第15章轴对称 分层作业-2026-2027学年人教版 数学八年级上册

**基本信息** 分层设计明确，覆盖轴对称全章知识点，从基础概念到综合应用递进，通过生活情境与探究问题培养抽象能力、推理意识及创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|轴对称图形识别、坐标对称、等腰三角形性质、垂直平分线基础应用|结合AI软件图标等生活情境，以选择、填空、基础解答题为主，强化概念理解与基本技能| |提优过关|轴对称性质综合证明、动态等腰三角形存在性、尺规作图与探究|通过折叠问题、多情况分类讨论等题型，培养逻辑推理与创新意识，衔接阶段测评综合考点|

（分层作业）第15章轴对称-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点在上，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 6．如图，在中，，，点，分别是，上的动点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为（   ）    A．或 B．或 C．，或 D．，或 7．如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，与线段交于点，在直线上取一点，连接，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．12 8．如图，点、是的边上的动点（），，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的长度，有以下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．①②④ 二、填空题 9．中，，上的高为，，则顶角___________． 10．已知点和关于轴对称，则______． 11．如图，已知，，的交点E在线段的垂直平分线上，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：_______． 12．如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为______． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，若，，点B与D关于y轴对称，，则点C的坐标是_____． 14．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若的周长为12，的周长为21，则的长为_______． 三、解答题 15．如图，平分，，．求证：． 16．如图，在中 ，垂直平分， 分别交于点，连接． (1)若，则的度数为_____． (2)若的周长为14，求的周长． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，， (1)画出关于轴对称的，直接写出点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)在轴上有一点，使得最小，在图中标出点（保留作图痕迹）． 提优过关 18．如图，在中，，平分． (1)请用尺规作图，作的角平分线交于E，交于点O（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：.请完成下列证明的推理过程． 证明：∵， ∴ ① ∵平分，平分 ∴， ∴ ② ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴． 19．已知中，，点，E分别在边上，和相交于点，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，过点B作于点H，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，请直接写出线段的长． 20．在等边中，，点是边上的点（不与点，重合），连接． 【初步感知】如图①，点是边上的点，连接交于点，若，求证：； 【深入探究】如图②，是的外角的角平分线，若，求证：； 【拓展运用】如图③，在【初步感知】的条件下，延长至点，连接，当时，设，请直接写出的值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第15章轴对称-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B C D C C 1．B 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 2．C 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 3．A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质，并用方程思想结合三角形内角和定理建立等式是解题的关键． 通过设未知数表示各角的度数，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角性质和内角和定理，建立方程求解的大小． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：． 4．B 【分析】本题考查等边三角形的性质、角平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，关键在于运用含的直角三角形中“角所对直角边等于斜边一半”的性质进行线段关系的推导． 借助等边三角形 “三线合一” 定中点，结合含直角三角形性质分析线段关系，再通过边长公式验证选项即可． 【详解】解：因为是等边三角形， 所以， 由于平分，那么， 将代入可得， 在中，，，则， 可得， 因为是等边三角形， 所以， 又因为平分，即，那么， 把代入， 可得． 而， 将代入可得，选项B正确， 在等边中，平分交于点，过点作于点， 因为，所以，选项A错误， 在中，，可得， ， 所以，选项C错误， 由前面分析可知，， 则， 所以，选项D错误． 故选：B． 5．C 【分析】此题考查了关于y轴对称的点的特点，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了含直角三角形，折叠问题，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论． 由，得，分三种情况讨论∶①当时，可得，；②当时，即得，即得，；③当时，可得，． 【详解】解∶由折叠可得，， ，， ， 分三种情况讨论∶ 当时，如图：   ， ， ∴； ②当时，如图：   ， ， ∴； ③当时，如图：   ， ， ， 综上所述，为 ，或， 故选∶D． 7．C 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30度角的直角三角形，根据作图可知：，得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，， ∴； 故选C． 8．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会特殊位置解决问题．作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形，另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，求出此时的长度即可． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形， 过点M作于H，当，即时，满足是等腰三角形的点P恰好只有一个， 当时， ∵， ∴； ∴当时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个； 当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时，， ∴， ∴， ∴此时． 综上所述，或． ∴所有正确结论的序号是①④． 故选：C． 9．或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,等边三角形的性质与判定；根据为锐角三角形和钝角三角形两种情况分类讨论解答即可． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图1：取的中点，连接 ∴， ， ∴ ，， ， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ； 当为钝角三角形时，如图2：取的中点，连接 同理可得， ， 综上所述，或． 故答案为：或． 10． 【分析】本题考查的是关于x轴对称的点的坐标特点，求解代数式的值，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，再计算的值，最后求幂． 【详解】解：点和关于轴对称， 因此，，且， 解得，， 所以， 故， 故答案为：． 11．或 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定，证明，再进一步求解即可. 【详解】解：∵的交点E在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， 根据“”判定， 只需添加或． 故答案为：或． 12．22 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故答案为：22． 13． 【分析】本题考查轴对称性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． 先根据轴对称性质求得，再根据三角形的内角和定理求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：由轴对称性质得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 14．9 【分析】本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，掌握此性质是解题的关键；由作图知是线段的垂直平分线，则得，由的周长可得的长，再由的周长即可求得． 【详解】解：由作图知是线段的垂直平分线， 则， ∵的周长为12， ∴， ∵的周长为21， 即， ∴， 故答案为：9． 15． 证明：如图，过点作于点， 平分，，， ． 在和中，， ， ， ，， ， ， ． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形三线合一，过点作于点，由角平分线的性质可得，利用证明，推出，结合，，利用等腰三角形三线合一可得，即可证明． 【详解】略 16．(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）先根据根据线段垂直平分线的性质得到，进而根据等边对等角即可求出的度数； （2）根据线段垂直平分线的性质求出，再通过等量代换即可求出结论． 【详解】（1）解：∵是线段垂直平分线上的点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是线段垂直平分线上的点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∴的周长． 17．(1) 如图所示： ， (2)如图， 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换与最短路径问题． （1）关键是关于轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变； （2）利用“两点之间线段最短”，通过作对称点将折线转化为直线段，从而找到最短路径的点． 【详解】（1）解：点坐标为，点坐标为． 故答案为：，； （2）解：连接，线段与轴的交点即为点． 18．(1) 解：如图所示，即为所求． (2)①，②，③ 【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质． （1）以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，再分别以这两点为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于一点，连接该点至点C，并反向延长交点E，则的角平分线即为所求； （2）根据已知条件和角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质补充过程即可． 【详解】（1）略 （2）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①，②，③． 19．(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； (2) 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3)16 【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键． （1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 20． （1）如下图所示： ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴． （2）过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵, ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3） 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． （1）由角度等量关系先得出，后证明出，可证出； （2）过点作交于点，先证出为等边三角形，随后证明，即可得； （3）在上截取，连接，构造出等边三角形，证出，结合角度关系，得出，由线段和差计算，可计算出的值． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）在上截取，连接，如下图所示： ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $