第18章分式 分层作业-2026-2027学年人教版 数学八年级上册

**基本信息** 同步练，初中数学第18章分式新授课资料，采用“基础过关+提优过关”双层设计，基础层夯实概念与运算，提优层深化综合应用与创新探究，构建从知识理解到能力迁移的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|分式定义、性质、运算、方程及简单应用|单选题辨析概念（如分式个数判断），填空题强化性质（如分式基本性质填空），解答题训练方程求解与基础应用（如购物问题），注重运算能力与模型意识培养| |提优过关|分式综合应用、新定义问题、探究性问题|以合作工程问题（如研学制作任务）、“差积和谐分式”新定义、十字分式方程探究为载体，突出创新意识与逻辑推理能力，实现从知识到能力的进阶|

（分层作业）第18章分式-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．在代数式，，，，中，分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A．4或 B．或4 C．或 D．或4或 7．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 8．某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩960套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前6天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x套校服，则可列分式方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．我国古代数学家祖冲之是世界上第一位将圆周率的值计算到小数第7位的科学家．其推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可表示为______． 10．使式子有意义的的取值范围是______． 11．利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入_______；            （2），括号内应填入_______； （3），括号内应填入_______；         （4），括号内应填入_______． 12．如果，那么式子的值是______． 13．下列变形：①；②；③；④；⑤．其中不正确的是______．（请填写序号） 14．为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，则每个足球的进价是______元． 三、解答题 15．解分式方程： (1)． (2)． 16．先化简，再求值：，其中，且a为整数． 17．中国古都，天下大同，2026年元旦假期，大同古城游人如织，千年城墙下涌动着热闹的人潮，处处洋溢着新年的鲜活气息．鼓楼东街是古城里的人气高地，青石板路被脚步丈量，两侧的古建错落有致，还有的举起相机，记录下古街与新景交融的独特韵味．大家放慢脚步，在青砖灰瓦间感受着大同独有的历史底蕴，体验着与都市快节奏截然不同的闲适与惬意．不同于往日的逛吃模式，文创店成了游客踏足的第一选择．店内摆满了印有云冈石窟、鼓楼、华严寺元素的文创产品，每一件都藏着大同的历史韵味，游客们或细细挑选，或拍照留念，在指尖触摸中感受不一样的古城风情．其中两款纪念品：华严寺鸱吻造型冰箱贴和云冈石窟文创佛头帽销量火爆．佛头帽价格比鸱吻冰箱贴单价多30元，用880元购买佛头帽的数量是用290元购买鸱吻冰箱贴数量的2倍． (1)鸱吻冰箱贴和佛头帽的单价分别是多少元？ (2)某游客计划购买佛头帽和鸱吻冰箱贴的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最少能购买多少个鸱吻冰箱贴的纪念品？ 提优过关 18．“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的倍． (1)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？ (2)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少件才能保证在乘车前完成任务． 19．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， ，是的“差积和谐分式”． (1)①分式________分式的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②的“差积和谐分式”是________； (2)已知分式是分式的“差积和谐分式”， ①求分式；        ②求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 20．形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第18章分式-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B D D B D 1．C 【分析】本题考查的知识点是科学记数法的表示方法，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法． 根据科学记数法的表示方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，，正确，不符合题意，选项错误； 选项，，正确，不符合题意，选项错误 ； 选项，，符合题意，选项正确； 选项，，正确，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．C 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是明确“分母中含有字母的代数式是分式”这一判定依据． 根据分式的定义，逐一判断每个代数式的分母是否含有字母，从而确定分式的个数． 【详解】分式的定义是分母中含有字母的代数式， 对于：分母含有字母，是分式；对于：分母是数字2，不是分式； 对于：分母是常数，不是分式；对于：分母含有字母，是分式； 对于：分母含有字母，是分式． 综上，分式有3个． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需令分母 即可求解． 【详解】∵ 分式有意义时，则分母， ∴ ， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查分式的乘方运算；将分式的分子、分母分别乘方，并注意负数的奇次幂为负． 【详解】解：， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 【详解】解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查分式方程的无解问题， 分式方程无解的情况包括：解出的根为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解（如系数为零导致矛盾）．先找公分母化简方程，再根据方程无解讨论m的取值． 【详解】解：， 两边同乘得，， 整理得，， ∵关于x的分式方程无解， 或， ①当时，； ②当时，，此时或， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，或或． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查最简分式的判断，解题的关键是确定分式的分子与分母是否有公因式． 通过分析各选项分式的分子与分母是否存在公因式，判断是否为最简分式． 【详解】最简分式是指分子和分母没有公因式的分式 A、，分子分母有公因式，可化简，不是最简分式； B、分子与分母无公因式，是最简分式； C、分母，与分子有公因式，可化简为，不是最简分式； D、，分子分母有公因式，可化简，不是最简分式． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了列分式方程．根据题意，原计划生产剩余校服的时间等于提高效率后生产时间加上提前的天数，据此列方程，即可作答． 【详解】解：设更换设备前每天生产套， 依题意，原计划生产剩余套，花费时间为天， ∵生产效率提高， ∴提高后每天生产套，生产时间为天， ∵提前6天完成， ∴， 故选：D． 9． 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10．且且 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，据此解答即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得：且且． 故答案为：且且． 11． x 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式的基本性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：． 12．3 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则． 先对分式进行化简，然后整体代入求值即可． 【详解】解：由得，， ， 故答案为：． 13．①②③ 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，，故①不正确，符合题意； ，故②不正确，符合题意； ，故③不正确，符合题意； ，故④正确，不符合题意； ，故⑤正确，不符合题意． 故答案为：①②③． 14．75 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设每个足球的进价是元，根据“用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍”，即可列分式方程求解． 【详解】解：设每个足球的进价是元，则每个篮球的进价为元， 则， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即每个足球的进价是元， 故答案为：． 15．(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验，时，， ∴分式方程的解为； （2）解：， 两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 16．；当时，原式 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加减法运算，接着把除法运算转化为乘法运算，则约分得到原式，然后确定不等式组的整数解，最后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ，且a为整数． 为，0，1， 且且， 且且， 只可以取0， 当时，原式． 17．(1)鸱吻冰箱贴的单价是58元，则佛头帽的单价是88元 (2)最少能购买80个鸱吻冰箱贴的纪念品 【分析】（1）设鸱吻冰箱贴的单价是x元，则佛头帽的单价是元．根据“用880元购买佛头帽的数量是用290元购买鸱吻冰箱贴数量的2倍”列出分式方程，求解并经验即可； （2）设购买n个鸱吻冰箱贴纪念品，则购买个佛头帽纪念品．根据“所花费用不超过6400元”列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设鸱吻冰箱贴的单价是x元，则佛头帽的单价是元．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴， 答：鸱吻冰箱贴的单价是58元，则佛头帽的单价是88元． （2）解：设购买n个鸱吻冰箱贴纪念品，则购买个佛头帽纪念品．根据题意，得 ， 解得， 答：最少能购买80个鸱吻冰箱贴的纪念品． 18．(1)甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿 (2)不能，12件 【分析】（1）设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作件青铜器皿，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲队的工作效率，再将其代入中，即可求出乙队的工作效率； （2）求出甲、乙两队两小时可完成的工作量，将其与剩下的任务比较后，可得出如果速度保持不变他们不能在乘车前完成任务，设两队合作后每小时需要多做y件才能保证在乘车前完成任务，根据两队要在乘车前完成任务，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作件青铜器皿， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 件 答：甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿； （2）解：第1小时甲、乙两队共制作：（件）， 总任务为（件）， 剩下的任务为（件）． 合作时，甲、乙两队每小时共制作（件）， 因为，所以他们不能在乘车前完成任务． 设两队合作后每小时需要多做件才能保证在乘车前完成任务， 根据题意得：， 解得：． 所以的最小值为12． 答：不能在乘车前完成任务，两队合作后每小时至少需要多做12件才能保证在乘车前完成任务． 19．(1)①不是；② (2)①；②当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4 【分析】（1）①根据“差积和谐分式”的定义判断即可；②设的“差积和谐分式”是，再结合“差积和谐分式”的定义计算即可得出结果； （2）①根据“差积和谐分式”的定义计算即可得出结果；②由①可得，再结合正整数的定义求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴分式不是分式的“差积和谐分式”； ②设的“差积和谐分式”是， 由题意得， ∴， ∴， ∴； 即的“差积和谐分式”是 （2）解：①根据题意得， ， ， ； ②， 当整数，，1或3时，分式的值分别是2，，6或4． ∵分式的值是正整数， 当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4． 20．(1)， (2) (3)8 【分析】本题考查完全平方公式，分式方程；理解十字分式方程的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． （1）类比题目中十字分式方程的答题方法即可求解； （2）结合运用十字分式方程并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用十字分式方程的解得到，，代入式子根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． （2）解∶∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ． （3）解：关于的十字分式方程可化为， 即， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为8． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 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