专题3.1 圆的相关概念（5题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“圆的相关概念”核心知识点，系统梳理圆的描述性与集合性定义，涵盖圆心、半径、弦、直径、弧、等圆、等弧等概念，衔接点与圆的位置关系判断及周长面积计算，构建从概念理解到应用的完整学习支架。 该资料通过“即学即练+分层题型”设计，如弦的条数辨析、过圆内点最长弦探究等，结合扫地机器人路径等生活实例，培养几何直观与空间观念。通过等弧条件辨析题发展推理意识，课中助力教师突破重难点，课后帮助学生强化概念理解与应用能力，查漏补缺。

专题3.1 圆的相关概念 教学目标 1. 理解圆的描述性定义和集合定义，掌握圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧等核心概念。 2. 理解点与圆的三种位置关系，并能根据点到圆心的距离与半径的大小关系进行判断。 3. 通过画图、观察与操作，发展空间观念，体会圆的对称性与集合思想。 教学重难点 重点： 1. 与圆相关的概念（弦、直径、弧、半圆、等弧）的准确理解与识别。 2. 点与圆的位置关系的判断方法及应用。 教学难点： 1. 理解圆的集合定义（到定点距离等于定长的所有点组成的图形），以及“弧”与“半圆”的区别。 2. 理解“等弧”必须是在同圆或等圆中才能成立的前提条件。 知识点01 圆的定义 1）圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 2）基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（直径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 3）确定一个圆的两要素（圆心、半径） 4）圆的任一半径长度都相等 5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等； 7）圆周长公式：C=2r 圆面积公式：S= 【即学即练】1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 2．如图，点A、B、C在上， ，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，是的半径，可求出，是等腰三角形，可得 ，结合，可求出，的度数，且，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴是等腰三角形，， 则， ∵， ∴，且， ∵， ∴是等腰三角形，则， ∴， ∴， 故选：B． 3．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 【答案】 【分析】由题意可知，绳子拉直后的长度为该圆形物体的周长，根据圆的周长公式即可计算出直径． 【详解】由题意得，该圆形物体的周长，圆的周长公式为 （其中为圆的直径，取），变形得 ， ∵， 代入数据得 ． 题型01 圆的基本概念辨析 【典例1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可． 【详解】解：∵圆的半径为， 故圆的直径为， 故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵， ∴弦长不可能是． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·期末）下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、圆心角的关系和垂径定理推论，利用垂径定理、圆的有关定义、圆心角、弦、弧之间的关系、等弧的定义等知识分别判断后即可解答． 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，故A正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，原说法缺少前提条件，故B错误； C、相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，故C错误； D、平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直），故D错误． 故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 题型02 求圆中弦的条数 【典例2】（25-26九年级上·北京·单元测试）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 题型03 求过圆内一点的最长弦 【典例3】（25-26九年级上·全国·期末）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 【变式1】（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为_______厘米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口．直径是圆中最长的弦，根据圆的直径是14厘米求解即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，中最长的弦为14厘米， ∴的直径是14厘米． ∴的半径是7厘米． 故答案为：7． 【变式2】（25-26九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 题型04 圆的周长和面积问题 【典例4】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 【变式2】（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 【变式3】（25-26九年级上·河南·期末）如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以，据此即可求解．本题考查了不规则图形的面积的计算，计算不规则图形的面积一般是将不规则图形的面积转化为通过对多个规则图形面积的加减来解答． 【详解】∵周长为16的正方形， ∴正方形的边长4， ∴图中两个半圆的直径为4， 则其半径为2， 根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 题型05 圆心角概念辨析及简单运算 【典例5】（25-26六年级下·全国·课后作业）图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的性质中弦长的性质，根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径，半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 【详解】解：∵的半径为5， ∴直径长为10， ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11， 故选：D． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法中，不正确的是（    ） A．直径是一个圆中最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．切线垂直于过切点的半径 D．长度相等的弧是等弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、半径、切线和弧的概念，对圆相关概念的准确理解是解题关键． 根据圆的性质，A、B、C选项均正确，D选项错误，因为等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定为等弧． 【详解】解：∵ 直径是过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故A正确； ∵ 同圆中所有半径相等，故B正确； ∵ 圆的切线垂直于过切点的半径，故C正确； ∵ 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定为等弧，故D不正确． 故选：D． 4．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 二、填空题 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 6．（22-23九年级上·江苏扬州·开学考试）在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 【答案】60 【分析】画出图形，连接、，可证得是等边三角形，由此得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 7．（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 【答案】/50度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得的度数，再根据平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 8．（2025·四川成都·模拟预测）如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形为等边三角形，若圆的半径为，组合烟花的高为，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计） ________．（取3） 【答案】960 【分析】本题考查了圆的周长、等边三角形的性质，先根据圆和等边三角形的相关知识点求出烟花的截面周长，结合组合烟花的高为，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：等边三角形的边长， ∴等边的周长是， ∵圆的周长， ∴烟花的截面周长， ∴组合烟花侧面包装纸的面积． 故答案为：960． 三、解答题 9．（25-26六年级下·四川成都·阶段检测）如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 【答案】6.28厘米；3.14平方厘米 【分析】根据大圆周长和圆的周长公式求出大圆的直径，根据两个小圆的面积比为，结合圆的面积公式求出这两个圆的半径比为，则可求阴影部分圆的半径，最后根据圆的周长和面积公式求解即可． 【详解】解：（厘米）， 设两个小圆的半径依次是， 则， ， （厘米）， 周长：（厘米），面积：（平方厘米）， 答：阴影部分的周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米． 10．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 11．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用三张同样大小的正方形铁皮（边长是），分别按下面三种方式剪出不同规格的圆片．（取3.14） (1)三种圆片中每个圆的周长分别是多少？ (2)剪完圆后，哪张铁皮剩下的废料多？ (3)根据以上计算，你发现了什么？ 【答案】(1)三种圆片中每个圆的周长分别是． (2)剪完圆后，三张铁皮剩下的废料一样多． (3)按此种方式剪出不同规格的圆片，剪完圆后，铁皮剩下的废料都一样多． 【分析】这道题考查的是正方形和圆的面积计算公式以及圆的周长计算公式的实际应用，要明确正方形的面积=边长×边长，圆的面积=圆周率×半径的平方，圆的周长=圆周率×直径． 根据圆的周长计算公式，即可分别求出三种圆片的周长；根据正方形和圆的面积计算公式，即可求出哪张铁皮剩下的废料多些. 【详解】（1）解： ， ， ， 答：三种圆片中每个圆的周长分别是5.652m，2.826m，1.884m； （2）， ， ， 答：剪完圆后，三张铁皮剩下的废料一样多； （3）按此种方式剪出不同规格的圆片，剪完圆后，铁皮剩下的废料都一样多． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）尺规作图问题：在中作一个度数为的圆心角． 以下是小华的作图过程，他分两步完成，如图所示： 第一步：以上一点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结． 第二步：分别以，为圆心，大于线段长度的长为半径作圆弧交于圆内一点，连结并延长交于点． 请根据他的作图过程回答以下问题： (1)求的度数． (2)说明的度数为的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图，等边三角形的判定与性质，圆的基本性质，理解等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，尺规作图是解决问题的关键． （1）连接，由第一步作图可知：，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出的度数； （2）连接，，由第二步作图可知：，由此可依据判定和全等，则，再根据得，由此可得的度数． 【详解】（1）解：连接，如图1所示： 由第一步作图可知：， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：连接，，如图2所示： 由第二步作图可知：， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， 即． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，内切圆和外接圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． 假设正方形内切圆的半径为1，则，利用勾股定理求出外接圆的直径，然后利用圆的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，假设正方形内切圆的半径为1，则， 根据勾股定理得， ∴外接圆的半径为， ∴内切圆的面积为； 外接圆的面积为， ∴阴影部分的面积为； ∴图中空白部分与阴影部分的面积比值为1， 故选：C． 二、填空题 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，为的直径，点，在上，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握相关性质定理是解题的关键．根据平行线的性质求得的度数，根据 ，等边对等角得到的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，两矩形和彼此相邻内接于半圆，其中点、、在圆上，点、、在直径上，已知，，则_____ ． 【答案】5 【分析】连接，，，根据矩形的性质得，，，证明，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，设，，则，在中，利用勾股定理可得，从而可得，再在中，利用勾股定理进行计算可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图，连接，，， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， ， ∴或（舍去）， ∴． 三、解答题 5．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）公元前一世纪《周髀算经》中记载的“方圆圆方图”是我国古代匠人建筑设计的经典构图，体现了古人对几何比例的深刻理解．令人惊叹的是，它所揭示的比例关系正是现代国际标准（）A系列纸张的设计基础，这个比例的值被称为“白银比”． (1)如图1，“方圆圆方图”中的大圆直径和小圆直径的比即为“白银比”，比值是_____； (2)如图2，纸的长宽比是“白银比”，将纸对折后得到纸．求证：纸的长宽比等于“白银比”； (3)如图3，先将（2）中的纸对折后得到纸，再将纸折叠，使点落在边上，得到正方形纸片．若纸的面积为，则正方形纸片的面积是______．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 解：如图，设， ∵纸的长宽比是“白银比”， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得四边形是矩形， 且，， 故， ∴纸的长宽比等于“白银比”． (3) 【分析】（1）设正方形为，连接,根据题意，得大圆的直径为正方形的对角线，小圆的直径为正方形的边，根据正方形的性质解答即可； （2）设，根据定义证明即可； （3）设，证明，解答即可． 【详解】（1）解：设正方形为，连接, 根据题意，得大圆的直径为正方形的对角线，小圆的直径为正方形的边， 又， 故， 故“方圆圆方图”中的大圆直径和小圆直径的比即为“白银比”，比值是． （2）略 （3）解：设， ∵纸的长宽比是“白银比”， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得四边形是矩形， 且，， 第二次折叠，得， 故正方形纸片的面积是． 6．（2026·安徽·二模）点A，点B是两个距离为的小区．现有甲，乙，丙，丁四个人以相同的速度沿着不同的路线从A走到B． (1)如图1，甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是____．如图2，图①、图②、图③是三个大小相同的等边三角形，乙同学沿着的折线路线行走，则乙同学运动的路线长为______． (2)如图3，图①、图②、图③、…、图是n个等边三角形，丙同学沿着的折线路线行走；如图4，图①、图②、图③…、图是m个半圆，丁同学沿着的曲线路线行走，则丙同学与丁同学谁先到达点B．请通过计算说明理由．（） (3)如图5，为提升公共健康和改善生态环境．政府决定在A，B两个小区附近的空地修建公园（长方形），并在图①、图②、图③、图④四块空地上栽种植物．已知图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大，请求图④的面积． 【答案】(1)两点之间，线段最短；600 (2)丁同学先到达点B，理由如下： 计算丙同学的路程：丙同学的折线由段构成，每段长度等于三角形边长，n个等边三角形的底边长度之和为， 故丙同学走的折线总长度为， 计算丁同学的路程：个半圆的直径之和为，每个半圆弧长为， 故总弧长为总直径，个半圆的直径长度之和为， 故丁同学走的曲线总长度为， ∵，且丙同学和丁同学的速度相同， ∴丁同学先到达点B． (3) 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”即可解答；根据等边三角形的性质即可求出乙同学运动的路线长； （2）分别求出丙同学和丁同学行走的路程，再比较二者的大小即可得出结论； （3）根据长方形与三角形之间的面积关系得到，再结合“图③的面积比图④的面积大”列出方程，求出即可求解． 【详解】（1）解：甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是“两点之间，线段最短”； 三个等边三角形的底边长度之和刚好等于的长度， 等边三角形的三条边长度相等，乙走的折线每一段都等于对应等边三角形的边长， 所以总长度是长度，即， 所以乙同学运动的路线长为． （2）略 （3）解：如图5， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大， ∴， ∴， 即图④的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.1圆的相关概念 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01圆的定义 2.知识清单 题型01圆的基本概念辨析 圆的相关概念 题型02求圆中弦的条数 题型03求过圆内一点的最长弦 3.题型精讲 题型04圆的周长和面积问题 题型05圆心角概念辨析及简单运算 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解圆的描述性定义和集合定义，掌握圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、 等弧等核心概念。 教学目标 2.理解点与圆的三种位置关系，并能根据点到圆心的距离与半径的大小关系进行判 断。 3.通过画图、观察与操作，发展空间观念，体会圆的对称性与集合思想。 重点： 1.与圆相关的概念（弦、直径、弧、半圆、等弧）的准确理解与识别。 2.点与圆的位置关系的判断方法及应用。 教学重难点 教学难点： 1.理解圆的集合定义（到定点距离等于定长的所有点组成的图形），以及“弧”与 “半圆”的区别。 2.理解“等弧”必须是在同圆或等圆中才能成立的前提条件。 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01圆的定义 1)圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“⊙ 0”,读作：“圆0”，其中端点0叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 小 2)基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径(OB、OC也是圆的半径) ②弦：圆上任意两点间的线段（直径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB) ④弧：圆上任意两点间的部分（如AC) ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 3)确定一个圆的两要素（圆心、半径） 4)圆的任一半径长度都相等 5)圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 6)等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等： 7)圆周长公式：C=2πr 圆面积公式：S=πr2 【即学即练】1.如图，在⊙0中，点A,O,D在一条直线上，点B,O,C在一条直线上，那么图中 有弦( A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 2.如图，点A、B、C在⊙0上，ACI川OB,∠B=25°，则∠B0C=() 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.50° C.60° D.80° 3.小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为15.7m(π 取3.14)，则这个圆形物体的直径是cm. 题型精讲 题型01圆的基本概念辨析 【典例1】(25-26九年级上·陕西西安阶段检测)以下说法正确的是（) A.相等的圆心角所对的弦相等 B.弦是直径 C.半圆是最长的弧 D.同圆中直径是最长的弦 【变式1】(25-26九年级上：浙江丽水期末)已知圆的半径为4，则圆中一条弦的长度不可能的是() A.2 B.4 C.8 D.10 【变式2】(25-26九年级上广东汕头期末)下列说法中正确的是() A.直径是弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.相等的圆心角所对的弧相等 D,平分弦的直径垂直于弦 【变式3】(25-26九年级上陕西西安·阶段检测)下列说法正确的是() A.直径是弦，弦是直径 B.过圆心的线段是直径 C.圆中最长的弦是直径 D.圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 题型02求圆中弦的条数 【典例2】(25-26九年级上北京单元测试)如图所示，点A,O,D,点C,D,E以及点B,O,C 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为() 3/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E A A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1】(25-26九年级上河南濮阳·期末)如图所示，在⊙O中，点A,O,D以及点B,O,C分别在 一条直线上，则图中的弦有() B D A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【变式2】(2025九年级上全国·专题练习)如图，在⊙0中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直 线上，图中共有 条弦，它们分别是 E 题型03求过圆内一点的最长弦 【典例3】(25-26九年级上全国期末)经过圆内一点可作圆的 条弦，其中最长的弦是 【变式1】(25-26九年级上·福建泉州阶段检测)已知⊙0中最长的弦为14厘米，则此圆半径为. 厘米 【变式2】(25-26九年级上·河北唐山期中)⊙0外一点P到圆周上一点的最长距离为8Cm,最短距离为 2cm,则⊙0的直径长为_cm 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 圆的周长和面积问题 【典例4】(25-26九年级上江苏常州阶段检测)如图，在⊙0中，∠A0B=60°，弦AB的长为4，则 ⊙0的面积为() B A.3π B.16元 C.8π D.9π 【变式1】(25-26七年级下·山西运城期末)如图，正方形ABCD是由四个边长为2的小正方形拼成的， 连接AF和DF,分别以E,G为圆心，AE的长为半径画弧，两弧交于正方形ABCD的中心O处，图中阴影 部分的面积是() A.4 B.6 C.2π D.4π 【变式2】(25-26六年级下·上海普陀阶段检测)·已知图1、图2中两个半圆的半径相等，00分别 是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为S,图2中的阴影部分面积为S2,那么S与S2之间的大小关系是 S S 0 02 图1 图2 【变式3】(25-26九年级上·河南期末)如图，周长为16的正方形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中 点，连接EF,以AB和CD为直径的两个半圆分别与EF相切，则图中阴影部分的面积为一（结果保 留兀)· 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 题型05圆心角概念辨析及简单运算 【典例5】(25-26六年级下·全国课后作业)图中∠AOB是圆心角的是() 0 A B C 4 【变式1】(25-26七年级上贵州贵阳期末)如图所示，下列各角是圆O内的角，其中圆心角是() 21y0 A.∠1 B.∠2 c.∠3 D.∠4 【变式2】(25-26九年级上·全国课后作业)下图中的∠ACB是圆心角的是() 【变式3】(2025九年级全国专题练习)如图，在⊙0中，AB是弦，C是AB上一点.若∠OAB=25°， ∠OCA=40°，则BC所对的圆心角度数为() 6/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.30° B.40° C.50° D.60° 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级上河北沧州期末)在图中没有出现的几何图形是() B 0 A.弦 B.弧 C.弓形 D.扇形 2.(25-26九年级上福建泉州阶段检测)已知⊙0的半径为5，则⊙0中弦AB的长度不可能是() A.1 B.5 C.10 D.11 3.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)下列说法中，不正确的是() A.直径是一个圆中最长的弦 B.同圆中，所有的半径都相等 C.切线垂直于过切点的半径 D.长度相等的弧是等弧 4,(2026湖北十堰·模拟预测)如图，己知AB是⊙0的直径，AD为⊙0的弦，C0‖AD,连接AC, CD:分别以点A,C为圆心，以大于24C的长为半径作弧，并使两弧交于一点G:直线OG交4D于点 E,连接CE.若∠BOC=50°，则∠CAE的度数为() B A.50° B.40° C.25 D.20° 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.(2025九年级全国专题练习)如图，在⊙0中，弦有一，直径有 一，劣弧有」 优弧有 6. (22-23九年级上江苏扬州开学考试)在半径为2的O0中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆心角 的度数为 度 7.(2026安徽安庆·一模)如图，AB是⊙O的直径，点C,D在AB的异侧，连接BC,OD,OC,若 ∠BOC=80°，且BC∥OD,则∠BOD的度数为 B D 8.(2025四川成都模拟预测)如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是 三个角上的圆的圆心，且三角形ABC为等边三角形，若圆的半径为2cm,组合烟花的高为20cm,则组合 烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计） cm2.(元取3) 三、解答题 9.(25-26六年级下四川成都阶段检测)如图所示，大圆0的周长为18.84厘米，在圆0中有两个小圆， 已知两个小圆的面积比为：4，求阴影部分的周长与面积. 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26六年级下·上海金山阶段检测)一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周.如 图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（π取3.14）· 。 4dm 20dm (I)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 11.(25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末)用三张同样大小的正方形铁皮（边长是1.8m),分别按下面三 种方式剪出不同规格的圆片.（π取3.14） (1)三种圆片中每个圆的周长分别是多少？ (2)剪完圆后，哪张铁皮剩下的废料多？ (3)根据以上计算，你发现了什么？ 12.(24-25九年级上·浙江金华期末)尺规作图问题：在⊙0中作一个度数为150°的圆心角. 以下是小华的作图过程，他分两步完成，如图所示： 第一步：以⊙O上一点A为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于点B,连结OB 第二步：分别以A,B为圆心，大于线段OA长度的长为半径作圆弧交于圆内一点C, 连结OC并延长交⊙0于点D. 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1B 请根据他的作图过程回答以下问题： (1)求∠AOB的度数 (2)说明∠AOD的度数为150°的理由. 能力提升 一、单选题 1.(25-26九年级上：广东东莞·期中)给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是 等弧：④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A,B是半径为3cm的⊙0上两个不 同的点，则弦AB的取值范围是Ocm<AB≤6cm.其中，正确的是() A.②③④⑤ B.①②④⑤ C.①③④⑤ D.①②③⑤ 2.(25-26九年级上山东临沂·期中)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君 子修身齐家的象征，下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.图中空白部分与 阴影部分的面积比值为() A. 2 B.2 C.1 D.2 二、填空题 3.(25-26九年级上广东广州期中)如图，AB为⊙0的直径，点C,D在⊙0上，∠B0C=70°， AD川OC,则∠D=— 10112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 4.(22-23九年级上浙江杭州阶段检测)如图，两矩形ABCD和BFEG彼此相邻内接于半圆O,其中点 AB C、DE在圆上，点AB、G在直径MN上，已知AB=2BC,BG=2BF,则BG D BG 三、解答题 5.(25-26九年级上江苏无锡期末)公元前一世纪《周髀算经》中记载的“方圆圆方图”是我国古代匠 人建筑设计的经典构图，体现了古人对几何比例的深刻理解.令人惊叹的是，它所揭示的比例关系正是现 代国际标准(S0216)A系列纸张的设计基础，这个比例的值被称为“白银比”. H 图1 图2 图3 ()如图1，“方圆圆方图”中的大圆直径和小圆直径的比即为“白银比”，比值是一； (2)如图2，A纸ABCD的长宽比是“白银比”，将A纸ABCD对折后得到A纸EFCB.求证：A纸 EFCB的长宽比等于“白银比”： (3)如图3，先将(2)中的A纸对折后得到A纸EGHB,再将A6纸EGHB折叠，使点G落在EB边上，得 到正方形纸片EGMN.若A4纸ABCD的面积为a,则正方形纸片EGMN的面积是一·（用含a的代 数式表示) 6.(2026安徽·二模)点A,点B是两个距离为300m的小区.现有甲，乙，丙，丁四个人以相同的速度 沿着不同的路线从A走到B. 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P P ① ② ③ B 图1 图2 P ②③ @ ①②③ ① ① kwv … 中 92 Q30.1 C C.C3 图3 图4 D C ② 14 E 图5 (1)如图1，甲同学沿着线段AB行走，结果最先到达点B,其中的数学原理是一·如图2，图①、图②、 图③是三个大小相同的等边三角形，乙同学沿着A→？→Q→B→Q→→B的折线路线行走，则乙 同学运动的路线长为」 m (2②)如图3，图①、图②、图③、…、图①是n个等边三角形（≥2），丙同学沿着 A→R→Q→P→Q2→B→Q→…→0→P→B的折线路线行走：如图4，图①、图②、图③…、 图@是m个半圆(m≥2)，丁同学沿着A→C→C→C,→…→Cm1→B的曲线路线行走，则丙同学与丁 同学谁先到达点B.请通过计算说明理由.（π≈3.14） (3)如图5，为提升公共健康和改善生态环境.政府决定在A,B两个小区附近的空地修建公园（长方形 ABCD),并在图①、图②、图③、图④四块空地上栽种植物.己知图①的面积为23m,图②的面积为 174m2,图③的面积比图④的面积大37m2,请求图④的面积. 12112