第13章 三角形 知识梳理与分层作业 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“知识梳理+分层闯关”构建巩固体系，基础层夯实三角形核心概念与基本应用，思维层深化综合探究与创新思维，实现从概念理解到能力迁移的进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础闯关|三角形的高、中线、角平分线，稳定性，三边关系，内角和定理|选择填空为主，聚焦单一知识点应用，如三边关系判断、内角和计算，培养抽象能力与运算能力| |思维闯关|高与角平分线综合，“等角三角形”“巧等线”新概念，重心性质探究|解答题为主，强调综合应用与创新，如含参数角度计算、新概念迁移，发展推理能力与创新意识|

第13章三角形知识梳理与分层作业-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材） 知识梳理 三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 基础闯关 1．下列长度的三根小木棒能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，的度数为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，则的外角是（　　） A． B． C． D． 4．如图是为防范台风破坏树木而设置的三角架加固装置，这种设计依据的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．三角形内角和为 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 5．如图，一轮船在海上往正东方向行驶，在处测得灯塔位于北偏东，在处测得灯塔位于北偏东，则（   ） A． B． C． D． 6．下列命题正确的是（    ） A．三角形的一个外角大于任意一个内角 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．内错角相等 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 7．如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得，，那么点A，B两点之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．已知一个三角形的三边长分别为，则x的取值范围是________． 10．如图，在中，，，，则的度数是_______度． 11．如图，在中，，，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为___________． 12．如图，在中，，D是边延长线上一点，且，则的度数是______． 13．如图，在中，是的两条高线，若，，则与的比为______． 14．如图，D，E，F分别为，，的中点，且，则（图中阴影部分）的面积为______． 15．已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，此三角形是等腰三角形，求其周长． 16．如图，，且点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 17．如图，在中，，，平分，P为线段上的一个点，过点P作交线段的延长线于点E．求的度数 思维闯关 18．在中，是高，是角平分线． (1)若， ①求的三个内角的度数； ②求的度数． (2)若，，且，请用含，的式子直接表示的度数． 19．引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】 　   （1）如图1，在中，，，垂足为，请判断与是否为“等角三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，为角平分线，，，请说明是的“巧等线”． 【应用概念】 （3）在中，若，为的“巧等线”，请直接写出所有可能的的度数． 20．综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第13章三角形知识梳理与分层作业-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A A D B D 1．D 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C、，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； D、，，，且两边之差均小于第三边，能组成三角形； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形三个内角的和等于180度求解即可． 【详解】解：根据三角形内角和可知，， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟记定理即可快速求解． 根据三角形外角的性质，一个角的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【详解】解：∵的外角等于与的和， ∴外角． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了三角形的稳定性原理在实际生活中的应用．理解题目描述的三角架加固装置的结构特点，并结合三角形的稳定性来分析其设计依据． 【详解】解：A项：三角形具有稳定性是三角形的重要特性之一，即三角形的三条边确定后，其形状和大小就固定不变，不易发生变形．三角架加固装置正是利用稳固的结构来保证树木的安全，三角形结构能够满足这一需求，故A正确； B项：三角形内角和为，这一原理主要是在求解三角形内角相关问题时使用，与加固装置的稳定性无关，故B错误； C项：两点确定一条直线是直线的基本性质，它描述的是经过两个点有且只有一条直线，这一性质主要应用于确定直线的位置，与加固装置的稳定性无关，故C错误； D项：两点之间线段最短是关于两点间距离的性质，它指的是连接两点的所有线中，线段的长度是最短的，这一性质主要应用于求最短路径等问题，与加固装置的稳定性无关，故D错误， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查方向角、三角形内角和定理，根据方向角得到三角形两个内角的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在处测得灯塔位于北偏东， ， 在处测得灯塔位于北偏东， ， 在中，， . 故选：A 6．D 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及三角形外角性质、平行线判定、垂线段最短定理等初中数学知识，需逐一分析选项． 【详解】解：A选项：三角形的一个外角应大于与之不相邻的任意一个内角，但选项说“任意一个内角”，可能包括相邻内角，而相邻内角不一定小于外角，故 A错误； B选项：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，但选项未指定“同一平面”，故B错误； C选项：只有两直线平行时，内错角才相等，故C错误； D选项：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段最短定理，故D正确． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先根据三角形的三边关系定理求出的取值范围，然后再判断各选项是否正确． 【详解】解：∵能构成三角形， ∴，即， 只有不符合题意， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再由是的外角，得到，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选：D． 9． 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键；根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：由三角形三边关系，得：，即：； 故答案为：． 10．13 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及三角形内角和定理，三角形外角的性质． 设，构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度．由D是中点，得；利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值． 【详解】解：的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）， ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半， ∵， ∴， 又∵，（h为点D到的距离）， 即， 解得， ∴的最小值为． 故答案为：． 12．/75度 【分析】本题考查了三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 根据三角形的外角定理得到，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了三角形面积公式，理解题意是解决本题的关键． 根据是的两条高线可得，则，将，代入进而即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴ ， ∴与的比为， 故答案为：． 14．1 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键．根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，然后根据三角形中线的性质可得答案． 【详解】解：∵为中点，， ∴， 同理得：，， ∴， ∵为中点， ∴． 故答案为：． 15．(1) (2)当此三角形是等腰三角形时，其周长是12 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解三角形三边关系，整理得，再化简，即可作答． （2）理解题意，再分类讨论，结合三角形的三边关系进行验证，再求出周长，即可作答． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， 则， ∴ ； （2）解：依题意，①当为腰时，， ∵，且， ∴不能构成三角形， 此种情况不成立； ②当为腰时，， ∵， ∴能构成三角形， 此时三角形的周长为， ∴综上：其周长是12． 16．(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是： （1）根据全等三角形的性质得出，根据等式的性质得出，然后结合已知即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，，然后根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴． 17． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得∠的度数，从而根据三角形的外角即可求出的度数，利用直角三角形的两锐角互余求得的度数． 【详解】解：， ， ∵平分， ， ， ， ． 18．(1)①，， ；②； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、角平分线的性质． （1）根据，可得：，，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求出、的度数； 根据直角三角形的性质可以求出，根据角平分线的性质求出，根据角之间的关系求出的度数即可； （2）根据三角形内角和定理可得：，根据直角三角形的性质可得：，根据角平分线的定义可得：，根据角之间的关系即可表示出的度数． 【详解】（1）解：①， ，， 在中，， ， ， ，； ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：在中，， ， ， ， ， 平分， ， ． 19． （1）与互为“等角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴与互为“等角三角形”． （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵在中，为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵，， ∴与互为“等角三角形”， ∴是的“巧等线”． （3）或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据互为“等角三角形”的定义即可得； （2）先求出，，则可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后证出与互为“等角三角形”，由此即可得； （3）分六种情况：①当时，是等腰三角形，②当时，是等腰三角形，③当时，是等腰三角形，④当时，是等腰三角形，⑤当时，是等腰三角形，⑥当时，是等腰三角形，利用“巧等线”的定义、三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）①如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ②如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ③如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； ④如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑤如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑥如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上，所有可能的的度数为或或或． 20．(1) 证明：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴； (3)10 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证； （2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果； （3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵为的重心， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $