5.2 解一元一次方程 导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦解一元一次方程，系统梳理合并同类项、移项、去括号、去分母的方法步骤，通过购买计算机、分图书等实际问题导入，引导学生从具体情境抽象方程，构建从问题到方法的学习支架。 以问题探究为主线，结合实例运用与变式训练，涵盖课本习题与拓展题，培养学生数学建模与运算能力，达标检测多样且含新定义、实际应用，提升应用意识，助力学生自主学习与教师教学评估。

姓名: 学科: 日期: 5.2解一元一次方程 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：4课时 日期：2026年9月2日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，理解与掌握解一元一次方程的方法与步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1），并能运用其解决相关的实际问题（数学运算▪重点） 2.经历问题探究，初步建立起用方程思想解决实际问题的思维模式.（数学建模、数学运算▪难点） 【学习过程】 1、 利用合并同类项解一元一次方程 （1） 问题探究 问题1某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍，前年这所学校购买了多少台计算机？ 探究： 设前年购买计算机台，则去年购买计算机台，今年购买计算机台， ∵“三年共购买计算机140台”， ∴可以得到如下相等关系： 于是可列方程 把含有的项合并同类项，得 系数化为1，得 答：前年这所学校购买了20台计算机. （2） 思考 上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？ 探究： 合并同类项的目的就是化简方程，它是一种恒等变形，可以使方程变得简单，并逐步使方程向的形式转化. （3） 利用合并同类项解一元一次方程 像上面问题探究这样， 对于形如: 的一元一次方程，方程左边、右边常常有多个同类项，通过合并同类项，可以把复杂方程化简成 的最简形式. 再利用等式性质2，两边同时除以的系数（或同时乘以的系数的倒数），求出 从而实现未知数的系数化为1的目的，这种解一元一次方程的方法叫做合并同类项法. 【注1】用合并同类项解一元一次方程基本步骤 ①合并同类项：将方程左右两边的同类项分别合并，化为 的形式； ②系数化为1：根据等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数（或同时乘以的系数的倒数），得到 . 【注2】根据等式的性质解一元一次方程时，得到的就是方程的解.今后，除有特殊说明外，检验环节通常可以省略. （四）实例运用 例1解下列方程： （1）; （2）. 解：（1）合并同类项，得 系数化为1，得 解：（2）合并同类项，得 系数化为1，得 例2有一列数 其中第个数是 如果这列数中某三个相邻数的和是，那么这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可以发现这列数的排列规律，后面的数是它前面的数与的乘积. 解：设所求三个数中的第1个数是，则后两个数分别是 ∵三个数的和是， ∴可列方程为 合并同类项，得 系数化为1，得 于是 答：这三个数是 （4） 变式训练 【变式1】（课本121页练习题第1题） 解下列方程： (1)； (2); (3）； (4). 解：（1）合并同类项，得 系数化为1，得 解：（2）合并同类项，得 系数化为1，得 解：（3）合并同类项，得 系数化为1，得 解：（4）合并同类项，得 系数化为1，得 【变式2】（课本121页练习题第2题）某工厂的产值连续增长，2022年是2021年的1.5倍，2023年是2022年的2倍，这三年的总产值为550万元，2021年的产值是多少万元? 解：由题意设2021年的产值是万元,则 2022年的产值是万元，2023年的产值是万元 ∵这三年的总产值为550万元 ∴可列方程为 合并同类项，得 系数化为1，得 答：2021年的产值是100万元. 【变式3】（课本121页练习题第3题）某洗衣机厂今年计划生产I型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共25500台，其中I型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1：2：14，洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 解：由题意设洗衣机厂今年计划生产I型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机的数量分别为台，台，台， ∵洗衣机厂今年计划生产I型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共25500台， ∴可列方程为 合并同类项，得 系数化为1，得 于是 答：洗衣机厂今年计划生产I型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机的数量分别为台，台，台. 二、利用移项解一元一次方程 （一）问题探究 问题2把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本.这个班有多少名学生？ 探究： 设这个班有名学生. 若每人分3本，共分出本，加上剩余的20本，这批书共本. 若每人分4本，需要本，减去缺的25本，这批书共本. ∵这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系可列方程为 （二）思考 方程的两边都有含的项(与）和不含字母的常数项（与)，怎样才能把它转化为（为常数）的形式呢？ 探究： 为了使方程的右边没有含的项，等式两边同时减，利用等式的性质1，得 为了使方程的左边没有常数项，等式两边同时减20，利用等式的性质1，得 把上面的方程与原方程作比较，如下图所示 由图知：这个变形相当于即把原方程左边的20变为-20移到右边，把右边的变为移到左边. 对方程合并同类项，得 系数化为1，得 答：这个班有45名学生. （3） 利用移项解一元一次方程 1.移项的概念 像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 【注1】“移项”有“两变化”： ①位置变化：从方程的一边移到方程的另一边. ②符号变化：移正为负，移负为正. 【注2】移项的目的是：将所有含有未知数的项移到方程的左边，所有常数项移到方程的右边. 2.利用移项解一元一次方程 像上面问题探究这样， 对于两边同时含有未知数的项和常数项的一元一次方程，通过移项，把所有含未知数的项移到方程左边，所有常数项移到方程右边，再合并同类项，将方程化简为 的形式；再系数化为1，求出未知数的值，这种解一元一次方程的方法叫做移项法. 【注】用移项解一元一次方程基本步骤 ①移项：把所有含未知数的项移到方程左边，所有常数项移到方程右边.（注意：移正为负，移负为正） ②合并同类项：将方程左右两边的同类项分别合并，化为 的形式； ③系数化为1：根据等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数，得到 . （4） 实例运用 例3解下列方程： （1）； （2）； 解：（1）移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 解：（2）移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 例4某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少.新、旧工艺的废水排量之比为2：5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？ 分析：因为采用新、旧工艺的废水排量之比为2：5，所以可设它们分别为和，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程. 解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为和， 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 于是 答：采用新、旧工艺的废水排量分别为和. （5） 溯源 约820年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计算概要》），其中，“还原”指的是“移项”，“对消”隐含着移项后合并同类项.我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法. （6） 变式训练 【变式1】解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等式的性质1 【分析】先明确等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立．对比原方程和移项后的方程，分析方程两边的变化．因为原方程右边有，移项后右边没有、左边出现，所以判断方程两边同时进行的运算． 【详解】解：两边同时减去， 得， 合并同类项得． 【变式2】解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式3】（课本124页练习题第3题）李明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是李明年龄的3倍，求现在李明的年龄. 解：设现在李明的年龄为岁，则现在爸爸的年龄为岁， ∵现在父亲的年龄是李明年龄的3倍 ∴可列方程为 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 14 答：现在李明的年龄为岁. 2、 利用去括号解一元一次方程 （1） 问题探究 问题3某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少（千瓦时)，全年的用电量是.这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？ 探究： 设去年上半年平均每月的用电量是，则下半年平均每月的用电量是； 上半年的用电量是，下半年的用电量是. ∵全年的用电量是， ∴可列方程为 方程左边去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 答：这个工厂去年上半年平均每月的用电量是 （2） 利用去括号解一元一次方程 像上面问题探究这样， 对于两边有括号的一元一次方程，利用去括号的法则，将方程中的括号去除，再通过移项、合并同类项与系数化为1这些步骤，将方程转化为 的形式,这种解一元一次方程的方法叫做去括号法. 【注】用去括号解一元一次方程基本步骤 ①去括号：根据乘法分配律，去掉方程中的括号.（特别地，括号前面是“+”号，去掉括号后各项不变号，括号前面是“-”号，去掉括号后各项要变号.） ②移项：把所有含未知数的项移到方程左边，所有常数项移到方程右边.（注意：移正为负，移负为正） ③合并同类项：将方程左右两边的同类项分别合并，化为 的形式； ④系数化为1：根据等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数，得到 . （3） 实例运用 例5 解下列方程. （1）； （2）. 解（1）去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 解（2）去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 例6 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了.已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度. 分析：一般情况下，可以认为这艘船往返的路程相等，根据这个相等关系，可以列方程求出船在静水中的平均速度. 解：设船在静水中的平均速度为， 则顺水速度为，逆水速度为. ∵往返路程相等， ∴可列方程为 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 答：船在静水中的平均速度为. （四）变式训练 【变式1】解方程：，______． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】按去括号，移项，合并同类项的步骤计算即可． 【详解】解： 去括号得 移项合并同类项得． 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3】（课本126页练习题第3小题） 编织大、小两种中国结共6个，总计用绳．已知编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳.问这两种中国结各编织了多少个. 解：设编织大号中国结个，则编织小号中国结个， ∵总计用绳， ∴可列方程为 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 于是 答：编织大号中国结个，则编织小号中国结个. 四、利用去分母解一元一次方程 （一）问题探究 问题4如图5.2-1，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山，距绿水.某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表5.2-1所示.王家庄距翠湖的路程有多远？ 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10：00 13:00 15：00 探究： 设王家庄距翠湖的路程为， 则王家庄距青山的路程为，王家庄距绿水的路程为.由表5.2-1可知，汽车从王家庄到青山的行驶时间为，从王家庄到绿水的行驶时间为. ∵汽车匀速行驶，即汽车在各段的行驶速度相等， ∴可列方程为 据等式的性质2：等式两边乘同一个数，结果仍相等.这个方程中各分母的最小公倍数是15，方程两边都乘15，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 答：王家庄距翠湖的路程为. （2） 利用去括号解一元一次方程 像上面问题探究这样， 对于两边有分母的一元一次方程，利用等式的性质2，在方程的两边乘各分母的最小公倍数（简称为公分母），从而约去分母，再通过去括号、移项、合并同类项与系数化为1这些步骤，将方程转化为 的形式,这种解一元一次方程的方法叫做去分母法. （三）解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，通过这些步骤，可以使以为未知数的一元一次方程逐步转化为的形式，这个过程主要依据等式的性质和运算律等.具体实施步骤和方法如下所示 1.去分母：方程的两边乘各分母的最小公倍数（简称为公分母），从而约去分母. 【特别提醒】①去分母时，方程两边的每一项都要乘以公分母，特别是不含分母的项也要乘以公分母； ②约分后，如果分子是一个多项式（即整体），那么这个多项式要记住打括号. 2.去括号：根据乘法分配律，去掉方程中的括号.（特别地，括号前面是“+”号，去掉括号后各项不变号，括号前面是“-”号，去掉括号后各项要变号.） 3.移项：把所有含未知数的项移到方程左边，所有常数项移到方程右边.（注意：移正为负，移负为正） 4.合并同类项：将方程左右两边的同类项分别合并，化为 的形式； 5.系数化为1：根据等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数，得到 . 例如，解一元一次方程. 第一步：去分母，方程两边同乘公分母10，得 第二步：去括号，得 第三步：移项，得 第四步：合并同类项，得 第五步：系数化为1，得 （四）实例运用 例7 解下列方程： （1）； （2）. 解（1）：去分母，方程两边同乘公分母4，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 解（2）：去分母，方程两边同乘公分母6，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （五）变式训练 【变式1】解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 【变式2】下列解方程过程中，变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】解：A． 由，移项得，故A错误． B． 由，两边同时加1得，故B错误． C． 由，系数化为1得，故C正确． D． 由，两边同时乘6去分母得，故D错误． 【变式3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式4】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或(2)或 【知识点】绝对值方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 【变式5】小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． 【答案】(1)(2) 【难度】0.85 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）根据解的定义，把代入误抄后的方程即可求出a的值； （2）把a的值代入原方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：依题意可知方程的解为． 把代入，得． ， ， ； （2）解：把代入，可得原方程为． 去分母，得 ． 去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 【变式6】（课本129页练习题第2题） 伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物——莱茵德纸草书.这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作.书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.这个数是多少？请你用方程解决这个问题. 解：设这个数是， 则它的三分之二为，它的一半为，它的七分之一为，它的全部为， ∵它们加起来总共是33 ∴可列方程为 去分母，方程两边同乘两边同乘同分母42，得 合并同类项，得 系数化为1，得 答：这个数是. 【变式7】将九个数分别填在（行列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”如图①为“和幻方”，图②为“和幻方”，图③为“和幻方”，若图④为“和幻方”，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．根据题意可得，，，，，再由所有的数的和为，得到关于b的方程，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， ， ∴，，，， ∴，， ∵所有的数的和为， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 5、 达标检测 1．若关于x的方程的解是，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】因为方程的解满足方程，所以将代入原方程，得到关于的一元一次方程．求解得到的关于的一元一次方程，即可得到的值． 【详解】解：∵ 方程的解是 ∴ 代入得 ∴ . 2．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】去分母时需给方程每一项都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘常数项，本题分母为2和4，最小公倍数是4，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：原方程为 ， ∵分母2和4的最小公倍数为4， ∴给方程两边每一项同时乘以4，得： ， 化简得：． 3．若与是同类项，则m、n的取值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据同类项的定义，构造方程求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得，． 4．爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将、、、这四个数填入了圆圈，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 结论Ⅰ：的值为： 结论Ⅱ：的值为． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】有理数加减混合运算的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，可得：，即可求出，所以、、可能是、、， 分情况讨论即可得到结果． 【详解】解：如下图所示，设两个空白位置的数分别为、， 根据题意可得：， 解得：， 、、可能是、、， 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，，，， 成立， ，； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，，，， 成立， ，； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 综上所述，，或， Ⅰ对Ⅱ不对． 5．下列方程变形正确的是（     ） A．，移项得 B．，去括号得 C．，去分母得 D．，系数化为1得 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【详解】解：A选项，方程移项时，移项要变号，正确结果应为，错误； B选项，方程去括号，用2乘括号内每一项，得，正确； C选项，方程去分母，两边同乘2，正确结果应为，错误； D选项，方程系数化为1，两边同除以，正确结果应为，错误． 6．若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 6．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】利用两个方程结构的一致性，将第二个方程中的整体看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解即可求解． 【详解】解：观察关于的方程，其结构与已知关于的方程完全一致， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 7．代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到的值. 【详解】解： 代数式与的值互为相反数， ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 系数化为得 . 8．关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于x的一元一次方程的解为1， ∴ 解得． 9．若是方程的解，则________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 解得． 10．当________时，代数式与互为相反数． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相反数的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据互为相反数的两个数之和为0，建立一元一次方程求解. 【详解】解：∵代数式与互为相反数， ∴ 解得， 所以当时，代数式与互为相反数． 11．若方程的解为，则_____ 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【详解】解：， 去分母得，， ∴， ∵解为， ∴， ∴． 12．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.77 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可； （3）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 13．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （3）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得． 14．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.77 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】（1）解：去分母得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得． 15．已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为8时，这两个代数式的值相等 (2)的值为9 【难度】0.62 【知识点】列方程、已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 16．定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“毓德方程”，求m的值． 【答案】(1)方程与方程互为“毓德方程” (2) 【难度】0.72 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、一元一次方程解的关系 【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得 ； 解方程，得 ， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得 ， 解方程，得 ， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴． 17．新定义类：我们定义一种方程运算“”，若关于的方程，表示方程与方程的解互为相反数．已知方程，方程，且这两个方程满足“”运算关系，求的值，并求解方程． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【分析】先解方程，再由新定义运算得到方程的解为，代入方程即可解得的值． 【详解】解：，解得， 方程与方程满足“”运算关系， 是方程的解， 则， 解得， 方程的解为． 18．已知关于y的方程与方程的解相同，求m的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知方程的解，求参数、已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，先求出第二个方程的解，再将该解代入第一个方程，通过解一元一次方程即可求出m的值. 【详解】解：由方程 ∵关于y的方程与方程的解相同 ∴将代入得 解得. 19．如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 【答案】(1)1 (2)点P所对应的数是或 (3)或或或 【难度】0.45 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）根据题意可知数轴上右侧的数比左侧大，利用M对应的数加上两点距离即可得到N对应的数即可； （2）根据点P到点M、N的距离之和大于M、N的距离得到点在点、的两侧，分情况讨论：当点P在点M的左边或点P在点N的右边时，分别求出、的距离，从而求出点P所对应的数； （3）先分别确定P到达O点的时间、Q到达M点的时间，根据时间节点划分运动阶段，每个阶段分别用含t的式子表示P、Q对应的数，再根据两点距离为1列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 点N所对应的数是1； （2）解：点P到点M、N的距离之和是5个单位长度，， 点在点、的两侧， 分情况讨论： 如图，当点P在点M的左边时， ， 点P所对应的数是； 如图，当点P在点N的右边时， ， 点P所对应的数是， 综上所述，点P所对应的数是或； （3）解：根据题意得：点P到达O点所需时间为：，点Q到达M点所需时间为：， 则点P停止运动时需要的时间为，点Q停止运动时需要的时间为， 分情况讨论： ①当点Q未到达点M时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：或； ②当点Q从点M折返且点P未到达点O时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点P、Q都已折返时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：或， 综上所述：当或或或时， P、Q距离为1． 20．一根长60厘米的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长1.5厘米． (1)正常情况下，当挂着x千克的物体时，弹簧的L长度是多少？ (2)利用（1）的结果完成下表： 物体的质量x（千克） 1 2 3 4 弹簧的长度Ｌ（厘米） (3)当弹簧挂上物体后弹簧的长度为78厘米时，弹簧上挂的物体重多少千克？ 【答案】(1)； (2)填表如下： 物体的质量x（千克） 1 2 3 4 弹簧的长度Ｌ（厘米） 61.5 63 64.5 66 (3)12千克． 【难度】0.65 【知识点】列代数式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查列代数式；解一元一次方程，根据题意列出用表示的代数式，建立方程即可求解各小题． （1）根据在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长1.5厘米可得，正常情况下，当挂着x千克的物体时，弹簧的长度增加了厘米，加上弹簧的初始长度则是此时弹簧的总长度； （2）分别计算当，2，3，4时，所对应的L值； （3）把厘米代入（1）中的关系式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意， 在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长1.5厘米，得，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，． （3）解：当时，，解得， 答：当弹簧挂上物体后弹簧的长度为78厘米时，弹簧上挂的物体重12千克． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 5.2解一元一次方程 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：4课时 日期：2026年9月2日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，理解与掌握解一元一次方程的方法与步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1），并能运用其解决相关的实际问题（数学运算▪重点） 2.经历问题探究，初步建立起用方程思想解决实际问题的思维模式.（数学建模、数学运算▪难点） 【学习过程】 1、 利用合并同类项解一元一次方程 （1） 问题探究 问题1某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍，前年这所学校购买了多少台计算机？ 探究： 设前年购买计算机台，则去年购买计算机 台，今年购买计算机 台， ∵“三年共购买计算机140台”， ∴可以得到如下相等关系： 于是可列方程 把含有的项合并同类项，得 系数化为1，得 答：前年这所学校购买了20台计算机. （2） 思考 上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？ 探究： 合并同类项的目的就是 方程，它是一种恒等变形，可以使方程变得简单，并逐步使方程向 的形式转化. （3） 利用合并同类项解一元一次方程 像上面问题探究这样， 对于形如: 的一元一次方程，方程左边、右边常常有多个 ，通过 ，可以把复杂方程化简成 的最简形式. 再利用等式性质2，两边同时除以的系数 （或同时乘以的系数的倒数 ），求出 从而实现未知数的 的目的，这种解一元一次方程的方法叫做合并同类项法. 【注1】用合并同类项解一元一次方程基本步骤 ①合并同类项：将方程左右两边的 分别合并，化为 的形式； ②系数化为1：根据等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数 （或同时乘以的系数的倒数 ），得到 . 【注2】根据等式的性质解一元一次方程时，得到的 就是方程的解.今后，除有特殊说明外， 环节通常可以省略. （四）实例运用 例1解下列方程： （1）; （2）. 解：（1）合并同类项，得 系数化为1，得 解：（2）合并同类项，得 系数化为1，得 例2有一列数 其中第个数是 如果这列数中某三个相邻数的和是，那么这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可以发现这列数的排列规律，后面的数是它前面的数与 的乘积. 解：设所求三个数中的第1个数是，则后两个数分别是 ∵三个数的和是， ∴可列方程为 合并同类项，得 系数化为1，得 于是 答：这三个数是 （4） 变式训练 【变式1】（课本121页练习题第1题） 解下列方程： (1)； (2); (3） ； (4). 【变式2】（课本121页练习题第2题）某工厂的产值连续增长，2022年是2021年的1.5倍，2023年是2022年的2倍，这三年的总产值为550万元，2021年的产值是多少万元? 【变式3】（课本121页练习题第3题）某洗衣机厂今年计划生产I型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共25500台，其中I型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1：2：14，洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 二、利用移项解一元一次方程 （一）问题探究 问题2把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本.这个班有多少名学生？ 探究： 设这个班有名学生. 若每人分3本，共分出 本，加上剩余的20本，这批书共 本. 若每人分4本，需要 本，减去缺的25本，这批书共 本. ∵这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系可列方程为 （二）思考 方程的两边都有含的项(与）和不含字母的常数项（与)，怎样才能把它转化为（为常数）的形式呢？ 探究： 为了使方程的右边没有含的项，等式两边同时减 ，利用等式的性质1，得 为了使方程的左边没有常数项，等式两边同时减 ，利用等式的性质1，得 把上面的方程与原方程作比较，如下图所示 由图知：这个变形相当于即把原方程左边的20变为 移到右边，把右边的变为 移到左边. 对方程合并同类项，得 系数化为1，得 答：这个班有 名学生. （3） 利用移项解一元一次方程 1.移项的概念 像上面那样把等式一边的某项 后移到 ，叫作移项. 【注1】“移项”有“两变化”： ① 变化：从方程的一边移到方程的 . ② 变化：移正为 ，移负为 . 【注2】移项的目的是：将所有含有 移到方程的左边，所有 移到方程的右边. 2.利用移项解一元一次方程 像上面问题探究这样， 对于两边同时含有未知数的项和常数项的一元一次方程，通过移项，把所有 移到方程左边，所有 移到方程右边，再合并同类项，将方程化简为 的形式；再系数化为1，求出未知数的值 ，这种解一元一次方程的方法叫做移项法. 【注】用移项解一元一次方程基本步骤 ①移项：把所有 移到方程左边，所有 移到方程右边.（注意：移正为 ，移负为 ） ②合并同类项：将方程左右两边的同类项分别合并，化为 的形式； ③系数化为1：根据等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数 ，得到 . （4） 实例运用 例3解下列方程： （1）； （2）； 解：（1）移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 解：（2）移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 例4某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少.新、旧工艺的废水排量之比为2：5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？ 分析：因为采用新、旧工艺的废水排量之比为2：5，所以可设它们分别为 和 ，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程. 解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为 和 ， 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 于是 答：采用新、旧工艺的废水排量分别为 和 . （5） 溯源 约820年，阿拉伯数学家花拉子米著有《 》（又称《还原与对消计算概要》），其中，“还原”指的是“ ”，“对消”隐含着移项后 .我国古代数学著作《 》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法. （6） 变式训练 【变式1】解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 【变式2】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（课本124页练习题第3题）李明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是李明年龄的3倍，求现在李明的年龄. 2、 利用去括号解一元一次方程 （1） 问题探究 问题3某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少（千瓦时)，全年的用电量是.这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？ 探究： 设去年上半年平均每月的用电量是，则下半年平均每月的用电量是； 上半年的用电量是，下半年的用电量是. ∵全年的用电量是， ∴可列方程为 方程左边去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 答：这个工厂去年上半年平均每月的用电量是 （2） 利用去括号解一元一次方程 像上面问题探究这样， 对于两边有括号的一元一次方程，利用 ，将方程中的括号 ，再通过 、 与 这些步骤，将方程转化为 的形式,这种解一元一次方程的方法叫做去括号法. 【注】用去括号解一元一次方程基本步骤 ① ：根据乘法分配律，去掉方程中的括号.（特别地，括号前面是“+”号，去掉括号后各项 ，括号前面是“-”号，去掉括号后各项 .） ② ：把所有 移到方程左边，所有 移到方程右边.（注意：移正为 ，移负为 ） ③ ：将方程左右两边的同类项分别合并，化为 的形式； ④ ：根据等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数，得到 . （3） 实例运用 例5 解下列方程. （1）； （2）. 解（1）去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 解（2）去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 例6 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了.已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度. 分析：一般情况下，可以认为这艘船往返的路程 ，根据这个相等关系，可以列方程求出船在静水中的平均速度. 解：设船在静水中的平均速度为， 则顺水速度为，逆水速度为. ∵往返路程 ， ∴可列方程为 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 答：船在静水中的平均速度为. （四）变式训练 【变式1】解方程：，______． 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【变式3】（课本126页练习题第3小题） 编织大、小两种中国结共6个，总计用绳．已知编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳.问这两种中国结各编织了多少个. 四、利用去分母解一元一次方程 （一）问题探究 问题4如图5.2-1，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山，距绿水.某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表5.2-1所示.王家庄距翠湖的路程有多远？ 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10：00 13:00 15：00 探究： 设王家庄距翠湖的路程为， 则王家庄距青山的路程为，王家庄距绿水的路程为.由表5.2-1可知，汽车从王家庄到青山的行驶时间为，从王家庄到绿水的行驶时间为. ∵汽车匀速行驶，即汽车在各段的行驶速度 ， ∴可列方程为 据等式的性质2：等式两边乘同一个数，结果仍相等.这个方程中各分母的最小公倍数是 ，方程两边都乘 ，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 答：王家庄距翠湖的路程为. （2） 利用去括号解一元一次方程 像上面问题探究这样， 对于两边有分母的一元一次方程，利用等式的性质2，在方程的两边乘各分母的 （简称为 ），从而约去 ，再通过 、移项、合并同类项与 这些步骤，将方程转化为 的形式,这种解一元一次方程的方法叫做去分母法. （三）解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤包括： 、 、 、合并同类项、 等，通过这些步骤，可以使以为未知数的一元一次方程逐步转化为 的形式，这个过程主要依据等式的性质和运算律等.具体实施步骤和方法如下所示 1.去分母：方程的两边乘各分母的 （简称为 ），从而约去分母. 【特别提醒】①去分母时，方程两边的 都要乘以公分母，特别是 也要乘以公分母； ②约分后，如果分子是一个 （即 ），那么这个 要记住打括号. 2.去括号：根据乘法 ，去掉方程中的括号.（特别地，括号前面是“+”号，去掉括号后各项 ，括号前面是“-”号，去掉括号后各项 .） 3.移项：把所有 移到方程左边，所有 移到方程右边.（注意：移正为 ，移负为 ） 4.合并同类项：将方程左右两边的同类项分别 ，化为 的形式； 5.系数化为1：根据等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数 ，得到 . 例如，解一元一次方程. 第一步：去分母，方程两边同乘公分母 ，得 第二步：去括号，得 第三步：移项，得 第四步：合并同类项，得 第五步：系数化为1，得 （四）实例运用 例7 解下列方程： （1）； （2）. 解（1）：去分母，方程两边同乘公分母 ，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 解（2）：去分母，方程两边同乘公分母 ，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （五）变式训练 【变式1】解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】下列解方程过程中，变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式3】解下列方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式4】解下列方程： (1)； (2)． 【变式5】小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． 【变式6】（课本129页练习题第2题） 伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物——莱茵德纸草书.这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作.书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.这个数是多少？请你用方程解决这个问题. 【变式7】将九个数分别填在（行列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”如图①为“和幻方”，图②为“和幻方”，图③为“和幻方”，若图④为“和幻方”，则的值等于（  ） A． B． C． D． 5、 达标检测 1．若关于x的方程的解是，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若与是同类项，则m、n的取值为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将、、、这四个数填入了圆圈，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 结论Ⅰ：的值为： 结论Ⅱ：的值为． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 5．下列方程变形正确的是（     ） A．，移项得 B．，去括号得 C．，去分母得 D．，系数化为1得 6．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 7．代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 8．关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 9．若是方程的解，则________． 10．当________时，代数式与互为相反数． 11．若方程的解为，则_____ 12．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 13．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 14．解下列方程： (1)； (2)． 15．已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 16．定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“毓德方程”，求m的值． 17．新定义类：我们定义一种方程运算“”，若关于的方程，表示方程与方程的解互为相反数．已知方程，方程，且这两个方程满足“”运算关系，求的值，并求解方程． 18．已知关于y的方程与方程的解相同，求m的值． 19．如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 20．一根长60厘米的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长1.5厘米． (1)正常情况下，当挂着x千克的物体时，弹簧的L长度是多少？ (2)利用（1）的结果完成下表： 物体的质量x（千克） 1 2 3 4 弹簧的长度Ｌ（厘米） (3)当弹簧挂上物体后弹簧的长度为78厘米时，弹簧上挂的物体重多少千克？ - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $