第14章 全等三角形 分层练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦全等三角形，分层设计基础巩固与拔高训练，融合实际应用（如卡钳测量）与动态探究（运动点全等），适配八年级上册单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|全等图形概念、假命题判断、尺规作图全等依据|基础题辨析核心概念（如第2题假命题“同位角相等”）| |填空|6|全等性质应用、角平分线性质、面积计算|结合图形性质（如第13题角平分线与面积关系）| |解答|6|全等证明、实际工具原理（角平分线仪）、动态几何|综合题融合实践与推理（第19题角平分线仪原理证明、第21题运动点全等探究）|

第14章全等三角形分层练习-2026-2027学年数学八年级上册人 教版(2024) 基础巩固 1.在下列各组图形中，是全等图形的是( △△意帝日 2.下列命题是假命题的是() A.对项角相等 B.全等三角形对应角相等 C.同位角相等 D.两点之间，线段最短 3.用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质， 其运用全等判定的方法是() A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS 4.如图，△ABC≌△AB'C',则∠C的度数是() 56 B51° A.107° B.73° c.56° D.51° 5.如图，是一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），其中两根钢条AD,BC的中点连在一 起，量得A,B之间的距离为5cm,AD=BC=16cm,则内槽宽(CD的长度)为() 试卷第1页，共3页 A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm 6.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，要使△ABC≌△DCB,下面是四个同学 补充的条件，其中错误的是() B A,AB=CD B.AC=BD C.∠ABC=∠DCB D.∠ABD=∠ACD 7.如图所示，已知∠I=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是() B 2 A BD=CD B.∠B=∠C C.AB=AC D.AD平分∠BAC 8.如图，ABI‖CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若 AD=8,则点P到BC的距离是() A,8 B.6 C.4 D.2 9.如图，AC=BC,AE=CD,AE⊥CD于点E,BD⊥CD于点D.若AE=7,BD=2, 则DE的长是()· 试卷第2页，共3页 A.7 B.5 C.3 D.2 10.如图，OM平分∠AOB,MC⊥OB于点C,点D在OA上.若MC=3,则MD的取值 范围是() 2 M D A.MD≥3 B.MD>3 C.MD≤3 D.不能确定 11.若△ABC2aDEF,AB=5cm,BC=7cm,AC=8cm,则EF= cm 12.如图，已知AD平分∠BAC,连接BD、CD,若要判定△ABD≌aACD,则需要添加 的条件是： 一·（只写一个) 13.如图，△MBC的面积为6cm,P平分ABC,过点A作MP1B即于点P,连接PC, 则△PBC的面积为. cm2 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=9,∠CAB和∠ABC的平分线交于 点O,OM⊥BC于点M,则OM的长为 Cū M B 15.如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,CD⊥BD于点D,AC=1O, 试卷第3页，共3页 BC-AB=4,延长BA、CD交于点E,则AE的值为 一，△ADC面积的最大值为 16.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点，Q为边 AB AP+PO ∠APD 上一动点，当 的值最小时，则“的度数是 1I7.如图，己知B,E,C,F在同一条直线上，AB=DE,AB∥DE，,BE=CF,AC 与DE交于点G.求证：△ABC2ADEF, D G E 18.已知△ABC中，BE平分∠ABC,BE交AC于点E,CD平分∠ACB,交AB于点D, BE与CD交于点O 试卷第4页，共3页 图1 图2 ()如图1.求证：∠B0C=90+)∠B4C, (2)如图2，连接OA,求证：OA平分∠BAC. 19.某校数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，点E,F分别固定在∠BAC的 两边上，且AE=AF,点D在手柄AP上可自由滑动，且DE=DF,试问：角平分线仪的 手柄AP是否始终平分∠BAC？请说明理由. 拔高训练 20.在平面直角坐标系中，B、C在坐标轴上，其 B(b,O)C(0,C),△ABC满足 CA=CB,∠ACB=90°，∠ABC=∠CAB=45°，其中点B在x轴正半轴上，点C在y轴 试卷第5页，共3页 正半轴上，AB交y轴负半轴于点D. E B O B D 图1 图2 @)如图1，若N1+6-2=0,直接写出点8的坐标为，点C的坐标为 (2)如图2，AE⊥AB交x轴负半轴于点E,连接CE,CF⊥CE,CE交AB于点F.求证： CE=CF: (3)在(2)的条件下，求证：点D是AF的中点. 21.如图，AB=8cm,AC=BD=6cm,∠CAB=∠DBA=a,点P在线段AB上以lcm/s 的速度由点A向点B运动，与此同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，当P，Q中 的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为s连接CP,PO, C O D →P 图1 图2 (1)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当Q=90°，1=2时，写出PC与 P的数量关系与位置关系，并说明理由： 试卷第6页，共3页 (2)如图2，当a=60°时，设点的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使以A,C,P 为顶点的三角形与以B,P,Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x,t的值：若 不存在，请说明理由. 22.问题：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD1BC于点D,可知 ∠BAD=∠C(不需要证明)； M B F D B D 图① 图② 图③ 图④ (I)探究：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、 AN上，且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明：△ABD≌△CAF: (2)证明：如图③，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线 AD上，∠I、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.己知AB=AC,∠I=∠2=∠BAC,求证： △ABE≌△CAF: (3)应用：如图④，在△ABC中，AB=AC,AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD,点E、 F在线段AD上，∠I=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和 为 试卷第7页，共3页 试卷第8页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 答案 C A B D D C C A 1.C 【分析】两个完全重合的图形称为全等图形，根据定义逐项判定即可得到答案. 【详解】 解：A 两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意： 意 两个图形形状不同，不是全等图形，不符合题意： 清前 两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意： 两个图形的形状和大小都不相同，不是全等图形，不符合题意. 2.C 【详解】解：，对顶角相等是对顶角的基本性质， ∴A是真命题，不符合题意： ,全等三角形对应角相等是全等三角形的基本性质， ∴B是真命题，不符合题意： ,只有当两直线平行时，同位角才相等，原命题缺少两直线平行的前提条件，结论不成立， ∴C是假命题，符合题意： ,两点之间，线段最短是基本线段公理， ∴D是真命题，不符合题意 3.A 【分析】根据尺规作图的步骤结合全等三角形的判定方法即可求解. 【详解】解：如图，用直尺和圆规画∠AO'B=∠AOB的作图如下， 由作图过程可知，OD=OC=OD'=OC,CD=C'D',据此利用SSS可证明 答案第1页，共2页 ACDO≌AC'D'O DyB' 4.B 【分析】由全等三角形的性质得到∠B的度数，再由三角形内角和定理可得答案. 【详解】解：，△ABC≌△AB'C, .∠B=∠B=51°， :∠A+∠B+∠C=180°，∠A=56°， .∠C=73 5.D 【分析】连接AB,CD,根据O为AD和CB的中点，且∠COD=∠AOB即可判定 △COD≌aOAB,即可求得CD的长度. 【详解】解：连接AB,CD, :AD,BC的中点连在一起， ..OC=OB,OA=OD .∠COD=∠AOB OCD2OAB(SAS) 即CD=AB 故CD=AB=5cm. 6.D 【分析】已知∠A=∠D=9O°及公共边BC,根据直角三角形全等的判定定理(HL)或 答案第2页，共2页 一般三角形全等判定定理(AAS)逐项验证即可. 【详解】解：已知∠A=∠D=90°，BC=CB, 对于A,若AB=CD 在Rt△ABC和RtADCB中， [BC=CB AB=DC, .Rt△ABC≌Rt△DCB(HL) 条件正确，故本选项不符合题意： 对于B,若AC=BD 在Rt△ABC和RtADCB中， BC=CB AC=DB, ∴.Rt△ABC≌Rt△DCB(HL) ,条件正确，故本选项不符合题意： 对于C,若∠ABC=∠DCB. 在△ABC和△DCB中， [∠A=∠D ∠ABC=∠DCB BC=CB .AABC≌ADCB(AAS) ,条件正确，故本选项不符合题意； 对于D,设AC与BD交于点O, D C.:∠A=∠D=90°∠AOB=∠DOC ·∠ABD=∠ACD,此结论由已知条件即可推出，无法判定△ABC≌△DCB,条件错误， 故本选项符合题意， 7.C 【分析】已知∠I=∠2，AD=AD,根据全等三角形的判定定理逐个判断即可. 【详解】解：A、添加BD=CD可利用SAS定理判定△ABD≌△ACD,故此选项不合题意； 答案第3页，共2页 B、添加∠B=∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD,故此选项不合题意 C、添加AB=AC不能判定△ABD≌aACD,故此选项符合题意； D、添加AD平分∠BAC,则∠BAD=∠CAD 可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD,故此选项不合题意. 8.C 【分析】过点P作PE⊥BC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PA=PE,PD=PE,那么PE=PA=PD,又AD=8,进而求出PE长. 【详解】解：过点P作PE⊥BC于E,如图， B ABICD,PA⊥AB, .PD⊥CD :BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, .PA=PE,PD=PE, .PE=PA=PD, PA+PD=AD=8, ..PA=PD=4, .PE=4. 9.B 【分析】首先根据直角边斜边判定Rt△AEC≌RtACDB,根据对应边相等得到CE=BD=2, 继而得到DE=5」 【详解】解：：AE⊥CD,BD⊥CD .∠AEC=∠CDB=90°， 又，AC=BC,AE=CD=7, ,Rt△AEC≌RtACDB(HL) .CE=BD=2. 答案第4页，共2页 .DE=CD-CE=7-2=5 10.A 【分析】过点M作ME⊥OA于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ME=MC,再根据垂线段最短解答。 【详解】解：如图，过点M作ME⊥OA于E, B M 平分 , OM ∠10B MC⊥OB .ME=MC=3. D在OA上， .MD≥ME, .MD≥3. 11.7 【详解】解：，△ABC≌aDEF, .EF=BC, ..BC=7cm .'EF=7cm 12.∠ADB=∠ADC(或AB=AC或∠B=∠C,答案不唯一) 【分析】根据题意，可以选择ASA判定，也可以选择SAS、AAS判定，据此写出一个条 件即可. 【详解】解：~AD是∠BAC的角平分线， ∴.∠BAD=∠CAD 又：AD=AD, '当添加∠ADB=∠ADC或AB=AC或∠B=∠C时，△ABD≌△ACD,分别属于ASA、 SAS、AAS的判定条件，答案不唯一，选择一种即可. 13. 8 答案第5页，共2页 【分析】延长AP交BC于点D,根据角平分线的定义和垂直的定义，利用ASA证明 △ABP≌aDBP,从而得到AP=DP,即P为AD的中点，再根据三角形的中线将三角形分 成面积相等的两部分，可得△PBC的面积等于△ABC面积的一半； 【详解】解：延长AP交BC于点D, :BP平分∠ABC, ∴.∠ABP=∠DBP, ,AP⊥BP, ∠APB=∠DPB=90° ∠ABP=∠DBP BP=BP 在和 中， △ABP ADBP ∠APB=∠DPB 片△ABPDRP(ASA) .AP=DP, 1 1 .S.m-.A S.- 1 1 1 S.rc-S.m+S.rc-7S.m+.c.m+.ucn)= S。ABC, .S.ARc =16cm2 1 S.=2 ×16=8cm2 14.3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理.用角平分线的性质定理求得OE=OD=OM, 再利用等积法求解即可. 【详解】解：如图， 答案第6页，共2页 ch B M .∠C=90°，AC=12,BC=9, :4B=V92+122=15 过O分别作ACAB的垂线，垂足为D、E,连接OC, ·O是∠CAB和∠ABC的平分线的交点， ..OE=OD,OE=OM, ∴.OE=OD=OM, .S△Ac=S△MBc+S△Moc+SAB0e :12x9=方15x0m+分x2x0m+分*9x0m. 2 解得OM=3, 15. 410 【分析】过C作CH⊥BE于H,由角平分线定义得到∠CBD=∠EBD,由垂直的定义得到 ∠BDC=∠BDE=90°，面BD=BD,判定△BCD2BED(ASA),推出BC=BE, DC,得到c=2S4C,根据BC-AB=4,即可求出BE-B=4:当AE4C 积最大时，△ACD的面积最大，根据AE=4可求出△EAC面积的最大值=20，即可得到 △ADC面积的最大值. 【详解】解：延长CD、BA交于E,过C作CH⊥BE于H, E :BD平分∠ABC, 答案第7页，共2页 ∴.∠CBD=∠EBD, CD⊥BD于点D, .∠BDC=∠BDE=90°， BD=BD, :△BCD2ABED(ASA) .BC=BE,DE=DC, 1 .S.ae= :当△EAC的面积最大时，△ACD的面积最大， .BC-AB=4. :AE=BE-AB=BC-AB=4: 1 :AEAC的面积2BA-CH,CH≤AC=10, ·△EAC面积的最大值2×4×I0=20, ·△ADC面积的最大值为2×20=10 16.60° 【分析】在BC上截取BE=BO,连接PE,证明△BOP≌aBEP得出PO=PE,从而证明当 点A、卫、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+P№的值最小，再根据三角形的内角和 即可求出结果.本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三 角形的内角和定理，确定使AP+P最小时点P的位置是解题的关键， 【详解】解：在BC上截取BE=BO,连接PE,如图所示： 平分 C ·BD ∠ABC 答案第8页，共2页 ÷∠ABD=∠CBD=L∠ABC=30°. △BQP 在 △BEP 和 中， BO=BE ∠ABD=∠CBD BP=BP ∴.△BQP≌ABEP(SAS) ..PO=PE ∴.AP+PQ=AP+PE .当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC,AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小， .当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，∠AEB=90°， :∠CBD=30°， ∴.∠BPE=90°-30°=60° ∠APD=∠BPE=60° 故答案为：60° 17.证明：BE=CF, .BE+EC=CF+EC, .BC=EF 又AB∥DE, ∴.∠B=∠DEF 在△ABC和△DEF中， (AB=DE, ∠B=∠DEF, BC=EF, .AABC≌ADEF(SAS) 【分析】由BE=CF两边同时加上EC推导出BC=EF:由AB∥DE推导出∠B=∠DEF: 最后根据SAS证明两个三角形全等即可. 答案第9页，共2页 【详解】见答案 18.(I)证明：：BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, :设4F=∠CE-AC=a,4cD=∠DAB=A, ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2a-2B ∠BOC=180°-∠CB0-∠BCO=180°-a-B :∠B0C=90°+∠BAC. (2)证明：过O作OF⊥AB于点F,作OG⊥BC于点G,作OH⊥AC于点H, ○ 平分 G 图2 BE ∠ABC ∴.OF=0G :CD平分∠ACB, :.0G=OH, :.OF=OH. ∴.OA平分∠BAC 【分析】(1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到∠BAC=180°-2a-2p, ∠BOC=180°-a-B 即可得到结论： (2)过O作OF⊥AB于点F,作OG⊥BC于点G,作OH⊥AC于点H,根据角平分线 的性质得到OF=OG,OG=OH,则OF=OH.根据角平分线的判定即可得到结论. 【详解】(1)略 (2)略 19. 解：角平分线仪的手柄AP始终平分∠BAC, 理由：在△AED和△AFD中， 答案第10页，共2页 AE=AF,DE DF,AD=AD. △AED≌△AFD(SSS) .∠DAE=∠DAF, .AD平分∠BAC, ∴.角平分线仪的手柄AP始终平分∠BAC 【分析】根据“SSS”证明△AED≌△AFD得到∠DAE=∠DAF,即可解答. 【详解】略 20.a2,0）(0,) (2)证明：AE⊥AB, ∴.∠EAB=90° .∠EAC=90°-∠CAB=90°-45°=45°」 .∠EAC=∠ABC=45°，即LEAC=∠FBC, :CE⊥CF, :.∠ECF=∠ACB=90°， ∴.∠ECA=90°-∠ACF=∠FCB」 在△ECA和△FCB中， ∠ECA=∠FCB CA=CB ∠EAC=∠FBC' ∴.△ECA≌△FCB(ASA) :.CE=CF: (3)证明：如图3，过点F作FN⊥CD于点N,过点A作AM⊥CD于点M, B x 图3 答案第11页，共2页 :∠ECF=∠EOC=∠CNF=90° .∠ECO+∠FCN=90°，∠FCN+LCFN=90°， .LECO=∠CFN, 在△EOC和CNF中， ∠EOC=∠CNF ∠ECO=∠CFN CE=CF △EOC≌aCWF(AAS) ..OC=FN, 同理可证△BOC≌△CMA」 ..OC=AM, .FN AM, 在△FND和△AMD中， [∠FDN=∠ADM ∠FND=∠AMD=90° FN=AM AFND≌AAMD(AAS) .DF =AD, 即点D是AF的中点. 【分析】(I)由非负数的性质可求得c、b的值，进而可得点B、C的坐标： (2)证明△ECA≌aFCB即可； (3)过点F作FN⊥CD于N,过点A作AM⊥CD于M,先证△EOC≌△CNF,得 OC=FN,再同理可证明△BOC≌△CMA,得OC=AM,则有FN=AM,进而再证明 △FND≌△AMD,则得DF=AD 【i详解】(1)解：：vc-1≥0(b-2≥0.C-1+b-2}=0 ∴.c-1=0,b-2=0. 解得：c=1,b=2, 答案第12页，共2页 :B(2,0)C0,) (2)略 (3)略 21.(1) PC=PQPC⊥PQ 理由如下；，点Q和P的运动速度是lcms,运动的时间是2s, :4P=B0=2x1=2cm） PB=AB-AP=8-2=6(cm) .CA=PB. .∠A=∠B=90°，AP=BQ, △CAP≌APBQ(SAS) .PC=P9,∠C=LBPg, ,∠C+∠APC=90° .∠BPQ+∠APC=90° .∠CP2=180°-90°=90°， .PC⊥Pg: (2)存在，t=2,x=1或1=4，x=1.5 【分折】()判定aCMP2aPB0(SAS),推出PC=PQ,∠C=∠BPe,由直角三角形的 性质得到∠C+∠APC=90°，因此∠BP2+∠APC=90°，求出∠CPO=180°-90°=90°，即 可证明PC⊥PQ. (2)当4C=BP,MP=B0时，△CMPB0(SAS),求出1=2，=l,当4C=B2 答案第13页，共2页 AP=BP,△CAP≌AQBP ,t=4x=1.5 时， 求出， ,即可得到答案 【详解】(1)略 (2)解：存在实数x,使以A,C,P为顶点的三角形与以B,P,Q为顶点的三角形全 等， .∠A=∠B 当AC=BP,AP=BO时， △CAP≌APBQ(SAS) .8-1=6,t=xt. t=2,x=1: 当AC=BO,AP=BP时，△CAP≌△OBP, .xt=6,t=8-1, .t=4,x=1.5 综上t=2,x=1或t=4,x=1.5. 22.(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】(1)根据同角的余角相等，得出相等的角，再利用AAS证明三角形全等即可： (2)利用ASA证明三角形全等即可； (3)利用(2)的结论得出全等三角形，然后利用三角形的面积与底边的关系求解， 【详解】(I)证明：：CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D, .∠AFC=∠BDA=90°， M B D C 图② .∠MAN=90°， .∠ACE=∠BAD=90°-∠CAE, 答案第14页，共2页 又AB=AC, △ABD≌ACAF(AAS) (2)证明：：∠I=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,且∠I=∠BAC, .∠ABE=∠CAF, :∠2=LCAF+∠ACF,∠BAC=∠BAE+∠CAF,且∠2=∠BAC, .∠BAE=∠ACF, 又，AB=AC, △ABE≌△CAF(ASA) (3)解：同(2)可得，△ABE≌△CAF, SABE=S.CAF CD=2BD 1 :.S.m=3S.4c=3x15=5 3 .△ACF与△BDE的面积之和为5. 答案第15页，共2页