第四单元 加法模型和乘法模型（培优讲义）数学人教版四年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过导图形式构建加法模型和乘法模型的知识体系，清晰呈现总量与分量、单价数量总价、速度时间路程等核心知识点，明确各模型的公式、逆运算关系及应用场景，突出不同模型的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“典例精讲+真题演练”的分层设计，精选促销省钱（如单价差法计算节省金额）、行程预判（如根据速度时间计算路程）等典型题，引导学生用数学思维分析问题，培养模型意识与应用意识。基础题夯实运算能力，压轴题提升综合应用，助力教师精准教学，学生自主复习突破。

知识建构 重点聚焦 典例精练 培优拓展 第四单元 加法模型和乘法模型（培优讲义） （解析版） 资 料 简 介 大家好！这份讲义专为人教版四年级上册的系统学习与复习编制，内容全面深入，能有效满足培优拓展需求，助力学生突破常规、冲刺更高水平，资料包含以下内容： 一、单元知识框架：通过导图形式，清晰呈现单元知识脉络，构建系统化的知识体系，明确学习重点与复习方向。 二、核心知识梳理：聚焦单元基础知识点，强化细节理解与记忆，助力深入学习并灵活运用知识点，夯实知识基础。 三、典例精讲巩固：围绕高频考点，精选典型例题、易错题及压轴题，通过例题拆解分析解题思路，实现“精耕细作”，做到事半功倍。 四、真题演练提升：精选近年各地名校真题，通过实战演练检验知识掌握水平，提升综合应试能力。 一、单元知识框架 二、核心知识梳理 知识点一：加法模型（总量与分量） 1.模型本质与核心公式 （1）模型基于加法“合并、求和”的核心意义，用于描述部分与整体的数量关系，核心是将多个相互独立的零散部分（分量）进行合并，最终得到整体的总数量（总量） （2）核心公式：总量=分量+分量，存在多个独立分量时，总量等于所有分量依次相加的和。 （3）分类求和逻辑：同一组数据可按不同维度拆分分量（如时间维度、类别维度），不同维度计算出的最终总量完全一致。 2.逆运算关系：减法求分量 （1）减法是加法的逆运算，由总量公式可直接推导：分量=总量-另一个分量；多分量场景中，剩余分量=总量-所有已知分量的和。 （2）可用于验算：加法计算可用“总量-一个分量”验证是否等于另一个分量；减法计算可用“分量+分量”验证是否等于总量。 3.常见应用场景 （1）求总数、合计、总和的合并类问题； （2）已知总数，求剩余量、差额、补全表格/单据缺失数据的问题； （3）有增有减的动态场景（如图书借还、车辆增减）的加减混合问题。 知识点二：乘法模型（单价、数量与总价） 1.核心概念定义 （1）单价：单位数量商品的价格，属于复合单位（如元/千克、元/本），读作“元每千克”“元每本”； （2）数量：购买商品的总份数、总重量、总个数等； （3）总价：购买商品花费的总金额。 2.三大核心数量关系 （1）求总价：总价=单价×数量，已知单价和数量，计算总花费； （2）求单价：单价=总价÷数量，已知总花费和购买数量，计算单位商品价格； （3）求数量：数量=总价÷单价，已知总花费和单价，计算可购买的商品数量。 3.典型拓展应用 （1）促销省钱问题，有两种等价解题思路： ①总价差法：节省的总金额=原价总价-现价总价； ②单价差法：节省的总金额=（原价单价-现价单价）×购买数量。 （2）单据补全：根据购物小票、价目表的已知数据，利用三者关系补全缺失的单价、数量或总价。 知识点三：乘法模型（速度、时间与路程） 1.核心概念定义 （1）路程：物体运动经过的总长度，常用单位：米、千米； （2）时间：物体完成全程运动所用的时长，常用单位：秒、分、时； （3）速度：物体单位时间内运动的路程，用于描述运动快慢，属于复合单位（如米/分、千米/时），读作“米每分”“千米每时”。 2.三大核心数量关系 （1）求路程：路程=速度×时间，已知速度和时间，计算总行驶路程； （2）求速度：速度=路程÷时间，已知路程和时间，计算运动的快慢程度； （3）求时间：时间=路程÷速度，已知路程和速度，计算运动所需的时长。 3.速度快慢的比较方法 （1）时间相同：直接比较路程，路程越长，速度越快； （2）路程相同：直接比较时间，用时越短，速度越快； （3）时间、路程均不同：先统一计算单位时间的路程（即速度），再比较速度的数值大小。 4.典型拓展应用 （1）里程表问题：通过「终点里程数-起点里程数」计算实际行驶路程，结合行驶时长可求出平均速度； （2）行程预判：已知速度和行驶时间，计算可行驶路程，预判规定时间内能否到达目的地。 知识点四：不同模型的识别与综合应用 1.实际问题标准化解题流程 （1）阅读理解：提取题目已知条件、限制要求，清晰区分已知量与待求量，明确核心问题； （2）分析匹配：判断问题对应的数量模型（总量分量模型/单价总价模型/路程速度模型），匹配对应的数量关系公式； （3）分步解答：规划解题思路，遵循运算规则分步计算，保证单位统一、计算准确； （4）回顾反思：用逆运算验算结果，验证结果是否符合题目约束与生活实际，总结同类题型的解题规律。 2.组合方案类问题解法 （1）核心方法：枚举法（列举法），按固定顺序列举所有可能的组合，保证不重复、不遗漏； （2）筛选逻辑：根据预算上限、人数限制等约束条件，逐一计算验证，筛选出所有符合要求的可行方案。 3.最优决策类问题解法 （1）单价对比法：计算不同购买/出行方式的单位价格，选择单价最低的方案； （2）总价对比法：计算不同策略的总花费、总时长，选择成本最低、效率最高的方案； （3）常见题型：多件商品选购、门票购票方案、租车租船方案、多规格采购优化等。 4.多步四则运算综合应用 （1）运算规则：严格遵循“在没有括号的算式里，先乘除后加减，有括号时先算括号内”的顺序，每一步计算都要对应清晰的数量关系； （2）常见类型：乘加/乘减混合（多品类总价合计、差额计算）、加减混合（动态数量变化）、逆推计算（已知最终结果反推初始数据）。 三、典例精讲巩固 知识点一：加法模型（总量与分量） 【例1】（25-26·海南省直辖县级单位·期末）欣欣水果店上午售出百香果86千克，下午售出60千克，这一天水果店一共售出多少千克百香果？ 【答案】 146千克 【分析】求一天总共售出的百香果质量，就是把上午和下午售出的质量合起来，用加法计算。 【详解】86＋60＝146（千克） 答：这一天水果店一共售出146千克百香果。 【例2】（25-26·湖南邵阳·期末）根据所求的问题说说总量和分量分别是什么，再列式解答。 问题中的总量是（                     ），分量是（         ）和（           ） 列式解答： 【答案】 篮球和足球的总个数；篮球的个数；足球的个数；（个） 【分析】先明确所求的总数量是总量，由篮球个数和足球个数两个分量组成。已知篮球有48个，足球比篮球少15个，先算出足球的个数，再将两种球的数量相加得到总量。 【详解】问题中的总量是（篮球和足球的总个数），分量是（篮球的个数）和（足球的个数）。 计算足球的个数：（个） 计算两种球的总个数：（个） 答：两种球一共有81个。 【例3】（25-26·安徽芜湖·期末）三年级同学在社区发放垃圾分类宣传单，上午发放了265张，下午比上午少发了37张。这一天一共发了多少张宣传单？ 【答案】 493张 【分析】要计算全天发放的总数量，需先求出下午发放的宣传单数量；已知下午比上午少发37张，用上午的数量减去37即可得到下午的数量，再将上午和下午的数量相加得到总数。 【详解】（张） （张） 答：这一天一共发了493张宣传单。 【例4】（25-26·河南新乡·期末）明明为了增强体质，制定了每天跳绳的任务，第一天跳了350下，第二天跳了460下。两天一共跳了多少下？ (1)如果把两天一共跳的下数看作总量，( )和( )是分量。 (2)先写出数量关系，再列式解答。 【答案】(1) 第一天跳的下数 第二天跳的下数 (2) 第一天跳的下数＋第二天跳的下数＝两天一共跳的下数；810下 【分析】（1）总量是各部分分量的和，两天跳绳的总下数作为总量，对应的分量就是每天跳绳的数量； （2）求两部分的总和需要用加法计算，先根据题意明确数量关系，再代入对应数值计算即可。 【详解】（1） 两天一共跳的下数由第一天和第二天跳的下数合并而成，因此第一天跳的下数和第二天跳的下数是分量。 （2）数量关系：第一天跳的下数＋第二天跳的下数＝两天一共跳的下数 （下） 答：两天一共跳了810下。 【例5】（25-26·河南平顶山·期末）某小学三年级同学星期一到星期三借阅图书人数统计表如下： 星期 星期一 星期二 星期三 借阅人数/人 132 195 (1)星期二借阅人数比星期三借阅人数少19人。星期三有多少人借书？（先列式计算，再把表格填完整） (2)三年级这三天一共有多少人借阅？（先写出总量和分量再列式解答） 总量是：____________________________________________ 一共有_____________个分量，分别是：____________________________________________ 列式解答： 【答案】(1)195＋19＝214（人）； 星期 星期一 星期二 星期三 借阅人数/人 132 195 214 (2)三天一共借阅人数；3；星期一借阅人数、星期二借阅人数、星期三借阅人数；541人 【分析】（1）星期二借阅人数比星期三少19人，说明星期三人数比星期二多19人，用加法求出星期三借阅人数；（2）总量是三天借阅总人数，分量分别为星期一、星期二、星期三的借阅人数，把三个分量相加得到总量。 【详解】（1）195＋19＝214（人） 答：星期三有214人借书。 表格略 （2）总量是：三年级这三天借阅图书的总人数 一共有3个分量，分别是：星期一借阅132人、星期二借阅195人、星期三借阅214人 列式解答： 132＋195＋214 ＝327＋214 ＝541（人） 答：三年级这三天一共有541人借阅。 知识点二：乘法模型（单价、数量与总价） 【例6】（25-26·河北邢台·期末）12名游客去某景区游玩，每张门票146元，他们买门票一共要花多少钱？ 【答案】 1752元 【分析】根据题意，用门票的价格乘游客人数，即可求出他们买门票一共要花多少钱。 【详解】（元） 答：他们买门票一共要花1752元。 【例7】（24-25·辽宁营口·期末）某年级48名师生去公园游玩，如果公园的门票每张12元，500元够不够？ 【答案】不够 【分析】求48人买门票需要的总钱数，用人数乘每张门票价格。再与500元比较，判断够不够。 【详解】48×12＝576（元），576＞500，不够 答：500元不够。 【例8】（25-26·安徽芜湖·期末）如图，章强的作业纸不小心沾上了墨水。请根据他的算式，推测看不清的这部分信息应是（    ）。 奶奶在菜市场买了 一共花了105元，每盒鸡蛋15元，排骨每千克多少元？ （105－15×3）÷2 A．3盒鸡蛋和2千克排骨 B．2盒鸡蛋和3千克排骨 C．2盒鸡蛋和2千克排骨 D．3盒鸡蛋和3千克排骨 【答案】A 【分析】根据题意可知，算式（105－15×3）÷2求出的是排骨每千克多少元，根据单价＝总价÷数量可知，2表示的是买排骨的数量，（105－15×3）表示买排骨花的钱数，已知105元时一共花的钱数，15元表示的是每盒鸡蛋的价格，所以15×3表示的是购买鸡蛋花的钱数， 3表示购买鸡蛋的盒数。因此看不清的信息就是“3盒鸡蛋和2千克排骨”。 【详解】由分析可得：根据他的算式，推测看不清的这部分信息应是“3盒鸡蛋和2千克排骨”。 【例9】（25-26·辽宁沈阳·期末）沈阳故宫门票价格：成人票50元，学生票25元。下面哪个算式可以表示5张成人和1张学生一共需要多少元？（    ） A．50×5－25 B．50＋25×5 C．50×5＋25 D．（50＋25）×5 【答案】C 【分析】根据总价＝单价×数量，用每张成人票的票价乘人数，求出购买5张成人票需要的总钱数，再用购买5张成人票需要的总钱数加上1张学生票钱数，就是一共需要的总钱数，据此解答即可。 【详解】购买5张成人门票需要的钱数：50×5＝250（元） 需要的总钱数：250＋25＝275（元） 对应算式为50×5＋25。 沈阳故宫门票价格：成人票50元，学生票25元。哪个算式可以表示5张成人和1张学生一共需要多少元？50×5＋25。 【例10】（25-26·河南平顶山·期末）礼品店从玩具厂批发了90个毛绒玩具，每个进价150元，按照每个170元出售，如果这些玩具全部卖完，礼品店一共可以赚多少元钱？ 【答案】1800元 【分析】先用售价减去进价算出单个毛绒玩具的利润，再乘玩具的总数量，即可得到全部卖完的总利润。 【详解】（170－150）×90 ＝20×90 ＝1800（元） 答：礼品店一共可以赚1800元钱。 知识点三：乘法模型（速度、时间与路程） 【例11】（24-25·海南省直辖县级单位·期末）一辆汽车从A地到B地行驶了3小时，平均速度是90千米/时，A地到B地的路程是多少千米？ 【答案】270千米 【分析】用平均速度乘从A地到B地行驶的时间，即可得A地到B地的路程。 【详解】90×3＝270（千米） 答：A地到B地的路程是270千米。 【例12】（25-26·山西临汾·期末）研学大巴从临汾去往平遥，大巴时速85千米/时，行驶3小时，路程是( )千米，用到的数量关系式是( )。 【答案】 255 速度×时间＝路程 【分析】一辆大巴的速度是85千米/时，求3小时行驶多少千米，计算时用到的数量关系式是：速度×时间＝路程。 【详解】85×3＝255（千米） 研学大巴从临汾去往平遥，大巴时速85千米/时，行驶3小时，路程是255千米，用到的数量关系式是：速度×时间＝路程。 【例13】（25-26·河南新乡·期末）雨燕在鸟类中飞行能力极为突出，2小时可飞行340千米，这里的340千米指的是( )，雨燕的飞行速度是( )千米/时。 【答案】 路程 170 【分析】把物体在一段时间内移动的总长度叫做路程，题目里明确说雨燕2小时一共飞了340千米，所以这个340千米就是它2小时飞行的总路程。 速度的计算是用总路程除以对应的时间，这里用340千米除以2小时，340÷2＝170，所以雨燕的飞行速度是170千米/时。 【详解】雨燕在鸟类中飞行能力极为突出，2小时可飞行340千米，这里的340千米指的是路程，雨燕的飞行速度是170千米/时。 【例14】（25-26·湖南衡阳·期末）奇奇从耒阳蔡伦竹海骑自行车前往常宁油茶小镇，每小时行驶25千米。他骑行6小时到达，第二天坐汽车从油茶小镇返回耒阳蔡伦竹海，2小时到达。汽车平均每小时要行驶多少千米？ 【答案】75千米 【分析】这道题往返的路程是固定不变的，根据路程＝速度×时间，用去时骑自行车的速度和骑行时间，算出两地之间的总路程；再根据速度＝路程÷时间，用这个总路程除以返回时汽车行驶的时间，就能求出汽车的平均速度。 【详解】25×6＝150（千米） 150÷2＝75（千米/小时）。 答：汽车平均每小时行驶75千米。 【例15】（25-26·广东佛山·期末）一辆配送货车从蓝莓采摘基地运送鲜果到生鲜仓，去时用了5小时，空车原路返回用时3小时，基地到生鲜仓距离300千米。这辆货车往返全程平均每小时行驶多少千米？ 【答案】 千米 【分析】求往返平均速度，要用往返总路程除以往返总时间，需先算出总路程和总时间。 【详解】（千米） （小时） （千米） 答：这辆货车往返全程平均每小时行驶千米。 知识点四：不同模型的识别与综合应用 【例16】（25-26·山东青岛·期末）为关爱老年人，某社区组织51名老年人乘车去医院体检。先坐满3辆小巴车，剩下的乘坐中巴车，中巴车坐几人？ (1)根据信息补全示意图。 (2)列式计算。 【答案】(1) (2)（人） 【分析】（1）线段总长度表示总人数，总人数是51人；51人分两部分：一部分老年人坐小巴车，每车坐9人，共坐满3辆，小巴车的乘坐人数是9×3＝27（人）；余下的部分即为乘坐中巴车的人数；据此补全示意图； （2）用总人数减去乘坐小巴车的人数即可，乘坐小巴车的人数等于每辆车的乘客人数乘车的数量。 【详解】（1）略 （2）51－3×9 ＝51－27 ＝24（人） 答：中巴车坐24人。 【例17】（25-26·江苏宿迁·期末）学校开展“图书漂流”捐书活动，四年级同学捐了180本图书，比三年级多捐了45本。三年级同学捐了多少本？三、四年级同学一共捐了多少本？ 【答案】 135本；315本 【分析】已知四年级捐书180本，且四年级比三年级多捐45本，即三年级比四年级少捐45本，用180减去45，求出三年级捐书本数；再加上180，求三、四年级一共捐书本数，列式计算即可。 【详解】三年级同学捐书本数： （本） 三、四年级同学一共捐书本数： （本） 答：三年级同学捐了135本，三、四年级同学一共捐了315本。 【例18】（25-26·山东潍坊·期末）文具店对原价为72元的地球仪进行降价处理，每个地球仪仅售49元。学校买16个这样的地球仪，比原来可以节省多少钱？（列综合算式解答。） 【答案】368元 【分析】先用地球仪原价减去降价后的钱数，再乘购买的数量，就能得到总共节省的金额。 【详解】 （元） 答：比原来可以节省368元。 【例19】（25-26·山东德州·期末）学校为秧歌队购买道具。 (1)一面大鼓的价钱比8把扇子的价钱少4元，一面大鼓多少元？ (2)一条红绸带的价钱比一把扇子便宜10元。用200元可以买多少条红绸带？ (3)超市搞促销活动，购物满300元可减30元。购买20把扇子需要付多少元？ 【答案】(1) 140元 (2) 25条 (3) 330元 【分析】（1）根据题意，先用一把扇子的价格乘8，求出8把扇子的价格，再减去少的4元，即可求出一面大鼓多少元。 （2）先用一把扇子的价格减去10元，求出一条红绸带的价格，用200除以一条红绸带的价格，求出的商即为可以买的条数。 （3）先用一把扇子的价格乘20，求出买20把扇子一共需要多少元，看里面有多少个300元，则减去多少个30元，据此即可求出需要付多少元。 【详解】（1）18×8－4 ＝144－4 =140（元） 答：一面大鼓140元。 （2）200÷（18－10） ＝200÷8 ＝25（条） 答：200元可以买25条红绸带。 （3）18×20＝360（元） 360元里面有1个300元，则可以减30元。 360－30＝330（元） 答：购买20把扇子需要付330元。 【例20】（25-26·安徽六安·期末）甲乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时每小时行85千米，剩下的路程要在2小时内走完，平均每小时需要行驶多少千米？ 【答案】 95千米 【分析】根据路程＝速度×时间，先算出前2小时行驶的路程，再用总路程减去已行驶路程得到剩下的路程，最后除以剩下的行驶时间，即可求出结果。 【详解】（千米） （千米） （千米） 答：平均每小时需要行驶95千米。 四、真题演练提升 1．（25-26·海南省直辖县级单位·期末）陵水一家圣女果采摘乐园的入园费单价为每人10元，可写成( )。新新一家三口前去采摘，应付入园费( )元。 【答案】 元/人 【分析】入园费单价为每人10元，可写作10元/人，表示每个人10元。总价＝单价×数量，这里单价10元/人，数量是3个人，用10乘3即可解答。 【详解】10×3＝30（元） 所以，入园费单价为每人10元，可写成10元/人，新新一家三口前去采摘，应付入园费30元。 2．（25-26·贵州毕节·期末）阳光花店里有月季花和玫瑰花，其数量关系如图所示，月季花的朵数是( )（填“总量”或“分量”），两种花一共有( )朵。 【答案】 分量 90 【分析】判断月季花的属性：总量指的是两种花的全部总数量，月季花只是两类花里其中一类的数量，属于这个整体里的部分；月季花的数量加10朵得到玫瑰花的数量，月季花的数量和玫瑰花的数量相加，就可以算出两种花的总朵数。 【详解】月季花的朵数属于这个整体里的部分，是分量。 40＋10＝50（朵） 40＋50＝90（朵） 3．（24-25·广东东莞·期末）彩虹超市搞促销活动，某品牌饮料原价每瓶6元，现在买二送一。妈妈买了6瓶这种饮料，实际应付( )元，相当于每瓶便宜了( )元。 【答案】 24 2 【分析】买二送一就是每买2瓶送1瓶，即3瓶为一组，只需付2瓶的钱。先算6瓶能分几组，再算实际应付多少元。用实际总价除以瓶数得到实际每瓶价格，再用原价减去实际每瓶价格就是每瓶便宜的钱数。 【详解】买二送一，即每3瓶为一组，只需付2瓶的钱。 实际付的瓶数： 2×（6÷3） ＝2×2 ＝4（瓶） 4×6＝24（元） 每瓶便宜的钱数： 6－（24÷6） ＝6－4 ＝2（元） 所以实际应付24元，相当于每瓶便宜了2元。 4．（25-26·山西临汾·期末）《安徒生童话》共580页，小华周末看了236页，还剩( )页没看完。在这个问题中( )是总量，( )和( )是分量，解决这个问题用到的数量关系式是( )。 【答案】 344 总页数 看了的页数 剩下的页数 总量分量＝另一分量 【分析】已知总量和其中一个分量，求另一个分量，用减法计算。在数量关系中，全书的总页数是总量，看了的页数和剩下的页数是分量。解题时先计算剩余页数，再根据题意分析各数量的角色及它们之间的关系式。 【详解】（页） 因此，还剩344页没看完。 在这个问题中，全书的“总页数”是总量。“看了的页数”和“剩下的页数”是总量分成的两个部分，即分量。求剩下的页数，是用总量减去其中一个分量，得到另一个分量。所以用到的数量关系式是：总量分量＝另一分量。 5．（25-26·河南周口·期末）重庆与西安相距约690千米，一辆汽车从重庆开往西安，每时行75千米，行驶了2小时，剩下的路程若要6时行完，则平均每时需行( )千米。 【答案】90 【分析】根据路程＝速度×时间，计算出行驶了2小时的路程，再用总路程减去已经行驶的路程等于剩余路程，最后再用剩余路程除以6小时，计算出平均每时需行的路程。 【详解】 所以平均每时需行90千米。 6．（25-26·山西太原·期末）一辆汽车在公路上匀速行驶，3小时行210千米，汽车的速度是( )；李老师用530元买了5个同样的足球，足球的单价是( )。 【答案】 70千米/时 106元/个 【分析】行程问题里，速度＝路程÷时间，汽车3小时行驶210千米，用总路程210千米除以行驶时间3小时。 购物问题里，单价＝总价÷数量，5个足球总共花530元，用总价钱530元除以足球个数5。 【详解】210÷3＝70（千米/时） 530÷5＝106（元/个） 一辆汽车在公路上匀速行驶，3小时行210千米，汽车的速度是70千米/时；李老师用530元买了5个同样的足球，足球的单价是106元/个。 7．（25-26·山东东营·期末）一辆洒水车，每分钟行驶200米，洒水的宽度是10米，这辆洒水车行驶3分钟，给地面洒水的面积是( )。 【答案】6000平方米 【分析】洒水的面积可以看作一个长方形，先用每分钟行驶的距离200米乘3分钟求出一共行驶的距离作为长方形的长，洒水的宽度作为长方形的宽，根据长方形的面积＝长×宽，将数据代入计算即可。 【详解】（米） （平方米） 8．（25-26·安徽合肥·期末）一根铁丝长500米，第一次用去168米，第二次用去147米，现在这根铁丝比原来短了多少米？下面列式正确的是（     ）。 A．500－168－147 B．500－168＋147 C．500－（168－147） D．168＋147 【答案】D 【分析】铁丝比原来短的长度就是两次用去的总长度，和铁丝原来的总长度无关。 【详解】两次用去的总长度为（米），即铁丝比原来短315米，对应的列式是。 9．（25-26·贵州贵阳·期末）下列选项中，数量关系可以用“总量＝分量＋分量”的是（     ）。 ① ②③ A．① B．② C．③ D．①②③ 【答案】D 【分析】数量关系“总量＝分量＋分量”指将一个完整的整体划分为两个部分，两个部分的数值相加即可得到整体的总数值。逐一分析每幅图是否符合题目要求。 【详解】图①：整体是一套衣服的总价格，上衣价格150元、裤子价格78元是两个独立分量，总价格＝上衣价格＋裤子价格，符合该数量关系。 图②：整体是鸡和鹅的总只数，鸡的只数、鹅的只数是两个分量，总只数鸡的只数鹅的只数，鹅的只数可通过鸡的只数加11计算得到，整体依然满足总量等于两个分量之和，符合该数量关系。 图③：整体是两个班级的总人数，三（1）班42人、三（2）班36人是两个独立分量，总人数三（1）班人数三（2）班人数，符合该数量关系。 因此，图①、图②、图③的数量关系都符合要求。 10．（24-25·广东东莞·期末）开心书店开展“满200减50”促销活动，小明购买了3本单价65元的故事书和1本单价80元的字典，实际需要支付（    ）元。 A．275 B．245 C．225 D．205 【答案】C 【分析】先根据：单价×数量＝总价，计算购买所有商品的总原价，再根据“满200减50”的规则减去优惠金额，即可得到实际支付的钱数。 【详解】65×3＋80 ＝195＋80 ＝275（元） 275元满了一个200元，可以减一个50元。 275－50＝225（元） 实际需要支付225元。 11．（24-25·上海虹口·期末）一辆汽车从甲地往乙地送货，去的路途中花了3小时，去的平均速度是每小时40千米，回来花了2小时，回来的平均速度是每小时60千米，往返的平均速度每小时是（     ）。 A．50千米 B．48千米 C．52千米 D．54千米 【答案】B 【分析】速度×时间＝路程，计算甲地到乙地的路程；往返平均速度＝往返总路程÷往返总时间，代入数据计算即可。 【详解】40×3×2 ＝120×2 ＝240（千米） 240÷（3＋2） ＝240÷5 ＝48（千米） 所以往返的平均速度每小时是48千米。 12．（25-26·河北邢台·期中）下列动物中，速度最快的是（     ）。 A．猎豹：每分钟跑2千米 B．游隼：10分钟飞50千米 C．野驴：1200米/分 D．非洲鸵鸟：5分钟跑8千米 【答案】B 【分析】根据1千米＝1000米，把各选项中的长度单位化成米后，再根据路程÷时间＝速度，分别计算出动物平均每分钟跑（或飞）的米数，再比较结果的大小，找到结果最大的即是速度最快的。据此解答。 【详解】A．2千米＝2000米，所以，猎豹平均每分钟跑2000米； B．50千米＝50000米，50000÷10＝5000（米），所以，游隼平均每分钟飞5000米； C．野驴平均每分钟跑1200米； D．8千米＝8000米，8000÷5＝1600（米），所以，非洲鸵鸟平均每分钟跑1600米。 5000＞2000＞1600＞1200 所以，速度最快的是游隼：10分钟飞50千米。 故答案为：B 13．（25-26·江苏淮安·期末）看图列式计算。 【答案】445只 【分析】从线段图可知，白兔有296只，灰兔比白兔少147只，要求白兔和灰兔的总数量，需要先求出灰兔的数量，再加上白兔的数量即可。 【详解】296－147＋296 ＝149＋296 ＝445（只） 14．（25-26·安徽滁州·期末）春风小学足球队16名队员外出参加比赛，需要给每人购买一套足球服。已知足球服的单价是108元一套，一共需要多少元？ 【答案】 1728元 【分析】求16套足球服的总费用，用足球服的单价108乘上16套，即可求解。 【详解】（元） 答：一共需要1728元。 15．（25-26·安徽滁州·期末）客车和货车同时从甲地开往乙地，客车的平均速度为75千米/时，货车的平均速度为60千米/时，3小时后两车相距多少千米？ 【答案】 45千米 【分析】两车同时同地同向开往乙地，相距的路程等于客车比货车多行驶的路程，用速度差乘行驶时间即可求出结果。 【详解】（千米/时） （千米） 答：3小时后两车相距45千米。 16．（25-26·海南省直辖县级单位·期末）一辆汽车以100千米/时的速度从甲地开往乙地，4小时到达。从乙地返回时，因下雨，用了5小时。这辆汽车返回时的平均速度是多少千米/时？ 【答案】80千米/时 【分析】根据去时的速度与时间，用速度乘时间求出甲乙两地的路程；返回时路程不变，用路程除以返回的时间，即可求出返回时的平均速度。 【详解】 （千米/时） 答：这辆汽车返回时的平均速度是80千米/时。 17．（25-26·广西贵港·期末）上海到成都的铁路约2090千米。一列火车以110千米/时的速度从上海开往成都，18小时能到达吗？ 【答案】 不能 【分析】先根据路程＝时间×速度算出火车18小时行驶的路程，再与总路程2090千米比较，判断能否到达。 【详解】（千米） 答：18小时不能到达。 18．（25-26·宁夏银川·期末）一辆汽车上午8：30从甲地出发，下午4：30到达乙地，平均每小时行驶75千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】600千米 【分析】统一时间表示，算出行驶时长，下午4：30转换成24时计时法是16：30，用到达时间－出发时间＝行驶时间；利用路程公式计算甲、乙两地距离，路程＝速度×时间。 【详解】行驶时间：16：30－8：30＝8（小时） 甲、乙两地距离：75×8＝600（千米） 答：甲、乙两地相距600千米。 19．（25-26·山西临汾·期末）三（1）班的同学参加环保宣传活动，准备了400份环保宣传单，上午发放了155份，比下午少58份。一共发放了多少份？还剩多少份没有发？ 【答案】 368份；32份 【分析】已知上午发放的份数，且上午比下午少发放58份，说明下午发放的份数比上午多，先用加法算出下午发放的份数，再将上午和下午的份数相加得到总发放份数；用准备的总份数减去总发放份数，就能求出剩余未发放的份数。 【详解】（份） （份） （份） 答：一共发放了368份，还剩32份没有发放。 20．（25-26·河北石家庄·期末）李叔叔做蔬菜批发生意，某天他购进大蒜和土豆各85筐。大蒜每筐55元，土豆每筐45元。李叔叔本次购进蔬菜共花了多少元？ 【答案】8500元 【分析】大蒜和土豆的筐数相同，先算出1筐大蒜与1筐土豆的总价钱，再乘筐数，即为共花的钱数。 【详解】（55＋45）×85 ＝100×85 ＝8500（元） 答：李叔叔本次购进蔬菜共花了8500元。 21．（25-26·辽宁丹东·期末）妙想一家要去古城游玩，从光明镇出发需要先乘坐3时的汽车，在新城换乘动车，再乘坐5时的动车。 (1)从光明镇到新城有多远？ (2)妙想家到古城共有多少千米？ 【答案】(1)225千米 (2)1565千米 【分析】利用“路程＝速度×时间”的关系计算： （1）用汽车速度乘汽车行驶时间，得到光明镇到新城的路程； （2）用动车速度乘动车行驶时间，得到新城到古城的路程，再加上光明镇到新城的路程，得到总路程。 【详解】（1）（千米） 答：从光明镇到新城有225千米。 （2） （千米） 答：妙想家到古城共有1565千米。 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $知识建构 重点聚焦 典例精练 培优拓展 第四单元 加法模型和乘法模型（培优讲义） （原卷版） 资 料 简 介 大家好！这份讲义专为人教版四年级上册的系统学习与复习编制，内容全面深入，能有效满足培优拓展需求，助力学生突破常规、冲刺更高水平，资料包含以下内容： 一、单元知识框架：通过导图形式，清晰呈现单元知识脉络，构建系统化的知识体系，明确学习重点与复习方向。 二、核心知识梳理：聚焦单元基础知识点，强化细节理解与记忆，助力深入学习并灵活运用知识点，夯实知识基础。 三、典例精讲巩固：围绕高频考点，精选典型例题、易错题及压轴题，通过例题拆解分析解题思路，实现“精耕细作”，做到事半功倍。 四、真题演练提升：精选近年各地名校真题，通过实战演练检验知识掌握水平，提升综合应试能力。 一、单元知识框架 二、核心知识梳理 知识点一：加法模型（总量与分量） 1.模型本质与核心公式 （1）模型基于加法“合并、求和”的核心意义，用于描述部分与整体的数量关系，核心是将多个相互独立的零散部分（分量）进行合并，最终得到整体的总数量（总量） （2）核心公式：总量=分量+分量，存在多个独立分量时，总量等于所有分量依次相加的和。 （3）分类求和逻辑：同一组数据可按不同维度拆分分量（如时间维度、类别维度），不同维度计算出的最终总量完全一致。 2.逆运算关系：减法求分量 （1）减法是加法的逆运算，由总量公式可直接推导：分量=总量-另一个分量；多分量场景中，剩余分量=总量-所有已知分量的和。 （2）可用于验算：加法计算可用“总量-一个分量”验证是否等于另一个分量；减法计算可用“分量+分量”验证是否等于总量。 3.常见应用场景 （1）求总数、合计、总和的合并类问题； （2）已知总数，求剩余量、差额、补全表格/单据缺失数据的问题； （3）有增有减的动态场景（如图书借还、车辆增减）的加减混合问题。 知识点二：乘法模型（单价、数量与总价） 1.核心概念定义 （1）单价：单位数量商品的价格，属于复合单位（如元/千克、元/本），读作“元每千克”“元每本”； （2）数量：购买商品的总份数、总重量、总个数等； （3）总价：购买商品花费的总金额。 2.三大核心数量关系 （1）求总价：总价=单价×数量，已知单价和数量，计算总花费； （2）求单价：单价=总价÷数量，已知总花费和购买数量，计算单位商品价格； （3）求数量：数量=总价÷单价，已知总花费和单价，计算可购买的商品数量。 3.典型拓展应用 （1）促销省钱问题，有两种等价解题思路： ①总价差法：节省的总金额=原价总价-现价总价； ②单价差法：节省的总金额=（原价单价-现价单价）×购买数量。 （2）单据补全：根据购物小票、价目表的已知数据，利用三者关系补全缺失的单价、数量或总价。 知识点三：乘法模型（速度、时间与路程） 1.核心概念定义 （1）路程：物体运动经过的总长度，常用单位：米、千米； （2）时间：物体完成全程运动所用的时长，常用单位：秒、分、时； （3）速度：物体单位时间内运动的路程，用于描述运动快慢，属于复合单位（如米/分、千米/时），读作“米每分”“千米每时”。 2.三大核心数量关系 （1）求路程：路程=速度×时间，已知速度和时间，计算总行驶路程； （2）求速度：速度=路程÷时间，已知路程和时间，计算运动的快慢程度； （3）求时间：时间=路程÷速度，已知路程和速度，计算运动所需的时长。 3.速度快慢的比较方法 （1）时间相同：直接比较路程，路程越长，速度越快； （2）路程相同：直接比较时间，用时越短，速度越快； （3）时间、路程均不同：先统一计算单位时间的路程（即速度），再比较速度的数值大小。 4.典型拓展应用 （1）里程表问题：通过「终点里程数-起点里程数」计算实际行驶路程，结合行驶时长可求出平均速度； （2）行程预判：已知速度和行驶时间，计算可行驶路程，预判规定时间内能否到达目的地。 知识点四：不同模型的识别与综合应用 1.实际问题标准化解题流程 （1）阅读理解：提取题目已知条件、限制要求，清晰区分已知量与待求量，明确核心问题； （2）分析匹配：判断问题对应的数量模型（总量分量模型/单价总价模型/路程速度模型），匹配对应的数量关系公式； （3）分步解答：规划解题思路，遵循运算规则分步计算，保证单位统一、计算准确； （4）回顾反思：用逆运算验算结果，验证结果是否符合题目约束与生活实际，总结同类题型的解题规律。 2.组合方案类问题解法 （1）核心方法：枚举法（列举法），按固定顺序列举所有可能的组合，保证不重复、不遗漏； （2）筛选逻辑：根据预算上限、人数限制等约束条件，逐一计算验证，筛选出所有符合要求的可行方案。 3.最优决策类问题解法 （1）单价对比法：计算不同购买/出行方式的单位价格，选择单价最低的方案； （2）总价对比法：计算不同策略的总花费、总时长，选择成本最低、效率最高的方案； （3）常见题型：多件商品选购、门票购票方案、租车租船方案、多规格采购优化等。 4.多步四则运算综合应用 （1）运算规则：严格遵循“在没有括号的算式里，先乘除后加减，有括号时先算括号内”的顺序，每一步计算都要对应清晰的数量关系； （2）常见类型：乘加/乘减混合（多品类总价合计、差额计算）、加减混合（动态数量变化）、逆推计算（已知最终结果反推初始数据）。 三、典例精讲巩固 知识点一：加法模型（总量与分量） 【例1】（25-26·海南省直辖县级单位·期末）欣欣水果店上午售出百香果86千克，下午售出60千克，这一天水果店一共售出多少千克百香果？ 【例2】（25-26·湖南邵阳·期末）根据所求的问题说说总量和分量分别是什么，再列式解答。 问题中的总量是（                     ），分量是（         ）和（           ） 列式解答： 【例3】（25-26·安徽芜湖·期末）三年级同学在社区发放垃圾分类宣传单，上午发放了265张，下午比上午少发了37张。这一天一共发了多少张宣传单？ 【例4】（25-26·河南新乡·期末）明明为了增强体质，制定了每天跳绳的任务，第一天跳了350下，第二天跳了460下。两天一共跳了多少下？ (1)如果把两天一共跳的下数看作总量，( )和( )是分量。 (2)先写出数量关系，再列式解答。 【例5】（25-26·河南平顶山·期末）某小学三年级同学星期一到星期三借阅图书人数统计表如下： 星期 星期一 星期二 星期三 借阅人数/人 132 195 (1)星期二借阅人数比星期三借阅人数少19人。星期三有多少人借书？（先列式计算，再把表格填完整） (2)三年级这三天一共有多少人借阅？（先写出总量和分量再列式解答） 总量是：____________________________________________ 一共有_____________个分量，分别是：____________________________________________ 列式解答： 知识点二：乘法模型（单价、数量与总价） 【例6】（25-26·河北邢台·期末）12名游客去某景区游玩，每张门票146元，他们买门票一共要花多少钱？ 【例7】（24-25·辽宁营口·期末）某年级48名师生去公园游玩，如果公园的门票每张12元，500元够不够？ 【例8】（25-26·安徽芜湖·期末）如图，章强的作业纸不小心沾上了墨水。请根据他的算式，推测看不清的这部分信息应是（    ）。 奶奶在菜市场买了 一共花了105元，每盒鸡蛋15元，排骨每千克多少元？ （105－15×3）÷2 A．3盒鸡蛋和2千克排骨 B．2盒鸡蛋和3千克排骨 C．2盒鸡蛋和2千克排骨 D．3盒鸡蛋和3千克排骨 【例9】（25-26·辽宁沈阳·期末）沈阳故宫门票价格：成人票50元，学生票25元。下面哪个算式可以表示5张成人和1张学生一共需要多少元？（    ） A．50×5－25 B．50＋25×5 C．50×5＋25 D．（50＋25）×5 【例10】（25-26·河南平顶山·期末）礼品店从玩具厂批发了90个毛绒玩具，每个进价150元，按照每个170元出售，如果这些玩具全部卖完，礼品店一共可以赚多少元钱？ 知识点三：乘法模型（速度、时间与路程） 【例11】（24-25·海南省直辖县级单位·期末）一辆汽车从A地到B地行驶了3小时，平均速度是90千米/时，A地到B地的路程是多少千米？ 【例12】（25-26·山西临汾·期末）研学大巴从临汾去往平遥，大巴时速85千米/时，行驶3小时，路程是( )千米，用到的数量关系式是( )。 【例13】（25-26·河南新乡·期末）雨燕在鸟类中飞行能力极为突出，2小时可飞行340千米，这里的340千米指的是( )，雨燕的飞行速度是( )千米/时。 【例14】（25-26·湖南衡阳·期末）奇奇从耒阳蔡伦竹海骑自行车前往常宁油茶小镇，每小时行驶25千米。他骑行6小时到达，第二天坐汽车从油茶小镇返回耒阳蔡伦竹海，2小时到达。汽车平均每小时要行驶多少千米？ 【例15】（25-26·广东佛山·期末）一辆配送货车从蓝莓采摘基地运送鲜果到生鲜仓，去时用了5小时，空车原路返回用时3小时，基地到生鲜仓距离300千米。这辆货车往返全程平均每小时行驶多少千米？ 知识点四：不同模型的识别与综合应用 【例16】（25-26·山东青岛·期末）为关爱老年人，某社区组织51名老年人乘车去医院体检。先坐满3辆小巴车，剩下的乘坐中巴车，中巴车坐几人？ (1)根据信息补全示意图。 (2)列式计算。 【例17】（25-26·江苏宿迁·期末）学校开展“图书漂流”捐书活动，四年级同学捐了180本图书，比三年级多捐了45本。三年级同学捐了多少本？三、四年级同学一共捐了多少本？ 【例18】（25-26·山东潍坊·期末）文具店对原价为72元的地球仪进行降价处理，每个地球仪仅售49元。学校买16个这样的地球仪，比原来可以节省多少钱？（列综合算式解答。） 【例19】（25-26·山东德州·期末）学校为秧歌队购买道具。 (1)一面大鼓的价钱比8把扇子的价钱少4元，一面大鼓多少元？ (2)一条红绸带的价钱比一把扇子便宜10元。用200元可以买多少条红绸带？ (3)超市搞促销活动，购物满300元可减30元。购买20把扇子需要付多少元？ 【例20】（25-26·安徽六安·期末）甲乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时每小时行85千米，剩下的路程要在2小时内走完，平均每小时需要行驶多少千米？ 四、真题演练提升 1．（25-26·海南省直辖县级单位·期末）陵水一家圣女果采摘乐园的入园费单价为每人10元，可写成( )。新新一家三口前去采摘，应付入园费( )元。 2．（25-26·贵州毕节·期末）阳光花店里有月季花和玫瑰花，其数量关系如图所示，月季花的朵数是( )（填“总量”或“分量”），两种花一共有( )朵。 3．（24-25·广东东莞·期末）彩虹超市搞促销活动，某品牌饮料原价每瓶6元，现在买二送一。妈妈买了6瓶这种饮料，实际应付( )元，相当于每瓶便宜了( )元。 4．（25-26·山西临汾·期末）《安徒生童话》共580页，小华周末看了236页，还剩( )页没看完。在这个问题中( )是总量，( )和( )是分量，解决这个问题用到的数量关系式是( )。 5．（25-26·河南周口·期末）重庆与西安相距约690千米，一辆汽车从重庆开往西安，每时行75千米，行驶了2小时，剩下的路程若要6时行完，则平均每时需行( )千米。 6．（25-26·山西太原·期末）一辆汽车在公路上匀速行驶，3小时行210千米，汽车的速度是( )；李老师用530元买了5个同样的足球，足球的单价是( )。 7．（25-26·山东东营·期末）一辆洒水车，每分钟行驶200米，洒水的宽度是10米，这辆洒水车行驶3分钟，给地面洒水的面积是( )。 8．（25-26·安徽合肥·期末）一根铁丝长500米，第一次用去168米，第二次用去147米，现在这根铁丝比原来短了多少米？下面列式正确的是（     ）。 A．500－168－147 B．500－168＋147 C．500－（168－147） D．168＋147 9．（25-26·贵州贵阳·期末）下列选项中，数量关系可以用“总量＝分量＋分量”的是（     ）。 ① ②③ A．① B．② C．③ D．①②③ 10．（24-25·广东东莞·期末）开心书店开展“满200减50”促销活动，小明购买了3本单价65元的故事书和1本单价80元的字典，实际需要支付（    ）元。 A．275 B．245 C．225 D．205 11．（24-25·上海虹口·期末）一辆汽车从甲地往乙地送货，去的路途中花了3小时，去的平均速度是每小时40千米，回来花了2小时，回来的平均速度是每小时60千米，往返的平均速度每小时是（     ）。 A．50千米 B．48千米 C．52千米 D．54千米 12．（25-26·河北邢台·期中）下列动物中，速度最快的是（     ）。 A．猎豹：每分钟跑2千米 B．游隼：10分钟飞50千米 C．野驴：1200米/分 D．非洲鸵鸟：5分钟跑8千米 13．（25-26·江苏淮安·期末）看图列式计算。 14．（25-26·安徽滁州·期末）春风小学足球队16名队员外出参加比赛，需要给每人购买一套足球服。已知足球服的单价是108元一套，一共需要多少元？ 15．（25-26·安徽滁州·期末）客车和货车同时从甲地开往乙地，客车的平均速度为75千米/时，货车的平均速度为60千米/时，3小时后两车相距多少千米？ 16．（25-26·海南省直辖县级单位·期末）一辆汽车以100千米/时的速度从甲地开往乙地，4小时到达。从乙地返回时，因下雨，用了5小时。这辆汽车返回时的平均速度是多少千米/时？ 17．（25-26·广西贵港·期末）上海到成都的铁路约2090千米。一列火车以110千米/时的速度从上海开往成都，18小时能到达吗？ 18．（25-26·宁夏银川·期末）一辆汽车上午8：30从甲地出发，下午4：30到达乙地，平均每小时行驶75千米。甲、乙两地相距多少千米？ 19．（25-26·山西临汾·期末）三（1）班的同学参加环保宣传活动，准备了400份环保宣传单，上午发放了155份，比下午少58份。一共发放了多少份？还剩多少份没有发？ 20．（25-26·河北石家庄·期末）李叔叔做蔬菜批发生意，某天他购进大蒜和土豆各85筐。大蒜每筐55元，土豆每筐45元。李叔叔本次购进蔬菜共花了多少元？ 21．（25-26·辽宁丹东·期末）妙想一家要去古城游玩，从光明镇出发需要先乘坐3时的汽车，在新城换乘动车，再乘坐5时的动车。 (1)从光明镇到新城有多远？ (2)妙想家到古城共有多少千米？ 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $