第一章特殊平行四边形 问题解决活动 同步练 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以正方形内接正八边形为核心，通过三级分层设计，实现从性质巩固到综合应用的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|正方形与正八边形性质、多边形内角和等基础概念|填空、选择结合基础计算，如正多边形边数与外角计算| |B级|几何综合计算与推理|面积计算、全等证明，如正八边形对角线夹角求解| |C级|实际情境中的数学应用|结合抗战阅兵情境，通过正八边形面积关系解决实际问题|

第一章特殊平行四边形 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 今日复习 1.正方形的性质：四边 ，四个角都是 角，对角线 且互相 2.正方形的内接正八边形性质 (1)八条边 ，八个内角 ，每个内角都等于 . (2)正八边形内接于正方形时，八个顶点都在正方形边上，每边上有 个顶点. (3)正八边形关于正方形的中心、两条对角线、两条对边中点连线 . (4)正方形被正八边形切去的四个角是全等的 三角形. 名师点拨 1.作正方形内接正八边形的核心思想：正方形切去四个角→正八边形(要求：切完后剩余的边=被切三角形的斜边). 2.数学原理(关键) 设正方形边的长为a，切去的等腰直角三角形的直角边长为x.则剩下的直角边部分为a-2x，切出的斜边为 x.由正八边形的边长相等，得 解得x= 即要切去的长度. 3.作图步骤(标准尺规作法) (1)画正方形 ABCD，连接两条对角线，交于中心O. (2)以正方形边长a为基准，计算切去的长度 再分别以四个顶点A，B，C，D为圆心，以x为半径画弧， 交正方形各边于8个点(每条边2个点，分别靠近相邻顶点). (3)按顺时针(或逆时针)顺序顺次连接这8个点，得到内接正八边形. 课时三级达标 A级双基过手 1.(1)(2026·武侯)若一个正多边形的中心角的度数为72°，则这个多边形的边数为 . (2)(2026·编写)如果一个多边形的内角和比外角和的3倍还多180°，那么这个多边形是 边形. 2.(2026·成华)在交通行驶中,看到“停”,表示车主需要停下车让行，一般情况会出现在路口视线较差的地方，需停车观察后再通行.如图，其形状是一个正八边形，则其中一个外角的度数为 . 3.(2026·编写)如图，正八边形和正方形有一边重合，小正方形的面积为 16，则∠ABC= 度，图中正八边形的外接正方形的边长为 . 4.(2026·武侯)一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠1的度数为 . 5.(2026·成华)若一个多边形的每个外角的度数都是 40°，则这个多边形是 ( ) A、九边形 B.八边形 C.七边形 D.六边形 6. (2026 · 新都) 如图,在正 八边形ABCDEFGH 中,连接 AD,EH,AE,DH,AE与DH 交于点O,则∠DAO的度数是( ) A.20° B.22.5° C.25° D.30° 7.(2026·温江)如图,在正五边形 ABCDE中,AC,BD相交于点F,则∠AFB 的度数为 ( ) A.36° B.60° C.72° D.75° 8.(2026·武侯)将一个正五边形与一个正八边形按如图所示的方式放置，顶点 A，B，C，D在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG+∠BEC的度数是 ( ) A.110° B.115° C.117° D.120° 9.(1)(2026·编写)用尺规作如图正方形ABCD 的内接正八边形EFGHIJKL(保留作图痕迹，不写作法). (2)(2026·温江)如图,AE 是正八边形ABCDEFGH 的一条对角线,求∠CAE的度数. 10.(2026·编写)如图,M,N 分别是正八边形ABCDEFGH 的边BC,CD上的点,且BM=CN,AM交BN 于点P. (1)求证:△ABM≌△BCN; (2)求∠APN的度数; (3)若正八边形 ABCDEFGH 的边长为2，求其外接正方形的边长. B级 能力提升 11.(2026·成华)如图,已知正八边形ABCDEFGH 和正方形GHIJ 的边长均为3，以顶点 H 为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 .(结果保留π) 12.(2026·编写)如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH 为正八边形,连接AC,BD,AC与 BD 交于点M,则∠AMB= 13.(2026 · 编写) 如图,在正八边形ABCDEFGH 中,若 AC=2,则 AE= 14.(2026·温江)如图,已知正方形 ABCD的边长为10,点 E 在CD 上,DE=4,将△ADE 沿AE 折叠得△AFE,连接 BF并延长交CD 于点G，求 EG的长. C级 综合拓展 15.(2026·编写)2025 年 9 月 3 日,我们迎来了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年的重要时刻.这次阅兵，由徒步方队、装备方队和空中梯队组成.空中护旗梯队由多型直升机组成，他们以“最高标准、最好状态、最佳效果”飞过天安门上空，接受祖国和人民的检阅.如图1，26架直升机汇成巨大的“”“ ”字样，其中“”由14 架飞机组成，“”由12架飞机组成.如图2，将每一架飞机当作一个点，连接形成由两个正八边形组成的图案“”.如果将B，C两点隐去，连接AE，DF，那么得到图3中的图案“”，发现“”的面积比“”的面积大400 m².组成正八边形“ ”的相邻两架飞机的距离是多少米? 【今日复习】 1.相等 直 相等 垂直平分 2.(1)相等 相等135° (2)两 (3)对称 (4)等腰直角 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1.(1)5 (2)九 2.45°3.135 4.48° 5. A 6. B 7. C 8. C 9.(1)【解】作法:①连接两条对角线AC,BD交于点O,则 为正方形ABCD 的边长)； ②在AD边上，以点 A 为圆心，以 为半径画弧，交AD于点K；以点 D 为圆心，以 为半径画弧，交AD于点L. ③同理作出点E,F,G,H,I,J; ④依次连接所作点 E,F,G,H,I,J,K,L, 则八边形EFGHIJKL为所求作图形. (2)【解】正八边形的内角和为((8-2)×180°=1080°, ∵AB=BC, 由条件可知,AE平分∠HAB, ∴∠CAE=∠EAB-∠CAB=67.5°-22.5°=45°. 10.(1)【证明】∵八边形 ABCDEFGH 是正八边形, ∴AB=BC,∠ABM=∠C. 在△ABM和△BCN中, ∴△ABM≌△BCN(SAS). (2)【解】∵△ABM≌△BCN, ∴∠BAM=∠CBN. ∵∠BAM+∠ABP=∠APN, ∴ ∠CBN + ∠ABP = ∠APN = ∠ABC = 即∠APN的度数为135°. (3)【解】如图,构造正八边形 ABCDEFGH 的外接正方形RSTW.在等腰Rt△AHW中, ，同理( ，∴正方形 RSTW的边长为 11 12.4513.2 14.【解】如图,延长EF交BC 于点 H,连接AH 交BG于点L. ∵四边形ABCD是边长为10的正方形， ∴AB=BC=AD=CD=10,∠ABH=∠C=∠D=90°. 由折叠,得 AF=AD,FE=DE=4,∠AFE=∠D=90°, ∴AF=AB,∠AFH=90°,∴∠AFB=∠ABF, ∴∠HFB=90°-∠AFB=90°-∠ABF=∠HBF, ∴HF=HB, ∴点A，H都在线段BF 的垂直平分线上， ∴AH垂直平分BF,∴∠ALB=90°, ∴∠BAH=∠CBG=90°-∠ABG, ∴△BAH≌△CBG(ASA),∴FH=BH=CG. ,且CH=10-BH=10-CG, CE=10-DE=6,EH=4+FH=4+CG, ，解得 C级(综合拓展) 15.【解】如图,连接AE,DF. ∵两个正八边形组成图案 ∴△ABE 是等腰直角三角形. 同理可得，△CDF 也是等腰直角三角形. 由题意可知， ∵“ ”的面积比‘8"的面积大400m², 即 ∴AB=20m, 即正八边形“ ”的相邻两架飞机的距离是20m. 学科网（北京）股份有限公司 $