第三章 图形的相似 单元自测卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，覆盖相似三角形判定与性质、位似变换等核心知识点，从单一概念到综合应用，融入实际情境与探究性问题，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|比例线段、相似多边形性质、位似概念|选择题1-5、填空题11-13，直接考查定义与基本计算，巩固基础认知| |中档|相似三角形判定、性质应用、平移与相似|选择题6-8、填空题14-15、解答题17-20，结合图形变换与简单证明，提升应用能力| |拔高|黄金分割、综合几何证明、实际问题建模|选择题9-10、填空题16、解答题21-25，融入《九章算术》情境与动态探究，发展逻辑推理与创新意识|

第三章《图形的相似》单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列各组中的四条线段成比例的是() A.a=2,b=3,c=4,d=1 B.a=2,b=5,c=4,d=10 C.a=4,b=6,c=5,d=10 D.a=V2,b=3,c=2,d=V5 2.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H对应， 则∠D的度数为() E 809 B人70 A.100° B.110° C.120° D.130° 3.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件不能判定这两个三角形相似的是 () A.∠A=55°，∠D=35 B.AC=9,BC=12,DF=6.EF=8 C.AC=3,BC=4,DF=6.DE=8 D.AB=10,BC=6,DE=15,EF=9 4.图，已知AB∥CD∥EF,那么下列结论中，正确的是() AD BC BC DF AB AD CD AD A.DF CE B.CE AD C.CD BC D.EF AF 5.在平面直角坐标系中，△1BC的顶点A的坐标为2，)，若以原点O为位似中心，画△BC的 位似图形△4B'C',使△4BC与△ABC的相似比为2，则点A的坐标为() A剔 B.(2,6) 。.到 D.(2,6)或（-2，-6) 6.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，如果点A恰好是△ABC的重心， A'B A'C' ’，那么4 C分别与C交于点M,V， 的面积与41BC 的面积之比是() D A' B M B 1 4 A. C.9 D.9 7.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中 开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是： 如图，M,N分别是正方形ABCD的边AD,AB的中点，ME⊥AD,NF⊥AB,EF过点A,且 ME=10步，NF=25步，那么该正方形城邑边长D约为（)步. A M A.300 B.250 C.225 D.150 8.如图，△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG在同一直线上， 且AB=V5,BC=1,连接BF,分别交AC,DC,DE于点P,,R.则QF的长为() A.2 B.3 C.2 06 9.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示，以线段 AB 为边作正方形4BCD,取MD的中点5连结BE,在EB1的廷长线上取点万使EF=B E，以 为边作正方形1FGH AF ,则点A、点E、点从点1四个点中分别是所在的一条线段的黄金分 割点的有( ) G H B D A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 I0.如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交CD于点E,延长BC到点 F,使CF=CE,造接DF交BE的廷长线于点”，造接H交DC于点G,连楼，则以下五 个结论中OOH=号BF:②∠CHf=45:③sC=2+2)GH:④Hm:=HEHB,⑤2BCE, CF EH 正确结论的个数是() H A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.已知线段a=6cm,b=2cm,则线段a,b的比例中项为 cm. a-c-e-l a+c+e 12.已知bdf3,则b+d+f 13。如图，在子面直角坐标系中，1点坐标为0)，B点坐标为20叭，以B为边在第一象限 内作正方形ABCD,以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形AB'CD,使其与正方形 ABCD 位似，且O401=21 ,则点的坐标是 BD 14.如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF=3FE,则DC I5.如图，在ABCD中，CE平分∠BCD,DH⊥CE于点H,交BC于点G,交AB的延长线于点 B=4cm,AD=6cm,则BF的长度为 若 B 16.定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么称这样的三角形为“准直角三角形”. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=2,点D在AC边上，若△ABD是“准直角三 角形”，则CD的长为 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题， 每题12分；共9小题，共72分) 17.(25-26八年级下·江苏苏州·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD‖AC, AD⊥AB BD AD D ”交于点 D (1)求证：△ABC∽△BDA: (2)若AC=3,BC=4,求BD的长. 18.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的 顶点均在格点上（网格线的交点）· B (1)画出△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的△4BC; (2)以原点0为位似中心，在x轴的上方画出△4，B,C,使△4，BC2与△ABC位似，且位似比为 2:1 (3)△4，B,C和△ABG关于点S位似，直接写出点S的坐标为 19.【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”.如图①，△ABC与△ABD 是以AB为公共边的“共边三角形”，“共边三角形”的性质如下：连接DC并延长，交AB于 S.ABC CE 点E,则S.ABD DE D E D ① ② 【问题解决】如图②，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于 点F,连接DF. (I)找出以BF为公共边的所有“共边三角形”，若△ABC的面积为45，分别求出这些“共边 三角形”的面积. (②)求证：AF-4C 3 (3)若将“D为BC的中点”改为“BD:DC=2:3”,则AF:CF=-, 20.淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度. E B BC D 图① 图② ()如图①所示，淇淇采用镜面反射法.将镜子放在地面点C处，此时淇淇恰好能从镜子中看 到旗杆顶端E,已知淇淇眼晴A到地面的距离AB=1.6m,且AB⊥BC,旗杆ED⊥BC. BC=0.8m CD=5m m,求旗杆ED的高度. (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量旗杆AB的高度，他通过调整测量位置，使 斜边DE与地面BC保持平行，并使一直角边DF与旗杆顶点A在同一直线上.已知DF=O.8米， EF=0,4米，目测点D到地面的距离DC为1.6米，到旗杆的水平距离DG为18米，求旗杆1B DC DG 的高度. 21.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：三角 形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比.如图①，在 、ABBD △ABC中，AD平分∠BAC,则ACCD:下面是这个定理的部分证明过程. ④ -- B DE ① ② ③ 证明：如图②，过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E .∠BAD=∠E∠CAD=∠ACE (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在△ABC中，AD是角平分线，AB=5,AC=4,BC=7.求BD的长； (3)如图③，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AB于F,若AB=I1, 1C=9,求线段FB的长. 22.将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB,若短线段与长线段的长度之比等于长线 PB AP 段的长度与全长之比，即APAB(此时线段AP叫做线段PB、AB的比例中项)，则可得出 这一比值等于0.618…，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄 金分割点. A B ()设AP=m,PB=n,按照定义mm+n ,”=m=x(m>0,n>0)恒成立，请你推导黄金比 x=5-10.6185≈2.236 2 5-1 1 (2)黄金分割在自然界、建筑、艺术等领域无处不在.我们把宽与长的比为2的矩形叫 黄金矩形，比如按照黄金比例定制的窗户令人赏心悦目，它给我们协调、匀称的美感！如图， 是某同学为自家设计的子母窗户结构示意图，在一个黄金矩形ABCD里分割出一个正方形 AMND BCNM ，那么右边窗户 还是黄金矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说 明理由. 23.如图1，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，BC=6,AD=4，动点P沿线段AD从点A向 点D运动，过点P作EF∥BC,EF交AB于E,交AC于F,以EF为边向下作正方形EFGH. B M D B H DG 图1 图2 图3 (1)设AP长为x,利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为EF= ；如图2，当x= 时，GH恰好落在边BC上，此时EF长为 (2)如图3，当GH在△ABC外部，且正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6时，求点P的位 置（即求AP的值）. 24.(25-26八年级下·山东烟台·期末)【尝试发现】 A D D B 图1 图2 E 图3 备用图 (I)如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，,请直接写出线段BD和 CE 的数量关系是· 【变式探究】 AB3 (2)如图2，△ABC∽AADE,连接BD和CE,BD的延长线交CE于点F,AC4, BD ①求CE的值； ②判断∠DAE和∠DFE的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,AC是对角线.E是边BC上一动点，连接AE, 以AE为直角边向逆时针方向作△AEF,使△AEF∽aABC,连接CF,DF. ①求证：∠DCF=∠ACB: ②直接写出线段DF长度的最小值. 25.综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： B E 图1 图2 图3 图4 【初探猜想】 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的点，连接DE,CF,若DE⊥CF, 则线段DE与CF的数量关系为 【类比探究】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=4,CD=3,点E,，F分别是边AD,BC上的点，点G是边 EF AB上一点，连接EF,DG,若EF⊥DG,求DG的值； 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，点E,F分别在线段AB,AD上，且CE⊥BF, CE 连接AC,若∠ACB=90°，AC=3,BC=4,则BF的值为 【拓展应用】 (4)如图4，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E,F分别在边AD,BC上，将四边形 4BFE沿EF翻折，点°的对应点6恰好落在CD上，点的对应点是点”，则68H+s 的最小 值为 参考答案 一、选择题 1.B a_2,e=4」 解：选项A、b3'd 四条线段不成比例，A错误； 0-2,c=4-2ma-c 选项B、b5a105,则bd, 四条线段成比例，B正确； a4_2c51 选项C、b63’d102, 四条线段不成比例，C错误； a√2c225 选项D、b3'd3, 四条线段不成比例，D错误； 故选：B. 2.C 解：四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H对应， ∴.∠A=∠E=80°，∠C=∠G=90°. 在四边形ABCD中，.'∠A+∠B+∠C+∠D=360°， .∠D=360。-∠A-∠B-∠C=360°-80°-70°-90°=120° 3.C 解：选项A:∠C=∠F=90°，∠A=55°，∠D=35°， ∴.∠B=90°-55°=35° ∴∠B=∠D ∴.Rt△ABC∽Rt△DEF ； DF EF2 选项B:ACBC3,∠C=∠F=90°， ∴.Rt△ABC∽Rt△DEF 选项C:有一组角相等且两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； 选项D:∠C=90°，AB=10,BC=6, .AC=V102-62=8 .∠F=90°DE=15EF=9 DF=V152-92=12 BC AC 2 .EF DF 3, .∠C=∠F ∴.Rt△ABC∽Rt△DEF 4.A 解：，AB∥CD∥EF, AD BCBC AD DF-CE,CE DF, 故选项B,C,D错误， 故选：A. 5.C 解：：以原点O为位似中心，△BC与△ABC的相似比为2，点A坐标为2,3)，位似图形有两 种位置情况， 当AC与0C在原点月时.气的坐专为2号引引 当△15C与1C玄原点界例时，友的至标为2号3对》(1-引 6.C 解：点A'恰好是△ABC的重心， AD-D ”将△MBC沿BC边上的中线MD平移到 △A'B'C' 的位置， .ACI‖A'NAB‖A'M ∴.△ADC∽△ADN, :4-4D1 AC AD 3, .ABIIA M,AC‖A'N, ∴.∠A'MN=∠B∠A'NM=∠C ∴.△ABC∽AAMN AN 1 .△A'MN面积与AABC的面积之比(AC 9 7.A 解：ME⊥AD,NF⊥AB, .∠FNA=∠AME=90° “正方形 BCD出∠MAN=90,EF过点， 中， .FN∥AM 则F=∠EAM ∴.△AMEAFNA FN AM .AN EM, M、N ABCD 分别是正方形 的边DA 的中点，设D=2a ∴.AM=AN=a .ME=100 NF=225 步， 步， 225a a100,即a2=100×225,解得a=150负舍去值， “正方形城邑边长 D=2a=300步， 故选：A. 8.A 解：过点F作FH⊥BG于点H,如图， △ABC,△DCE,△FEG 是三个全等的等腰三角形， ..BC=CE=EG=1 AB=AC=DC=DE=EF=FG=3 ∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC=∠FEG=∠FGE FH⊥BG 1 1 ÷EH=HG=2EG= 2, FH=VEF2-EH= 2, :.BH=BC+CE+EH- .BF=FH2+BH2=3 ·∠BCD=180°-∠DCE,∠BEF=18O°-∠FEG∠DCE=∠FEG ∴.∠BCD=∠BEF ∴.CD∥EF B爬_BC=1 OF CE, .OF=B0=BF=3 2· 9.B 解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD,∠DAB=∠D=90°， 设AB=AD=CD=2a, ,E是AD的中点， ∴.AE=ED=a, 在RtABE中，BE=VAB+AE=V2aP+a=V5a EF =BE, .EF =5a, .AF=EF-AE=5a-a=(5-1)a, .四边形AFGH是正方形， .∠AHG=∠AHⅢ=90°，AH=AF=(N5-1)a, AH_(W5-I)a_5-1 .'AB 2a 2，满足黄金分割定义， 点H是线段AB的黄金分割点； .∠AHI=∠DAB=∠D=90°， ∴.四边形AHID是矩形， .DI=AH=(5-1)a, D1-W5-10a-5-1 ∴.DC2a2,满足黄金分割定义， 点I是线段DC的黄金分割点； F、A、E、D在同一直线上， .FD=EF+ED=5a+a=(5+)a, :AD2=(2a)2=4a2,FD.AF=(5+1)a(N5-1)a=4a2, ∴.AD=FD·AF,满足黄金分割定义， 点A是线段FD的黄金分割点； ,E是AD的中点， .E不是AD的黄金分割点， .FE=5a,ED=a,FD=(5+1)a, ∴.FE2=5a2,FD·ED=(5+l)a2, ∴FE2≠FD·ED, ∴.E不是FD的黄金分割点， 综上所述，点A、H、I是黄金分割点，共3个. 10.A 解：①在正方形ABCD中，∠BCE=90°，BC=DC, ∴.∠DCF=∠BCE=90° .EC=FC △BCE≌aDCF(SAS) ∴.∠CBE=∠CDF :∠CBE+∠BEC=90°∠BEC=∠DEH .∠DEH+∠CDF=90° ∴.∠BHD=∠BHF=90° :BE平分 DBC .∴.∠HBD=∠HBF BHBH :.△BHD≌△BHF(ASA) :DH=HF ABCD BD 点为正方形对角线的中点， ∴.OD=OB :OH是△DB 的中位线， :OH=)BF,故①正确： 2 “四边形 ABCD 是正方形，BE是∠DBC 的平分线， ∴.∠EBC=22.5° .△BCE≌△DCF(SAS) ∴.∠EBC=∠CDF=22.5° ∴.∠BFH=90°-∠CDF=67.5° :H是DF 的中点， ADH=CH=H=DF、 2 ∴.∠CDF=∠DCH=22.5 ∴.∠CHF=45° 故②正确； ③OH是△DBF的中位线， ∴.OH∥BF, OH LBF ∴.∠OHB=∠HBF .BE 是<DBF 的平分线， ∴.∠DBH=∠HBF ∴.∠OHB=∠HBO ..OH=BO 设正方形的边长为2a,则BC=2a,0G=a,BD=2W2a, .OB=OH=√2a ..GH=OH-OG=2a-a BC 2a =2+2W2 GH (2-1a .BC=(2+22)GH ,故③不正确； ④由②知∠HBC=∠CDF=22.5°， .·.∠DBH=∠CDF .‘∠BHD=∠BHD, ∴.△DHE∽ABHD DH HE .BH DH, ∴.DH2=HE·HB DH HF ∴.HF2=HE.HB ，故④正确： :OH‖BF ∴.△DOG∽△DBC GD DO 1 DCDB2,即G是DC的中点 ∴.CF=2GH CF 2GH √2-1 2BC（4+4V2GH2, .'∠DGH=∠DHE=90，,∠GDH=∠HDE, ∴.△GDH∽△HDE, EH GH 2 ·DHDGIDG _CF=2-1 DG .BE=DF=2DH, EH EH2-1 BE 2DH 2 CF EH 2BC=BE,故⑤正确. 二、填空题 11.25 解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积. 设线段a,b的比例中项是xcm, 则x2=ab=6×2=12, 解得x=25, 线段长度为正数，舍去负值， x=25 1 12.3 解：：号号号，161：了作为分年不南0 将其代入所求分式得： Lb+ld+if (b+d+f)1 a+c+e_30T3“T3 3 b+d+f b+d+f b+d+f3 13.（3-1) 解：如图所示，过点C作CE上x轴于点E, ∴.∠CEB=90°， .∠EBC+∠ECB=90°： 0,4) 2,0) A点坐标为 ，B点坐标为 .0A=4,OB=2 .四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=90°， ∴.∠OBA+∠EBC=90°， ∴.∠OBA=∠ECB, 又.∵∠AOB=∠BEC=90°， :.△1OB≌△BEC(AAS) .'BE=0A=4,CE=OB=2, ∴.0E=6, c(62) :原点O为位似中心，在第三象限内作正方形AB'CD,使其与正方形ABCD位似，且 04 04'=2 1 .位似比为21， 又，正方形A'B'CD'在第三象限， 1、6 即(3，) 14.2 解：取CD中点G,连接EG, 因为BE是△ABC的中线， 所以E是AC的中点， 又G是DC的中点，根据三角形中位线定理，EG‖AD, BF 3 己知BF=3FE, 即FE1’ 因为EG∥FD】 BD BF 3 所以DG=FEi,即BD=3DG, 因为DC=2DG, BD 3DG 3 所以DC2DG2· 故答案为：2 15.2cm 解：在SABCD中，CD=AB=4cm,BC=AD=6cm, :CE平分BCD ∴.∠DCE=∠ECB 又DH⊥CE, ∴.∠DHC=∠GHC=90° 在△GCH和△DCH中， I∠GHC=∠DHC CH=CH ∠HCG=∠DCH ∴.△GCH≌△DCH(ASA) ∴.CG=DC=AB=4cm ∴.BG=BC-CG=2cm :AF∥CD 多 ∴.∠F=∠FDC .∠BGF=∠DGC ∴.△BGF∽ACGD BF BG BF 2 CDCG,即4=4， 解得：BF=2cm. 2W214V21 16.7或21 解：∠ACB=90°， :在R1aBC中，由勾股定理得，AC=VAB-BC=VS-2=2 根据题意，分两种情况讨论： ①当∠ADB-∠ABD=90°时， 如图1，过点D作DE⊥AB于点E, B E 图1 设∠ABD=a,则∠ADB=90°+a&, ∴.∠A=180°-(90°+a）-a=90°-2a, ·∠ACB=90° DC⊥BC ,郎 ∴.∠ABC=90°-∠A=2a, ∴.∠CBD=∠ABC-∠ABD=2O-a=a, ∴.∠CBD=∠ABD=a,即BD平分∠ABC. 又DE⊥AB,DC⊥BC, .'DC=DE S.ABC=S4D+S.BCD; 4C-BC=4B-DE+号CcD, x√2ix2=x5xDE+x2xCD .2 2 CD-DE-2xI_2 2+57; ②当∠ADB-∠A=90°时， 如图2， B 图2 设∠A=B，且∠ACB=90°， .∠ADB=90°+B=90°+∠CBD .∠CBD=B=∠A 又.∠BCD=∠ACB=90°， .∴.△CBD∽△CAB, CD CB CB CA' CD 2 .2√21’ 、CD= 2×24√21 √2121. 2W214V21 综上所述，CD的长为7或21. 三、解答题 17.(1)证明：BD1‖AC, ..∠ABD=∠CAB .∠BAD=∠ACB=90°， ∴.△ABC∽△BDA; (2)解：AC=3,BC=4, .AB=5, .△ABC∽△BDA, BD BA ··ABAC, BD 5 即53， 解得：BD=25 . 18.(1) 解：如图，△4BG即为所求； (2) 解：如图，△4，B,C即为所求； (3)解：如图，点S即为所求 V BA 可得5(6,4) 19.(1)解：由题意，得以BF为公共边的“共边三角形”有△ABF,△CBF,△DBF, :D,E分别为BC,AD的中点， BD 1 AE=1 BC 2'DE S.DRE =BD=1.S.ABE=AE=1 由“共边三角形”的性质，得S.crBC2'S.DWF DE S.CoF=2S,DBF=28,F, S.ABC=S.ABF+S.CBF =3S.4BF=45 1。 六S4ar=3S.48c=15=S,ar，Sc8r=25.8r=30: (2) S.ABF1 证明：由(1)，知Scr2, AF 1 由“共边三角形”的性质，得CF=2, ∴.CF=2AF, 六AC=AF+CF=F+2=3H,即AF=4C, 3 (3)解：BD:DC=2:3,BC=BD+DC, ∴.BD:BC=2:5, S.DBEBD2 S=4E=1 由“共边三角形”的性质，得S.CBF BC5, S.DBF DE S.ABF:S.DBF:S.CBF=2:2:5 S.AnE=AF .S.CBF CF .AF:CF=2:5, 故答案为：2：5. 20.(1)解：根据光的反射的性质，∠ACB=∠ECD, 又∠ABC=∠EDC, ∴.AMBC∽△EDC, BC AB .CD DE' 将AB=1.6m,BC=0.8m,CD=5m,代入上式， 0.81.6 得5DE, 解得DE=10m, 故旗杆ED的高度为lOm; (2)解：∠BGD=∠B=∠C=90° ∴.四边形BCDG为矩形， .目测点D到地面的距离DC为1.6米，到旗杆的水平距离DG为18米， .'BG=CD=1.6m,BC=GD=18m, ,∠ADG=∠EDF,∠AGD=∠EFD=90°， ∴.△DGA∽△DFE, AG EF :DG DF .DF=0.8米，EF=0.4米， AG0.4 .180.8, 解得AG=9, AB=AG+BG=9+1.6=10.6(m) 答：旗杆AB的高度10.6米. 21.(1) 证明：如图②，过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, .CE∥DA, BD BA .CD=AE,LCAD=∠ACE,LBAD=∠E, ·AD ∠BAC 平分 ∴.∠BAD=∠CAD ∴.∠ACE=∠E .'AE=AC, AB BD ·ACCD9 (2)解：AD是角平分线， AB BD :AC CD' .AB=5,AC=4,BC=7, 5 BD ··47-BD, 解得BD=35 93 经检验：BD= 9符合题意 (3)解：：AD是角平分线，AB=11,AC=9, AB BD 11 ..AC-CD9 .CD=9BD 11, .∴.BC=CD+BD= 20BD 11 :E是B 中点， 10 BD :.CE-EB= EF∥AD, 10BD10 BF-BE AB BD BD11' :FB=10 AB=10 11 22.(1) 解：吕 ∴.n(m+n)=m2 .n2+mn-m2=0 将m看作常数，将此方程看作关于n的一元二次方程， 则a=1,b=m,c=-m2, ∴△=m2-4×1×(-m2）=5m2 n=-m±V5m2 2. :m>0n>0 .n=m+5m 2. -m+5m .n=2=2=5二≈0.618 22 (2) 解：右边窗户BCWM是黄金矩形. 证明：矩形ABCD是黄金矩形， 设D 2x,AB-x. ,四边形AMND是正方形， AD=AM=MN=5-1 2* MB-4B-AM=x-15-1_3-V5 2 2 一X= 3-V5 MB x3-5(3-5)5+刊2W5-25-1 2 m5x515-川5+可42 2 MB:MW=5-:1 2. 矩形BCNM是黄金矩形. 23.(1)解：.EF∥BC,AD⊥BC, ∴.△AEFAABC,△AEP∽△ABD,AD⊥EF, AP AE EF AE AD AB'BC AB' AP EF .AD-BC, 又BC=6,AD=4,AP=x, xEF .46, 3 -2 .正方形EFGH, ∴.EF=EH,∠FEH=∠EHG=9O°， 又PDLBC, ∴四边形EPDH是矩形， 3 ..PD-EH-EF-3x 2, 又AD=AP+PD, 3 x+2x=4 解得8 5, 255; (2)解：设AP=x, 由1D月建可求F-,n-BU:4 ,GH在△ABC外部， ,正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6， ∴.四边形EMNF的面积为6， 3 “2(4-)=6, 解得=x2=2 即AP的值为2. 24.(1)解：.∠BAC=∠DAE, .∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD. ∴.∠DAB=∠EAC, 在△ABD和△AEC中， AB=AC ∠DAB=∠EAC AD=AE :△MD8 3AEC(SMS) ∴.BD=CE. (2)解①△ABC∽aADE, AB AC .ADAE,LBAC=∠DAE, AB AD ·ACAE,∠BAC+∠CAD=LDAE+∠CAD, .∠BAD=∠CAE, ∴.△ABD△ACE, BD AB 3 CEAC4: ②∠DAE+∠DFE=I80°； 证明：记AC、BF交于点O, B 图2 由①知△ABDn△ACE, ∴.∠ABD=∠ACE, .∠AOB=∠COF, ∴.∠BAC=∠BFC, ∴.∠DAE=∠BFC, .∠BFC+∠DFE=180°， ∴.∠DAE+∠DFE=180°； (3)①证明：'△AEF∽aABC, AB AC ·∠BAC=∠EAF,AEAF, AB AE ∴·∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,ACAF, ∴.∠BAE=∠CAF, .△ABE∽△ACF, ∴.∠ACF=∠ABE=90°， .∠BCD=90°， .∠ACF=∠BCD, ∴.∠ACF-∠ACD=∠BCD-∠ACD, ∴.∠DCF=∠ACB: ②由①知∠ACF=90°， ∴.点F在直线CF上运动， 当DF⊥CF时，有最小值，如图， B E 图3 .∠DCF=∠ACB,∠DFC=∠ABC=90°， ∴.△DCF∽aACB, DF CD ·ABAC, AB=3,BC=4, AC=VAB2+BC=5 DF 3 .35, :0F-号，即DF的菜小值为号 9 25.(1)解：如图，设DE与CF的交点为O, A D E B “四边形 BCD 是正方形， :.∠A=∠ADC=90°AD=CD ∴.∠ADE+∠AED=90° :DE⊥CF ∴.∠DOF=90° ∴.∠ADE+∠CFD=90° :.∠AED=∠CFD .△ADE兰△DCF(AAS) .DE=CF (2)解：如图，过点E作EK⊥BC,EF与DG的交点为H, AE D H G B K F C ABCD 四边形 是矩形， ∴.∠A=∠B=90°AB=CD=3 :EK⊥BC .∠BKE=90°=∠A=∠B 所以四边形ABKE是矩形， ∴.EK=AB=3∠AEK=∠DEK=90° ∴.∠DEH+∠FEK=90° ,EF⊥DG ∴.∠DHE=90° ∴.∠EDH+∠DEH=90° ∴.∠FEK=∠EDH 又：∠A=∠EKF=90°， ∴.△EFK~△DGA EFEK3 DGAD4· (3)解：如图，过点C作CG⊥AB于点G,CE与BF的交点为H, D A EG B :∠ACB=90°AC=3BC=4 .AB=AC2+BC2=5 5m号4cac-8cG 2 ∴CG=ACBC12 AB 5, :CG⊥AB ∴.∠CGE=∠DAB=90° ∴.∠ECG+∠CEG=90° .CE⊥BF, ∴.∠BHE=90° .∠HBE+∠BEH=90° ,∠EGC=∠DAB=90° △CGE~ABAF 12 :CE-CG_5_12 BF AB 5 25 (4)解：如图，连接AG、BG, 由折叠的性质可知，AB=HG,BF=GF,EF⊥BG,∠ABF=∠HGF, ∴.∠FBG=∠FGB .∠ABF-∠FBG=∠HGF-∠FGB∠ABG=∠HGB ,即 AB=HG 在 ∠ABG=∠HGB 和 ABG△HGB 中，BG=GB ∴.△ABG兰△HGB(SAS) .AG=BH EF 3 由(2)，同理可得BG4,即3BG=4EF, ..6BH+8EF=6BH+6BG=6(BH+BG) 作点B关于CD的对称点B',连接AB、CB、B'G, F ..BG=B'G BC=B'C=4 ,BB'=8 ,则 :AG+B'G≥AB' “当小G日三底共线时，4G+BC有最小值为1B的长，即明H+BG有最小值为4B的长， :AB=VAB2+BB2=V32+82=√73 :BH+BG有最小值Y 73 ∴.6BH+8EF 6V73 有最小值