奥数培优专题11 乘法模型：总价、路程问题（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

本讲义聚焦小学数学乘法模型的总价（单价×数量=总价）和路程（速度×时间=路程）问题，构建“模型认知—正向计算—逆向推导—对比决策”完整应用体系，为后续复杂应用题及工程问题学习奠定基础。 资料通过知识体系表格梳理、解题方法口诀记忆，结合分层例题（如买赠促销、往返路程）培养模型意识与推理能力，易错指南与分层练习助力精准掌握，提升运算能力，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题十一 乘法模型：总价、路程问题 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：单价 × 数量 = 总价模型的建立与灵活运用 3 考点二：速度 × 时间 = 路程模型的建立与灵活运用 4 考点三：通过总量反推单价 / 速度 / 时间 5 考点四：比较快慢与性价比的推理问题 6 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：单位不统一就计算，对应关系错误 8 易错点 2：求单价、数量用乘法，乘除颠倒 8 易错点 3：买赠问题直接按总数算总价，忽略赠送 8 易错点 4：快慢比较只看数字，忽略控制变量 8 易错点 5：往返问题重复使用条件，路程算错 8 第四部分 分层进阶专题精练 9 一、基础夯实篇（8 题） 9 二、能力进阶篇（7 题） 9 三、思维跃迁篇（5 题） 10 第五部分 精准解析 11 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版四年级上册第四单元的应用核心培优内容，围绕乘法模型的两类经典应用展开，涵盖总价模型、路程模型、逆向反推、比较推理四大考点，建立 "模型认知 — 正向计算 — 逆向推导 — 对比决策" 的完整应用体系，掌握数量建模、逆向求解、择优推理等核心方法，深化乘法模型的本质理解，为后续复杂应用题、工程问题学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 单价 × 数量 = 总价模型 单价、数量、总价的定义，三者正向计算，多物品总价求和 公式套用法、分步求和法 混淆单价与总价，求数量误用乘法 速度 × 时间 = 路程模型 速度的含义与单位，路程正向计算，往返、分段路程求解 公式代入法、分段计算法 速度单位与时间单位不匹配就相乘 总量反推单一量 已知总价反推单价 / 数量，已知路程反推速度 / 时间 逆向公式法、等量变形法 乘除颠倒，该用除法时用乘法 快慢与性价比推理 同路程比时间判快慢、同时间比路程判快慢、同数量比单价判划算 控制变量法、数值对比法 不同前提条件盲目比较，结论错误 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 公式代入法 正向求总价、路程题 识别三个量→找出已知两个→代入乘法公式求第三个 知两个，求第三个，乘法公式直接用 逆向推导法 反求单价、速度类题 明确已知总量→对应逆向公式→除法计算单一量 知道总量求单量，除以另一个已知量 控制变量法 快慢、性价比比较题 固定一个量相同→对比第二个量→判断第三个量大小 同量比，看差异，越大越快要记清 分段计算法 分段路程、多物品题 拆成多段 / 多类→分别计算→相加得总量 分段算，再加总，步步对应不出错 择优推理法 方案选择判断题 分别计算各方案结果→横向对比数值→得出最优结论 算完比一比，数小更划算 三、奥数思维提升 1. 模型思想：通用化数量框架 核心要点：所有购物问题都符合 "单价 × 数量 = 总价" 模型，所有行程问题都符合 "速度 × 时间 = 路程" 模型。看似不同的生活场景，共用同一套乘法数量关系，掌握模型就能解决一类问题，体现数学建模思想。 示例：买文具、买水果、买门票，场景不同但都是求总花费，都用单价乘数量；走路、骑车、坐火车，交通方式不同但都是求距离，都用速度乘时间。场景万变，模型不变。 2. 对应思想：量与量的匹配关系 核心要点：使用乘法模型时，单价必须对应这个物品的数量，速度必须对应这段时间，单位要统一、数量要匹配，对应关系正确结果才准确，这是应用题最核心的对应思想。 示例：苹果每千克 8 元，买 5 千克，8 元 / 千克对应 5 千克，相乘得总价；如果写成 8×500 克，单位不对应，结果就错了。速度每小时 60 千米，对应时间 3 小时，才能相乘得路程。 3. 互逆思想：乘除双向转换 核心要点：乘法模型有三个变形公式，正向用乘法求总量，逆向用除法求单一量。同一组数量关系，已知条件不同，运算方法就不同，灵活进行乘除互逆转换，才能应对各类题型。 示例：已知单价和数量求总价用乘法；已知总价和单价求数量用除法；已知总价和数量求单价也用除法。一个模型，三种用法，乘除互逆。 4. 推理思想：控制变量的比较逻辑 核心要点：比较快慢、比较性价比时，先控制一个量相同，再比较第二个量，推理出第三个量的大小关系。通过控制变量进行逻辑推理，结论才科学可靠，培养严谨的推理能力。 示例：走同样的路程，甲用 2 小时，乙用 3 小时，路程相同，时间越少速度越快，所以甲更快；同样买 10 支笔，A 店花 80 元，B 店花 90 元，数量相同，花钱越少越划算，A 店更便宜。 5. 转化思想：复杂问题的拆解简化 核心要点：复杂的多段路程、多物品总价问题，拆解成多个简单的单段、单物品问题，分别套用乘法模型计算，再合并结果。把复杂问题转化为多个简单模型的组合，化繁为简。 示例：一段路程先坐车再走路，总路程等于车行路程加步行路程，分别用速度乘时间算出两段，再加起来。一道复杂题拆成两道基础题，就都能用乘法模型解决。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：单价 × 数量 = 总价模型的建立与灵活运用 典型例题 1（基础型）—— 单一物品求总价 题目：每本笔记本 12 元，四（1）班买 45 本笔记本，一共需要多少钱？ 思路点拨： ① 识别数量关系：单价 12 元 / 本，数量 45 本，求总价，公式：单价 × 数量 = 总价； ② 代入数值列式：12×45； ③ 计算得出结果 540 元。 【答案】540 元 【知识点睛】已知单价和数量，直接套用乘法公式计算总价。 典型例题 2（提高型）—— 多物品总价求和 题目：文具店采购，钢笔每支 18 元，买了 25 支；笔记本每本 8 元，买了 60 本，采购这些文具一共花了多少钱？ 思路点拨： ① 先算钢笔总价：18×25=450 元； ② 再算笔记本总价：8×60=480 元； ③ 两类总价相加：450+480=930 元。 【答案】930 元 【知识点睛】多种物品求总花费，分别计算每类的总价，再相加得到整体总费用。 典型例题 3（奥数型）—— 买赠促销总价计算 题目：书店促销，故事书每本 25 元，买 4 本送 1 本。学校要买 30 本故事书，一共要花多少钱？ 思路点拨： ① 买 4 送 1，即 5 本为一组，每组只需付 4 本的钱； ② 30 本书可分几组：30÷(4+1)=6 组； ③ 实际付费本数：6×4=24 本，总价：24×25=600 元。 【答案】600 元 【知识点睛】买赠问题先算组数，求出实际付费数量，再套用总价公式计算。 考点二：速度 × 时间 = 路程模型的建立与灵活运用 典型例题 1（基础型）—— 匀速行驶求路程 题目：一辆汽车平均每小时行驶 75 千米，从县城到市区行驶了 4 小时，县城到市区的路程是多少千米？ 思路点拨： ① 识别数量关系：速度 75 千米/时，时间 4 小时，求路程，公式：速度 × 时间 = 路程； ② 代入数值列式：75×4； ③ 计算得出结果 300 千米。 【答案】300 千米 【知识点睛】已知速度和对应时间，直接相乘得到行驶路程。 典型例题 2（提高型）—— 分段路程求和 题目：小明从家去图书馆，先步行 15 分钟，每分钟走 60 米；再骑车 10 分钟，每分钟行 240 米，小明家到图书馆一共有多少米？ 思路点拨： ① 步行路程：60×15=900 米； ② 骑车路程：240×10=2400 米； ③ 总路程：900+2400=3300 米。 【答案】3300 米 【知识点睛】多段不同速度的路程，分别计算每段距离再相加，得到总路程。 典型例题 3（奥数型）—— 往返路程问题 题目：一辆货车从甲地送货到乙地，每小时行 60 千米，用了 5 小时到达；原路返回时用了 6 小时，往返一共行驶了多少千米？ 思路点拨： ① 先算单程路程：60×5=300 千米； ② 往返路程相同，总路程：300×2=600 千米； ③ 注意返回时间是干扰条件，往返路程与返回速度无关。 【答案】600 千米 【知识点睛】往返路程是单程的 2 倍，抓住路程不变特点，排除干扰条件快速计算。 考点三：通过总量反推单价 / 速度 / 时间 典型例题 1（基础型）—— 已知总价反推数量 题目：每支钢笔 15 元，王老师带了 300 元，最多可以买多少支钢笔？ 思路点拨： ① 已知总价 300 元，单价 15 元，求数量，公式：数量 = 总价 ÷ 单价； ② 代入列式：300÷15； ③ 计算得 20 支。 【答案】20 支 【知识点睛】已知总价和单价，用除法反求购买数量。 典型例题 2（提高型）—— 已知路程反推速度 题目：甲乙两地相距 360 千米，一辆汽车从甲地出发，6 小时到达乙地，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 思路点拨： ① 已知路程 360 千米，时间 6 小时，求速度，公式：速度 = 路程 ÷ 时间； ② 代入列式：360÷6； ③ 计算得 60 千米/时。 【答案】60 千米 【知识点睛】已知路程和时间，用除法反求行驶速度。 典型例题 3（奥数型）—— 错中求解反推单价 题目：小明算买 8 本书的总价时，把单价看错了，算成 280 元，比实际总价多了 40 元，实际每本书多少钱？ 思路点拨： ① 先算出实际总价：280−40=240 元； ② 已知数量 8 本，求单价：单价 = 总价 ÷ 数量； ③ 实际单价：240÷8=30 元。 【答案】30 元 【知识点睛】先通过差量求出正确总价，再用逆向公式反推单价。 考点四：比较快慢与性价比的推理问题 典型例题 1（基础型）—— 同路程比时间判快慢 题目：跑 100 米，小刚用了 18 秒，小强用了 20 秒，谁跑得快？ 思路点拨： ① 路程相同都是 100 米，比较时间长短； ② 用时越少，速度越快； ③ 18 秒＜20 秒，小刚用时少，所以小刚跑得快。 【答案】小刚跑得快 【知识点睛】路程相同，时间越短，速度越快。 典型例题 2（提高型）—— 同数量比总价判划算 题目：同样买 30 本练习本，甲店需要 75 元，乙店每本 2 元，哪家店更便宜？ 思路点拨： ① 方法一：同数量比总价，乙店总价：30×2=60 元； ② 60 元＜75 元，乙店花钱更少； ③ 所以乙店更便宜。 【答案】乙店更便宜 【知识点睛】数量相同时，总价越低，单价越便宜，性价比越高。 典型例题 3（奥数型）—— 不同条件统一标准比较 题目：甲车 3 小时行 210 千米，乙车 4 小时行 280 千米，哪辆车速度更快？ 思路点拨： ① 时间路程都不同，先分别算出两车速度再比较； ② 甲车速度：210÷3=70 千米/时；乙车速度：280÷4=70 千米/时； ③ 两车速度相等，一样快。 【答案】两车速度一样快 【知识点睛】时间路程都不同时，先统一算出单位时间的路程（速度），再进行比较。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：单位不统一就计算，对应关系错误 错误示例：速度每分钟 80 米，时间 2 小时，直接 80×2 计算路程，单位完全不匹配。 正确分析：速度和时间单位必须对应，千米/时对应小时，米 / 分对应分钟，单位统一才能相乘。 修正方法：列式前先检查单位，单位不匹配先换算统一，再代入公式计算。 易错点 2：求单价、数量用乘法，乘除颠倒 错误示例：已知总价 100 元，单价 5 元，求数量列式 5×100，乘除完全搞反。 正确分析：求总量用乘法，求单一量（单价、数量、速度、时间）都用除法。 修正方法：做题先判断求什么，求 "一共多少" 用乘法，求 "每个多少、能买几个" 用除法。 易错点 3：买赠问题直接按总数算总价，忽略赠送 错误示例：买 4 送 1，买 10 本直接单价 ×10 算总价，忽略赠送的部分。 正确分析：买赠问题要先算组数，求出实际需要付钱的数量，再算总价。 修正方法：看到 "买几送几"，先算每组数量，再求实际付费数量。 易错点 4：快慢比较只看数字，忽略控制变量 错误示例：甲走 200 米用 4 分钟，乙走 150 米用 3 分钟，认为甲走得多所以甲快。 正确分析：比较快慢必须路程相同比时间，或时间相同比路程，都不同就要算速度。 修正方法：比较前先看前提条件是否一致，不一致就统一成单位量再比。 易错点 5：往返问题重复使用条件，路程算错 错误示例：算往返路程时，用去时速度乘时间再加返回速度乘时间，误以为两段不同。 正确分析：往返同一条路，路程相同，单程乘 2 就是总路程，返回时间是求速度才用的。 修正方法：看清楚求路程还是求速度，求路程抓往返相等特点，直接乘 2。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 单价 × 数量 = ________，速度 × 时间 = ________。 2. 每千克苹果 12 元，买 5 千克一共________元。 3. 汽车每小时行 80 千米，3 小时行驶________千米。 4. 总价 120 元，单价 6 元，能买____件商品。 5. 判断：路程越长，速度就一定越快。（ ） 6. 小明 5 分钟走 300 米，平均每分钟走________米。 7. 4 本书 80 元，每本书________元。 8. 同样的路程，用时越少，速度越________。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 学校买 15 个篮球，每个 68 元；买 20 个足球，每个 55 元，一共花了多少钱？ 10. 一辆汽车从 A 城到 B 城，每小时行 72 千米，行驶了 5 小时，返回时用了 6 小时，返回时平均每小时行多少千米？ 11. 超市牛奶促销，每箱 45 元，买 3 箱送 1 箱。买 16 箱牛奶需要花多少钱？ 12. 甲打字员 6 分钟打 480 个字，乙打字员 8 分钟打 560 个字，谁打字速度更快？ 13. 判断：已知总价和数量求单价，用乘法计算。（ ） 14. 小明从家步行到学校，每分钟走 75 米，需要 12 分钟。如果骑车每分钟行 300 米，需要几分钟？ 15. 商店运来 12 箱苹果，每箱 25 千克，每千克卖 8 元，这些苹果一共能卖多少钱？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 一辆汽车往返甲乙两地，去时每小时 60 千米，用了 4 小时，返回时比去时多用 1 小时，返回时比去时每小时慢多少千米？ 17. 书店有两种优惠方案：方案 A：每本 32 元，买 5 本送 1 本；方案 B：每本 28 元。买 12 本书，选哪种方案更省钱？ 18. 一段路全长 480 千米，汽车前 2 小时每小时行 90 千米，剩下的路程要 3 小时走完，剩下的路程平均每小时要行多少千米？ 19. 买 3 个篮球和 5 个足球一共 480 元，买同样的 3 个篮球和 2 个足球一共 300 元，一个篮球和一个足球各多少钱？ 20. 甲乙两地相距 360 千米，一辆汽车从甲地出发，每小时行 60 千米，行驶 3 小时后，距离乙地还有多远？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】总价；路程 思路点拨： ① 乘法模型两个核心公式：单价 × 数量 = 总价，速度 × 时间 = 路程。 【知识点睛】两个乘法基础模型记忆。 2. 【答案】60 思路点拨： ① 12×5=60 元。 【知识点睛】基础总价模型正向计算。 3. 【答案】240 思路点拨： ① 80×3=240 千米。 【知识点睛】基础路程模型正向计算。 4. 【答案】20 思路点拨： ① 数量 = 总价 ÷ 单价 = 120÷6=20。 【知识点睛】总价模型逆向求数量。 5. 【答案】× 思路点拨： ① 速度和路程、时间都有关，时间不确定，单看路程无法判断速度快慢。 【知识点睛】速度概念的正确理解。 6. 【答案】60 思路点拨： ① 速度 = 路程 ÷ 时间 = 300÷5=60 米 / 分。 【知识点睛】路程模型逆向求速度。 7. 【答案】20 思路点拨： ① 单价 = 总价 ÷ 数量 = 80÷4=20 元。 【知识点睛】总价模型逆向求单价。 8. 【答案】快 思路点拨： ① 路程相同，时间与速度成反比，用时越少速度越快。 【知识点睛】快慢比较基本规律。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】2120 元 思路点拨： ① 篮球总价：15×68=1020 元； ② 足球总价：20×55=1100 元； ③ 合计：1020+1100=2120 元。 【知识点睛】多物品总价求和计算。 10. 【答案】60 千米 思路点拨： ① 单程路程：72×5=360 千米； ② 返回速度：360÷6=60 千米/时。 【知识点睛】路程不变，逆向求返回速度。 11. 【答案】540 元 思路点拨： ① 买 3 送 1，4 箱为一组，16÷4=4 组； ② 每组付 3 箱钱，共付 4×3=12 箱的钱； ③ 总价：12×45=540 元。 【知识点睛】买赠促销总价计算。 12. 【答案】甲打字员更快 思路点拨： ① 甲速度：480÷6=80 字 / 分； ② 乙速度：560÷8=70 字 / 分； ③ 80＞70，甲更快。 【知识点睛】统一单位时间后比较快慢。 13. 【答案】× 思路点拨： ① 求单价用除法，单价 = 总价 ÷ 数量。 【知识点睛】单价公式的运算类型。 14. 【答案】3 分钟 思路点拨： ① 家到学校路程：75×12=900 米； ② 骑车时间：900÷300=3 分钟。 【知识点睛】路程不变，反求行驶时间。 15. 【答案】2400 元 思路点拨： ① 总重量：12×25=300 千克； ② 总售价：300×8=2400 元。 【知识点睛】连乘总价实际问题。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】慢 12 千米 思路点拨： ① 单程路程：60×4=240 千米； ② 返回用时：4+1=5 小时，返回速度：240÷5=48 千米/时； ③ 速度差：60−48=12 千米。 【知识点睛】往返速度差综合计算。 17. 【答案】方案 A 更省钱 思路点拨： ① 方案 A：买 5 送 1，6 本一组，12÷6=2 组，付 10 本的钱：10×32=320 元； ② 方案 B：12×28=336 元； ③ 320＜336，方案 A 更省钱。 【知识点睛】多方案性价比对比择优。 18. 【答案】100 千米 思路点拨： ① 先算前 2 小时行驶的路程：2×90=180千米； ② 再算剩余路程：480-180=300千米； ③ 剩余路程的平均速度：300÷3=100千米/时。 【知识点睛】分段路程问题，先求已行路程，再算剩余路程，最后逆向求解剩余路段的速度。 19. 【答案】足球 60 元，篮球 60 元 思路点拨： ① 两次购买篮球数量相同，差了 3 个足球，差价 480−300=180 元； ② 一个足球：180÷3=60 元； ③ 3 个篮球：300−2×60=180 元，一个篮球：180÷3=60 元。 【知识点睛】消元法推理单一量。 20. 【答案】180 千米 思路点拨： ① 3 小时行驶路程：60×3=180 千米； ② 剩余距离：360−180=180 千米。 【知识点睛】总路程减已行路程求剩余。 1 学科网（北京）股份有限公司 $