学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（江苏无锡专用，范围：新教材苏科版八年级上册第1章）

**基本信息** 聚焦苏科版八年级上册第1章全等三角形，通过三角形三边关系、尺规作图、动态几何等问题，分层考查几何直观与推理能力，适配月考学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系（1）、角平分线性质（5）|尺规作图依据辨析（6）| |填空题|8/24|等腰三角形周长（13）、角平分线与平行线（15）|开放性取值设计（11）| |解答题|8/66|直角三角形中线模型证明（25）、动点问题分类讨论（26）|折叠情境应用（22）、网格作图创新（23）|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：100分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．2，3，8 B．5，5，10 C．3，4，5 D．1，1，3 【答案】C 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，判断时只需验证两条较短边的和大于最长边即可确定能否组成三角形． 【详解】解：A．， 不能组成三角形，不符合题意； B．， 不能组成三角形，不符合题意； C．， 能组成三角形，符合题意； D．， 不能组成三角形，不符合题意； 2．下列图形具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性判断即可． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，则 选项A中的三角形具有稳定性，符合题意， 选项B、C、D中的图形不具有稳定性，不符合题意． 3．图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，对应边所夹的角，即为，再根据全等三角形对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵两个三角形全等，对应边所夹的角，即为，对应第一个三角形中的角， ∴． 故选：D． 4．如图，在中，边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高的认识，先观察图，再分析出边上的高是线段，即可作答． 【详解】解：观察图，得边上的高是线段， 故选：A 5．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出结论． 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴三角形三个内角的角平分线的交点到三角形三条边的距离都相等， 因此到三角形三条边距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点． 6．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】解:由作法得，，而为公共边， 所以． 所以． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长， 的周长， ∴的周长的周长． 8．如图，点A，B分别是 边上的点，且 ，点P在 的内部，要使 ，则满足条件的P的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，结合等腰三角形“三线合一”的性质，确定点 所在的轨迹为的角平分线，进而判断点的个数． 【详解】解： 点在线段的垂直平分线上 是等腰三角形 线段的垂直平分线经过点 ，且平分 （等腰三角形三线合一） 点在的角平分线上 点 在 的内部，且角平分线在角内部的部分是一条射线 满足条件的点有无数个． 9．如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，根据一线三垂直模型证得，得到，套用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为边上的高，是等腰三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，等边中，为上一点，连接，且，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定．在上截取，连接，证明得出，，进而可得，，再证明得出，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知三角形的三边长分别为2，6，，则的值可以是________．（请写出一个符合题意的整数） 【答案】5（或6或7） 【分析】根据三角形三边关系确定的取值范围，再在取值范围内找出符合要求的整数即可． 【详解】解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， 可得，计算得， 因为为整数， 所以可取，，中任意一个． 12．如图，，则___________． 【答案】3 【分析】根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可求解． 【详解】解∶∵， ∴，， ∴． 13．已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 【答案】 15 【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况进行讨论，再根据三角形三边之间的关系，判断能否构成三角形，最后求出周长即可． 【详解】解：当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴不能构成三角形， 当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为． 14．在与中，，，再添加一个条件_______，就可以直接证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理求解． 【详解】解：∵在与中，，， ∴再添加一个条件， ∴． ∴添加的条件可以为（答案不唯一）． 15．如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，，可得，，即可得的长． 【详解】解：∵在中，、的平分线交于点， ∴，， ∵过点，交、于点、， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 16．如图，在三角形中，，，，，则点到的距离为__________． 【答案】 【分析】设点到的距离为，根据，即可求解． 【详解】解：设点到的距离为， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 即点到的距离为． 17．如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 【答案】16 【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，先证出，则，再求出的长，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 18．如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【分析】由旋转的性质证明，确定点的运动轨迹，再根据垂线段最短，利用含角的直角三角形性质算出最小值． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，， 为等边三角形，是边上的高线， ∴，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 当，取得最小值， 在中，，， ， 的最小值为． 三、解答题：本题共8小题，共66分。 19．（6分）如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【分析】证明， 即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴．（6分） 20．（8分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等． 【答案】解：如图，为所求． 【分析】由于点到边，的距离相等，则点D在的平分线上，因此根据作角平分线的尺规作图的方法作出的角平分线，交于点D．由于，则，根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的方法，过点D作的垂线，交于点E，则为所求． 【详解】如图，为所求． （8分） 21．（8分）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【答案】 证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 【详解】证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ．（8分） 22．（8分）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)4 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；（4分） （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴．（8分） 23．（8分）图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 【答案】(1)如图所示，点为所求点， ； (2)如图所示，点为所求点， ； 【分析】（1）由网格图像得到，再根据得到，所以，根据网格的特点画出点； （2）先找出与相等的角，利用外角的性质、平角的定义构造k型全等，延长与CB相交于点E． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据网格的特点可知为两个网格的对角线， ∴作相邻两个网格的对角线， 即点为所求点；（4分） （2）解：如图图所示， ，（8分） 24．（8分）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； (2)9 【分析】（1）根据证明，得出，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线；（4分） （2）解：∵，，， ∴ ．（8分） 25．（10分）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，是斜边上的中线，求证：． 分析：如图2，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到E，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到E，使得是边的中点，连接，求证：．（本题可用等腰三角形的两底角相等） 【答案】 模型证明： 解：如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中， ， ∴， ，， ∴， ． ， ， 在和中， ， ∴， ． ∴， 模型应用： 证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ． 【分析】模型证明：利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证． 模型应用：连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论． 【详解】模型证明： 解：如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中， ， ∴， ，， ∴， ． ， ， 在和中， ， ∴， ． ∴， 模型应用： 证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ．（10分） 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是解题关键． 26．（10分）已知与等腰如图摆放，、、、四点在同一直线上，点与点重合．，，，．如图，点从点出发沿着边向点匀速运动，速度为；从点出发沿着向点匀速运动，速度为，当点到达点时，整个运动停止．在运动过程中，与的交点是．设运动时间为，解答下列问题： (1)用含的代数式表示______ (2)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (3)当为何值时，为直角三角形？ (4)当为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）先判断当时，点在的右侧，再根据列式即可； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，从而可表示出、，列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当时和当时，根据含角的直角三角形的性质列式计算即可； （4）根据等腰三角形三线合一可得，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，点在的右侧，此时；（2分） （2）解：点在的垂直平分线上， ， 在中，，，， ， ， 由题意得，，， ，解得， 当点到达点时，整个运动停止，此时， ； 满足题意， 即当时，点在的垂直平分线上；（4分） （3）解：如图，当时， ， ， ， ，解得， 如图，当时， ， ， ， ，解得， 综上，当或时，为直角三角形；（7分） （4）解：当时，点在的右侧，此时，不符合题意； 当时，此时， ，， ， ，解得， 即当时，．（10分） 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11 12 13. S 16. 17. 18 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(8分) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 25.(10分) 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 17.________________ 14. __________________ 18. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：100分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．2，3，8 B．5，5，10 C．3，4，5 D．1，1，3 2．下列图形具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 3．图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 5．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 6．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点A，B分别是 边上的点，且 ，点P在 的内部，要使 ，则满足条件的P的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 9．如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 10．如图，等边中，为上一点，连接，且，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知三角形的三边长分别为2，6，，则的值可以是________．（请写出一个符合题意的整数） 12．如图，，则___________． 13．已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 14．在与中，，，再添加一个条件_______，就可以直接证明． 15．如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 16．如图，在三角形中，，，，，则点到的距离为__________． 17．如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 18．如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 三、解答题：本题共8小题，共66分。 19．（6分）如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 20．（8分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等． 21．（8分）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 22．（8分）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 23．（8分）图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 24．（8分）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 25．（10分）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，是斜边上的中线，求证：． 分析：如图2，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到E，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到E，使得是边的中点，连接，求证：．（本题可用等腰三角形的两底角相等） 26．（10分）已知与等腰如图摆放，、、、四点在同一直线上，点与点重合．，，，．如图，点从点出发沿着边向点匀速运动，速度为；从点出发沿着向点匀速运动，速度为，当点到达点时，整个运动停止．在运动过程中，与的交点是．设运动时间为，解答下列问题： (1)用含的代数式表示______ (2)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (3)当为何值时，为直角三角形？ (4)当为何值时，？ 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：100分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．2，3，8 B．5，5，10 C．3，4，5 D．1，1，3 2．下列图形具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 3．图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 5．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 6．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点A，B分别是 边上的点，且 ，点P在 的内部，要使 ，则满足条件的P的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 9．如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 10．如图，等边中，为上一点，连接，且，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知三角形的三边长分别为2，6，，则的值可以是________．（请写出一个符合题意的整数） 12．如图，，则___________． 13．已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 14．在与中，，，再添加一个条件_______，就可以直接证明． 15．如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 16．如图，在三角形中，，，，，则点到的距离为__________． 17．如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 18．如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 三、解答题：本题共8小题，共66分。 19．（6分）如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 20．（8分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等． 21．（8分）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 22．（8分）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 23．（8分）图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 24．（8分）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 25．（10分）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，是斜边上的中线，求证：． 分析：如图2，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到E，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到E，使得是边的中点，连接，求证：．（本题可用等腰三角形的两底角相等） 26．（10分）已知与等腰如图摆放，、、、四点在同一直线上，点与点重合．，，，．如图，点从点出发沿着边向点匀速运动，速度为；从点出发沿着向点匀速运动，速度为，当点到达点时，整个运动停止．在运动过程中，与的交点是．设运动时间为，解答下列问题： (1)用含的代数式表示______ (2)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (3)当为何值时，为直角三角形？ (4)当为何值时，？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 3 4 5 个 8 10 C A D A D A B D B C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.5(或6或7) 12.3 13.15 14.BC=DC(答案不唯一) 15.4 16.4.8 17.16 18.1 三、解答题：本题共8小题，共66分。 19.(6分) 【答案】证明：：BD⊥AC,CE⊥AB, ∴.∠AEC=∠ADB=90°， ∠AEC=∠ADB,∠BAD=∠EAC,AB=AC, △ACE≌△ABD(AAS) ∴.BD=CE 【分析】证明△1CE≌aABD(AAS) 即可得证. 【详解】证明：：BD⊥AC,CE⊥AB, .∠AEC=∠ADB=90° .∠AEC=∠ADB,∠BAD=∠EAC,AB=AC, :aACE≌aABD(AS) .BD=CE.(6分) 20.(8分) 【答案】解：如图，Rt△ADE为所求， 1/11 西学科网.学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 【分析】由于点D到边AB，,AC的距离相等，则点D在∠CAB的平分线上，因此根据作角平分线的尺规 作图的方法作出∠CAB的角平分线，交BC于点D.由于∠AED=90°，则DE⊥AB,根据过直线外一点作 已知直线的垂线的尺规作图的方法，过点D作AB的垂线，交AB于点E,则Rt△ADE为所求. 【详解】如图，Rt△ADE为所求. (8分) 21.(8分) 【答案】 证明：延长BO交AC于点E,如图. D E B 在△EOC中，EO+EC>OC, ..EO+EC+OB>OC+OB 即EB+EC>OC+OB 在△ABE中，AB+AE>EB, ∴.AB+AE+EC>EB+EC. 即AB+AC>EB+EC, 2/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .AB+AC>OB+OC」 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗， 任意两边之差小于第三边是解题关键.延长BO交AC于点E,由三角形的三边关系可得EO+EC>OC, AB+AE>EB,进而得到EB+EC>OC+OB,AB+AC>EB+EC,即可证明结论. 【详解】证明：延长BO交AC于点E,如图. D E 在△EOC中，EO+EC>OC, ∴.EO+EC+OB>OC+OB, 即EB+EC>OC+OB 在△ABE中，AB+AE>EB, ∴AB+AE+EC>EB+EC, 即AB+AC>EB+EC, .AB+AC>OB+OC.(8分) 22.(8分) 【答案】(1)证明：，折叠， .∠CBD=∠EBD. ADlIBC, ∴.∠ADB=∠CBD. ∴.∠FDB=∠FBD, .BF=DF, ∴.△FBD是等腰三角形： (2)4 【分析】(1)根据折叠的性质，平行线的性质，推出∠FBD=∠FDB,即可得证： (2)根据含30度角的直角三角形的性质，求出BF的长即可得出结果， 【详解】（1)证明：，折叠， .∠CBD=∠EBD. 3/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .ADlIBC, ∴.∠ADB=∠CBD, ∴.∠FDB=∠FBD, ∴BF=DF, ∴.△FBD是等腰三角形：(4分) (2)解：：∠A=90°，AF=2,∠ABE=30°， ∴.BF=2AF=4, 由(1)知：DF=BF, ,DF=4.(8分) 23.(8分) 【答案】(1)如图所示，点E为所求点， B (2)如图所示，点E为所求点， B 【分析】(1)由网格图像得到∠ABE+∠ABC=180°，再根据∠AEB+∠ABC=180°得到∠AEB=∠ABE, 所以AE=AB,根据网格的特点画出点E: (2)先找出与∠AEB相等的角，利用外角的性质、平角的定义构造k型全等，延长与CB相交于点E. 【详解】(1)解：·∠ABE+∠ABC=180°，∠AEB+∠ABC=180° ∴，∠AEB=∠ABE, .AE=AB, 根据网格的特点可知AB为两个网格的对角线， .作相邻两个网格的对角线AE, 即点E为所求点；(4分) 4/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：如图图所示， (8分) 24.(8分) 【答案】(1) 证明：，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF,∠AED=∠AFD=90° 在Rt△ADE和Rt△ADF中， AD=AD DE=DF, Rt△ADE≌Rt△ADF(HL) .AE=AF, .DE=DF, A、D都在EF的垂直平分线上， .AD是EF的垂直平分线： (2)9 【分析】(I)根据HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF,得出AE=AF,然后根据线段垂直平分线的判定即可 得证； (2)根 S,4c=S,m+Sc0求解即可。 【详解】(1)证明：，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF,∠AED=∠AFD=90° 在Rt△ADE和Rt△ADF中， AD=AD DE=DF, 5/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 Rt△ADE≌Rt△ADF(HL) :AE AF, .DE DF, ∴A、D都在EF的垂直平分线上， ∴.AD是EF的垂直平分线：(4分) (2)解：：AB=4,AC=5,ED=2=DF, S.ABC=S.ABD+S.ACD =1 AB.DE+AC-DF -DECDE 1 =IDE-(AB+AC) =x2x9 2 =9.(8分) 25.(10分) 【答案】 模型证明： 解：如图所示： 延长BD到E,使得DE=BD,连接AE. D Bh 在△ADE和△CDB中， AD=CD ∠ADE=∠BDC DE=BD 6/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 △ADE≌ACDB(SAS) .AE=BC,∠AED=∠CBD」 ∴AE∥BC, ∠ABC+∠BAE=180° ∠ABC=90° ∠BAE=90°， 在△ABE和△BAC中， AE=BC ∠ABC=∠BAE AB=AB △ABE≌△BAC(SAS) ∴，AC=EB BD=1 2C, 模型应用： 证明：连接CD :∠ACB=90°，且D为AB的中点， E:.CD=BD=1AB ∴.∠B=∠DCB. .∴.CE=CD .∠E=∠CDE, .∠DCB=2∠E 7/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠B=2∠E 【分析】模型证明：利用倍长中线BD,证明△ADE≌aDCB,得AE=BC,进而证明△ABE≌aBAC得 AC=BE即可得证. 模型应用：连接CD,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到CD=BD=AD,再证明△CDE与 △BDC是等腰三角形，可得∠CDE=∠E,利用三角形外角的性质可得结论. 【详解】模型证明： 解：如图所示： 延长BD到E,使得DE=BD,连接AE. ------E D 在△ADE和△CDB中， AD=CD ∠ADE=∠BDC DE=BD △ADE≌ACDB(SAS) ∴AE=BC,∠AED=∠CBD .AE∥BC, ∠ABC+∠BAE=180° :∠ABC=90° .∠BAE=90°， 在△ABE和△BAC中， AE=BC ∠ABC=∠BAE AB=AB △ABE≌△BAC(SAS) ∴.AC=EB 8/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ..BD=BE=AC 2 模型应用： 证明：连接CD :∠ACB=90°，且D为AB的中点， E:.CD=BD=1 .∠B=∠DCB CE=1AB ∴CE=CD .∠E=∠CDE, .∠DCB=2∠E, .∠B=2∠E.(10分) 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的 判定和性质，作出合适的辅助线是解题关键. 26.(10分) 【答案】((6-21)cm 16 s (2)t= 1=4或1=2。 (4)t=6s 【分析】(1)先判断当0<t<3时，点E在BD的右侧，再根据BE=DE-DB列式即可； (2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP=AD,根据含30°角的直角三角形的性 质可得AB的长，从而可表示出AP、AD,列方程求解即可： (3)分两种情况讨论：当∠APD=90°时和当∠ADP=90°时，根据含30°角的直角三角形的性质列式计算 9/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即可： (4)根据等腰三角形三线合一可得DE=BE，然后列方程求解即可. 【详解】(1)解：“ DE=6=3s 22 ∴当0<1<3时，点E在BD的右侧，此 BE=DE-DB=(6-21)cm:( (2)解：点A在PD的垂直平分线上， .AP=AD, 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8Cm,∠A=60°， ∴.∠ABC=30°， .AB=2AC=16cm, 由题意得，AP=t,AD=AB-BD=16-21, 16 1=16-21,解得1=3， 当点P到达点C时，整个运动停止，此时t=8, 0<t≤8： 16 1=3满足题意， 16 即当t=3S时，点4在PD的垂直平分线上；(4分) (3)解：如图，当∠APD=90°时， ∠A=60°， ∠ADP=30°， .AD=2AP, .16-2t=2t,解得t=4, 如图，当∠ADP=90°时， 10/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 F M D E B ∠A=60°， ∠APD=30 :AP=2AD, 1=216-24).解得1= 5, 32 综上，当1=4或=5S时，AAPD为直角三角形；(7分) (4)解：当O<t<3时，点E在BD的右侧，此时BF<DF,不符合题意； 当3<t≤8时，此时BE=DB-DE=2t-6, FE⊥DB,BF=DF, ∴.DE=BE, ∴.6=2t-6,解得t=6, 即当t=6s时，BF=DF.(10分) 11/11