第一章 特殊平行四边形中的动态变化问题 巩固训练卷(二) 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦菱形、矩形、正方形动态变化，以对称、分类讨论、全等证明为核心方法，构建“性质应用-动态分析-问题解决”的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形动态问题|4题|对称法求最值、旋转性质应用、分类讨论运动过程|菱形性质（对称性、内角）→动态变化（点运动、旋转）→转化思想解决路径| |矩形动态问题|3题|中点性质分析、含30°直角三角形应用、等腰三角形分类讨论|矩形性质（直角、对角线）→动态变量（时间t）→方程思想建立关系| |正方形动态问题|1题|旋转全等证明、中点轨迹分析、最值问题转化|正方形性质（四边等、内角90°）→旋转不变量→构造辅助线（如中位线）突破|

特殊平行四边形中的动态变化问题巩固训练卷(二) 题型一与菱形有关的动态变化问题 1.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为 ( ) A.1 B. C.2 D. 2.如图,在菱形ABCD中,AB=4 cm,∠DAB=60°,点 P从点A 出发,以2cm/s的速度沿A→D→C运动,过点 P 作射线AB的垂线，交射线AB 于点Q，在点 P 的运动过程中，设运动时间为 ts. (1)写出线段PD 的长(用含t的式子表示). (2)当PQ平分菱形ABCD 的面积时,求t的值. 3.综合与实践 在一次数学活动课上，同学们研究菱形的旋转问题.将菱形ABCD 绕点A顺时针旋转,得到菱形AEFG. 【观察思考】 (1)如图1，若FG与BC交于点H，则线段BH与线段GH的数量关系为 . 【探究证明】 (2)如图2,当点 G在菱形ABCD内部时, 的平分线与射线 BG交于点 P,连接PD. ①判断线段 PD与PG的数量关系，并说明理由. ②若请求出的度数.(用含α的式子表示) 4.在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A 出发，沿着A→B→C的路线向终点C运动，连接DM交AC 于点N,连接BN. (1)如图1，当点 M在AB边上运动时. (i)求证: (ii)若 求证：MB=MN. (2)如图2,若 记点M 运动所经过的路程为x，求使得 为等腰三角形的x的值. 题型二与矩形有关的动态变化问题 5.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P是对角线BD上的动点(点P不与B，D重合)，连接PC，点E是PC的中点，作PF⊥AB 于点 F, 于点 G，连接FG.对于下列两个结论： ①当BP=2时,点E在∠BDC 的平分线上; ②线段FG的长的最小值为 下列判断正确的是 ( ) A.①②都对 B.①②都错 C.①错,②对 D.①对,②错 6.如图,四边形OABC为矩形,AB=6,∠AOB=30°,动点P从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B 出发，以每秒个单位长度的速度向点C运动.点P，Q同时开始运动，当点 P到达点B时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒. (1)四边形OABC 的周长为 . (2)设△PQB的面积为S，用含t的式子表示S. (3)若以点 P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值. 7.在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形ABCD(如图1)，其中AB=2，连接对角线AC，且 要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动.以下是部分小组的探究过程，请你参与活动，并解答所提出的问题： (1)如图2，“奋勇”小组将 绕点 D 旋转得到 当点C'落到对角线AC上时，A'C'与AD交于点F，试猜想线段CC'与AC'的数量关系，并加以证明. (2)“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取A'C'的中点E，连接AE，DE，试判断四边形.AEDC'的形状，并说明理由. (3)在 绕点D旋转的过程中，当 时，求点A与点A'之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案. 题型三与正方形有关的动态变化问题 8.【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动.如图1，他们将边长为4的正方形ABCD 与边长为2的正方形BEFG的一个顶点重合于点B，使边BE，BG分别落在边BC，BA上.容易发现AG=CE. 【问题探究】图1中正方形ABCD 固定，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转 (1)如图2，连接AG，CE，试探究AG与CE是否仍然相等.若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由. (2)在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段CE的长. 【问题拓展】图1中正方形ABCD 固定，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转 (3)如图3，连接DG，取DG的中点H，连接CH，请直接写出线段CH长度的最小值和最大值. 专项素养巩固训练卷(二)特殊平行四边形中的动态变化问题 1. B ∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∵∠A=120°,∴∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°,如图,作点 P 关于直线BD的对称点P',易知点P'在AB上,连接P'Q,P'K,由对称性可知PK=P'K,∴ PK+QK=P'K+KQ≥P'Q,当P',K,Q三点共线，且P'Q⊥AB时，PK+QK的值最小，为菱形的高，过点C作CE⊥AB 于E,则 PK+QK的最小值为CE 的长,在Rt△CBE中,BC=2,∠BCE=90°-60°=30°,∴BE= BC=1,∴ ∴PK+QK的最小值为 .故选 B. 2.解析 (1)∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD=DC=4cm,当0≤t≤2时,PD=(4-2t) cm;当2<t≤4时,PD=(2t-4) cm.(2)如图,连接BD,设BD交PQ 于点O,过点 D作DM⊥AB于点 M,易知DM⊥CD, 又∵PQ⊥AB,∴四边形DPQM为矩形,∴DP=MQ,∵∠DAB=60°,∴ ∠ADM=30°, 易知当PQ平分菱形ABCD的面积时，PQ 经过BD的中点，此时OB=OD, ∵四边形ABCD是菱形,∴DC∥AB, ∴∠PDO=∠OBQ,∠DPO=∠BQO, ∴△DPO≌△BQO(AAS),∴DP=BQ=(2t-4) cm, ∵AB=AM+MQ+QB,∴2+2t-4+2t-4=4,解得 3.解析 (1)如图,连接BG, ∵将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，得到菱形AEFG， ∴AB=AD=AG,∠AGF=∠D=∠ABC, ∴∠AGB=∠ABG,∴∠HGB=∠HBG, ∴BH=GH,故答案为BH=GH. (2)①PD=PG.理由如下: ∵AP平分∠DAG,∴∠DAP=∠GAP, ∵将菱形ABCD绕点A 顺时针旋转，得到菱形AEFG， ∴AD=AG, 在△DAP和△GAP中 ∴△DAP≌△GAP(SAS),∴ PD=PG. ②设∠BAG=β, ∵∠BAD=α,∴∠DAG=α-β, ∵AP平分∠DAG,∴∠PAG= ∵AB=AG,∴∠ABG=∠AGB=180°-∠BAG=180°=β, 4.解析 (1)(i)证明:如图1,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠2=∠1. 又∵AN=AN,∴△ABN≌△ADN. (ii)证明:如图1,连接DB. ∵△ABN≌△ADN,∴∠ABN=∠ADM=20°, ∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴∠ABD=∠ADB=30°, ∴∠BDN=∠DBN=10°, ∴∠BNM=20°=∠MBN,∴MB=MN. (2)∵∠ABC=90°,∴菱形ABCD 是正方形. ∴∠CAD=45°. 分三种情况： ①若ND=NA,则∠ADN=∠NAD=45°. 此时，点M恰好与点B重合，得x=6. ②若ND=DA,则∠DNA=∠DAN=45°. 此时，点M恰好与点C重合，得x=12. ③若AN=AD=6,如图2,则∠1=∠2. ∵AD∥BC,∴∠1=∠4. 又∵∠2=∠3,∴∠3=∠4,∴CM=CN. 由题易知 故 综上所述，当x=6或12或 时，△AND为等腰三角形. 5. D 如图,连接AP,DE, ∵四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=4, ∴AB=CD=3,AD=BC=4,∠BCD=∠BAD=90°, ∵BP=2,∴DP=3,∴DP=CD, ∵点E是PC的中点， ∴点E在∠BDC的平分线上，故①正确； ∵PF⊥AB,PG⊥AD,∠BAD=90°, ∴四边形AFPG是矩形,∴AP=FG, 当AP⊥BD时,AP有最小值, 此时 ∴线段 FG的长的最小值为 ,故②错误.故选 D. 6.解析 (1)∵矩形OABC中,∠BAO=90°,∠AOB=30°,AB=6,∴OB=2AB=12, ∴在 Rt△OAB中, ∴四边形OABC的周长为 故答案为 (2)如图1,过点P作PF⊥BC于点 F, 由题意得 ∵∠OBC=∠BOA=30°, ∴在 Rt△PFB中 (3)分三种情况： ①当BQ=BP时, 解得 ②当PQ=PB时,如图2,过点P作PM⊥BQ于点M, ∵在Rt△BMP 中, 解得t=4. ③当QB=QP时,如图3,过点Q作QN⊥BP 于点N, 则 ∵在Rt△QNB中, 解得 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，t的值为 或4或 7.解析(1)CC'=AC'. 证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ADC=90°, 又∵∠DAC=30°, ∠ACD=90°-30°=60°, ∵将△ADC绕点 D旋转得到△A'DC', ∴DC=DC', ∴△DCC'是等边三角形, (2)四边形AEDC'是菱形.理由如下： 由(1)得△DCC'是等边三角形, ∴∠CDC'=60°, ∵将△ADC绕点 D 旋转得到△A'DC', ∴∠A'=∠DAC=30°,∠A'DA=∠CDC'=60°,∠A'DC'= ∠ADC=90°,AC=A'C', ∴ ∠A'FD=180°-∠A'-∠A'DA=90°, 又∵AC'=CC'=DC',∴AF=DF, ∵∠A'DC'=90°,点 E 是线段A'C'的中点, 又∵ ∴DE=DC', 又∵A'C'⊥AD,∴FE=FC', ∴AD与EC'互相平分, ∴四边形AEDC'是平行四边形， 又∵A'C'⊥AD, ∴平行四边形AEDC'是菱形. (3)点A 与点 A'之间的距离为6或2 详解：如图，当点 C'在AD上方时，连接AA'， ∵DC'∥AC,∴∠C'DA=∠DAC=30°, 由旋转可得AD=A'D,∠ADC=∠A'DC'=90°,∠C'A'D=∠DAC=30°, ∴∠DAA'=∠DA'A,∠ADA'=∠ADC'+∠A'DC'=120°, ∴∠DA'A=∠DA'C'=30°,∴A,C',A'三点共线, ∴∠C'AD=∠C'DA=30°, ∴C'A=C'D=2,∴A'C'=2C'D=4, 如图,当点C'在AD 下方时,连接AA',AC',设AC与A'D 交于点E， 由旋转可得∠ADC=∠A'DC'=90°,AD=A'D, ∵DC'∥AC,∴∠AED=∠A'DC'=90°, ∵∠DAC=30°,∴∠ADE=90°-30°=60°, ∴△ADA'是等边三角形, 由勾股定理得 综上所述，当DC'∥AC时，点A 与点A'之间的距离为6或2 8.解析 (1)AG与 CE仍然相等. 证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴AB=BC,BG=BE,∠ABC=∠EBG=90°, ∴∠ABC-∠CBG=∠EBG-∠CBG, ∴∠ABG=∠EBC,∴△ABG≌△CBE(SAS), ∴AG=CE. (2)当点G在AE上时,连接GE,作BH⊥GE于H,如图1,∵四边形BEFG是正方形,∴∠BGE=45°,∴BH=GH.在Rt△BHG中, 即 ∵A，G，H三点在一条直线上， 由(1)知AG=CE, 当点G在AE的延长线上时，作BK⊥AG于K，如图2，同理， 综上所述， (3)线段CH长度的最小值为 最大值为 详解:如图3,连接BD,AC,BD和AC交于点O,连接OH. ∵四边形ABCD是正方形， ∵H是DG的中点,O是BD的中点,∴ ∵OC-OH≤CH≤OC+OH, 易知当O，C，H三点共线时，等号成立， ∴CH的最小值为 CH的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $