5.3实际问题与一元一次几何问题解答题专题训练2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程解决几何问题，通过基础应用、综合应用、拓展提升三层设计，实现从单一图形计算到复杂情境建模的进阶，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|圆/长方形面积、数轴中点|如卷筒纸长度（第1题），直接建立面积等量关系| |综合应用|动点问题、图形组合、图像信息|如三角形动点（第12题），结合运动过程列方程| |拓展提升|实验情境、优化裁剪|如钢球注水实验（第19题），体现数学与现实的联系|

5.3实际问题与一元一次几何问题解答题专题训练 1．如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是多少米（取3.14）？ 2．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 3．竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          4．如图，已知为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为． (1)求线段的中点对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点处相遇，求点对应的数； (3)若电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度时，求点对应的数． 5．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 6．如图是长方体水池的示意图，该水池的底部被分隔为甲、乙两个独立区域．甲区域以立方米每小时的速度进行注水，乙区域底部的排水孔以一定的速度往下排水．图为注水过程中甲区域水面的高度（米）随时间（小时）变化的图象． (1)表示的数值是________； (2)求乙区域排水孔的排水速度； (3)求图中表示的数值． 7．毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为，包带长为，宽为，(包带缝合处忽略不计)，该款毛毡包在制作时，需要为缝合走线的边预留宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2(虚线为缝合时的走线位置)，求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？ 8．课外活动时，小兵用超轻黏土切割刀竖直切割一块用超轻黏土塑成的棱长为的正方体，正好将其分成两个长方体，如图所示．若这两个长方体的表面展开图的面积之比是，试求被切割的棱的两部分的长度．你还能提出一个新的问题吗？ 9．课外活动时，小兵用超轻黏土切割刀竖直切割一块用超轻黏土塑成的棱长为的正方体，正好将其分成两个长方体，如图所示．若这两个长方体的体积之比是，试求被切割的棱的两部分的长度． 10．端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 11．中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 12．如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿方向运动；动点Q同时从点B出发，沿方向运动．如果点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当点Q到达点C时，点P同时停止运动，设运动时间为． (1)________，________；（请用带t的式子表示） (2)当时，求t的值； (3)当时，求的面积． 13．如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为． (1)填空：______cm，______cm（用含有x的代数式分别示）． (2)先用含有x的代数式表示出长方形的面积．并求当时，求长方形的面积． 14．如图，中，，，，．若动点从点开始．按的路径运动．且速度为每秒．设出发的时间为秒． (1)当点在线段上时，______．（用含的代数式表示） (2)当点在线段上时． ①若为直角三角形，则的取值范围是____． ②若点到的两边距离相等时，求的值． (3)另有一动点从点开始．按的路径运动．且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时．另一点也停止运动，请直接写出为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 15．如图，在长方形中，厘米，厘米，E为的中点，动点P从点A开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上运动时，则 （用含a，t的代数式表示）； (2)若，，则t为何值时，直线把长方形的周长分成两部分； (3)连接，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，请直接写出a，b需要满足的条件． 16．如图，甲、乙两个圆柱形玻璃容器各盛有一定量的液体，甲、乙容器的内底面半径分别为和，现将一个半径为的圆柱形玻璃棒（足够长）垂直触底插入甲容器，此时甲、乙两个容器的液面高均为（如图①），再将此玻璃棒垂直触底插入乙容器（液体损耗忽略不计），此时乙容器的液面比甲容器的液面高（如图②）． (1)分别写出甲、乙两个容器的内底面面积（结果保留）： (2)如图①，分别写出甲、乙容器内液体的体积（用含的代数式表示）： (3)求的值． 17．一个如图所示的长方形，恰好被分成6个正方形，已知最小正方形A的面积是1． (1)求正方形F的边长． (2)求长方形的面积． 18．某手工坊采购了一批正方形纸片（图1），用于制作明信片．第一步：将正方形纸片剪去一个宽为的长条，制作成书签；第二步：从剩余的长方形纸片中剪去一个宽为的长条，制作成明信片（图2）．已知两次剪下的长条面积正好相等． (1)求正方形纸片的边长； (2)求正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积． 19．【综合与实践】小明准备了一个长方体无盖容器和足够多的三种型号的钢球，他先往容器里注入一定量的水（如图），使水在容器内的高度为（水足以淹没所有的钢球，探究过程中钢球表面的水忽略不计），然后在容器中放入钢球．实验发现，每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升．在实验过程中，容器内只能同时放入两种型号的钢球． (1)【实验一】小明先放入型号钢球8个，又放入型号钢球若干个，此时容器内的水的高度正好为，求容器内型号钢球的个数； (2)【实验二】小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入B型号和其他型号的钢球共10个后，水面升高到，求此时容器内不同型号的钢球各有多少个？ 20．数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《5.3实际问题与一元一次几何问题解答题专题训练2026-2027学年人教版数学七年级上册》参考答案 1．这筒纸的总长度大约是62.8米 【分析】设这筒纸的总长度大约是x米．因为环形面积等于外圆面积减去内圆面积，所以用圆的面积公式分别计算外圆和内圆的面积，再作差得到环形侧面积；环形侧面积又等于长度乘以厚度．列方程解方程即可，注意换算单位． 【详解】解：设这筒纸的总长度大约是x米， ∵外半径：，内半径：， ∴ 圆环面积为：， ∵每层纸的厚度为, ∴ 圆环面积又为：， ∴， 解得． 答：这筒纸的总长度大约是62.8米． 2．(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度； （2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 3． 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 4．(1)线段的中点对应的数为 (2)点表示的数为 (3)点对应的数为或 【分析】（1）设线段的中点对应的数为，根据列方程求解； （2）根据题意列方程求解即可； （3）利用“电子蚂蚁运动的路程电子蚂蚁运动的路程110或130”列方程求解，进而可得点对应的数． 【详解】（1）解：设线段的中点对应的数为， 由，得， 解得 ， 即线段的中点对应的数为． （2）解：由图可知：数轴上两点之间的距离为， 设电子蚂蚁和电子蚂蚁运动秒后在点处相遇， 依题意，得， 解得， 所以点表示的数为． （3）解：设电子蚂蚁和电子蚂蚁 运动秒后在数轴上相距个单位长度， 依题意，得或， 解得或， 或， ∴点对应的数为或． 5．(1)如图，长方形即为所求．，长为6，宽为4； (2)14 【分析】（1）先画出和原图分割形式不同的3阶完美长方形，设小正方形边长为未知数，用未知数表示长方形的长、宽，结合周长20列出一元一次方程，求解得到长方形的边长． （2）设正方形④边长为未知数，根据最小正方形边长2，依次用含x的式子表示全部正方形边长，利用长方形上下对边等长建立方程，解出未知数后算出正方形①边长． 【详解】（1）解：作图：略 设， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该3阶完美长方形长为6，宽为4； （2）设正方形④边长为x，正方形⑥边长为2． 正方形⑤边长， 正方形③边长， 正方形②边长， 正方形①边长． 长方形上下两条水平对边长度相等，因此 ， ， 正方形①边长． 答：正方形①的边长为14． 6．(1)2米 (2)立方米每小时 (3)小时 【分析】（1）根据体积相同，得到，求解即可； （2）设乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时，根据题意，得，求解即可； （3）设20小时后再经过小时，水位上升了米，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得（米）； （2）解：设乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时，根据题意，得， 解得， 故乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时 （3）解：设20小时后再经过小时，水位上升了米，根据题意，得， 解得， 故（小时）． 7．该毛毡包的长、宽、高分别是，， 【分析】设这款毛毡包的长、宽、高分别是，，，根据题意，得到长方形毛毡料的长为，宽为，列一元一次方程并求解，即可解答． 【详解】解∶设这款毛毡包的长、宽、高分别是，，， 根据题意，有长方形毛毡料的长为，宽为， 列方程，得， 解得． ，，． 答∶该毛毡包的长、宽、高分别是，，． 8．被切割的棱的两部分长度分别是和；新问题：若两个长方体的棱长总和之比为，求被切割的棱的两部分长度． 【分析】设被切割的棱的两部分长度分别为和，根据切割后表面积之和=原正方体表面积个切割面面积，求出切割后表面积之和，再 按表面积比，求出较小表面积为，根据长方体表面积公式列出方程，并求出，另一部分为；进而设计新问题：若两个长方体的棱长总和之比为，求被切割的棱的两部分长度，即可解答． 【详解】解：设被切割的棱的两部分长度分别为和． 原正方体表面积：， 新增表面积：， 两长方体表面积之和：， 表面积总份数：， 较小表面积：， 依题意，得 ， 解得， 较长部分长度：， ∴被切割的棱的两部分长度分别是和． 新问题：若两个长方体的棱长总和之比为，求被切割的棱的两部分长度． 9．被切割的棱的两部分的长度分别为和． 【分析】设被切割的棱的其中一部分的长度为，则另一部分的长度为，利用长方体体积公式结合题目给出的条件列出方程求解即可． 【详解】解：设被切割的棱的其中一部分的长度为，则另一部分的长度为， 由题意得， 化简得， 解得， ， 答：被切割的棱的两部分的长度分别为和． 10．原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米 【分析】通过设未知数，根据成品香囊长和宽的关系列出方程，进而求解原始长方形布料的长和宽． 【详解】原始长方形布料的长与宽之比一般为， 可设原始长方形布料的长为，则宽为， 由题意可得，成品香囊的长为，宽为， 成品香囊的长比宽多， ，解得， ， 答：制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米． 11． 【分析】设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，，则该中国结的总高为，根据题意易得结体总宽为，再根据“总高是总宽的1.5倍”建立关于的方程，求解即可获得答案． 【详解】解：设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，， 则该中国结的总高为， ∵结体内部高和结体内部宽相等，左、右两侧的耳翼宽都是， ∴结体总宽为， 又∵总高是总宽的1.5倍， ∴， 解得， ∴， 即该中国结的总高为． 12．(1)； (2)4.2 (3) 【分析】（1）根据路程速度时间，即可表示出相关线段的长度； （2）根据题意可得点P始终在上，由（1）知的长，列出一元一次方程求解即可； （3）分别求出时，的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ 13．(1)， (2)， 【分析】（1）根据图中各正方形边长之间的关系即可直接列出代数式； （2）先根据图中各正方形边长之间的关系列出长方形的长和宽，进而表示出长方形的面积，然后求出x的值，再把x的值代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：长方形的长为，宽为， 长方形的面积， ∵，， ∴， ∴ 当时， 长方形的面积． 14．(1) (2)①；② (3)或5 【分析】（1）根据求出的长即可； （2）①当在上运动时，为直角三角形，可得； ②过点P作于点D，连接，由题意，，，利用三角形的等面积求得x值即可解答； （3）分三种情况讨论：当点在上，在上；当点在上，在上，当当点在上，在上，分别求得的值即可． 【详解】（1）解：动点从点开始以每秒的速度运动， 出发4秒后，则， 此时点P在线段上，即点处， 故当点P在线段上时，， ∴； （2）解：①当在上运动时，为直角三角形， ； ②如图，过点P作于点D，连接， 由题意，． 设， 由得， ∵，，， ∴， 解得， 则（秒）； （3）解：的周长为， 当点在上，在上，如图， 则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， （秒）； 当点在上，在上，如图， 则,， 直线把的周长分成相等的两部分， ， （秒），此时，不符合题意，舍去； 当点在上，在上，如图， 则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， （秒）； 综上所述，当或5秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 15．(1)厘米； (2)秒或4秒时，直线把长方形的周长分成两部分 (3)或． 【分析】（1）由题意可得厘米，再由计算即可得出结果； （2）分两种情况：当点P在AB边上运动时，当点P在边上运动时，分别列出方程计算即可得出结果； （3）分三种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，当点P在边上时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵当点P在AB边上运动时，厘米，厘米， ∴厘米， （2）解：∵，， ∴厘米，厘米， ∵直线把长方形的周长分成两部分， ∴当点P在边上运动时，厘米，此时， ∴， 解得：； 当点P在边上运动时，厘米，此时， ∴， 解得：； ∴秒或4秒时，直线把长方形的周长分成两部分； （3）解：当时，厘米， ∵三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一， ∴当点P在边上时，由可得厘米， ， 整理得， ∴，故不成立； 当点P在边上时， 此时， 整理可得：； 当点P在边上时， 此时， 整理可得：； 综上，a，b之间的关系式为或． 16．(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据圆的面积公式，分别代入甲、乙容器的内底面半径，计算两个容器的内底面面积． （2）甲容器内液体体积等于容器底面积乘液面高度减去插入的玻璃棒占据的体积，乙容器内液体体积直接用容器底面积乘液面高度，用含的代数式表示． （3）根据乙容器内液体体积不变，结合图②中液面高度的关系列方程，求解的值． 【详解】（1）解：甲容器内底面面积：， 乙容器内底面面积：； （2）解：玻璃棒的底面积：， 甲容器内液体体积：， 乙容器内液体体积：； （3）解：乙的液体体积不变，可得 解得． 17．(1)正方形F的边长为4 (2)长方形的面积为143 【分析】（1）设正方形F的边长为x，根据长方形对边相等结合图形可列出关于x的一元一次方程，求出x即可； （2）由（1）求出的正方形F的边长，可得正方形E，D，C，B的边长，把所有正方形的面积相加即可求解． 【详解】（1）解：∵最小正方形A的面积是1， ∴最小正方形A的边长是1， 设正方形F的边长为x，由图可得正方形E的边长为x，则正方形D的边长为，正方形C的边长为，正方形B的边长为， 由题意，得， 解得． ∴正方形F的边长为4． （2）解：由（1）知，正方形F和E的边长为4，正方形D的边长为5，正方形C的边长为6，正方形B的边长为7， ∴长方形的面积为， ∴长方形的面积为143． 18．(1)正方形纸片的边长为 (2) 【分析】（1）设正方形纸片的边长为．根据题意，得，解方程求解即可； （2）阴影部分的面积表示为，求解即可． 【详解】（1）解：设正方形纸片的边长为． 根据题意，得， 解得，经检验，符合题意． 故正方形纸片的边长为． （2）解：正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积为． 19．(1)容器内型号钢球的个数为11个． (2)此时容器内有型号钢球4个和型号钢球6个． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设容器内型号钢球的个数为x个，根据题意列出一元一次方程，求出解； 对于（2），分两种情况：①当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意列出方程求出解； ②当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意列出方程求出解． 【详解】（1）解：设容器内型号钢球的个数为x个，根据题意，得 ， 解得， 答：容器内型号钢球的个数为11个； （2）解：分两种情况：①当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）； ②当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意，得 ， 解得，则， 综上，此时容器内有型号钢球4个和型号钢球6个． 20．(1)， (2)的值为7时，可以制作9个盒子 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个； （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $