第14章全等三角形- 分层作业-2026-2027学年人教版 数学八年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，基础与提优衔接自然，通过概念辨析、技能应用到综合探究的路径巩固全等三角形知识，培养推理意识与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|全等图形识别、判定定理（SSS/SAS等）、性质应用|选择/填空/解答题结合，如单选题1考定义、填空题9考添加条件证全等，解答题15-17强化基础推理，落实运算能力| |提优过关|动态几何、多步推理、跨知识整合（如坐标系）|综合解答题（18-20），如18题等腰直角三角形与坐标系结合、19题类比探究，需模型构建，发展创新意识|

（分层作业）第14章全等三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．下列图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，要使，需要添加的条件是（  ） A． B． C． D． 3．如图，，，，则为（   ） A．2 B．8 C．5 D．3 4．根据下列已知条件，能组成并确定它的形状和大小的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 6．如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、连接并延长，交于点D．若，则的面积是（） A．30 B．20 C．15 D．10 7．如图，在中，，，于点E，于点D．若，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 8．如图，在中，与的平分线相交于P，E为延长线上一点，，连接，，下列结论中，正确的有（    ） ①； ②； ③垂直平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 9．如图，已知线段与交于点，且，请你添加一个条件:______使得△ 10．如图，在中，，平分，若，则的面积是 ． 11．如图，，，，，则的度数为___． 12．如图，，，， 连接、， 则 _____ (填“、或”) 13．如图，在中，于点，为外一点，平分，．若，，则的长为______． 14．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是______． 三、解答题 15．如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 16．证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． 17．如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 提优过关 18．如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上．且； (1)如图，直接写出点的坐标：________； (2)如图，点在轴负半轴上，且，连接交轴于点，求点坐标． (3)如图，若，，试判断、位置关系，并说明理由． 19．根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 20．【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，为的中线，点是边上一点，连接，点是线段的中点．已知，． 【问题探究】 (1)如图1，与全等吗？请说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，过点作于点，若，，，，求的长度．（用含、的式子表示） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第14章全等三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D D D C A D 1．D 【分析】本题主要考查了图形全等的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．根据图形全等的定义对题目中给出的四个选项注意进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个图形是全等形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得，，已经有两边对应相等，则要使得，只能添加夹角相等或第三组边对应相等，即可作出判断． 【详解】解：∵，， ∴只能添加， ∴， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，找到对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等可得，然后根据，代入数据计算即可得解． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能确定唯一三角形，三角形的大小不定，不符合题意； B、不能确定唯一三角形，形状不确定，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、能确定唯一三角形，符合题意； 故选D． 5．D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质可知点到的距离为6，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，点是上任一点，连接， 平分，，， ， ， 点P与射线上某一点连线的长度大于等于6． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键。 过点D作于点G，由作图可知是的角平分线，得到，则，即可解答． 【详解】解：过点D作于点G，如图 由作图可知是的角平分线， ∵，， ∴， ∴． 故选C． 7．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A 8．D 【分析】根据角平分线定义和三角形外角性质可证①正确；由角平分线的性质得，再由角平分线判定可知平分，则可证，②正确；由三线合一定理可证③正确． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， 即，， ，故①正确，符合题意； 如图，过点P作于点M，于点N，于点S， 平分，平分， ， 平分， ，故②正确，符合题意； ，平分， 垂直平分，故③正确，符合题意； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线定义、外角性质、角平分线的判定与性质、三线合一定理，解题关键是熟练掌握角平分线的判定与性质． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟知两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等是解题的关键．两个三角形满足一组对应边相等，一组夹角相等，添加另一组对应边相等即可根据证明全等． 【详解】解：，， 利用得出可添加， 故答案为：（答案不唯一）． 10． 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形的面积，熟练应用角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质得到中边上的高，进而求得的面积． 【详解】解：过点作于点， ， ， 平分，， ， ， ． 故答案为： ． 11．25 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，然后利用证得，根据全等三角形的对应角相等即可解决． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：25． 12． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，正确掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．先推出，再由证明，根据全等三角形的性质得到． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过作，交延长线于点，证明，，则有，，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形面积，角平分线定义等知识，在截取，证明，所以，由于，则通过垂线段最短可得，当时，此时三点共线，最小，即最小，然后通过面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，由垂线段最短可得，当时，此时三点共线，最小，即最小， ∵，， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 15． 证明：，， ∴． ∵， ， ∴． 【分析】由角平分线的性质得到；再结合，通过线段相加即可证出． 【详解】略 16．证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】略 17．(1)证明：∵∠， ∴， ∵，， ∴ (2)，理由如下： 如图，过作于，于， ， ，， ， ， ． 【分析】（1）求出，根据推出两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线的判定得出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1) (2) (3)证明：垂直，理由如下： 如图，连接、交于点， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ∴， ，， ∴， ， ∴， 在与中， ， ， ∴， ∴． ． 【分析】（1）由偶次幂及算术平方根的非负性可得，过点作，由题意易得，则有，，然后问题可求解； （2）过点作，过点作，由题意易得，，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （3）连接、交于点，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ； （2）解：如图，过点作，过点作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； ， ； （3）略 19．(1)证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； (2)50 (3)32 【分析】（1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）同理可得，， ，，，， ，， ，， ， ，，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 ； （3）解：过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 20．(1)全等，理由如下： ∵是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）证明是直角三角形，由是的中线，可得，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $