第13章三角形 分层作业-2026-2027学年人教版 数学八年级上册

**基本信息** 本章分层作业以“基础巩固+能力提升”为核心，通过基础过关（17题）与提优过关（3题）的梯度设计，实现从三角形核心概念到综合应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|三角形三边关系、内外角性质、三线（高/角平分线/中线）、折叠与平移等核心概念|以选择、填空、解答题为主，如第1-3题巩固三边关系，第9题结合生活情境体现三角形稳定性，夯实基础| |提优过关|新定义“准互余三角形”、实际情境（机器人火炬手）、秦九韶公式应用|通过跨情境问题（18题）、创新定义（19题）及综合计算（20题），提升推理能力与应用意识|

（分层作业）第13章三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在中，，，延长至点，的度数为（    ） A． B． C． D． 3．一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则第三边长可能是（   ） A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm 4．如图，将沿向下翻折，使顶点落在边上的点处，已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 6．如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，若的面积为，且点A，B，C分别是的中点，则求阴影部分的面积（用含的式子表示）（    ） A．a B． C． D． 8．如图， 在中，是角平分线，相交于点 G， 则与之间的数量关系正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．炎热的夏天工人师傅在安装空调时一般会采用如图所示方法固定，其依据的数学原理是_______． 10．若在中，，，．则的取值范围是_________． 11．将沿方向平移得到，点A，B，C分别对应点D，E，F，若，，则________ ． 12．如图，、分别是的高和中线．若，，则_____． 13．如图，在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E．当是直角三角形时，的度数为____________． 14．已知、且平分，平分，且与互余，则________． 三、解答题 15．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 16．如图，，，平分． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 17．如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，与的周长差为，求的长． 提优过关 18．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，． (1)求的度数； (2)若，，，，求证：． 19．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”．例如：在中，，，，则为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数； (2)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 20．（）如图，在中，分别在上，平分，． ①求证：； ②若，，求的度数． （）我国南宋著名数学家秦九韶（约）发现了从三角形三边求面积的公式． 其中三角形的三边长分别为．现已知一个三角形的三边长分别为：，，，且为整数． ①求的值； ②求这个三角形的面积． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第13章三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C B B A C D 1．C 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：任意两边之和必须大于第三边．据此逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．∵， ∴这三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴这三条线段共线，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C．∵，，， ∴这三条线段能组成三角形，故此选项符合题意； D．∵， ∴这三条线段共线，不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：是的一个外角，，， ； 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系， 根据三角形三边关系，第三边长度应大于已知两边的差，且小于两边的和，解答即可． 【详解】解：设第三边长为，根据题意，得 ， 即， ∴第三边长可能是． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理．根据折叠的性质可知，利用平角是，求出的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵将沿向下翻折，使顶点落在边上的点处， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，角平分线定义，等角对等边， 先根据平行线性质和角平分线定义得，进而得出 ，然后根据得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点，F， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，连接，由三角形内角和定理得出，，由对顶角相等得出，再由三角形内角和定理得出，然后等量代换即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A 7．C 【分析】本题考查中线平分三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，通过中线性质，可推导每个阴影部分的面积被等分且都等于的面积，进而即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴， 即， 同理可证， ∴． 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D 9．三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性这一特性是解题的关键．观察图形，空调通过三角形支架固定，思考三角形的特性来确定依据的数学原理． 【详解】解：安装空调时采用三角形支架固定，其依据的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 10．/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为： 11．/40度 【分析】本题考查了平移的性质，三角形的外角的性质．根据平移的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．5 【分析】此题考查三角形的面积公式，中线和高线的定义，关键是掌握中线的定义和三角形的面积公式． 由中线的定义可知BC=8，再利用三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：5． 13．或 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，由折叠的性质可得，，再分两种情况：当时；当时，此时点与点重合；分别利用三角形内角和定理以及三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵是直角三角形， ∴当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，此时点与点重合， ， ∴，且、共线， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 14． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．设，，，，利用三角形内角和定理列式计算得到，再利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 设，，，， ∴，， 两式相加得， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 16．(1)，理由如下： ， ， 又, , ． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质和判定可以证明结论； （2）结合角平分线的定义，垂直的定义，平行线的性质进行求解． 【详解】（1）解：，理由略． （2）解：，， ，， 平分， ， ， ， ， 又, ， ， ， 在中，， ． 17．(1)的度数为 (2)的长为12 【分析】（1）由是的高，可得，再由直角三角形的性质求出，由 是的角平分线，可得，再根据三角形的外角性质计算即可； （2）由是的中线，可得，再利用三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴． （2）解：∵是的中线， ∴， 与的周长差为3，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 18．(1) (2) 证明：如图所示，延长交直线于点T， ∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，熟知平行线的性质及其判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再由题意得到，则，据此求解即可； （2）延长交直线于点T，可求出；由平行线的性质可得、，由周角的定义可得，则，即可证明，进而证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 19．(1) (2) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”． 【分析】（1）由“准互余三角形”的定义得出运算求解即可； （2）由角平分线的定义得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是“准互余角”， ∴， ∴； （2）略 20．（）①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②； （）①；② 【分析】（）①由角平分线的定义及等腰三角形的性质可得，进而即可求证；②由已知可得，再根据平行线的性质得，即得，，最后根据三角形内角和定理即可求解； （）①根据无理数的估算方法即可求解；②把的值代入公式计算即可求解． 【详解】（）①略 ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （）①∵，且为整数， ∴； ②∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，无理数的估算，代数式求值等，熟练掌握知识点是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $