第16章整式的乘法 分层作业-2026-2027学年人教版 数学八年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，基础层夯实整式乘法法则及简单应用，提优层深化综合推理与实际应用，形成从单一到综合的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|幂的运算、乘法公式、简单应用|结合几何图形验证公式（如面积法推导平方差公式），培养几何直观与运算能力| |提优过关|综合运算、数学思想（配方法、整体代换）、新情境应用|引入阅读材料与跨情境问题（如行列式、配方法应用），发展推理意识与应用意识|

（分层作业）第16章整式的乘法-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．计算：，该计算过程中没有用到的法则是（    ） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．同底数幂的除法法则 D．积的乘方法则 2．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若实数，，满足，，则的值是（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知的展开式中不含项，常数项是，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 6．若，则的值为（    ） A．60 B．30 C．15 D． 7．若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 8．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，，则 ________． 10．多项式加上一个单项式后，成为一个完全平方式，请填空：_____=（_____）2． 11．关于整式运算结果中，一次项系数为2，则______． 12．计算的结果等于_______． 13．如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧(面积较大)与客卧都为正方形，它们的面积之和比其余面积(阴影部分)多 ，则主卧与客卧的周长差_____ ． 14．观察下列各式及其展开式： …… 请你猜想的展开式中含项的系数是________． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．先化简，再求值：，其中， 17．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 提优过关 18．将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，求的值． 19．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法是将一个代数式的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，利用配方法可以解决许多数学问题． 如：利用配方法求的最小值． 解： ∵，∴当时，有最小值为． (1)填空：若，则______，______． (2)应用：若，，试说明无论x取何值，P始终大于Q． (3)当取最小值时，________． 20．小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足 ，求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法： 方法1：设 ， ，则 ，，所以 方法2：因为 ，所以 ，所以，， (1)若，求的值． (2)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，求图中阴影部分的面积和． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第16章整式的乘法-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D C A A D 1．C 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，分析题意，通过分析计算过程，识别每一步所运用的幂运算法则，并判断哪个法则未被使用，即可作答． 【详解】解：∵， ∴第一步应用积的乘方法则：， ∴第二步应用幂的乘方法则：， ∴第三步应用同底数幂的乘法法则：， 则全程未涉及除法运算， ∴ 未用到同底数幂的除法法则， 故选：C 2．B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理，，结合，得，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴， 即， ∴， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了整式的加减的应用，完全平方公式的应用，将两个方程相加消去，并通过配方法得到关于和的完全平方形式，从而求出和的值，再代入原方程求解，通过相加消元并配成完全平方，利用非负性求出变量值，是解决此类问题的常用方法． 【详解】解：∵实数，，满足，， ∴两式相加可得：， 整理可得：， ∴，即， ∵，， ∴且， 解得：，， ∴， 解得：， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除、幂的乘方． 根据合并同类项，同底数幂的乘除、幂的乘方逐一计算后判断即可． 【详解】选项A：a和不是同类项，不能合并，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确； 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了多项式的乘法运算． 展开多项式后，根据不含项和常数项为的条件，列方程求解和，再求和． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项，常数项是， ∴，， 解得，， ∴． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了求代数式的值，准确的计算是解决本题的关键． 将代数表达式重组并因式分解，利用完全平方公式和已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， 又∵， ∴ ． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了整式运算的应用，通过展开 M 和 N 的表达式，并计算 M 与 N 的差，从而比较大小关系． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即： ∴ ， 故选择： A． 8．D 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．图的面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积，图2的面积等于梯形的面积（下底是，上底是，高是），结合两个面积是相等的，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，图的面积；图2的面积； ∵这两个图形的面积是相等的， ∴， 故选：D． 9．12 【分析】逆用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 10．，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方式的形式解答即可． 【详解】解：多项式，是一个完全平方公式； 多项式，是一个完全平方公式． 故答案为：，（答案不唯一）． 11．4 【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键，根据多项式乘以多项式将式子展开得到，再由题意得到，进而得到答案． 【详解】解：， ∵一次项系数为2， ∴， ∴， 故答案为：4． 12． 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用问题，完全平方公式，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． 假设主卧的边长为，客卧的边长为，且，根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：假设主卧的边长为，客卧的边长为，且， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（负值已舍）， ∴主卧与客卧的周长差为， 故答案为：． 14．60 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，归纳总结出展开式中项的系数变化规律是解题的关键．由题意得，的展开式中含项的系数是，再结合的展开式的特点，即可求解． 【详解】解：的展开式中含项的系数是， 的展开式中含项的系数是， 的展开式中含项的系数是， 的展开式中含项的系数是， ∴的展开式中含项的系数是， ∴的展开式中含项为 ∴的展开式中含项的系数是60． 故答案为：60． 15．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 16．，5 【分析】先利用完全平方公式以及平方差公式展开，合并同类项，然后再根据多项式除以单项式计算，最后把，代入计算后的结果求解即可． 【详解】解： ， 当，时， 则原式． 17．(1) (2)1 【分析】（1）由图2、图1中的阴影部分面积相等，即可得出结果； （2）将转化为，再利用平方差计算即可． 【详解】（1）解：∵图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形， ∴图2、图1中的阴影部分面积相等， ∴． （2）解： ． 18．， 【分析】根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 19．(1)， (2)证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x取何值，P始终大于Q； (3) 【分析】（1）根据配方法将转化为的形式即可； （2）计算的值，仿照题干作答即可； （3）利用配方法求取最小值时a、b的值，进而相加即可． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴，； （2）略； （3）解： ， ∵，， ∴当，时，取最小值， 此时， ∴． 20．(1) (2)144 【分析】（1）设两个平方项为和，利用和的关系式求出乘积或展开原式整理成二次方程，再代入待求乘积的展开式中整体求值； （2）由长方形边长关系和已知，用表示出和 根据阴影面积是两个正方形的面积和，即，设，，由长方形面积条件得乘积，再根据用平方关系求出平方和． 【详解】（1）解：设，，则， ∵， 所以， ∴． （2）解：，，， ，． ∵长方形的面积为40， ∴，即， 设，，则， ∴ ． 所以图中阴影部分的面积和为144． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $