第16章 整式的乘法 单元测试 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册整式的乘法单元测试，覆盖幂的运算、乘法公式等核心知识，通过基础计算、几何直观、新定义问题等梯度设计，考查抽象能力、运算能力与创新意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题/24分|幂的运算、完全平方公式|第4题以图形面积验证乘法公式，体现几何直观| |填空题|10题/40分|杨辉三角应用、新定义“美好数”|第16题结合杨辉三角探究展开式系数，培养推理意识| |解答题|9题/86分|化简求值、复数运算、几何与代数综合|第26题引入复数概念，融合运算能力与创新意识；第22题通过正方形面积求阴影部分，发展模型意识|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年八上单元测试—整式的乘法 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024八年级上册第十六章—整式的乘法 一、选择题（共24分） 1．（本题3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A、，计算正确； 选项B、与不是同类项，不能合并，计算错误； 选项C、，计算错误； 选项D、，计算错误． 2．（本题3分）计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 3．（本题3分）已知关于字母x的二次三项式是完全平方式，则常数k的值为（     ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】将二次项、常数项化为平方形式，结合完全平方式的一次项特征列等式求解. 【详解】解：【法一】∵是完全平方式且，， ∴原式可写为， 对比系数有解得， 故D选项正确． 【法二】∵是完全平方式， ∴令， 对比系数可得解得． 故D选项正确． 4．（本题3分）如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等面积法求解即可． 【详解】解：大正方形的面积， 大正方形的面积两个小正方形面积两个相同的长方形面积， ∴满足的公式是． 5．（本题3分）若，，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】B 【分析】将所求转化为含已知和的式子，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴． 6．（本题3分）已知，，则的值为（     ） A．436 B．216 C．217 D．218 【答案】D 【分析】本题利用完全平方公式求解，将已知两个等式展开后相加，可消去含的交叉项，整理即可得到的值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 等式两边同时除以2，得 ． 7．（本题3分）如图，以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】设，，根据题意可得，，利用完全平方公式即可求得． 【详解】解：设，， 根据题意可得，即， ，即， ， ∴长方形的面积为． 8．（本题3分）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如，，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17687 B．17688 C．17689 D．17670 【答案】B 【分析】根据“美好数”的定义，设两个连续奇数分别为，，为正整数，利用平方差公式推导“美好数”的表达式，结合不超过530的条件确定n的范围，再求和计算即可． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，为正整数， 由平方差公式得：， 即“美好数”可表示为， 由题意得：， 解得， 为正整数， 的最大值为， 最大的对应奇数为， 所有“美好数”之和为． 二、填空题（共40分） 9．（本题4分）已知，，则______． 【答案】 【分析】将所求通过完全平方公式变形为含已知和的形式，代入数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 10．（本题4分）是完全平方式，则________． 【答案】或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，确定一次项系数的两种可能，即可求解． 【详解】解：完全平方公式为， ∵ 是完全平方式， ∴ 对比公式结构可得 ，即，，即， ∴ 一次项满足 ， ∴ ． 11．（本题4分）计算________． 【答案】 【详解】解： ． 12．（本题4分）若，则=________ 【答案】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后代入已知条件计算． 【详解】解：， 将，代入上式，得． 13．（本题4分），则_____ ． 【答案】 【分析】 根据同底数幂的乘法运算法则，，，，进行解答，即可． 【详解】 解：． 14．（本题4分）如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是______（填写序号）． ①；②；③；④ 【答案】②④ 【分析】分别表示出图1的面积为，图2的面积为，结合题意逐项分析即可得出结果． 【详解】解：图1的面积为， 图2的面积为， ∴， ∴， 综上所述，能利用图1和图2验证的是②④． 15．（本题4分）使的的值为__________． 【答案】3或2或1 【分析】根据任何非零数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1进行计算即可． 【详解】解：当即，此时； 当即时，； 当即时，； 综上，x的值为3或2或1． 16．（本题4分）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 【答案】8 【分析】根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，根据，即可得出结论； 【详解】解：，， ， ， ， ， 项的系数是8． 17．（本题4分）若，则的值为______． 【答案】 【分析】等式左边根据合并同类项法则计算，右边根据同底数幂的乘法法则计算，即可得出，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ． 18．（本题4分）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共86分） 19．（本题8分）计算：． 【答案】 【分析】分别计算零指数幂，乘方和绝对值，再求和即可． 【详解】 解： ． 20．（本题8分）计算：． 【答案】． 【分析】先根据同底数幂的乘法法则，积的乘方与幂的乘方法则计算，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 21．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查多项式的展开与化简，乘法公式，去括号法则，正确计算是解题的关键．利用乘法公式，完全平方公式展开并合并同类项完成化简，再代入进行计算求解． 【详解】解：， ， ， ； 当时，原式． 22．（本题8分）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：， ，即， 又， ． 根据上面的解题思路与方法；解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值．熟记公式的形式是解题关键； （1）先计算的值，再由即可求解； （2）设，可得的值，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， 所以，即的值为； （2）解：设，，则． 由题意得． ∵， ∴， ∴， 所以图中阴影部分的面积为． 23．（本题10分）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 24．（本题10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图，它所对应的公式为________（填写对应公式的序号）． ①： ②： ③： (2)如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)如图，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A，B两张纸片的边长差为，A，B两张纸片的面积和为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)①； (2)； (3)． 【分析】（1）通过大正方形面积的两种表示方法，验证完全平方公式的变形； （2）利用周长和面积得到与，整体代入展开式求值； （3）设A，B两张纸片的边长分别为m，n，根据题意得到，，根据完全平方公式得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：据图可知，大正方形的边长为， 则其面积为， 也可以看成四个长、宽分别为、的矩形和边长为的正方形的面积之和， 即， 可得； （2）解：由题意得，， 即， ∴ ； （3）解：如图， 设A，B两张纸片的边长分别为m，n， 可知大正方形的边长为， ∴， ∵A，B两张纸片的边长差为，A，B两张纸片的面积和为， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 25．（本题10分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：； （2）解：∵， 或． 26．（本题12分）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空：① ；② ； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】（）按照定义及积的乘方计算即可； （）先按照完全平方式及定义展开运算，求出和的值，再代入要求的式子求解即可； （）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，个一组，从而可得答案． 【详解】（1）解：（1）①原式， ②原式． （2）解：∵，是的共轭复数， ∴， ∴； （3）解：由条件可知：， 即， ∴， 解得：， ∴， ∵， 有个加数，， ∴，则， ∴． 27．（本题12分）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据前面的规律可求得________（其中为正整数）． (2)根据上述规律求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘多项式及其规律问题等知识点，认真观察各式、归纳出规律是解题的关键． （1）由已知等式可得出x的指数为即可解答； （2）将所求代数式乘以，再根据（1）的规律计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； …… ． 故答案为：． （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年八上单元测试一整式的乘法 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3.作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024八年级上册第十六章一整式的乘法 一、选择题（共24分) 1.(本题3分)下列计算正确的是() A.d3+a3=2a B.4a+2a2=2a4 C.a3.a2=a6 D.(3a}=6a 2.(本题3分)计算a4·a正确的是（) A.a2 B.Ta C.a D.12a 3.(本题3分)已知关于字母x的二次三项式4x2+2c+9是完全平方式，则常数k的值为() A.3 B.±3 C.6 D.6 4.(本题3分)如图所示的图形面积由以下哪个公式表示() ab b2 a ab 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 A.d-b=a(a-b)+b(a-b) B.(a-b)}=d2-2ab+b2 c.(a+b}2=d2+2ab+b2 D.a2-b2=(a-b)(a+b) 5.(本题3分)若a+b=-2,ab=1,则a2+b的值为() A.3 B.2 C.0 D.1 6(木题3分》己知m-m=36,(m+m=40,则㎡+㎡的值为() A.436 B.216 C.217 D.218 7.(本题3分)如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个 正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为() D B A.4 B.6 C.8 D.10 8.(本题3分)如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”，如 8=32-1216=52-32 ,即8,16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为 () A.17687 B.17688 C.17689 D.17670 二、填空题（共40分） g.(本题4分)已知a-b=7,ab=2,则a+b= 10.(本题4分)x2+x+25是完全平方式，则k= 1.(本题4分)计算0°= (a≠0) 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 10m=2,10”=3 12.（本题4分)若 则10w 13.(本题4分)x+2y=0,则3.9=一 14.(本题4分)如图，小华同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1 和图2.则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是 (填写序号). 2a 图1 图2 Oa=2b,②4a(a+b)=(2a+b'-B,③（2a-b'=4a-4ab+b,@(2a+b>4aa+b) 15.( 本愿4分)使(2x-3)'=1的x的值为】 16.(本题4分)阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三 角”（如图所示)，它揭示了a+ (n为非负数)展开式的各项系数的规律. (a+b)'=a+b 1 11 (a+b)2=a+2ab+b 121 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 1464 (a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab (a+1)8 根据上述规律， 的展开式中a项的系数是 17. (本愿4分)若3(3+3”+3)=3”3 则n的值为一 18,（本避4分》对于任意的整数4，如果-(a+a-),则称'为“的“最简平方差”，“为'的“最佳 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 分解数”.例如： 8=(B+1)×(3-少，则8为3的“最简平方差”，3为8的“最佳分解数”，已知“最简 x 平方差”m、n对应的“最佳分解数”分别为x、y,且m-n=24,则y的最小值为一 三、解答题（共86分） 19,(本题8分)计算： -叭++2 20.(本题8分)计算：daa+(←d)°+(-2a. 21.(本题8分)先化简，再求值： x+2yx-)-6x-20,其中 =2,y=1 2.(本题8分)完全平方公式：(a±b}°=d±2ab+2 适当的变形，可以解决很多的数学问题， 例如：若a+b=3,ab=1,求a+b2的值. 解：a+b=3, (a+b=9,即d++2ab=9, 又ab=l, a2+b2=7 根据上面的解题思路与方法；解决下列问题： 0浩-少7，+y=引，来的 (②)如图，点C是线段AB上的一点，以AC,BC为边向两边作正方形，设AB=10,两正方形的面积和 S+S2=80 ,求图中阴影部分面积. 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 S2 G 23.(本题10分)阅读：已知正整数4、b、c,显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不 同底数的两个幂d和c,当a>c时，则有d”>c,根据上述材料，回答下列问题. (1)比较大小：520 420(填写>、<或=)· (2)比较23与32的大小（写出比较的具体过程）. 3)计算：425×0.25204-8225×0.1252024」 24.(本题10分)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数” 中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化. B x a 图1 图2 图3 (1)观察图1，它所对应的公式为 (填写对应公式的序号)· O:(x+yヅ=(x-+4 ②：(x-=r-2y+y ③ x2-y2=(x+y)(x-y) 2如图2，边长为0，力的长方形，它的周长为20，面积为8，求20+(26+的值. 3)如图3，将A,B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A,B两张纸片的边长差为2，A,B 两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积， 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 25.(本题10分)己知x+y=6,y=4,求下列各式的值： 2+y2 (1) (2)x-y. 26.(本题12分)阅读材料：如果一个数的平方等于-1，记为=-1，这个数i叫做虚数单位，那么形如 a+bi(a,b为实数)的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部. 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： (2+i)+(3-41)=(2+3)+(1-4)i=5-3;(3+i)i=3i+2=3i-1 ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等：若它们的实部相等，虚部互为相反数， 则称这两个复数共轭：如1+2i的共轭复数为1-2i. 0空：o（2+2-0=；②2+y= ②若a+bi是+2的共犯复数，求6-a旷的值 ⑧尼知a+6+=1-3,求d+8+++i++）的值 27.(本题12分)观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-1(x2+x+1=x2-1 (x-1)x3+x2+x+1=x4-1 四根据前面的规律可求得x-x+x++x+1) (其中n为正整数). (2)根据上述规律求1+2+22+2++2+2的值.