15.1.2《轴对称及其性质》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学人教版八年级上册第15章轴对称第2课时同步练，通过“基础-进阶-中考”三层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|线段垂直平分线性质/判定、互逆命题、尺规作图（单一知识点）|选择/填空/简单证明，直接应用定理，如性质求线段长度、判定判断点位置| |进阶思维题|性质与判定综合应用、逆定理辨析、含特殊角的几何计算|综合解答题，结合等腰三角形、直角三角形，如含30°角的周长计算| |中考链接题|中考真题题型，融合轴对称与三角形性质的综合应用|对接中考考点，如筝形判定、垂直平分线与等腰三角形结合的证明|

人教版八年级上册 第15章 轴对称 1.图形的轴对称 第2课时 线段的垂直平分线 本节知识点总结 1．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 2．线段垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 3．性质定理与判定定理是互逆定理：性质定理是"点在垂直平分线上→到两端点距离相等"；判定定理是"到两端点距离相等→点在垂直平分线上"。 4．互逆命题：两个命题的题设和结论正好相反，叫做互逆命题。原命题成立，逆命题可能成立也可能不成立。 5．互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理。 6．线段垂直平分线的尺规作图：分别以点A和点B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线。 7．作对称轴的方法：找一对对称点，作连接它们的线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是对称轴。 8．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 线段垂直平分线性质定理的应用（求线段长度） 1．（2025秋·北京海淀·期中）直线是线段AB的垂直平分线，点P在上，若PA = 5，则PB =（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．无法确定 【答案】B 【分析】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以PB=PA=5。 【详解】解：∵ 直线是线段AB的垂直平分线，点P在l上， ∴ PB = PA（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。 ∵ PA = 5，∴ PB = 5。 故选：B。 2.（2025秋·上海浦东·月考）如图，DE是线段AB的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D。若AB = 8，AC = 10，BC = 8，则△BCD的周长为__18____。 【答案】18 【分析】由DE是AB的垂直平分线得DA=DB，△BCD的周长=BC+CD+DB=BC+CD+DA=BC+AC=8+10=18。 【详解】解：∵ DE是线段AB的垂直平分线，点D在DE上， ∴ DA = DB（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。 △BCD的周长 = BC + CD + DB = BC + CD + DA = BC + AC。 ∵ AC = 10，BC = 8， ∴ △BCD的周长 = 8 + 10 = 18。 故答案为：18。 3．（2025秋·广东深圳·单元测）如图，在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE。 （1）求证：EA = EB； （2）若AB = 10，BC = 6，求△BCE的周长。 【答案】（1）证明见详解；（2）△BCE的周长为16 【分析】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据性质定理得EA=EB；（2）△BCE的周长=BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC。 【详解】解：（1）证明：∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上， ∴ EA = EB（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。 （2）△BCE的周长 = BC + CE + EB。 由（1）知 EB = EA， ∴ △BCE的周长 = BC + CE + EA = BC + AC。 ∵ AB = AC = 10，BC = 6， ∴ △BCE的周长 = 6 + 10 = 16。 答：（1）EA = EB得证；（2）△BCE的周长为16。 题型02 线段垂直平分线判定定理的应用 4．（2025秋·江苏南京·期中）已知点P到线段AB两端点的距离相等，即PA = PB，则下列说法正确的是（　　） A．点P是AB的中点 B．点P在AB的垂直平分线上 C．过点P的直线是AB的垂直平分线 D．点P一定在AB上 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【详解】解：根据线段垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB，∴ 点P在AB的垂直平分线上。 A选项，点P不一定是AB的中点，可能在AB外； C选项，过点P的直线不一定是AB的垂直平分线，只有过P且垂直AB的直线才是； D选项，点P不一定在AB上，可以在AB外。 故选：B。 5．（2024秋·浙江杭州·月考）已知点A(1, 0)，B(5, 0)，点P的坐标为(3, 4)，则点P____在__（填"在"或"不在"）线段AB的垂直平分线上。 【答案】在 【分析】计算PA和PB的长度，PA=PB则在垂直平分线上。 【详解】解：PA = = = = 2， PB = = = = 2。 ∵ PA = PB，∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 故答案为：在。 6．（2025秋·山东济南·期中）在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，且DB = DC。求证：直线AD是线段BC的垂直平分线。 【答案】证明见详解 【分析】由AB=AC得点A在BC的垂直平分线上，由DB=DC得点D在BC的垂直平分线上，两点确定一条直线，所以AD是BC的垂直平分线。 【详解】证明：∵ AB = AC， ∴ 点A在BC的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。 ∵ DB = DC， ∴ 点D在BC的垂直平分线上（同理）。 ∵ 两点确定一条直线， ∴ 直线AD是线段BC的垂直平分线。 题型03 性质定理与判定定理的综合应用 7．（2025秋·湖北武汉·月考）如图，在△ABC中，∠ABC = 85°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE。若∠A = 40°，则∠EBC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【答案】B 【分析】由DE是AB的垂直平分线得EA=EB，所以∠EBA=∠A=40°，∠EBC=∠ABC-∠EBA=85°-40°=45°。 【详解】解：∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上， ∴ EA = EB（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。 ∴ ∠EBA = ∠A = 40°（等边对等角）。 ∵ ∠ABC = 85°， ∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠EBA = 85° - 40° = 45°。 故选：B。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）在△ABC中，AB = AC = 8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△BCE的周长为14，则BC = __6____。 【答案】6 【分析】由DE是AB的垂直平分线得EA=EB，△BCE的周长=BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC，所以BC=14-8=6。 【详解】解：∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上， ∴ EA = EB。 △BCE的周长 = BC + CE + EB = BC + CE + EA = BC + AC。 ∵ AC = 8，△BCE的周长 = 14， ∴ BC + 8 = 14，解得 BC = 6。 故答案为：6。 9．（2025秋·河南郑州·月考）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE。 （1）求证：EA = EB； （2）若∠A = 30°，求∠CBE的度数。 【答案】（1）证明见详解；（2）∠CBE = 30° 【分析】（1）由DE是AB的垂直平分线得EA=EB；（2）由EA=EB得∠EBA=∠A=30°，在Rt△ABC中∠ABC=60°，所以∠CBE=∠ABC-∠EBA=30°。 【详解】解：（1）证明：∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上， ∴ EA = EB（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。 （2）由（1）知 EA = EB，∴ ∠EBA = ∠A = 30°（等边对等角）。 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°， ∴ ∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°。 ∴ ∠CBE = ∠ABC - ∠EBA = 60° - 30° = 30°。 答：（1）EA = EB得证；（2）∠CBE的度数为30°。 题型04 互逆命题与互逆定理的判断 10．（2025秋·河北石家庄·期中）命题"对顶角相等"的逆命题是（　　） A．对顶角不相等 B．相等的角是对顶角 C．不是对顶角不相等 D．相等的角不是对顶角 【答案】B 【分析】原命题的题设是"两个角是对顶角"，结论是"这两个角相等"，逆命题交换题设和结论。 【详解】解：原命题"对顶角相等"可以写成"如果两个角是对顶角，那么这两个角相等"。 题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等。 逆命题交换题设和结论："如果两个角相等，那么这两个角是对顶角"，即"相等的角是对顶角"。 故选：B。 11．（2025秋·陕西西安·月考）下列定理中，有逆定理的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D．全等三角形的周长相等 【答案】C 【分析】判断每个定理的逆命题是否为真命题，是真命题的才有逆定理。 【详解】解：A选项，逆命题是"相等的角是对顶角"，是假命题（如两直线平行同位角相等但不是对顶角），没有逆定理； B选项，逆命题是"对应角相等的三角形全等"，是假命题（相似三角形对应角相等但不一定全等），没有逆定理； C选项，逆命题是"到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上"，是真命题，即线段垂直平分线的判定定理，有逆定理； D选项，逆命题是"周长相等的三角形全等"，是假命题，没有逆定理。 故选：C。 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）命题"如果a = b，那么a² = b²"的逆命题是___如果a² = b²，那么a = b___，这个逆命题是___假___命题（填"真"或"假"）。 【答案】如果a² = b²，那么a = b；假 【分析】交换题设和结论得到逆命题，再判断真假（a²=b²时a可能等于-b）。 【详解】解：原命题"如果a = b，那么a² = b²"的题设是a = b，结论是a² = b²。 逆命题交换题设和结论："如果a² = b²，那么a = b"。 这个逆命题是假命题，因为当a² = b²时，a = b或a = -b（如a=2，b=-2时a²=b²但a≠b）。 故答案为：如果a² = b²，那么a = b；假。 题型05 线段垂直平分线的尺规作图 13．（2025秋·重庆沙坪坝·月考）用尺规作线段AB的垂直平分线，下列作法正确的是（　　） A．分别以A、B为圆心，以任意长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线 B．分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线 C．分别以A、B为圆心，以小于AB的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线 D．以AB的中点为圆心，以任意长为半径作弧，交AB于两点，过这两点作直线 【答案】B 【分析】尺规作线段垂直平分线的标准作法：分别以A、B为圆心，以大于½AB的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线。半径必须大于½AB，否则两弧不相交。 【详解】解：尺规作线段AB的垂直平分线的标准作法： ① 分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点； ② 作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线。 故选：B。 14．（2025秋·天津南开·期中）已知线段AB，用尺规作出AB的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），并说明CD为什么是AB的垂直平分线。 【答案】作图见详解，理由见详解 【分析】按标准作法作图，然后利用SSS证明△ACD≌△BCD，得到AC=BC且AD=BD，从而CD是AB的垂直平分线。 【详解】解：作图：分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点，作直线CD，CD即为所求。 理由：连接AC、AD、BC、BD。 由作图可知 AC = BC，AD = BD（同圆半径相等）。 在△ACD和△BCD中： AC = BC，AD = BD，CD = CD（公共边）， ∴ △ACD ≌ △BCD（SSS）。 ∴ ∠ACD = ∠BCD。 又∵ AC = BC，∴ CD是等腰△ABC顶角的平分线， 根据等腰三角形三线合一，CD垂直平分AB。 即CD是AB的垂直平分线。 15．（2025秋·四川成都·月考）用尺规作线段AB的垂直平分线时，分别以A、B为圆心作弧，所作弧的半径必须___大于___（填"大于""等于"或"小于"）½AB，这样两弧才能相交于两点。 【答案】大于 【分析】半径大于½AB时两弧相交于两点；等于½AB时两弧相切于一点；小于½AB时两弧不相交。 【详解】解：用尺规作线段AB的垂直平分线时，分别以A、B为圆心作弧， 若半径大于AB，两弧相交于两点； 若半径等于AB，两弧相切于AB的中点（只有一个交点）； 若半径小于AB，两弧不相交。 所以半径必须大于AB。 故答案为：大于。 题型06 作对称轴 16．（2025秋·安徽合肥·期中）已知两个图形成轴对称，要作它们的对称轴，下列方法正确的是（　　） A．作任意一对对称点连线的垂直平分线 B．作任意两点连线的垂直平分线 C．作两个图形的公共弦 D．作两个图形对应顶点连线的平行线 【答案】A 【分析】对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，所以作一对对称点连线的垂直平分线即可。 【详解】解：根据轴对称的性质：对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。 所以要作两个成轴对称图形的对称轴，只需作任意一对对称点连线的垂直平分线即可。 故选：A。 18.（2025秋·福建福州·月考）如图，点A和点A'是一对对称点，用尺规作出它们的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）。 【答案】作图见详解 【分析】作线段AA'的垂直平分线，这条垂直平分线就是对称轴。 【详解】解：作法： ① 连接AA'； ② 分别以A、A'为圆心，以大于AA'的长为半径作弧，两弧交于C、D两点； ③ 作直线CD，直线CD就是所求作的对称轴。 理由：对称轴是对称点连线的垂直平分线，CD是AA'的垂直平分线，所以CD是对称轴。 18．（2025秋·江西南昌·期中）已知点A(2, 3)和点A'(6, 3)关于某条直线对称，则这条对称轴是直线__4____。 【答案】x = 4 【分析】对称点连线AA'是水平线段（y=3），中点为(4,3)，垂直平分线是竖直线x=4。 【详解】解：点A(2, 3)和点A'(6, 3)的纵坐标相同，所以AA'是水平线段。 AA'的中点坐标为((2+6)/2, (3+3)/2) = (4, 3)。 AA'的垂直平分线是过中点(4,3)且垂直于AA'的直线，AA'是水平的，所以垂直平分线是竖直的，即x = 4。 故答案为：x = 4。 题型07 过直线外一点作已知直线的垂线 19．（2025秋·广西南宁·月考）用尺规经过已知直线外一点P作的垂线，下列作法正确的是（　　） A．以P为圆心作弧交于A、B，再分别以A、B为圆心作弧交于Q，作直线PQ B．以P为圆心作弧交于A、B，再以A为圆心作弧交于Q，作直线PQ C．直接过P作的垂线 D．以P为圆心作弧交于A，作直线PA 【答案】A 【分析】标准作法：以P为圆心作弧交于A、B，再分别以A、B为圆心作弧交于Q，作直线PQ，PQ就是所求垂线。 【详解】解：尺规经过已知直线l外一点P作的垂线的标准作法： ① 以点P为圆心，以适当长为半径作弧，交直线于A、B两点； ② 分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧在的另一侧交于点Q； ③ 作直线PQ，直线PQ就是所求作的垂线。 故选：A。 20.（2025秋·云南昆明·期中）已知直线和直线外一点P，用尺规经过点P作直线的垂线（不写作法，保留作图痕迹）。 【答案】作图见详解 【分析】按标准作法作图：以P为圆心作弧交于A、B，再分别以A、B为圆心作弧交于Q，作直线PQ。 【详解】解：作法： ① 以点P为圆心，以适当长为半径作弧，交直线于A、B两点； ② 分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧在的另一侧交于点Q； ③ 作直线PQ，直线PQ就是所求作的垂线。 理由：由作图可知 PA = PB，QA = QB， ∴ 点P、Q都在AB的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在垂直平分线上）， ∴ 直线PQ是AB的垂直平分线，即PQ ⊥ 。 21．（2025秋·贵州贵阳·月考）用尺规经过直线外一点P作l的垂线时，先以P为圆心作弧交于A、B两点，再分别以A、B为圆心作弧，两弧的半径必须__大于____（填"大于""等于"或"小于"）½AB，两弧才能相交。 【答案】大于 【分析】与作线段垂直平分线同理，半径必须大于AB，两弧才能相交于两点。 【详解】解：用尺规经过直线l外一点P作的垂线时，先以P为圆心作弧交于A、B两点， 再分别以A、B为圆心作弧，两弧的半径必须大于AB，两弧才能相交于一点Q。 若半径等于½AB，两弧相切；若半径小于½AB，两弧不相交。 故答案为：大于。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2025秋·北京朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE = 5，EC = 3，则BC的长不可能是（　　） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】由DE是AB的垂直平分线得BE=AE=5，在△BCE中，BE=5，EC=3，由三角形三边关系得5-3<BC<5+3，即2<BC<8，所以BC不可能是7。 【详解】解：∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上， ∴ BE = AE = 5（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。 在△BCE中，BE = 5，EC = 3， 由三角形三边关系得：BE - EC < BC < BE + EC， 即 5 - 3 < BC < 5 + 3，所以 2 < BC < 8。 A选项4在范围内，B选项6在范围内，C选项7在范围内，D选项9不在范围内。 题目问"不可能"，10肯定不可能，8也取不到（严格小于8）。 故选：D。 2．（2025秋·上海闵行·月考）下列命题中，逆命题为真命题的是（　　） A．如果a = b，那么|a| = |b| B．对顶角相等 C．全等三角形的面积相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】分别写出各命题的逆命题并判断真假。 【详解】解：A选项，逆命题是"如果|a| = |b|，那么a = b"，是假命题（如a=2，b=-2）； B选项，逆命题是"相等的角是对顶角"，是假命题； C选项，逆命题是"面积相等的三角形全等"，是假命题； D选项，逆命题是"到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上"，是真命题（线段垂直平分线的判定定理）。 故选：D。 3．（2024-2025八年级上·广东广州·单元测）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE。若∠B = 25°，则∠CAE的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】由DE是AB的垂直平分线得EA=EB，所以∠EAB=∠B=25°，在Rt△ABC中∠CAB=65°，所以∠CAE=∠CAB-∠EAB=65°-25°=40°。 【详解】解：∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上， ∴ EA = EB（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。 ∴ ∠EAB = ∠B = 25°（等边对等角）。 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 25°， ∴ ∠CAB = 180° - 90° - 25° = 65°。 ∴ ∠CAE = ∠CAB - ∠EAB = 65° - 25° = 40°。 故选：C。 4．（2025秋·江苏苏州·期中）已知点P在∠AOB的内部，点P关于OA的对称点是P₁，点P关于OB的对称点是P₂，则△P₁OP₂是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】由轴对称性质得OP₁=OP，OP₂=OP，所以OP₁=OP₂，△P₁OP₂是等腰三角形。 【详解】解：∵ 点P关于OA的对称点是P₁， ∴ OA是PP₁的垂直平分线，∴ OP₁ = OP（线段垂直平分线上的点到两端点距离相等）。 ∵ 点P关于OB的对称点是P₂， ∴ OB是PP₂的垂直平分线，∴ OP₂ = OP。 ∴ OP₁ = OP₂， ∴ △P₁OP₂是等腰三角形。 故选：B。 5．（2024-2025八年级上·浙江宁波·月考）如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE。下列结论错误的是（　　） A．BE平分∠ABC B．AE = BE C．△BCE的周长等于AB + BC D．∠BEC = 36° 【答案】D 【分析】由DE是AB的垂直平分线得AE=BE，∠EBA=∠A=36°，∠ABC=72°，所以∠EBC=36°，BE平分∠ABC；∠BEC=∠A+∠EBA=72°，不是36°。 【详解】解：∵ AB = AC，∠A = 36°， ∴ ∠ABC = ∠C = (180° - 36°)/2 = 72°。 ∵ DE是AB的垂直平分线，∴ AE = BE（B正确）。 ∴ ∠EBA = ∠A = 36°， ∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠EBA = 72° - 36° = 36° = ∠EBA， ∴ BE平分∠ABC（A正确）。 △BCE的周长 = BC + CE + BE = BC + CE + AE = BC + AC = BC + AB（C正确）。 ∠BEC = ∠A + ∠EBA = 36° + 36° = 72° ≠ 36°（D错误）。 故选：D。 6．（2025秋·山东青岛·期中）用尺规作一条线段的垂直平分线，所得直线与原线段的交点是原线段的（　　） A．三等分点 B．中点 C．黄金分割点 D．无法确定 【答案】B 【分析】线段垂直平分线经过线段的中点且垂直于线段，所以交点是中点。 【详解】解：线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 所以用尺规作一条线段的垂直平分线，所得直线与原线段的交点是原线段的中点。 故选：B。 （二）填空题 7．（2025秋·湖北武汉·月考）在△ABC中，AB = AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△BCE的周长为17，则BC = ___7___。 【答案】7 【分析】由DE是AB的垂直平分线得EA=EB，△BCE的周长=BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC，所以BC=17-10=7。 【详解】解：∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上， ∴ EA = EB。 △BCE的周长 = BC + CE + EB = BC + CE + EA = BC + AC。 ∵ AC = 10，△BCE的周长 = 17， ∴ BC + 10 = 17，解得 BC = 7。 故答案为：7。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）命题"两直线平行，同位角相等"的逆命题是__同位角相等，两直线平行____，这个逆命题是__真____命题（填"真"或"假"）。 【答案】同位角相等，两直线平行；真 【分析】交换题设和结论，逆命题是平行线的判定定理，是真命题。 【详解】解：原命题"两直线平行，同位角相等"的题设是"两直线平行"，结论是"同位角相等"。 逆命题交换题设和结论："同位角相等，两直线平行"。 这个逆命题是平行线的判定定理，是真命题。 故答案为：同位角相等，两直线平行；真。 9．（2025秋·河南郑州·月考）已知点A(1, 2)和点B(5, 2)，则线段AB的垂直平分线与x轴的交点坐标为___(3, 2)___。 【答案】(3, 2) 【分析】AB是水平线段，中点为(3,2)，垂直平分线是竖直线x=3，与x轴交点为(3,0)。 【详解】解：点A(1, 2)和点B(5, 2)的纵坐标相同，所以AB是水平线段。 AB的中点的横坐标为=3, 纵坐标为 =2， , AB的垂直平分线是过中点(3,2)且垂直于AB的直线，AB是水平的，所以垂直平分线是竖直的，即x = 3。 与x轴（y=0）的交点坐标为(3, 0)。 故答案为：(3, 0)。 10．（2025秋·陕西西安·月考）已知线段AB = 8cm，点C在AB的垂直平分线上，且AC = 5cm，则BC = ___5___cm。 【答案】5 【分析】点C在AB的垂直平分线上，根据性质定理，BC=AC=5cm。 【详解】解：∵ 点C在AB的垂直平分线上， ∴ BC = AC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。 ∵ AC = 5cm，∴ BC = 5cm。 故答案为：5。 （三）解答题 11．（2025秋·辽宁沈阳·期中）在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接AE。 （1）求证：EA = EB； （2）求∠AEC的度数； （3）求证：CE = 2BE。 【答案】（1）证明见详解；（2）∠AEC = 60°；（3）证明见详解 【分析】（1）由DE是AB的垂直平分线得EA=EB；（2）由AB=AC，∠BAC=120°得∠B=∠C=30°，由EA=EB得∠EAB=∠B=30°，∠AEC=∠B+∠EAB=60°；（3）在△AEC中，∠C=30°，∠AEC=60°，所以∠EAC=90°，在Rt△AEC中∠C=30°，所以CE=2AE=2BE。 【详解】解：（1）证明：∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上， ∴ EA = EB（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。 （2）∵ AB = AC，∠BAC = 120°， ∴ ∠B = ∠C = = 30°。 由（1）知 EA = EB，∴ ∠EAB = ∠B = 30°。 ∴ ∠AEC = ∠B + ∠EAB = 30° + 30° = 60°（三角形外角等于不相邻两内角之和）。 （3）证明：在△AEC中，∠C = 30°，∠AEC = 60°， ∴ ∠EAC = 180° - 30° - 60° = 90°，即△AEC是直角三角形。 在Rt△AEC中，∠C = 30°， ∴ CE = 2AE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。 由（1）知 AE = BE，∴ CE = 2BE。 12．（2025秋·重庆渝中·月考）如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，连接BE。 （1）求证：BE平分∠ABC； （2）若AC = 6，求AE的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）AE = 4 【分析】（1）由DE是AB的垂直平分线得EA=EB，∠EBA=∠A=30°，在Rt△ABC中∠ABC=60°，所以∠EBC=30°=∠EBA，BE平分∠ABC；（2）设AE=x，则EB=x，EC=6-x，在Rt△BCE中∠C=90°，∠EBC=30°，所以EB=2EC，即x=2(6-x)，解得x=4。 【详解】解：（1）证明：∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上， ∴ EA = EB。 ∴ ∠EBA = ∠A = 30°。 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°， ∴ ∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°。 ∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠EBA = 60° - 30° = 30°。 ∴ ∠EBC = ∠EBA = 30°，即BE平分∠ABC。 （2）设 AE = x，则 EB = AE = x，EC = AC - AE = 6 - x。 在Rt△BCE中，∠C = 90°，∠EBC = 30°， ∴ EB = 2EC（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。 即 x = 2(6 - x)，解得 x = 12 - 2x，3x = 12，x = 4。 ∴ AE = 4。 答：（1）BE平分∠ABC得证；（2）AE的长为4。 13．（2025秋·天津和平·期中）如图，在四边形ABCD中，AD ∥ BC，AB = AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE。 （1）求证：△ABE ≌ △ADE； （2）求证：AE是BD的垂直平分线。 【答案】证明见详解 【分析】（1）由AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，用SAS证全等；（2）由全等得BE=DE，加上AB=AD，所以A、E都在BD的垂直平分线上，AE是BD的垂直平分线。 【详解】证明：（1）∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE = ∠DAE。 在△ABE和△ADE中： AB = AD（已知）， ∠BAE = ∠DAE（已证）， AE = AE（公共边）， ∴ △ABE ≌ △ADE（SAS）。 （2）由（1）知△ABE ≌ △ADE，∴ BE = DE（全等三角形对应边相等）。 ∴ 点E在BD的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在垂直平分线上）。 又∵ AB = AD， ∴ 点A在BD的垂直平分线上（同理）。 ∵ 两点确定一条直线， ∴ 直线AE是BD的垂直平分线。 14.（2025秋·四川成都·期中）如图，已知线段AB，用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： （1）作线段AB的垂直平分线CD； （2）在CD上取一点P，使PA = AB； （3）连接PA、PB，判断△PAB的形状并说明理由。 【答案】（1）（2）作图见详解；（3）△PAB是等边三角形 【分析】（1）按标准作法作垂直平分线；（2）以A为圆心，AB长为半径作弧交CD于P；（3）由P在AB的垂直平分线上得PA=PB，又PA=AB，所以PA=PB=AB，△PAB是等边三角形。 【详解】解：（1）作法：分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点，作直线CD，CD即为AB的垂直平分线。 （2） 以A为圆心，以AB长为半径作弧，交CD于点P（取上方交点）。 （3）△PAB是等边三角形。理由如下： ∵ 点P在AB的垂直平分线CD上， ∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。 由作图可知 PA = AB。 ∴ PA = PB = AB， ∴ △PAB是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）。 三、中考链接题 1.（2026·山东中考）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【解答】 解：由作图可知，，设交于点，则：， 平分， ， 又， ， ，， 垂直平分，， ， 的周长为； 故选 2.（25-26·陕西中考）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（       ） A.， B.， C.， D.， 【答案】 D 【解析】 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断选项，证明可判断、选项，由，不能判断，即可判断选项，进而可得答案. 【解答】 解：、，， 垂直平分， ， 四边形是筝形； 、，，， ， ， 四边形是筝形； 、，，， ， ，， 四边形是筝形； 、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：   3.（25·浙江中考）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【解答】 解：线段的垂直平分线交于点，交于点， ， 的周长， 故选：．   4.（25-26·广东中考）请写出命题“若，则”的逆命题：____若 ，则 ____． 【答案】 若 ，则 【解析】 此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此即可解答. 【解答】 解：“若 ，则 ”的逆命题为：若 ，则 故答案为：若 ，则 5.（25-26·江苏中考）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则_______80°_________． 【答案】 【解析】 由等腰三角形，“等边对等角”求出，再由垂直平分线的性质得到，最后由三角形外角求解即可． 【解答】 解： 垂直平分 ． 故答案为：． 6.（25·山东中考）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 ___60_____ °． 【答案】 60 【解析】 本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质，关键是等边对等角的应用；根据已知等腰三角形顶角 ，可得 ，又由作图可知MN AB且平分AB，推导出 ，进而得到 的大小. 【解答】 解： 分别以点A和B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN， 垂直平分 AB， 故答案为：   7.（2024·江苏中考）如图，在中，． （1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】 如图所示: （2）． 【解析】 （1）根据题意作出图形即可； （2）由于是的垂直平分线，得到，根据等腰三角形的性质得到，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】 （1）解：如图所示: （2）∵ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ．   8.（2025四川中考）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点；连结．若，，则的周长为___10_____． 【答案】 【解析】 根据题意可知直线是线段的垂直平分线，推出，可以证明的周长，由此即可解决问题． 【解答】 解：由题意直线是线段的垂直平分线， ∵ 点在直线上， ∴ ， ∴ 的周长 ， ∵ ，， ∴ 的周长为． 故答案为：. 9.（25·安徽中考）如图，已知等腰三角形中，＝，点、分别在边、上，且＝，连接、，交于点． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求证：过点、的直线垂直平分线段． 【答案】 （1）＝； （2）加、见解答 【解析】 （1）证得后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论； （2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论． 【解答】 （1）＝； 在和中， ， ∴ ， ∴ ＝； （2）连接． ∵ ＝， ∴ ＝， 由（1）可知＝， ∴ ＝， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ 点、均在线段的垂直平分线上， 即直线垂直平分线段． 10．（2024·陕西中考）如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接AE。 （1）求∠BAE的度数； （2）求证：CE = 2BE。 【答案】（1）∠BAE = 30°；（2）证明见详解 【分析】（1）由AB=AC，∠BAC=120°得∠B=∠C=30°，由DE是AB的垂直平分线得EA=EB，所以∠BAE=∠B=30°；（2）∠EAC=∠BAC-∠BAE=120°-30°=90°，在Rt△AEC中∠C=30°，所以CE=2AE=2BE。 【详解】解：（1）∵ AB = AC，∠BAC = 120°， ∴ ∠B = ∠C = = 30°。 ∵ DE是AB的垂直平分线，∴ EA = EB。 ∴ ∠BAE = ∠B = 30°。 （2）证明：∵ ∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 120° - 30° = 90°， ∴ △AEC是直角三角形。 在Rt△AEC中，∠C = 30°， ∴ CE = 2AE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。 由（1）知 AE = BE，∴ CE = 2BE。 答：（1）∠BAE的度数为30°；（2）CE = 2BE得证。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册 第15章 轴对称 1.图形的轴对称 第2课时 线段的垂直平分线 本节知识点总结 1．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 2．线段垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 3．性质定理与判定定理是互逆定理：性质定理是"点在垂直平分线上→到两端点距离相等"；判定定理是"到两端点距离相等→点在垂直平分线上"。 4．互逆命题：两个命题的题设和结论正好相反，叫做互逆命题。原命题成立，逆命题可能成立也可能不成立。 5．互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理。 6．线段垂直平分线的尺规作图：分别以点A和点B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线。 7．作对称轴的方法：找一对对称点，作连接它们的线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是对称轴。 8．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 线段垂直平分线性质定理的应用（求线段长度） 1．（2025秋·北京海淀·期中）直线是线段AB的垂直平分线，点P在上，若PA = 5，则PB =（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．无法确定 2.（2025秋·上海浦东·月考）如图，DE是线段AB的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D。若AB = 8，AC = 10，BC = 8，则△BCD的周长为______。 3．（2025秋·广东深圳·单元测）如图，在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE。 （1）求证：EA = EB； （2）若AB = 10，BC = 6，求△BCE的周长。 题型02 线段垂直平分线判定定理的应用 4．（2025秋·江苏南京·期中）已知点P到线段AB两端点的距离相等，即PA = PB，则下列说法正确的是（　　） A．点P是AB的中点 B．点P在AB的垂直平分线上 C．过点P的直线是AB的垂直平分线 D．点P一定在AB上 5．（2025秋·浙江杭州·月考）已知点A(1, 0)，B(5, 0)，点P的坐标为(3, 4)，则点P______（填"在"或"不在"）线段AB的垂直平分线上。 6．（2025秋·山东济南·期中）在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，且DB = DC。求证：直线AD是线段BC的垂直平分线。 题型03 性质定理与判定定理的综合应用 7．（2025秋·湖北武汉·月考）如图，在△ABC中，∠ABC = 85°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE。若∠A = 40°，则∠EBC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 8．（2025秋·湖南长沙·期中）在△ABC中，AB = AC = 8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△BCE的周长为14，则BC = ______。 9．（2024秋·河南郑州·月考）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE。 （1）求证：EA = EB； （2）若∠A = 30°，求∠CBE的度数。 题型04 互逆命题与互逆定理的判断 10．（2025秋·河北石家庄·期中）命题"对顶角相等"的逆命题是（　　） A．对顶角不相等 B．相等的角是对顶角 C．不是对顶角不相等 D．相等的角不是对顶角 11．（2025秋·陕西西安·月考）下列定理中，有逆定理的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D．全等三角形的周长相等 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）命题"如果a = b，那么a² = b²"的逆命题是______，这个逆命题是______命题（填"真"或"假"）。 题型05 线段垂直平分线的尺规作图 13．（2025秋·重庆沙坪坝·月考）用尺规作线段AB的垂直平分线，下列作法正确的是（　　） A．分别以A、B为圆心，以任意长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线 B．分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线 C．分别以A、B为圆心，以小于AB的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线 D．以AB的中点为圆心，以任意长为半径作弧，交AB于两点，过这两点作直线 14．（2024秋·天津南开·期中）已知线段AB，用尺规作出AB的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），并说明CD为什么是AB的垂直平分线。 15．（2024秋·四川成都·月考）用尺规作线段AB的垂直平分线时，分别以A、B为圆心作弧，所作弧的半径必须______（填"大于""等于"或"小于"）½AB，这样两弧才能相交于两点。 题型06 作对称轴 16．（2025秋·安徽合肥·期中）已知两个图形成轴对称，要作它们的对称轴，下列方法正确的是（　　） A．作任意一对对称点连线的垂直平分线 B．作任意两点连线的垂直平分线 C．作两个图形的公共弦 D．作两个图形对应顶点连线的平行线 18.（2025秋·福建福州·月考）如图，点A和点A'是一对对称点，用尺规作出它们的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）。 18．（2025秋·江西南昌·期中）已知点A(2, 3)和点A'(6, 3)关于某条直线对称，则这条对称轴是直线______。 题型07 过直线外一点作已知直线的垂线 19．（2025秋·广西南宁·月考）用尺规经过已知直线外一点P作的垂线，下列作法正确的是（　　） A．以P为圆心作弧交于A、B，再分别以A、B为圆心作弧交于Q，作直线PQ B．以P为圆心作弧交于A、B，再以A为圆心作弧交于Q，作直线PQ C．直接过P作的垂线 D．以P为圆心作弧交于A，作直线PA 20.（2025秋·云南昆明·期中）已知直线和直线外一点P，用尺规经过点P作直线的垂线（不写作法，保留作图痕迹）。 21．（2025秋·贵州贵阳·月考）用尺规经过直线外一点P作l的垂线时，先以P为圆心作弧交于A、B两点，再分别以A、B为圆心作弧，两弧的半径必须______（填"大于""等于"或"小于"）½AB，两弧才能相交。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2025秋·北京朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE = 5，EC = 3，则BC的长不可能是（　　） A．4 B．6 C．7 D．9 2．（2025秋·上海闵行·月考）下列命题中，逆命题为真命题的是（　　） A．如果a = b，那么|a| = |b| B．对顶角相等 C．全等三角形的面积相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 3．（2024-2025八年级上·广东广州·单元测）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE。若∠B = 25°，则∠CAE的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 4．（2025秋·江苏苏州·期中）已知点P在∠AOB的内部，点P关于OA的对称点是P₁，点P关于OB的对称点是P₂，则△P₁OP₂是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 5．（2024-2025八年级上·浙江宁波·月考）如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE。下列结论错误的是（　　） A．BE平分∠ABC B．AE = BE C．△BCE的周长等于AB + BC D．∠BEC = 36° 6．（2025秋·山东青岛·期中）用尺规作一条线段的垂直平分线，所得直线与原线段的交点是原线段的（　　） A．三等分点 B．中点 C．黄金分割点 D．无法确定 （二）填空题 7．（2025秋·湖北武汉·月考）在△ABC中，AB = AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△BCE的周长为17，则BC = ______。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）命题"两直线平行，同位角相等"的逆命题是______，这个逆命题是______命题（填"真"或"假"）。 9．（2025秋·河南郑州·月考）已知点A(1, 2)和点B(5, 2)，则线段AB的垂直平分线与x轴的交点坐标为______。 10．（2025秋·陕西西安·月考）已知线段AB = 8cm，点C在AB的垂直平分线上，且AC = 5cm，则BC = ______cm。 （三）解答题 11．（2025秋·辽宁沈阳·期中）在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接AE。 （1）求证：EA = EB； （2）求∠AEC的度数； （3） 12．（2025秋·重庆渝中·月考）如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，连接BE。 （1）求证：BE平分∠ABC； （2）若AC = 6，求AE的长。 13．（2025秋·天津和平·期中）如图，在四边形ABCD中，AD ∥ BC，AB = AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE。 （1）求证：△ABE ≌ △ADE； （2）求证：AE是BD的垂直平分线。 14.（2025秋·四川成都·期中）如图，已知线段AB，用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： （1）作线段AB的垂直平分线CD； （2）在CD上取一点P，使PA = AB； （3）连接PA、PB，判断△PAB的形状并说明理由。 三、中考链接题 1.（2026·山东中考）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（       ） A. B. C. D. 2.（25-26·陕西中考）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（       ） A.， B.， C.， D.， 3.（25·浙江中考）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（       ） A. B. C. D. 4.（25-26·广东中考）请写出命题“若，则”的逆命题：________． 5.（25-26·江苏中考）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则________________． 6.（25·山东中考）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 ________ °． 7.（2024·江苏中考）如图，在中，． （1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在的条件下，连接，若，求的度数． 8.（2025四川中考）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点；连结．若，，则的周长为________． 9.（25·安徽中考）如图，已知等腰三角形中，＝，点、分别在边、上，且＝，连接、，交于点． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求证：过点、的直线垂直平分线段． 10．（2024·陕西中考）如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接AE。 （1）求∠BAE的度数； （2）求证：CE = 2BE。 学科网（北京）股份有限公司 $