第1章特殊平行四边形提优卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形，分层设计基础巩固、中档应用、提升探究三级梯度，覆盖概念到综合应用，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|核心概念与性质|单选1（命题判断）、填空11（中点四边形）巩固定义与性质，培养抽象能力| |中档|性质应用与计算|单选3（矩形折叠）、填空12（动态线段）结合勾股定理，发展推理能力| |提升|综合探究与动态问题|解答21（操作验证）、单选7（对称周长）融合多知识点，强化应用意识|

第1章特殊平行四边形提优卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列命题为真命题的是（     ）． A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形 2．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．已知四边形，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 6．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 7．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若与关于直线DE对称，则的周长是（     ） A． B． C． D． 8．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的边长为5，对角线的长为8，延长至点平分，点G是上任意一点，则的面积为（     ） A．6 B．12 C．20 D．24 10．如图，在矩形中，,，点M,N分别在,上，且,,E为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到，当点恰好落在线段上时，的长为(     ) A． B．5 C．3 D． 二、填空题 11．命题：“顺次连接矩形四边中点所得的四边形是菱形”是 _____命题（填“真”或“假”）． 12．在矩形中，，，边上有一点（点不与、重合），边上有一点（点不与、重合），且，当的长为整数时，的长为________． 13．如图，在矩形中，对角线、交于点，，，则______． 14．如图，菱形的边长为，，点在上运动，点在上运动（，两点可以和菱形的顶点重合），且，点是线段的中点，垂足为M，则的最小值是________． 15．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 16．如图，在中，，，，点、分别在、上，且．则的最大值________． 三、解答题 17．如图，在菱形中，，M为的中点，P为对角线上的一个动点，的最小值是3．求的长． 18．如图，在四边形中，E，F，G，H分别为，，，的中点．请猜想四边形的形状，并证明自己的猜想． 19．如图，是的中线，点E，F分别在及其延长线上，，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 20．结合图形，证明以下结论： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． (2)如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 21．【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作，如图1： 【操作2】小明同学按以下方式进行操作：如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交、于、两点，再连接，． 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作：将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出菱形．当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． (1)请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）； (2)请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； (3)已知如图3的矩形卡片中，，则此时菱形的边长为 ． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章特殊平行四边形提优卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C D C A C B C 1．A 【详解】解：A选项，“两点之间，线段最短”是基本事实，A选项为真命题； B选项，菱形四条边相等，对角线不一定相等，B选项为假命题； C选项，任意多边形的外角和为固定值，则正五边形的外角和为，C选项为假命题； D选项，直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形才为轴对称图形，D选项为假命题． 2．A 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 3．D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 4．C 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 5．D 【分析】先由三个内角为直角判定四边形为矩形，再筛选能使矩形成为正方形的选项． 【详解】解：， 四边形是矩形． ，，选项的条件均为矩形的固有性质，无法推出该四边形是正方形． 选项中，可推出该四边形是正方形． 6．C 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， 四个直角三角形全等， 结合全等三角形性质同理可得，， ， ， ，解得， 正方形的面积． 7．A 【分析】因为与关于直线对称，确定，，结合正方形的性质，计算出的长度，进而求出的长度，因为的周长为，结合，可将周长转化为，代入对应边长计算即可． 【详解】解：∵四边形为正方形 ∴，， ∴， 与关于直线DE对称， ，，， ∴的周长 ． 8．C 【分析】利用菱形的性质，结合勾股定理与完全平方公式，求出，进而算出菱形面积． 【详解】解：四边形为菱形，， ，，， ， ，即， ， ，即， ， ∴， 故该标志的占地面积为． 9．B 【分析】连接交于，由菱形的性质和勾股定理求出，得出的面积，依据，得出，进而得出的面积的面积即可解题． 【详解】解：如图所示，连接交于， ∵四边形是菱形， ，， ∴， ， ∴的面积， ∵平分， ， ∴， ∴， ∴的面积的面积． 10．C 【分析】先依据矩形边长与线段比例算出、、的长度，判定四边形为矩形；再在中利用勾股定理求出，进而得到的长度；设，用含x的式子表达，在中列勾股方程解出x，最终计算出的长． 【详解】解：设，则， ∵矩形中，，， ∴，，， ∵点M，N分别在，上，且，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，即， ∴． 11．真 【分析】根据矩形的性质得出，根据中位线的性质得出，，，，从而得出，根据菱形的性质得出四边形为菱形． 【详解】解：如图，点E、F、G、H分别为矩形四边的中点，连接、， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点E、F、G、H分别为矩形四边的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴命题“顺次连接矩形四边中点所得的四边形是菱形”是真命题． 12．2或或 【分析】设的长为，利用矩形性质构造直角三角形，结合勾股定理表示出的长度，根据为整数得到对应方程，求解后验证取值范围即可． 【详解】解：设，则， ∵点，不与端点重合， ∴， 如图所示，过作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，得， ∴，即， ∵的长为整数， ∴或， 当时，，解得，符合， ∴； 当时，，整理得，解得，两个解都满足，符合条件， ∴或； 综上，的长为或或． 13．12 【分析】利用矩形对角线相等且平分得到，结合判定是等边三角形求出对角线长，最后相加即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 14． 【分析】延长交于，连接，过点A作，垂足为，先证明，根据三角形中位线定理可得，进而得出最小时最小，而当时，最小，此时，由此即可解题． 【详解】解：延长交于，连接，过点A作，垂足为，    ∵四边形是菱形，边长为， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的值最小， ∵当时，四边形是矩形， ∴． ∴的最小值． 15． 【分析】先根据正方形的性质，得出，，，从而可利用证明，得出，求得结果； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ， ∴， ∴， ， 在与中， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ∵， ∴ ． 16． 【分析】利用平行四边形的性质，设，则，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识得到，，则，再结合x的取值范围，二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设，则， ∴， ∴，， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 在中，，则， ∴， ∴根据勾股定理得， 当点在点上方时，， 在中，， 在中，， ∴， ∴根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大， ∴最大值； 当点在点下方时， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， 同理，，， ∴当时，最大值； 综上，最大值为 ． 17． 【分析】连接交于点，点与点关于直线对称，连接交于点，得出就是的最小值，求出，结合直角三角形的性质可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴点与点关于直线对称， 连接交于点， ∴，即就是的最小值， ∵，且在菱形中，， ∴是等边三角形， ∵M为的中点， ∴， ∵的最小值是3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．四边形是平行四边形． 证明：如图，连接， ∵F，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵H，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【分析】连接，根据三角形中位线定理，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明即可． 【详解】解：略． 19．(1)证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中线， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由中线的性质及平行线的性质即可证明； （2）由全等三角形的性质可得四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一的性质得，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略． 20．(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， . 【分析】（1）根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全等三角形的判定定理证明． （2）先证明，得到对应角相等，再通过等量代换证明． 【详解】（1）略 （2）略 21．(1)小颖的操作中，虚线为四边形的边，而四边形的边为重合的同一虚线，即四边形的四条边相等，故沿虚线剪下的四边形是菱形 (2)， 证明：设交于点， 是的垂直平分线， ， ， ，， 在和中， ， ， 是的中垂线， ，， ， 四边形是菱形； (3) 【分析】（1）两次对折后剪下的三角形展开后得到的四边形四条边完全相等，利用四条边相等的四边形为菱形判定所得图形是菱形； （2）尺规作图：分别以点，点为圆心，取大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点分别交、于、两点，则为所求的的垂直平分线，再连接，即可；由垂直平分线得到，利用矩形证，得到；再根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，得到，，推出四条边相等，从而可证明四边形为菱形； （3）先利用证明，从而得到线段等量关系，设菱形边长为，在直角三角形中，利用勾股定理列出方程，求解即可得到菱形边长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，设点的对应点为点，交于点， 在和中， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 化简得，解得， ， 此时菱形的边长为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $