4.5.1 函数的零点与方程的解讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“函数的零点与方程的解”核心知识点，系统梳理函数零点的定义、等价关系及零点存在性定理，通过十大题型（求零点、由零点求参数、判断零点区间等）构建从基础概念到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 该资料以题型分类为特色，结合“练方法”模块总结公式结论与解题技巧，如分离参数、数形结合等，培养学生用数学思维分析问题（如利用零点存在定理推理区间），用数学语言表达过程（如二次函数零点分布的参数求解）。课中辅助教师系统授课，课后通过分层练习（经典例题、小试牛刀）帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.5.1 函数的零点与方程的解】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与____轴_____有交点⇔函数有___零点______． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求已知函数的零点】 【练方法】 【公式结论】 函数的零点方程的实数解 【方法技巧】 1.解方程所得实数根即为零点 2.分式函数先保证分母不为0 3.根式函数保证被开方数 4.求出根后代入原函数检验剔除增根 （2026·湖南长沙·模拟预测）已知a是函数的零点，则实数a的值为________．经典例题1例题 （2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________.小试牛刀1 （25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______.小试牛刀2 【题型2：由函数的零点求参数的值】 【练方法】 【公式结论】 若是零点则 【方法技巧】 1.将零点代入函数解析式建立关于参数的方程 2.求解参数 3.回代参数验证保证该零点在函数定义域内 （25-26高一·全国·寒假作业）若一次函数的零点是2，那么函数的零点是______.经典例题1例题 （2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ）小试牛刀1 A．0 B． C．2 D． （24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ）小试牛刀2 A．0 B．1 C．2 D．3 （2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D．2025 【题型3：判断零点所在的区间】 【练方法】 零点存在定理：若在区间$[a,b]$上连续且则区间内至少存在一个零点 【方法技巧】 1.优先计算区间端点函数值符号 2.区间内至少1个零点 3.无法判定有无零点 4.函数单调时可确定区间内有且仅有一个零点 （2026高三·全国·专题练习）设是方程的解，且，则整数______________．经典例题1例题 （25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：由零点所在的区间求参数】 【练方法】 【公式结论】 在[m,n]连续零点 【方法技巧】 1.列出不等式求解参数 2.额外留意零点刚好落在区间端点或的情况单独讨论 3.求出参数范围后检验连续性与定义域限制 （25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____.经典例题1例题 （25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________．小试牛刀1 （25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：由二次函数零点分布求参数范围】 【练方法】 设二次函数 【公式结论】 1.两根均大于： 2.两根均小于： 3.一根小于一根大于： 4.两根在区间内： 5.仅有一根在内：补充端点根单独核验 【方法技巧】 开口方向判别式对称轴位置区间端点函数符号四要素按需选取 优先画图辅助分析不可遗漏 方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______．经典例题1例题 若函数有且只有一个零点在区间上，则的值范围为______．小试牛刀1 关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围．小试牛刀2 （2026·云南玉溪·模拟预测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________．小试牛刀3 【题型6：由指对幂函数零点分布求参数范围】 【练方法】 【公式结论】 指数/对数/幂函数)零点有解转化为等式分离参数 【方法技巧】 1.零点问题等价变形分离参数 2.研究值域与单调性 3.结合定义域（对数真数）限制参数取值 4.复杂题型采用数形结合画出两个函数图像利用交点个数约束参数 若函数有两个零点，则的取值范围是____________．经典例题1例题 （25-26高一上·四川达州·阶段检测）（多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B．的最小值为4 C． D． 若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：由零点个数求参数范围】 【练方法】 【公式结论】 零点个数方程实数根个数与轴交点个数 分离参数模型：零点个数与交点个数 【方法技巧】 1.首选分离参数+数形结合 2.分段函数零点要分段讨论分别统计各段零点 3.重点关注相切（）分段点处临界情况 4.区分“恰好个零点”对应的临界参数 （2026高三下·全国·专题练习）设函数．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为__________．经典例题1例题 （25-26高二下·重庆·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是_____.小试牛刀1 （25-26高一下·云南普洱·期末）已知二次函数满足，且是偶函数，设函数，且满足．小试牛刀2 (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解．求实数的取值范围． （25-26高一下·陕西西安·期末）已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______.小试牛刀3 【题型8：嵌套函数的零点问题】 【练方法】 形如 【公式结论】 令先解出所有根 【方法技巧】 1.由外向内逐层拆解先解外层得到 2.再对每一个解方程 3.统计每个方程解的总数即为嵌套函数零点总数 4.画图分析与水平线交点快速判断零点数量 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____．小试牛刀1 （25-26高一下·重庆·期中）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________．小试牛刀2 （25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________．小试牛刀3 【题型9：比较零点的大小】 【练方法】 【公式结论】 零点满足可变形构造单调函数利用单调性比较自变量大小 【方法技巧】 1.将零点代入方程进行同构变形构造单调函数 2.利用函数单调性去掉外层函数符号直接比较零点大小 3.无法同构时借助函数图像直观定位零点位置 4.估算零点所在区间依靠区间上下界判定大小关系 （25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·贵州遵义·期末）已知正实数，满足，则下列关系不可能的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型10：求零点的和】 【练方法】 【公式结论】 1.二次函数两根满足 2.若函数图像关于直线对称零点成对出现满足 【方法技巧】 3.优先识别函数对称性利用对称性质求和 4.二次函数直接使用韦达定理 5.嵌套零点问题分组配对求和再汇总 6.注意区分单个零点与成对零点避免漏算 （25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________．经典例题1例题 已知函数，，的零点分别为，则（    ）小试牛刀1 A．0 B．3 C．4 D．6 （24-25高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为________．小试牛刀2 （24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）设是函数的零点，是函数的零点，则_____.小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2025高一上·全国·专题练习）（多选）已知定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 12．（25-26高一上·福建漳州·期中）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数； B．函数的图象与直线的交点最多有2个； C．函数的图象关于轴对称； D．函数在区间上有且只有1个零点． 13．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数，下列关于函数的零点情况结论正确的是（    ） A．当时，没有零点； B．当或时，两个零点； C．当时，三个零点； D．当时，一个零点. 三、填空题 14．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是______． 15．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数若方程有三个不等实根，则实数a的取值范围是______. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）若是函数的零点，则________. 四、解答题 17．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值： (3)已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值； (3)设函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 19．（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 20．（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数（且）为奇函数. (1)求实数的值并解不等式； (2)若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.5.1 函数的零点与方程的解】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与____轴_____有交点⇔函数有___零点______． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求已知函数的零点】 【练方法】 【公式结论】 函数的零点方程的实数解 【方法技巧】 1.解方程所得实数根即为零点 2.分式函数先保证分母不为0 3.根式函数保证被开方数 4.求出根后代入原函数检验剔除增根 （2026·湖南长沙·模拟预测）已知a是函数的零点，则实数a的值为________．经典例题1例题 【答案】 27 【分析】根据零点定义结合对数运算求值. 【详解】因为a是函数的零点， 所以，所以， 则实数a的值为． （2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________.小试牛刀1 【答案】0 【详解】令，即，解得， 所以函数的零点是0. （25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解. 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . 【题型2：由函数的零点求参数的值】 【练方法】 【公式结论】 若是零点则 【方法技巧】 1.将零点代入函数解析式建立关于参数的方程 2.求解参数 3.回代参数验证保证该零点在函数定义域内 （25-26高一·全国·寒假作业）若一次函数的零点是2，那么函数的零点是______.经典例题1例题 【答案】0， 【分析】根据函数零点的定义求解即可. 【详解】因为一次函数的零点是2， 所以，即，则， 令，解得或， 所以函数的零点是0，. 故答案为：0，. （2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ）小试牛刀1 A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. （24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ）小试牛刀2 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合零点的定义及指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. （2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D．2025 【答案】D 【分析】根据题意可得，利用函数得单调性可得，运算得解. 【详解】由题可得，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，则. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由题得到，构造函数并根据单调性得到. 【题型3：判断零点所在的区间】 【练方法】 零点存在定理：若在区间$[a,b]$上连续且则区间内至少存在一个零点 【方法技巧】 1.优先计算区间端点函数值符号 2.区间内至少1个零点 3.无法判定有无零点 4.函数单调时可确定区间内有且仅有一个零点 （2026高三·全国·专题练习）设是方程的解，且，则整数______________．经典例题1例题 【答案】2 【分析】结合函数的单调性和零点存在性定理，即可求解. 【详解】令，单调递增，，， 所以零点，即. （25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. （25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理即可判断. 【详解】由题意，根据幂函数的单调性，可知在内为增函数， 根据指数函数的单调性，可知在内为减函数， 所以函数在内为增函数， 因为，， ，，， 又指数函数为减函数，所以，，， 根据函数的零点存在定理，可得函数的零点在内. （25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 【题型4：由零点所在的区间求参数】 【练方法】 【公式结论】 在[m,n]连续零点 【方法技巧】 1.列出不等式求解参数 2.额外留意零点刚好落在区间端点或的情况单独讨论 3.求出参数范围后检验连续性与定义域限制 （25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____.经典例题1例题 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. （25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________．小试牛刀1 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. （25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. （25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【题型5：由二次函数零点分布求参数范围】 【练方法】 设二次函数 【公式结论】 1.两根均大于： 2.两根均小于： 3.一根小于一根大于： 4.两根在区间内： 5.仅有一根在内：补充端点根单独核验 【方法技巧】 开口方向判别式对称轴位置区间端点函数符号四要素按需选取 优先画图辅助分析不可遗漏 方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______．经典例题1例题 【答案】 【分析】考查二次函数根的分布问题，由题意得出且，从而求出的取值范围. 【详解】令， 因为方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为． 若函数有且只有一个零点在区间上，则的值范围为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据判别式分和两种情况讨论，当时分别解得方程的根，再验证是否在所给区间内；当时，由题意可得，进而可得，再验证端点的值是否满足可得. 【详解】，令 ①当两个根相等时，则，解得或， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，满足题意． ②当两个根不相等时，则，即，解得或. 因为方程有且只有一个根在区间上， 所以，解得,满足，因此方程有两个不同的根； 当时，此时方程为，方程的根为或，，，满足题意． 当时，此时方程为，方程的根为或，，，不合题意； 所以实数的取值范围为． 关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围．小试牛刀2 【答案】 【分析】令，条件可转化为，解不等式可得结论. 【详解】令， 因为方程有两个实数根，且一根大于，另一根小于， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2026·云南玉溪·模拟预测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________．小试牛刀3 【答案】 【详解】函数恰好有两个零点，可转化为函数与函数的图象恰有两个交点. ①当恒成立，即 时， 问题转化为方程即有两个不同的解. 由 . 所以或. ②当时，方程有两个正根，（），如图， 当时， 恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. ③当时，方程有两个负根，（），如图， 当时， 恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. 综上可得：若函数恰有两个零点，则的取值范围是. 【题型6：由指对幂函数零点分布求参数范围】 【练方法】 【公式结论】 指数/对数/幂函数)零点有解转化为等式分离参数 【方法技巧】 1.零点问题等价变形分离参数 2.研究值域与单调性 3.结合定义域（对数真数）限制参数取值 4.复杂题型采用数形结合画出两个函数图像利用交点个数约束参数 若函数有两个零点，则的取值范围是____________．经典例题1例题 【答案】 【分析】方法一：应用换元法结合二次方程的根列式计算求解，方法二：应用换元法结合对勾函数的单调性结合图象得出参数范围. 【详解】令，得，即， 方法一：令，则，即，， 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二：设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. （25-26高一上·四川达州·阶段检测）（多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B．的最小值为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】令，如图所示， A，在同一坐标系内作出函数和的大致图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，A正确； B，因为，，， 且函数关于对称， 由图象得，且，， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 而，所以，B错误； C，由上知，，所以，C正确； D，由，，且， ， 令，，易知在上单调递减， ，D正确. 若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为有解，则实数的取值范围即为函数的值域，然后根据指数函数单调性求解值域即可得解． 【详解】函数的图象与轴有交点，有解， 则实数的取值范围即为函数的值域， ，，实数的取值范围是． 故选：A （24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有 ，然后利用函数单调性求解范围即可． 【详解】作出函数的图象如下图所示：    若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以 ，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 【题型7：由零点个数求参数范围】 【练方法】 【公式结论】 零点个数方程实数根个数与轴交点个数 分离参数模型：零点个数与交点个数 【方法技巧】 1.首选分离参数+数形结合 2.分段函数零点要分段讨论分别统计各段零点 3.重点关注相切（）分段点处临界情况 4.区分“恰好个零点”对应的临界参数 （2026高三下·全国·专题练习）设函数．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为__________．经典例题1例题 【答案】 【分析】通过讨论的零点个数，确定的范围，再判断的零点个数，即可求解. 【详解】设， 若时，与轴有一个交点，则， 此时函数图像在上与轴也只有一个交点， 或，， 综合可得：； ②若函数的图像与轴没有交点，， 若，即，此时或它们均不在范围内， 此时在无零点，此时不符合题意，故舍去； 当时，或， 此时函数的图像在与轴有两个交点，符合题意，此时. 综上所述，实数a的取值范围为. （25-26高二下·重庆·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是_____.小试牛刀1 【答案】 【分析】将有四个不同零点转化为直线与的图象有四个交点，分别分析分段函数两段的单调性与值域，数形结合求的取值范围. 【详解】由可得，问题等价于直线与函数的图象共有4个不同交点， 分两段讨论函数性质： 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； 最小值为，端点值， 因此当时，直线与该段图象有2个交点； 或时仅有1个交点； 时无交点； 当时，， 在上，单调递减，值域为； 在上，单调递增，值域为； 因此当时，直线与该段图象有2个交点； 时仅有1个交点， 当时无交点； 要使总交点数为4，需两段各有2个交点，取两个范围的交集， 得的取值范围为. （25-26高一下·云南普洱·期末）已知二次函数满足，且是偶函数，设函数，且满足．小试牛刀2 (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解．求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出二次函数 的解析式，再根据条件求出它的待定系数；（2）通过换元法，把原不等式化为在上恒成立，继续利用换元法，从而得到；（3）通过换元法，把问题转化为，要求 在 有两个不等实根. 【详解】（1）设二次函数 ，故 是偶函数 对称轴为 ，即 因此 ，，所以，得 得 ，所以 （2）由(1)得 . 令 ，，故 ， 不等式在上恒成立 即在上恒成立，所以，从而 ， 在上恒成立， 设 ，， ， 在 单调递减， ， 要 恒成立，则，所以 （3）令 ，则 ，且一个 对应两个 （）； 只对应一个 ，要有四个不同实数解，等价于：关于 的方程在 内有两个不等实根，代入 ，即 ， 整理得， 记 ，要求 在 有两个不等实根，满足 ， 恒成立， 对称轴 ， ，， 综上，实数 取值范围. （25-26高一下·陕西西安·期末）已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】先作出函数的图象，结合图象可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图象如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图象可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 【题型8：嵌套函数的零点问题】 【练方法】 形如 【公式结论】 令先解出所有根 【方法技巧】 1.由外向内逐层拆解先解外层得到 2.再对每一个解方程 3.统计每个方程解的总数即为嵌套函数零点总数 4.画图分析与水平线交点快速判断零点数量 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. （2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用换元法，将多层复合方程拆解为外层和内层方程，通过分析外层方程根的分布，反推参数的取值范围. 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 设该方程的两根为（），要使有4个不同实根，需满足： 有两个不同的实根，这两个根均大于. 即有两个不同实根，则 设，要使的两根均大于，需满足： 其中. 同时，当时，， 若，则是方程的一个根，此时仅有1个根， 有2个根，总根个数为3，不符合题意. 当时，（二重根），此时有2个不同实根，总根个数为2，不符合题意. 综上，的取值范围为. （25-26高一下·重庆·期中）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________．小试牛刀2 【答案】 【分析】据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当时，，对称轴为. 当时，函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由， 结合图象可得或，即或. 结合图象可知，有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意. 当时，函数在单调递增，在单调递减，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或或， 即或或. 由图可知，有2个解，有3个解， 又函数有8个零点，则需有3个解. 需使，解得. 综上，实数的取值范围为. （25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________．小试牛刀3 【答案】 或 或 【详解】当时，由得，解得或， 当时，由得，解得（舍）， 作出的图象如图，由得或， 即或， 当，即时，无实根，此时，最多两个实根，与题意不符； 当，即时，有一个实根，有两个实根，符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，至少有两个实根，不符合题意； 当，即时，有三个实根，至少有一个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有4个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有一个实根，符合题意； 当，即时，有两个零点，有一个零点，符合题意； 当，即时，有一个零点, 有一个零点，不符合题意； 综上所述，有3个零点时，或. 【题型9：比较零点的大小】 【练方法】 【公式结论】 零点满足可变形构造单调函数利用单调性比较自变量大小 【方法技巧】 1.将零点代入方程进行同构变形构造单调函数 2.利用函数单调性去掉外层函数符号直接比较零点大小 3.无法同构时借助函数图像直观定位零点位置 4.估算零点所在区间依靠区间上下界判定大小关系 （25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. （2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. （25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理得出的取值范围，并求出、的值，即可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，故， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，故， 由可得，即，故. （25-26高一上·贵州遵义·期末）已知正实数，满足，则下列关系不可能的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，即可得到，，，画出，，的图象，结合图象即可判断． 【详解】因为为正实数，令， 所以，，， 因为在上单调递增且，， 在上单调递增且，，， 在上单调递减且， 在同一平面直角坐标系下画出，，的图象， 根据图象可知，、在第一象限必有一交点，设此交点的横坐标为， 则可知，当时，，即存在的情况， 当时，，即存在的情况， 当时，，即存在的情况， 而对于，恒成立，不存在的情况，即不可能． 【题型10：求零点的和】 【练方法】 【公式结论】 1.二次函数两根满足 2.若函数图像关于直线对称零点成对出现满足 【方法技巧】 3.优先识别函数对称性利用对称性质求和 4.二次函数直接使用韦达定理 5.嵌套零点问题分组配对求和再汇总 6.注意区分单个零点与成对零点避免漏算 （25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________．经典例题1例题 【答案】13 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 已知函数，，的零点分别为，则（    ）小试牛刀1 A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由函数，，的零点分别为，得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，结合图象及函数的对称性可求得. 【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得. 所以. 又，所以. 所以. 故选：B. （24-25高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为________．小试牛刀2 【答案】 【分析】画出奇函数的图象，将题意转化为函数的图象与直线的交点的横坐标的和，数形结合可得结果. 【详解】由题意得，方程的根是函数的图象与直线的交点的横坐标. 根据分段函数的解析式，以及是定义在上的奇函数，作出函数图象： 根据的对称性可得， 根据是奇函数得，， ∴. 由得，， ∴. 故答案为：. （24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）设是函数的零点，是函数的零点，则_____.小试牛刀3 【答案】2 【分析】运用零点定义构建与两个函数相关的等式，结合对数函数性质，找到与之间的联系即可. 【详解】已知是的零点，则，即 . 因为是的零点，所以，移项可得. 令，则，那么，即. 对比与，发现，当和时函数值相等. 容易知道在单调递增，则也是单调递增函数，所以，即. 将移项可得. 故答案为：2. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.来判断两个条件之间的关系. 【详解】充分性判断:若，因为函数在区间上的图象是一条不间断的曲线， 根据零点存在定理可知，函数在区间上有零点，所以“”是“函数在区间上有零点”的充分条件.   必要性判断:当函数在区间上有零点时，比如函数在区间[0,2]上有零点，此时，，， 即存在函数在区间上有零点时，的情况， 所以“”不是“函数在区间上有零点”的必要条件.   综上所得， “”是“函数在区间上有零点”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论. 【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      故选：A. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可. 【详解】根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可， 即，所以， 化为有解，令， 由基本不等式可知，当且仅当时取等，故， 则有在上有解，设，对称轴为． ①若，则，满足方程在上有解； ②若，要使在时有解，则需， 解得． 综上可得，实数的取值范围为． 故选：B. 4．（2025·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数 的图象与直线 的图象即可求解. 【详解】作出函数 的图象，如图所示， 若关于 的方程 有两个不等实根， 则函数 的图象与直线 有两个交点，由图知，． 故选：D. 5．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数的零点转化为两个函数的图象的交点的横坐标，画出图象，即可求解. 【详解】因为函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 在同一坐标系内，分别画出函数的图象，如图所示， 由图象可得：，所以. 故选：B. 6．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 7．（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类讨论，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围. 【详解】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下： 令，解得或， 即或，根据图象有2个解， 有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下： 令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又至少有7个零点，所以至少有2个解， 即，解得． 故选:D． 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 9．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出的值. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，， 故函数的零点所在区间为， 又因为函数零点所在的大致区间为，故. 故选：C. 10．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数， 又， 故函数有唯一的零点，其所在区间为. 二、多选题 11．（2025高一上·全国·专题练习）（多选）已知定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 【答案】AD 【分析】分别结合内外函数的零点进行分析，即可求解； 【详解】设的零点为，且． 由，得或或． 由的图象可知满足条件的x的值有三个． 故方程有且仅有三个解，故A正确： 同理，最多有九个解，C错误； 因为有一个解，又每个对应的值只有一个相应的解，故有且仅有一个解，而最多有三个解，所以B错误，D正确， 故选AD． 12．（25-26高一上·福建漳州·期中）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数； B．函数的图象与直线的交点最多有2个； C．函数的图象关于轴对称； D．函数在区间上有且只有1个零点． 【答案】CD 【分析】利用同一函数的定义来判断A，利用函数的性质来判断B，利用偶函数来判断C，利用零点存在性定理结合单调性来判断D. 【详解】由于的定义域为，的定义域为，所以它们表示的不是同一函数，故A错误； 函数的每一个自变量只有唯一的因变量与之对应，所以函数图象与直线的交点最多有1个，故B错误； 因为，又函数定义域为，所以是偶函数，即图象关于轴对称，故C正确； 因为， 且在区间上单调递增， 所以函数在区间上有且只有1个零点，故D正确； 故选：CD. 13．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数，下列关于函数的零点情况结论正确的是（    ） A．当时，没有零点； B．当或时，两个零点； C．当时，三个零点； D．当时，一个零点. 【答案】BCD 【分析】分别作出函数的图像，和直线去观察这两个图像的交点个数逐个验证选项即可. 【详解】分别作出函数的图像，和直线. 对于选项A，观察图像当时，直线与函数的图像只有一个交点，所以只有一个零点，故A错误； 对于选项B，当或时，直线与函数的图像有两个交点，所以有两个零点，故B正确； 对于选项C，当时，直线与函数的图像有三个交点，所以有三个零点，故C正确； 对于选项D，当时，直线与函数的图像只有一个交点，所以只有一个零点，故D正确. 故选:BCD. 三、填空题 14．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】原方程等价于或，则只需有个根，数形结合即可得答案. 【详解】函数是偶函数，大致图象，如图所示： 方程， 分解因式得，    解得：或， 由函数的图象可知，只有个根， 所以需有个根才满足题意， 所以实数的取值范围是：， 故答案为：． 15．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数若方程有三个不等实根，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】画出函数的图象，利用转化法、数形结合思想进行求解即可. 【详解】， 问题转化为直线与函数的图象有三个交点， 在同一直角坐标系中，直线与函数的图象如下图所示： 显然当时，， 利用数形结合可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 即方程有三个不等实根. 故答案为： 16．（25-26高三·全国·一轮复习）若是函数的零点，则________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入求解即可. 【详解】由题意可得， 解得. 四、解答题 17．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值： (3)已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值； (3) 【分析】（1）根据对数函数的单调性分类讨论进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）利用换元法，结合对数函数的单调性、一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【详解】（1）当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 由题意可得：， 此时区间为； 当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； （2） 令，因为，所以， 所以， 所以，， 所以当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值； （3）令，因为，所以对应的， 且，原方程转化为： 设，需要这个二次函数在上有两个不同的实根， 需要满足， 解得或 所以实数的取值范围为 18．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值； (3)设函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)1 (3)或. 【分析】（1）根据求出，再利用奇函数的定义检验； （2）先利用复合函数求出在上的值域，再结合一元二次函数求的最小值即可； （3）令，画出其函数图象，结合方程的根转化为一元二次方程的区间根问题求解. 【详解】（1）函数是上的奇函数，所以， 所以，得； 检验：当时，， 所以实数的值为1； （2）由（1）可知， 令，则， 因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 即当时，， 所以当时，有最小值，最小值是， 依题意，所以； （3）， 方程有三个不同的实数解， 令，则方程化为． 作出的函数图象，其中是函数图象在上的渐近线， 所以有两个根，不妨设， 则或， ①设， 则，解得， ②设，所以，得，则方程化为， 解得，满足题意， 所以实数的取值范围为或. 19．（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成在上有两个不等根，令，利用二次函数根的分布建立方程组，即可求解. 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. （3）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 20．（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数（且）为奇函数. (1)求实数的值并解不等式； (2)若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质，求出的值，代入解不等式即可； （2）令，把问题转化为与关于的函数交点问题，画出函数图象，数形结合可得答案. 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，得，即, ，， 所以，经检验满足题意； 由，可得， 所以，即， 所以不等式的解集为； （2）令，由得， ， 等价于， 即，， 令， ，则，代入得， 函数在单调递减，在单调递增，最小值为， 当 时，， 要使方程有两个不同解，实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $