第1章 特殊平行四边形 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（北师大版·新教材）

第一章 特殊平行四边形 知识梳理导图 有一组邻边相等的平行四边形。定义 有一组邻边相等，并且有一 四条边相等边 定义。个角是直角的平行四边形 1性质 对角线互相平分且垂直，对角线 菱 边四条边相等 形 四边相等的四边形边 性质 角。四个角都是直角 对角线互相垂直的平行四边形。对角线◇ 判定 对角线相等且 特殊平行 正 对角线，互相垂直平分 四边形 有一个角是直角的平行四边形。定义 形 边。有一组邻边相等的矩形 四个角都是直角。角 角。有一个角是直角的菱形 对角线互相平分且相等，对角线)性质 矩 判定 对角线互相垂直的 形 矩形 有三个角是直角的四边形。角 对角线相等的平行四边形。 对角线判定 对角线 对角线相等的菱形 重难疑点解法 分上分点个菱形的性质与判定 2 3,再由菱形的面积公式即可求出四边形BEDF的 例1如图，四边形ABCD是平行四边形，连接 面积. AC,BD交于点O,DE平分∠ADB交AC于点E, BF平分∠CBD交AC于点F,连接BE,DF. (1)求证：∠1=∠2； 妙归纳总烤 (2)若四边形ABCD是菱形且AB=2,∠ABC= 要证四边形是菱形有如下的方法： 120°，求四边形BEDF的面积， (1)四条边都相等的四边形是菱形； 名师启发(1)由平行四边形的性质、角平分线 (2)有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 的定义推出△ODE≌△OBF,得到DE=BF,判定四 (3)对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 边形BEDF是平行四边形，推出BE∥DF,得到 (4)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∠1=∠2； 分上分点2矩形的性质与判定 (2)由菱形的性质得到BD⊥EF,推出平行四边形 BEDF是菱形，由平行线的性质得到∠BAD=60°，判定 例2(2026·山东青岛李沧区期中)如图，菱形 △ABD是等边三角形，得到BD=AB=2,∠ADO= ABCD的对角线交于点O,BE∥AC,AE∥BD,EO 60,求出∠0DE=30,0E-停，得到EF=20E 与AB交于点F. (1)求证：四边形AEBO是矩形； 1 实验班提优训练数学九年级上BSD (2)若OE=10,AE=8,求菱形ABCD的面积. (1)求证：四边形AECF是正方形； (2)若AB=√13，OB=3,求AE的长. 名师启发(1)先证明四边形AOBE是平行四 边形，再证明AC⊥BD,最后推出平行四边形AOBE 是矩形；(2)利用勾股定理求出AO=6,再结合菱形的 名师启发(1)先证EO=FO,得出四边形 性质求出AC,BD的长，最后根据菱形的面积公式求 AECF是平行四边形，再由AC⊥BD,AC=EF,即 解即可. 可得证；(2)先利用勾股定理求出AO=2,再利用正方 形的性质得出AO=OE=2,最后由勾股定理即可 求解 归纳总结 矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行 四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩 形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形；(4)对角 线互相平分且相等的四边形是矩形 型归纳无结 正方形的判定方法如下： 上分点3正方形的性质与判定 (1)一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 例3(2026·山东青岛即墨区期中)如图，在菱形 行四边形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是 正方形；(3)对角线互相垂直的矩形是正方形； ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对 (4)有一个角是直角的菱形是正方形；(5)对角线相 角线BD上，且BE=DF,AC=EF,连接AE,CE, 等的菱形是正方形 CF,AF. 易错易混辨析 )易错点1 混淆平行四边形和特殊平行四边 D.当△ABC是等边三角形时，四边形ADEF 形的判定定理 是正方形 例T如图，D,E,F分别是△ABC各边的中 解析A,D,E,F分别是△ABC各边的中 点，下列说法正确的是( ) 点，∴.DEAC,EF∥AB,即DE∥AF,EF∥AD,∴.四边 形ADEF是平行四边形，故A选项不符合题意； B.四边形ADEF是平行四边形，若DE⊥ BC,则∠DEC=90°，∠DEF≠90°，.四边形ADEF 不是矩形，故B选项不符合题意； B C.,D,E,F分别是△ABC各边中点， A,四边形ADEF不一定是平行四边形 B.当DE⊥BC时，四边形ADEF是矩形 ∴EF=号AB,DE=2AC,若AB=AC,则 C.当AB=AC时，四边形ADEF是菱形 EF=DE,∴.平行四边形ADEF是菱形，故C选项符 2 第一章 合题意； AB/CD,.∠EBD=∠BDF D.,△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴.平 ,DB平分∠EDF,∴.∠BDE=∠BDF, 行四边形ADEF不是正方形，故D选项不符合题意. ∴∠BDE=∠DBE,∴，DE=BE, 答案C .四边形BEDF是菱形 辨析分纳 (2),四边形BEDF是菱形，CD=AB=8, 注意灵活运用平行四边形和特殊平行四边形 ∴.BF=DF=CD-CF=5. 的判定定理。 .BC2+CF2=42+32=52=BF2, ∠C=90°，∴.四边形ABCD是矩形 巩固特训 辨析归纳 1.(2026·广东佛山南海区期中)如图，四边形ABCD是 在判定平行四边形或特殊平行四边形时，要记 平行四边形，下列结论中不正确的是(). 清判定所需的条件共有几条，并在下结论判定前确 认自己是否已全部证出所需条件. 巩固特训 (第1题) 2.(2025·内蒙古包头昆都仑区期末)如图，四边形ABCD A.当∠BAC=90°时，平行四边形ABCD是菱形 是正方形，G是BC上任意一点（点G与B,C不重 B.当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形 合)，AE⊥DG于点E,CF⊥DG于点F. C.当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形 (1)求证：△AED≌△DFC℃； D.当AC=BD且AC⊥BD时，平行四边形 (2)求证：AE=FC+EF, ABCD是正方形 易错点2 缺乏几何题逻辑思维的严密性 G 和完整性 (第2题) 例2如图，在□ABCD中，点E,F分别在 AB,CD上，且AE=CF,DB平分∠EDF. (1)求证：四边形BEDF是菱形： (2)若AB=8,BC=4,CF=3,求证：□ABCD 是矩形 】 解答(1)，四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD..AE=CF,.BE=DF ,BEDF,∴.四边形BEDF是平行四边形 素养考向提分 传统文化 边(“勾”)与较长直角边(“股”)的长度，那么，以该三 例①《九章算术》勾股章描述了关于图形之间 角形的直角顶点为一个顶点，另外三个顶点分别在该 三角形三边上的正方形的边长就可以求得.（我们不 关系的问题：如图(1)，知道一个直角三角形较短直角 3 实验班提优训川练数学九年级上BSD 妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”) 1 其文如下： 2ax= 2x(a+b)=1。 b,.'.=ab a+b 题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？ 答：方三步，十七分步之九 术：并勾、股为法，勾、股相乘为实，实如法而一， 得方一步. “题”“答”“术”的意思大致如下： 问题：一个直角三角形两直角边的长分别为5和 (1) 12,它的“所容正方形”的边长是多少？ (2)96m提示：如图(2)，设菱形CDEF的两条 .9 答案：317 对角线分别为CE=2am,DF=2bm, 解法侣93品 (1)如图，在△ACB中，∠C=90°，若AC=b,BC= a,则“所容正方形”DEFC的边长为 .请说 明理由. (2) 则CE⊥DF,CO=EO=am,FO=DO=bm, 2a+2b=400, 根据题意，得1 ×2a×26=19200, 1a+b=200, 整理，得 (1) (2) ab=9600. (2)应用(1)中的结论解决问题：如图(2)，中山公园 若正方形MNGH为在这个菱形场地上修建的正 有一块菱形场地，其面积为19200m,两条对角线长度 方形花圃，则由菱形和正方形的对称性可得GN⊥DF, 之和为400m,现要在这个菱形场地上修建一个正方 GH⊥CE,则四边形OPGQ也为正方形，且这个正方 形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别在菱形 形为直角三角形COF的“所容正方形”， 场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为 则由(1)的结论可得，正方形OPGQ的边长为 解析(1)连接CE,利用等面积法求解； ab9600 a+b200 =48(m). (2)设菱形CDEF的两条对角线分别为CE= /a+b=200, 故正方形花圃的边长为2×48=96(m). 2am,DF=2bm,根据菱形的性质可得 然 ab=9600, 点拨 后判定四边形OPGQ为正方形，且这个正方形为直 本题考查了菱形的性质以及正方形的判定 角三角形COF的“所容正方形”，再根据(1)的结论进 和性质等知识，正确理解题意，熟练掌握相关图 行计算. 形的性质，合理利用所求的相关结论作答是解决 答案(1)6 此题的关键， a+b 提示如下： 桦反白 如图(1)，连接CE,设正方形DEFC的边长 为x, 1. “草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟.儿童散学归 则DE=EF=x. 来早，忙趁东风放纸鸢.”风筝起源于中国，最早的 :∠ACB=90°，AC=b,BC=a, 风筝是由古代哲学家墨翟制造的.星期天，小明和 S=3AC·DE+号BC.EF=3r+ 小伙伴准备自制风筝到公园去放，小明将正方形 纸片ABCD和菱形纸片EMFN按照如图所示制 第一章 作，顶点B和顶点N重合，菱形EMFN的对角线 与△BCD等底同高，故面积相等. MN经过点D,点E,F分别在CD,AD上. (二)(1)连接EF,易证四边形ABEF是平行四 (1)求证：△ABF≌△CBE; 边形，然后根据平行四边形的性质，得OA=OE, (2)若AB=20cm,E为CD的中点，求DM的 OB=OF,即可证得△AOB和△AOF,△BOE是“朋 长度 友三角形”； (2)由△AOF和△DOF是“朋友三角形”，即可得 到F是AD的中点，可以求得△AOD,△ABE的面积， M B(N 根据S四边形COE=S正方形ABCD一2 SAABE即可求解. 答案（一）如图(1)，过点C作CH⊥AB于 (第1题) △ACD和△BCD是“朋友三角形”， CD是△ABC的中线，即AD=BD. :Sam-2AD·CH,Sam=2BD·CH, 1 .SAACD=SABCD. 新考法 例2定义：我们把三角形被一边中线分成的两 (1) (2) 个三角形叫作“朋友三角形”， (二)(1)△AOB的“朋友三角形”是△AOF与 (一)性质探究： △BOE.理由如下： 如图(1)，在△ABC中，D是边AB上的一点，且 如图(2)，连接EF. △ACD和△BCD是“朋友三角形”. ,四边形ABCD是正方形， 求证：S△ACD=SABCD· .AD∥BC,∠BAF=∠ABE=90°. (二)知识应用： .AF=BE,AF//BE, 如图(2)，正方形ABCD的边长为4，点E在BC .四边形ABEF是平行四边形， 上，点F在AD上，AF=BE,AE与BF交于点O. ∴.OA=OE,OB=OF, (1)请说出△AOB所有的“朋友三角形”，并说明 ∴.△AOB与△BOE,△AOF是“朋友三角形”. 理由； (2)8提示：.△AOF和△DOF是“朋友三角 (2)连接OD,若△AOF和△DOF是“朋友三角 形”，则四边形CDOE的面积为 形”，AD=AB=4,BE=AF=DF= 2AD=2, S△AOF=SADOF. .OB=OF,OA=OE, ∴.SAAOB=SAAOF=SABOE=S△DOF, SAD=SAe-号BE·AB=号X2X4=4, (1) (2) 解析（一）由△ACD和△BCD是“朋友三角 .S四边形COE=SE方形ACD-S△ABE一S△A0D= 形”，得AD=BD,过点C作AB上的高，则△ACD S正方形ACD一2S△ABE=42-2X4=8. 5 实验班提优训练数学九年级上BSD ⊙点拨 (2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件 本题考查了三角形的中线和面积，平行四边 时，四边形AECF是正方形？请说明理由. 形的性质和判定，正方形的性质，解题关键是理解 新定义并运用在新定义中得到的性质解题， 锋反 2.(2025·云南师大实验中学模拟)小颖新房买了一盏简 (第3题) 单而精致的吊灯（如图(1）)，其正面的平面图如图 (2)所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角 线AC,BD相交于点O,四边形AECF是其内部 框架，且点E,F在BD上，BE=DF. (1)求证：四边形内部框架AECF为菱形； (2)若AE⊥AD,F为DE的中点，AB=6√3，求 四边形AECF的周长. 4.定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么 把这条对角线叫作“和谐线”，该四边形叫作“和谐四 边形”.如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分 ∠ACD和∠ABD,那么对角线BC为“和谐线”，四边 形ABDC就称为“和谐四边形”， (1) (2) (1)下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形； (第2题) ④正方形.其中是“和谐四边形”的有 (填序号) (2)四边形ABCD是“和谐四边形”，AB=3十√3， ∠BAD=60°，∠ABC=90°，求四边形ABCD“和 谐线”的长.（画出图形并写出解答过程） 3.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过 点O作直线MN∥BC,MN交∠ACB的平分线 于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于 点F. (1)探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由. 6答案6D详解 第一章特殊平行四边形 .AO=√E02-AE2=√102-82=6. 例T(1):四边形ABCD是平行四边形， ,四边形ABCD是菱形， ∴.ADBC,OD=OB,∴∠ADO=∠CBO. ..AC=2AO=12,BD=2BO=16, ,DE平分∠ADB,BF平分∠CBD, 菱形ABCD的面积为号AC.BD-号×12×16=96 :∠ODE=号∠AD0,∠OBF=∠CB0, 例3(1)，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 ∴.∠ODE=∠OBF,∴.DEBF 于点O,∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD .'OD=OB,∠DOE=∠BOF, .BE=DF,..OB-BE=OD-DF, ∴.OE=OF,.四边形AECF是平行四边形 ∴.△ODE≌△OBF(ASA),∴.DE=BF, .AC⊥BD,.平行四边形AECF是菱形 .四边形BEDF是平行四边形， ,AC=EF,.菱形AECF是正方形 ∴.BEDF,∴.∠1=∠2. (2).四边形ABCD是菱形， (2)由(1)知OD=OB,ADBC,△ODE≌△OBF, ∴.AC⊥BD,∴.△AOB是直角三角形 .OE=OF.,四边形ABCD是菱形， .BD⊥EF,AB=AD, 由勾股定理，得AO=√AB2-OB2=√（√J13)2-32=2. .平行四边形BEDF是菱形 .四边形AECF是正方形，∴.OE=OA=2, .AD∥BC,.∠BAD+∠ABC=180°. 在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE=√OA+OE=2√2. :∠ABC=120°，.∠BAD=60°. 饥固特 .AD=AB,∴.△ABD是等边三角形， 1.A[解析]A.当∠BAC=90°时，无法确定平行四 ∴.BD=AB=2,∠ADO=60°. 边形ABCD是菱形，故该选项不正确，符合题意； 又BD⊥AC, B.当∠ABC=90时，平行四边形ABCD是矩形， 1 故该选项正确，不符合题意； OD=BD=1. C.当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，故 >此处用到了等腰三角形的“三线合一” 该选项正确，不符合题意； :∠0DE=号∠AD0=30,0E=3DE, D.当AC=BD且AC⊥BD时，平行四边形 ABCD是正方形，故该选项正确，不符合题意.故 在RtAD0E中，OE2+OD2=DE,OE=5 选A. 2.(1):四边形ABCD是正方形， EF=20E-2菱形BEDP的面积= ∴.AD=DC,∠ADC=90°， ∴.∠ADE+∠CDF=90°. Er-×2×29-25 ,AE⊥DG,CF⊥DG, 3 3 ∴∠AED=∠DFC=90°， 例2(1)，BE∥AC,AEBD, ∴∠DAE+∠ADE=90°， ∴.四边形AOBE是平行四边形 ∴∠DAE=∠CDF. 四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD, 在△AED和△DFC中， ∴.平行四边形AOBE是矩形 I∠AED=∠DFC, (2)四边形AOBE是矩形， ∠DAE=∠CDF, .BO=AE=8,∠EAO=90°， AD=DC, 41 ∴.△AED≌△DFC(AAS), ∴.DM=MO-DO=15√2-52=10W2(cm). (2).'△AED≌△DFC, 2.(1).四边形ABCD是菱形， ∴AE=DF,ED=FC. ∴.OB=OD,OA=OC. .DF-ED+EF-FC+EF. .BE=DF,..OE=OF, ..AE=FC+EF. .四边形AECF是平行四边形 举反自 四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD, 1.(1).四边形ABCD是正方形， .平行四边形AECF是菱形. ∴.AB=BC=AD=CD,∠A=∠C=90°， (2).AE⊥AD,.△ADE是直角三角形. F为DE的中点，AF=EF=DF. ∠ABD=∠CBD. ,四边形AECF是菱形， 四边形EMFN是菱形，∴.NE=NF=FM= AE=AF,∴.AE=EF=AF, EM,EN/FM,∠FBD=∠EBD, .△AEF是等边三角形， ∴.∠ABD-∠FBD=∠CBD-∠EBD, ∴.∠AEF=∠AFE=60°. 即∠ABF=∠CBE, ,AE⊥AD,.∠EAD=90°， (∠A=∠C, ∴.∠ADE=30°，∴.DE=2AE 在△ABF≌△CBE中，AB=BC, ,四边形ABCD为菱形 ∠ABF=∠CBE, ∴.AD=AB=6√3. ∴.△ABF≌△CBE(ASA) 在Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2, (2)如图，连接EF,交NM于点O,可知EF⊥MN. ∴.AE2+(65)2=(2AE)2, ∴.AE=6(负值已舍去). B(N 四边形AECF为菱形， .菱形AECF的周长为4×6=24. 3.(1)OE=OF.理由如下： (第1题) CE是∠ACB的平分线， ,△ABF≌△CBE,.CE=AF. ∴.∠ACE=∠BCE, ,E为CD的中点，AD=CD, ,MN∥BC,∴.∠NEC=∠ECB. ∴.AF=DF=CE=DE=l0cm. .∠NEC=∠ACE,∴.OE=OC 在Rt△ABD中，AB=AD=20cm,根据勾股定 ,CF是∠ACD的平分线， 理，得BD=√AB2+AD2=20√2cm. ∴.∠OCF=∠FCD 在Rt△ABF中，根据勾股定理，得 .MN/BC,∴.∠OFC=∠FCD, BF=√AB2+AFz=10W5cm, .∠OFC=∠OCF, 在Rt△BFO和Rt△DFO中，根据勾股定理，得 ∴.OF=OC,.OE=OF BF2-BO2=DF2-OD2, (2)当点O运动到AC的中点，且△ABC是以 ∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是 即500-(20W2一OD)2=100-OD2, 正方形.理由如下： ∴.OD=5√2cm, 当点O运动到AC的中点时，AO=CO. .∴.B0=M0=20√2-5√2=15√2(cm), 又EO=FO, 42 .四边形AECF是平行四边形 .FO=CO,..AO=CO=EO=FO, ∴.AO+CO=EO+FO, ∴.AC=EF,∴.四边形AECF是矩形 .'MN∥BC,当∠ACB=90°时，∠AOE=∠ACB= (2) (3) 90°，∴.AC⊥EF, (第4题) ∴.四边形AECF是正方形， 如图(3)，BD是“和谐线”，过点D作DE⊥AB于 ∴.当点O运动到AC的中点，且△ABC是以 点E,则∠AED=∠BED=90°， ∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是 :∠ABD=∠CBD-号∠ABC=45, 正方形 →由“和谐线”的新定义可知BD平分∠ABC 中高考趋榜本题融合了平行线性质、角平分线的 ∠EDB=∠EBD=45°，.BE=DE. 定义和特殊四边形的判定.是中考几何综合题的 又∠BAD=60°，∴.∠ADE=30°， 典型考法.本题涉及的几何推理思维，对高中阶段 ∴.AD=2AE,∴.BE=DE=√AD-AE= 解析几何中图形性质的分析有一定铺垫作用. √(2AE)2-AE=√3AE, 4.(1)③④[解析].平行四边形和矩形的对角线 不一定平分其对角， ∴.AB=AE+√5AE=3十√5， .平行四边形和矩形不是“和谐四边形” 解得AE=√3， 如图(1)，在菱形ABCD中，连接AC. .BE=DE=√3X√3=3， 在△ABC和△ADC中， ∴.BD=√BE2+DE=√32+32=3√2. (AB=AD, 综上所述，四边形ABCD“和谐线”的长是2√3+2 CB=CD, 或3√2. AC=AC, (1) 第二章 一元二次方程 .△ABC≌△ADC(SSS), ∴.∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA, 例13[解析]因为x=1是一元二次方程x2一 菱形是“和谐四边形”， 4x十c=0的一个根， ,正方形是特殊的菱形， 所以1-4×1十c=0,解得c=3. ∴正方形是“和谐四边形”，是“和谐四边形”的 例2原方程整理，得(x2+5x+4)(x2+5x十6)十 有③④. 1=0, (2)如图(2)，AC是“和谐线”..∠BAD=60°， (x2+5x)2+10(x2+5x)+25=0, ∠ABC=90°， >将“x2十5x”看作一个整体 ∠BAC=∠DAC=2∠BAD=30, (x2+5.x+5)2=0, x2+5x+5=0. ∴在Rt△ABC中，BC= AC. .4=52-4×1×5=5>0, .AB2+BC2=AC2, -5+√5 -5-√5 。x1= 2 ,x2= 21 (3+3)+(2AC)=AC, 例3(1)由题意，得△=m2-4×1×(-2)=m2+8. .AC=23十2（负值已舍去）： .m2+8>0, ∴.该方程总有两个不相等的实数根. 43