15.3 等腰三角形同步练习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级数学等腰三角形同步练习，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层，覆盖核心知识点，梯度合理，适配新授课概念强化与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|三线合一、等边对等角、全等判定|单选1（路灯安装情境）、填空11（三角板操作），结合生活实例强化概念理解| |能力提升|格点作图、坐标系应用、折叠问题|单选7（网格等腰直角三角形）、填空14（矩形折叠），通过图形变换培养几何直观| |综合应用|最短路径、对称变换、动态几何|解答20（二次对称与正方形）、填空15（牧马饮马问题），融合多知识点发展创新意识与模型观念|

15.3 等腰三角形 同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于，这种操作方法的依据是（    ） A．垂线段最短 B．等边对等角 C．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 2．下列说法：①等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；②有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；③等腰三角形的顶角平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等；④角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．其中正确的说法有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，，点在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，若某个三角形能与拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的三角形有（   ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 5．如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是（　　）    A．18 B．19 C．20 D．21 6．在中，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 8．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 9．如图，是的边上的中线，在上取一点，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 10．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题 11．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若，则是________三角形． 12．在中，已知，，则的取值范围是_____． 13．如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为_______． 14．如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为______． 15．如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米． 三、解答题 16．如图，在中，，，求证：． 17．如图，一轮船由西向东以海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，航行小时后，轮船在处测得小岛在北偏东方向，已知小岛周围海里范围内有暗礁，若轮船继续向前航行，有没有触礁的危险？为什么？ 18．如图，是等边三角形，为边延长线上一点，平分，． (1)求证：； (2)判别是什么特殊三角形？并说明理由． 19．在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 20．在平面直角坐标系中，直线m为经过且垂直于y轴的直线，直线n为经过且垂直于x轴的直线．图形G关于直线m的对称图形称为图形G的一次对称图形；记作图形，图形关于直线n的对称图形称为图形G的二次对称图形，记作图形． 根据定义，回答下列问题： (1)点的一次对称点的坐标与二次对称点的坐标分别为_______，________． (2)点在第三象限，，分别是点B的一次对称点与二次对称点，为等腰直角三角形． ①求y与x之间满足的数量关系； ②已知，，写出的最小值为_______； (3)已知点，，若以为边的正方形（P、Q在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，写出a的取值范围． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C B D B B C B 1．【答案】C 【知识点】三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”性质，关键是识别图形中的等腰三角形，并利用其性质判断垂直关系． 【详解】解：已知，所以是等腰三角形． 又因为，所以是等腰底边上的中线． 根据等腰三角形“三线合一”的性质(等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合)，可知也是底边上的高，即． 因为点在路灯上，所以． 因此，这种操作方法的依据是“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”． 故选：C． 2．【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查角平分线的判定性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，根据相关知识点逐一判断各说法即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形顶角外角的一半与底角相等，形成同位角或内错角，所以顶角的外角平分线与底边平行，∴ ①正确； ∵ 两边和一角对应相等可能为，不一定全等，∴ ②错误； ∵ 等腰三角形顶角平分线平分顶角，由可证全等，∴ ③正确； ∵ 角的内部到两边距离相等的点必在角平分线上，∴ ④正确. ∴ 正确说法有3个， 故选B． 3．【答案】D 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，等边对等角及三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 由全等三角形的性质，可得，，确定，结合图形求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，点在上， ∴， ∴． 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质作图即可解题． 【详解】如图所示，这样的三角形共有7种， 故选：C． 5．【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．根据角平分线的定义，得出，，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，再根据等量代换，得出，，再根据等角对等边，得出，，再根据的周长是13，得出，再根据三角形的周长，即可得出的周长． 【详解】解：与的平分线交于点， ，， 又， ，， ，， ，， 的周长是13， ， ， 即， 又， 的周长为：． 故选：B 6．【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题可利用含角的直角三角形的性质求解，根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，可知. 【详解】解：如下图所示， 在中，，，， ． 故选：D． 7．【答案】B 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰；画出图形，即可解决问题． 【详解】解：如图，分两种情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个； 综上所述，满足条件的格点C的个数是3个． 故选：B． 8．【答案】B 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】分类讨论①②③时，求出点P的个数． 【详解】因为为等腰三角形， 所以可分三类讨论： ①(有一个)．此时只要以A为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P； ②(有两个)．此时只要以O为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择； ③(一个)．作的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择． 综上所述，共有4个． 故选B.    【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质，解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏． 9．【答案】C 【知识点】等边对等角、根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，恰当作辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 延长，使得，连接，先证，得到，，进而可得，则，再由即可求解． 【详解】延长，使得，连接， 是的边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10．【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、找出图中的等腰三角形、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 11．【答案】等边 【知识点】等边三角形的判定、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质得到 ．由平行线的性质得到，又，由三角形内角和定理求出，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】解：∵直尺的对边平行 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 12．【答案】 【知识点】求不等式组的解集、三角形内角和定理的应用、大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的边角关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系，大边对大角，结合内角和定理列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形内角和定理，， 代入得， 即， 故， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．【答案】9 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M是的中点，即可求解． 【详解】证明：如图，连接． ∵在等边中，点是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点， ∴． 故答案为：． 14．【答案】2 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查折叠问题，含有角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，熟知相关性质是解题的关键． 根据题意可得，再证明为等边三角形，即可得，则可得． 【详解】解：是长方形， ， 根据折叠可得， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 15．【答案】4 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质 【分析】在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等边三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、， ，，，，，， 的周长为， 当最小时，的周长最小， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， 点到的距离为， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查轴对称，等边三角形，最短路径问题，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 16．【答案】见解析 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角；根据得出，进而根据平行线的性质，得出，等量代换，即可得证． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 17．【答案】若轮船继续向前航行，没有触礁的危险，理由见解析． 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长 【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的性质，等角对等边，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．作，利用直角三角形性质求出长，再和海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁． 【详解】解：作于， ∵在处测得小岛在北偏东方向， ∴， ∵在处测得小岛在北偏东方向， ∴， ∴， ∴， ∵海里， ∴海里， ∴海里， ∵， ∴若轮船继续向前航行，没有触礁的危险． 18．【答案】(1)证明见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】（）通过等边三角形性质、角平分线性质得到相等的边和角，证明，从而得对应角相等； （）利用全等三角形性质得到及角关系，计算，判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：为等边三角形， ∵， ∴， 即， ∴， ∴为等边三角形． 19．【答案】(1)图中共有5个等腰三角形 (2)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、找出图中的等腰三角形、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． （2）略 20．【答案】(1)； (2)①；② (3) 【知识点】最短路径问题、等腰三角形的性质和判定、求不等式组的解集、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据轴对称的性质即可求解； （2）①根据一次对称和二次对称的定义得到，，推出，再根据为等腰直角三角形得到，整理即可得出答案；②过点作垂直于轴的直线，过点作于点，易证是等腰直角三角形，则有，得出，再计算出当三点共线时的长度，即可得出答案； （3）求出正方形的二次对称图形的各顶点坐标，再根据二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，列出关于的不等式，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，直线m为直线，直线n为直线， 点关于直线m对称的点为，点关于直线n对称的点为， ∴点的一次对称点的坐标为，二次对称点的坐标为； 故答案为：；； （2）解：①∵点在第三象限， ∴，， ∵点关于直线m对称的点为，点关于直线n对称的点为， ∴点的一次对称点的坐标为，二次对称点的坐标为， ∴，， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得：， ∴y与x之间满足的数量关系为； ②如图，过点作垂直于轴的直线，过点作于点， 则直线为直线， 由①得，点的坐标为， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为， 此时为点到直线的距离， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； （3）解：∵点，，正方形（P、Q在线段的上方）， ∴，， ∴正方形的二次对称图形的各顶点为，，，， ∵二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的性质与判定，最短路径问题，求不等式的解集，理解一次对称图形与二次对称图形的新定义是解题的关键．本题属于坐标与图形综合题，需要较强的几何推理和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $