心角、半径 【例题7】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）． （1）求扇形的圆心角的度数； （2）求圆锥的底面半径． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，扇形的面积公式，圆锥的侧面积，熟练掌握相关公式是解题的关键． （1）设扇形的圆心角的度数为，根据扇形的面积公式列方程求解即可； （2）根据圆锥的侧面积等底面周长的一半乘母线长，列式计算即可． （1）解：设扇形的圆心角的度数为， 则， 解得， 答：扇形圆心角的度数为； （2）解：侧面积为，母线长为， ， ， 答：圆锥的底面半径为． 【变式1】（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 【变式2】（2026·黑龙江大庆·二模）如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高的夹角为，那么圆锥的体积为______． 【答案】 【分析】在由母线、高、底面半径构成的直角三角形中，求出底面半径和长，再利用圆锥公式求解即可． 解：母线l长为4，母线l与高的夹角为， 底面半径为、高， 圆锥的体积为． 【变式3】（2026·广西南宁·二模）如图，在扇形中，． （1）尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 【答案】（1）答案见分析；（2）①；②  2 【分析】（1）尺规作图，作的角平分线，与的交点就是点C； （2）①先求扇形的半径，再根据弧长公式计算即可；②设圆锥底面半径为r，根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列方程计算即可． （1）解：如下图， 分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求； （2）①设扇形的半径为R，则， ， ， 是的中点， ， ， ， 在中， ，即， 解得：， ； ②设圆锥底面半径为r ， ， ， 圆锥的底面半径是2． 思路总结：逆向计算先代公式、再约去π、最后解方程，步骤标准化，杜绝计算失误。 【题型 8】正多边形圆内线段综合计算 核心考向：中档综合题型，直角三角形模型结合勾股 【例题8】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 解：（1）略 （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【变式1】（24-25九年级下·江苏苏州·开学考试）如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 【答案】B 【分析】根据正五边形的性质得出 ，由点 、 运动速度相同得出 ，结合三角形外角性质推导． 解：如图，五边形 是正五边形 ， ∴， 点、分别从点B、C开始以相同的速度在 上逆时针运动， ， ∴， ∴． 【变式2】（2026·广东广州·三模）如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解． 解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 【变式3】（2026·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知． （1）判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由； （2）求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集． 【答案】（1）点E在该反比例函数的图象上，理由如下： ∵六边形为正六边形，， ∴，， ∴，， ∴，， 连接， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数表达式为． ∵为等边三角形， ∴点E和点A关于对称， ∴， 把代入得：， ∴点E在该反比例函数的图象上；    （2）， 【分析】（1）根据正六边形的性质得出，，则，，得出，， 连接，推出为等边三角形，得出，则反比例函数表达式为把，代入，求出，即可解答； （2）把，代入，求出a和b的值，即可得出直线的解析式，根据图象，找出直线位于双曲线上方时自变量的取值范围即可． 解：（1）略 （2）解：把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴由图可知，当时，． 【点拨】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，正六边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正六边形的性质． 思路总结：正六边形边长=外接圆半径，利用特殊直角三角形快速求解边心距。 【题型 9】割补法求不规则阴影面积压轴 核心考向：江苏中考填空压轴必考，等积转化核心思想 【例题9】（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·安徽·中考真题）如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与交于点，先得出所在的圆为以点为圆心、长为半径的，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可． 解：如图，设与交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵正方形的各边与所在的圆分别相切于点， ∴所在的圆为以点为圆心、长为半径的， ∴图中阴影部分的面积为 ． 【变式2】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 【答案】（1）解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线． （2） 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 解：（1）略 （2）过作于点， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 思路总结：多扇形拼接题型，优先累加圆心角，凑整圆、半圆简化面积计算，无需单独求解单个扇形。 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·上海奉贤·二模）如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（  ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】设正多边形的边数为，计算出正多边形内角和中心角，根据数量关系列出方程即可求解． 解：设这个正多边形的边数为， ∵正边形的中心角总和为， ∴每个中心角为， ∵正边形的内角和为， ∴每个内角为， 根据题意得， 解得， ∴这个正多边形是正八边形． 2．（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 4．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可． 解：在中，，，， ∴， ∴B点经过的路线长． 5．（2026·云南楚雄·二模）用半径为，圆心角是的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“扇形弧长等于圆锥底面圆的周长”列方程即可求解底面半径． 解：设这个圆锥的底面半径为， ∵圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，已知扇形半径为，圆心角为， ∴根据弧长公式和圆的周长公式可得， 化简等式右边得， 解得． 6．（2026·云南玉溪·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形的半径，根据该关系列方程求解即可 解：设该圆锥侧面展开图的圆心角度数为， ∵圆锥底面圆半径，母线长，且圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长 ，侧面展开图的弧长为. ∴，解得. ∴该圆锥侧面展开图的圆心角度数为 7．（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，已知，则该砖雕的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题的关键是掌握扇形面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可求解． 解：由题意可知，该砖雕的面积等于扇形的面积减去扇形的面积， 圆心角，，， 该砖雕的面积为： ． 故选：D． 8．（2026·山东菏泽·模拟预测）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆（与正方形四边都相切的圆）中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，若正方形的边长为2，则黑色部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解内切圆的面积，容易判断黑色部分的面积是内切圆的一半，从而求出黑色部分的面积． 解：∵正方形的边长为， ∴内切圆的直径为， ∴内切圆的面积为， 根据题意可知，黑色部分的面积是内切圆的一半， ∴黑色部分的面积为． 9．（2026·江苏苏州·模拟预测）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 10．（2025·宁夏银川·二模）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，易求得⊙O的半径为，扇形的圆心角的度数，根据三角函数求出，，然后根据即可得到结论． 解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ⊙O的半径为，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 12．（2026·江苏连云港·三模）一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 【答案】 【分析】将已知的半径和面积代入扇形面积公式，即可求解得到圆心角． 解：设该扇形的圆心角为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，得，整理得，解得：， 即这个扇形的圆心角是． 13．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 【答案】 【分析】连接、，设与相交于O，先根据正方形的性质得到，， ，再根据90度的圆周角所对的弦是直径得到，是的直径，点O为圆心，进而利用弧长公式求解即可． 解：连接、，设与相交于O， ∵四边形是正方形， ∴，，即， ∵正方形是的内接四边形， ∴，是的直径，点O为圆心， ∵的半径为3， ∴弧的长为． 14．（2025九年级·甘肃陇南·专题练习）如图，等边三角形内接于⊙O，，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】根据内接于圆O的等边三角形的性质可得，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解． 解：∵等边三角形内接于， ∴点O为等边三角形的中心， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）若一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则这个圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积等于其侧面展开图的面积，本题中侧面展开图是半径为的半圆，根据圆的面积公式计算半圆面积即可得到圆锥的侧面积． 解：由题意可知，圆锥侧面积等于其侧面展开半圆的面积，展开半圆的半径， 因此圆锥侧面积为：． 16．（2026·山西阳泉·三模）如图是某公园围墙上的窗户，它是两个同心圆的一部分，其几何示意图如图2所示，，，，窗户能透光（阴影部分）的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据窗户能透光（阴影部分）的面积等于两扇形面积之差计算即可． 解：由图可知：窗户能透光（阴影部分）的面积为． 17．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 【答案】/112.5度 【分析】设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则，求出正八边形中心角，再利用三角形内角和定理求出，最后再利用平角的定义求解即可． 解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接， 则， ∵， ∴， ∴． 18．（2025·四川自贡·三模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转后得到，若，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_________（结果保留）． 【答案】 【分析】解直角三角形求出，根据旋转的性质得出，，，，进而得出，利用扇形面积公式求解即可． 解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转后得到， ∴，，，， ∴ ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，连接，． （1）填空：的度数为_____． （2）若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正多边形与圆、直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，掌握这些是解题的关键． （1）根据正n边形中心角为，即可求解； （2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形性质结合勾股定理求得半径是4，再利用弧长公式求解即可． （1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． （1）求的长； （2）求扇形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． （1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； （1）求被剪掉的部分的面积； （2）如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查扇形与圆的面积计算，扇形弧长的计算，割补法求面积，以及扇形所围成的圆锥与扇形之间的关系，掌握扇形与圆的面积，弧长公式是解决本题的关键． （1）由图可知当扇形圆心角为时，的连线过圆心O，连接，，进而可证为等腰直角三角形，通过勾股定理可计算出扇形半径，进而计算出扇形面积，用圆形铁皮面积减扇形面积即为所求； （2）根据扇形半径可求出扇形上弧长，再根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． （1）解： 如图所示，连接，， 当扇形圆心角为时，的连线过圆心O， ∵（为同圆的半径），， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 所以扇形面积为：， 圆形铁皮面积为：， ∴减掉部分面积为：； （2）解：由剪下来的扇形的半径为， ∴扇形弧长为：， ∴围成圆锥的底面半径为：． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·重庆开州·开学考试）如图，为的直径，点、在上，且点是的中点，过点作的垂线交直线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2） 【分析】（1）连接，证明即可； （2）连接，由圆周角定理求出，由弧长公式即可求解． 解：（1）证明：略； （2）解：连接，如图， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（2026·河南平顶山·三模）风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． （1）若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． （2）在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 【答案】（1）扇叶最外端P与地面的距离为；（2）点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为 【分析】（1）过点P作，垂足为F，则，那么，再解即可； （2）解求出，再由弧长公式求解即可． （1）解：由题意，得O，D，C三点共线． 如图，过点P作，垂足为F． 由题意，得， ∴． ∵⊙O的直径为， ∴． 在中，， ∴． ∴扇叶最外端P与地面的距离为． （2）解：依据题意构图如上，此时点P运动到点Q的位置． 在中，，， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点E、F分别是边上的动点． （1）若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点B，C的对应点分别为M、N．点M恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为G，连接，试说明：； （2）若，如图②，且，将四边形沿翻折，点B、C的对应点分别为．当点E从点A运动至点B的过程中，点的运动路径长为 ． 【答案】（1）①； ②证明：如图1， 取的中点Q，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M是的中点， ∴为梯形的中位线， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）①利用正方形的性质、折叠的性质及勾股定理即可求解； ②取的中点Q，连接，则由梯形中位线定理得，由折叠的性质及直角三角形斜边中线的性质得，由此即可证明结论成立； （2）连接，交于O，连接，作点B关于的对称点，连接，则由折叠得，由直角三角形斜边中线的性质及三角函数得是等边三角形，进而得为定值，确定点的运动路径，即可确定运动路径的长． （1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵M是的中点， ∴， 设，则由折叠知， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 略 （2）解：如图2， 如图，连接，交于O，连接，作点B关于的对称点，连接, 由折叠知， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在以O为圆心，2为半径的上运动， ∵， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $