精品解析：吉林长春市东北师范大学慧仁实验学校2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题

东北师范大学慧仁实验学校2026-2027学年上学期九年级练习卷（一） 数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令分式的分母不等于零，解不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ ， 解得． 2. 下列各式中，一定是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、一定是最简二次根式； B、中的被开方数，无意义，不是最简二次根式； C、当时，，则无意义；当时，；则此项不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 3. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：D 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握原数的绝对值的数的科学记数法的表示方法是解题的关键． 4. 分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴将分式中的，的值都扩大为原来的3倍，分式的值不变． 5. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正比例函数的形式为（是常数，），据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； B选项含有常数项，不符合正比例函数定义； C选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； D选项中，符合正比例函数定义． 6. 某厂今年前五个月生产某种产品的总产量Q（件）与时间t（月）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少 B. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平 C. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产 D. 1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产 【答案】D 【解析】 【分析】纵坐标Q是前t个月的总产量，不是单月产量．到阶段的图象：总产量随t均匀增加，计算相邻月份总产量的差值，即可得到单月产量的变化规律．到阶段的图象：总产量不再随t变化，那么对应月份的单月产量为0，即可判断4、5月的生产情况． 【详解】解：根据图象得： 1月至3月，该产品的总产量Q（件）与时间t（月）的函数图象是一条正比例函数图象， 所以每月产量是一样的， 4月至5月，产品的总产量Q（件）没有变化，即4月、5月停止生产． 故选：D． 7. 如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】逐一对照四个选项所给条件，判断其是否满足平行四边形的判定依据（两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分）． 【详解】解：A选项，两组对边分别平行，可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B选项，一组对边平行，另一组对边相等，可能为梯形，不能判定这个四边形是平行四边形，符合题意； C选项，对角线互相平分，可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； D选项，两组对边分别相等，可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意． 8. 如图，点在反比例函数的图像上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为2，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的相关知识，难度不大但需注意最后所求k值的符号，此为易错点． 根据反比例函数的性质，将k用、表示出来；再根据线段之间的关系得出两个同高的三角形的面积关系，进而求出，再根据，即可求出解． 【详解】解：∵轴， ∴，， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，进一步求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴， 解得 ． 故答案为 ． 10. 化简________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式完成化简． 【详解】解： ． 11. 已知：如图，，，，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据三角形相似的性质得即可求解． 【详解】解：， ， ， ，，， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． 12. 已知直线y=kx+b(k≠0)的图像与直线y=-2x平行，且经过点(2，3)，则该直线的函数表达式为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】由两个一次函数的图象平行求解 再把(2，3)代入函数的解析式求解即可. 【详解】解： 直线y=kx+b(k≠0)的图像与直线y=-2x平行， 把点(2，3)代入中， 解得： 所以一次函数的解析式为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握“两直线平行，两个一次函数的比例系数相等，而不相等”是解本题的关键. 13. 如图，在平行四边形中，，，平分交边于点，则线段的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行且相等得到、，结合角平分线推出，得到，进而求出线段的长度． 【详解】解：平分， ， 又四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 14. 如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中一定成立的是_________． ①四边形的面积随着转动而变化；②；③四边形是菱形；④当纸条宽度是时，四边形周长的最小值为． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先根据纸条对边平行判定重合四边形为平行四边形，再结合纸条宽度相等证明邻边相等得到菱形，依次推导验证四条结论的正误，筛选成立的结论． 【详解】解：∵两张纸条对边互相平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵纸条宽度相同， ∴平行四边形两组对边上的高相等，设为两组对边上都为， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故③正确． ∵菱形面积底纸条宽度，转动时底边长改变，宽度不变， ∴四边形的面积随转动变化，故①正确． ∵菱形对角相等，， ∴，故②错误． ∵纸条宽度为，菱形边长，当边长取最小值时周长最小， ∴最小周长，故④正确． 综上，一定成立的结论为①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（共10小题） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）将分式方程化为整式方程求解，结果需要检验.； （2）用配方法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以，分式方程的解为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．求乙程序员每小时输入多少名学生的成绩？ 【答案】乙每小时输660名学生成绩 【解析】 【分析】设乙每小时输x名学生成绩，根据“甲比乙少用2小时输完”列分式方程求解． 【详解】解：设乙每小时输x名学生成绩， 根据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：乙每小时输660名学生成绩． 19. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点E，F，连接，与相交于点，与相交于点，与交于点，连接、． （1）通过尺规作图可知直线是线段的______； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）垂直平分线 （2） 证明：由作图可知：垂直平分， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的作法、菱形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由作法可知点E、F到线段的距离相等，故直线是线段的垂直平分线， （2）由作图可知垂直平分，得，，,再证明，进而可得四边形四边都相等，由此得出四边形是菱形. 【小问1详解】 解：点E、F到线段的距离相等，故直线是线段的垂直平分线， 【小问2详解】 略 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中以为边画一个面积为8的； （2）在图②中以为边画一个面积为4的菱形； （3）在图③中以为边画一个面积最大的矩形． 【答案】（1） 如图①中，平行四边形即为所求； （2） 如图②中，菱形即为所求； （3） 如图③中，矩形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作一个底为4，高为2的平行四边形即可； （2）作一个对角线分别为的菱形即可； （3）作一个邻边分别为的矩形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 为让学生了解吉林乡土文化，立德中学拟举办主题为“吉林乡土文化”的知识竞赛活动．九年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． 一班预赛成绩统计图 二班预赛成绩统计图 （1）这次预赛中，一班有_____人参加比赛，二班成绩是A等和B等的共有____人； （2）这次预赛中一班成绩的平均数为_____分，二班成绩的中位数为_____分，二班成绩的众数为_____分； （3）已知两个班参加预赛学生成绩的方差分别为，，从平均数、众数、方差中任选一个量，结合九年级一班和二班预赛成绩，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）20，9； （2），80，80； （3）①选择平均数：一班平均成绩是87.5分，二班平均成绩是84分，从平均水平看一班较好； ②选择方差，，二班方差小于一班方差，说明二班学生成绩波动较小； ③选择众数：一班集中在90分，二班集中在80分，高分段人数分布一班更突出． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图求出一班参加比赛的人数，即可得到二班参加比赛的人数，再根据扇形统计图求出二班成绩在B等及以上的人数即可； （2）根据平均数、中位数和众数的定义进行解答即可； （3）比较方差的大小后即可得到答案． 【小问1详解】 解：一班参加比赛的人数为（人）， ∵两个班参加比赛的人数相同， ∴二班成绩在A等和B等的共有（人）； 【小问2详解】 解：一班成绩的平均数为：（分）， 二班成绩等的人数为：， 等的人数为：， 等的人数为：， 等的人数为：， ∴二班成绩的中位数是，众数是． 【小问3详解】 略 22. 春节期间，西安大唐芙蓉园内精心设计的花灯让古今的种种景象都汇聚在风韵如画的盛世园林之中．已知非节假日园区门票价格为元／人，节假日期间考虑接待压力，票价较平日价格有一定的提升，但规定若组团旅游，则人数10人以下（包括10人）不打折，10人以上时，超过10人部分打折．设游客为人，门票费用为元，非节假日门票费用（元）及节假日门票费用（元）与游客（人）之间的函数关系如图所示． （1）求出与之间的函数关系式． （2）如果有一个50人的旅游团来大唐芙蓉园旅游，非节假日门票费用比节假日门票费节约多少钱？ 【答案】（1） （2）非节假日门票费用比节假日门票费节约1300元钱 【解析】 【分析】（1）根据图象中的数据，利用待定系数法，即可求出与x之间的函数关系式； （2）利用待定系数法，可求出与x之间的函数关系式，代入x=50，求出，的值，作差后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设当时，与x之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴当时，与x之间的函数关系式为； 设当时，与x之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴当时，与x之间的函数关系式为， 综上所述，与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设与x之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴， 当时，； ， ∴． 答：非节假日门票费用比节假日门票费节约1300元钱． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当时，的取值范围； （3）点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】（1） ； （2）  或  （3）或． 【解析】 【分析】（1）因为点A在一次函数上，所以将A点横坐标代入一次函数可求出n的值，得到A点完整坐标，再代入反比例函数​即可求出k，得到反比例函数表达式． （2）先求出B点坐标，结合函数图象的上下位置关系，分、判断一次函数值大于反比例函数值的x范围． （3）先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，那么的面积可表示为与的面积的差，设P点坐标为，根据面积公式列方程求解即可得到P点坐标． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数上，  ∴， 即． 把代入反比例函数， 得， 解得， ∴反比例函数表达式为． 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得， 即． ∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的范围． 结合两个函数的图象：反比例函数在和两个分支，两个交点横坐标为1和3， ∴满足条件的范围是或． 【小问3详解】 解：对：令，得， 即． 设点坐标为， 则轴上线段的长度为． ∵ ， 代入，，，得 ， 化简得， 解得或， ∴的坐标为或． 24. 探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________． （4）结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 在上取一点，使，连接． 四边形是正方形， ，． ， ，是等腰直角三角形， ， ． 是的外角平分线， ， ， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）通过构造中点，连接辅助线，利用正方形性质、等腰直角三角形性质以及角的关系，找到全等三角形的判定条件，使用角边角的证明方法，证明从而猜想并证明； （2）沿用（1）中构造全等三角形的方法，利用正方形基本性质和角的关系，使用角边角的证明方法，证明，证明无论在上什么位置，都成立； （3）将绕点逆时针旋转得到，借助图形变换的思想，把分散的线段通过变换集中到一起，再利用几何图形的各种性质来探究它们之间的数量关系，通过延长线段构造全等三角形，由边角边的证明方法证明，将与，转化到一条线段上找关系即可； （4）延长至，使，连接，，，得到垂直平分，通过对称变换将两条线段的和进行转化，再利用三点共线原理找到最小值的情况． 【小问1详解】 解：点、点分别为、中点， ，， 四边形为正方形， ，则， ， ， ， ， ，， ，则， 为正方形外角的角平分线， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，， 则点、、三点共线， 在和中， ， ， ， 即， 故答案为：； 【小问4详解】 如图3，延长至，使，连接，，， ，， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值是的长， ，，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学慧仁实验学校2026-2027学年上学期九年级练习卷（一） 数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，一定是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 5. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 某厂今年前五个月生产某种产品的总产量Q（件）与时间t（月）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少 B. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平 C. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产 D. 1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产 7. 如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，点在反比例函数的图像上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为2，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 10. 化简________． 11. 已知：如图，，，，，则______． 12. 已知直线y=kx+b(k≠0)的图像与直线y=-2x平行，且经过点(2，3)，则该直线的函数表达式为______________________． 13. 如图，在平行四边形中，，，平分交边于点，则线段的长度为_________． 14. 如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中一定成立的是_________． ①四边形的面积随着转动而变化；②；③四边形是菱形；④当纸条宽度是时，四边形周长的最小值为． 三、解答题（共10小题） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．求乙程序员每小时输入多少名学生的成绩？ 19. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点E，F，连接，与相交于点，与相交于点，与交于点，连接、． （1）通过尺规作图可知直线是线段的______； （2）求证：四边形是菱形． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中以为边画一个面积为8的； （2）在图②中以为边画一个面积为4的菱形； （3）在图③中以为边画一个面积最大的矩形． 21. 为让学生了解吉林乡土文化，立德中学拟举办主题为“吉林乡土文化”的知识竞赛活动．九年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． 一班预赛成绩统计图 二班预赛成绩统计图 （1）这次预赛中，一班有_____人参加比赛，二班成绩是A等和B等的共有____人； （2）这次预赛中一班成绩的平均数为_____分，二班成绩的中位数为_____分，二班成绩的众数为_____分； （3）已知两个班参加预赛学生成绩的方差分别为，，从平均数、众数、方差中任选一个量，结合九年级一班和二班预赛成绩，解释其在本题中的意义． 22. 春节期间，西安大唐芙蓉园内精心设计的花灯让古今的种种景象都汇聚在风韵如画的盛世园林之中．已知非节假日园区门票价格为元／人，节假日期间考虑接待压力，票价较平日价格有一定的提升，但规定若组团旅游，则人数10人以下（包括10人）不打折，10人以上时，超过10人部分打折．设游客为人，门票费用为元，非节假日门票费用（元）及节假日门票费用（元）与游客（人）之间的函数关系如图所示． （1）求出与之间的函数关系式． （2）如果有一个50人的旅游团来大唐芙蓉园旅游，非节假日门票费用比节假日门票费节约多少钱？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当时，的取值范围； （3）点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 24. 探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________． （4）结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $