17.2 用公式法分解因式 同步练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦用公式法分解因式，通过“概念辨析-技能应用-综合拓展”三阶分层设计，适配新授课知识内化与数学思维初步培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|公式识别与直接应用|选择2（完全平方公式适用判断）、填空9（拼图验证因式分解），强化抽象能力与几何直观| |中档|公式逆向与情境应用|选择5（长方体面积差因式分解）、填空12（代数式求值），发展运算能力与模型意识| |提升|综合拓展与跨方法整合|解答17（三角形形状判断）、18（十字相乘法拓展），培养推理意识与创新意识|

2026-2027学年八年级上册数学课时自测(人教版专用) 第十七章 17.2 用公式法分解因式 建议用时：40分钟，满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列因式分解结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查平方差、完全平方、十字相乘因式分解，逐一判断选项分解是否正确。 【详解】 A.，原式未分解成整式乘积，错误； B.，平方项底数应为，错误； C.，完全平方中间符号错误，错误； D.，十字相乘分解正确。 2.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】完全平方公式特征：，两项平方项，中间为底数乘积 2 倍。 【详解】 A.缺少中间一次项，不能用完全平方； B.常数项非平方数，不符合； C.，满足完全平方公式特征； D.一次项系数不是 2 倍底数乘积，不符合。 3.嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙(    ) 密码及对应的明文： 在书架上 里面花瓶的 后面衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置． A. 在衣柜的花瓶里面 B. 在衣柜的后面 C. 在书架上花瓶的里面 D. 在书架上花瓶的后面 【答案】D 【分析】先对代数式提公因式、平方差分解，再对照密码明文翻译。 【详解】 对照密码：在，书架上，花瓶的，后面，连起来：在书架上花瓶的后面。 4.若可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】二次三项式为完全平方式，一次项系数为，列式求参数。 【详解】 ， 或 ， 解得 或 。 5.如图，有一张边长为的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒用表示其底面积与侧面积的差，则可因式分解为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先用含的式子表示底面积、侧面积，作差后提取公因式分解。 【详解】 底面正方形边长：，底面积：； 4 个侧面长方形，侧面积：； 。 6.下列多项式中：，能用公式法分解因式的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【分析】依次判断每个多项式能否用平方差 / 完全平方公式分解，统计个数。 【详解】 ①：常数项非平方数，不能公式分解； ②，完全平方； ③，无相反项，不能平方差； ④，平方差； ⑤，完全平方； ⑥，一次项不满足 2 倍乘积，不能分解； 能用公式法的是②④⑤，共 3 个。 7.小清在练习因式分解时，发现多项式被污染了，翻看答案因式分解的结果是，则中的数字是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】将分解结果展开，对比原式求出污染数字。 【详解】 ， 原式为，因此。 8.下面是投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答错误的是(    ) 分解因式：． 解：          ． 其中运用到的方法是    和    ． A. 代表 B. 代表 C. 可能代表提公因式法 D. 可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】分步因式分解，判断每一步符号、因式分解方法。 【详解】 原式 ，是，A 正确； ，为此式，B 正确； 第一步提取公因式，用到提公因式法，C 正确； 用平方差公式，不是完全平方公式，D 错误。 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：          ． 【答案】 【分析】拼图面积相等，大长方形面积 = 各小图形面积和，对应因式分解等式。 【详解】 拼图整体面积多项式为，分割后长、宽， 因此。 10.如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形纸片之间不重叠、无缝隙，则拼成的长方形的另一边长是          ． 【答案】 【分析】利用平方差求剩余面积，已知长方形一边，用面积 ÷ 边长得另一边长。 【详解】 剩余面积： ， 拼成长方形一条边长为，另一边长。 11.如果多项式是完全平方式，则          ． 【答案】 【分析】完全平方式中间项为首尾底数乘积，列等式求。 【详解】 ， ， 。 12.已知，，则的值为          ． 【答案】 【分析】先对代数式提取公因式，用完全平方变形，整体代入求值。 【详解】 原式， 代入： 原式。 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分分解因式： ． 【答案】 (1) 原式=(x+)(x-);  (2)原式=(+1+2x)(+1-2x)=.  14.本小题分 定义一种运算：． 如：． 计算： 将计算所得的多项式分解因式． 【答案】 (1) 解：由题意，得 (-x)△(1-x)＝(-x)3-(1-x)2+(-x)(1-x)+1＝-x3-(1-2x+x2)-x+x2+1＝-x3-1+2x-x2-x+x2+1＝-x3+x．  (2)-x3+x＝-x(x2-1)＝-x(x+1)(x-1)．  15.本小题10分 【发现】两个连续奇数的平方差是的整数倍． 【验证】的结果是的多少倍 【证明】两个连续奇数与为整数的平方差是的整数倍． 【答案】 (1) 解:-=(17+15)(17-15)=322=64=88, -的结果是8的8倍;  (2)-=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n2=8n, 两个连续奇数2n+1与2n-1(n为整数)的平方差是8的整数倍. 16.本小题分 让我们来规定一种运算：，例如：，再如：按照这种运算规定，请解答下列问题：            当时，求的值 将下面的式子进行因式分解：． 【答案】 (1)14  (2)由题意得2x-(1-x)1=0,解得x=.  (3)原式=(-2x)(-2x-11)-(-3)8 =-11(-2x)+24 =(-2x-3)(-2x-8) =(x+1)(x-3)(x+2)(x-4). 17.本小题分 我校数学社团的小亮、小颖两位同学利用分组分解法进行因式分解： 小亮： ． 小颖： 请你在他们解法的启发下，解决下面问题： 因式分解：． 已知，，是的三边长，且满足，判断的形状并说明理由． 【答案】 (1) 【解】a3-3a2+a-3＝(a3-3a2)+(a-3)＝a2(a-3)+(a-3)×1＝(a2+1)(a-3)．  (2)△ABC是等腰三角形． 理由如下： ∵a2-2ac+c2＝ab-bc， ∴a2-2ac+c2-ab+bc＝0， ∴(a-c)2-b(a-c)＝0， ∴(a-c)(a-c-b)＝0， ∴a-c＝0或a-c-b＝0． ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a＝c，∴△ABC为等腰三角形．  18.本小题12分 【阅读理解】 用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ二次项系数． Ⅱ常数项，验算：“交叉相乘之和”． ，， ，． Ⅲ发现第个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即，则． 像这样分解因式的方法叫作十字相乘法． 【初步应用】 仿照此方法，分解因式： ． 【类比应用】若可用以上方法进行因式分解，求的所有整数值． 【拓展应用】 分解因式： ． 【答案】 (1) 解: ①-5x+6=(x-2)(x-3). ②3+2x-8=(3x-4)(x+2). (2)二次项乘数1=11,常数项-8=-18=-81=-42=-24, 2m-4=-1+8=7或2m-4=-8+1=-7或2m-4=-4+2=-2或2m-4=-2+4=2, 解得m=(舍去)或m=-(舍去)或m=1或m=3, m=3或m=. (3) ①+3(a+b)-10=[(a+b)+5][(a+b)-2]=(a+b+5)(a+b-2). ②-5+4=(-4)(-1)=(x+2)(x-2)(x+1)(x-1). 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学课时自测(人教版专用) 第十七章 17.2 用公式法分解因式 建议用时：40分钟，满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列因式分解结果正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 3.嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙(    ) 密码及对应的明文： 在书架上 里面花瓶的 后面衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置． A. 在衣柜的花瓶里面 B. 在衣柜的后面 C. 在书架上花瓶的里面 D. 在书架上花瓶的后面 4.若可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.如图，有一张边长为的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒用表示其底面积与侧面积的差，则可因式分解为(    ) A. B. C. D. 6.下列多项式中：，能用公式法分解因式的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.小清在练习因式分解时，发现多项式被污染了，翻看答案因式分解的结果是，则中的数字是(    ) A. B. C. D. 8.下面是投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答错误的是(    ) 分解因式：． 解：          ． 其中运用到的方法是    和    ． A. 代表 B. 代表 C. 可能代表提公因式法 D. 可能代表完全平方公式法 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：          ． 10.如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形纸片之间不重叠、无缝隙，则拼成的长方形的另一边长是          ． 11.如果多项式是完全平方式，则          ． 12.已知，，则的值为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分分解因式： ． 14.本小题分定义一种运算：． 如：． 计算： 将计算所得的多项式分解因式． 15.本小题分 【发现】两个连续奇数的平方差是的整数倍． 【验证】的结果是的多少倍 【证明】两个连续奇数与为整数的平方差是的整数倍． 16.本小题分 让我们来规定一种运算：，例如：，再如：按照这种运算规定，请解答下列问题：            当时，求的值 将下面的式子进行因式分解：． 17.本小题分 我校数学社团的小亮、小颖两位同学利用分组分解法进行因式分解： 小亮： ． 小颖： 请你在他们解法的启发下，解决下面问题： 因式分解：． 已知，，是的三边长，且满足，判断的形状并说明理由． 18.本小题分 【阅读理解】 用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ二次项系数． Ⅱ常数项，验算：“交叉相乘之和”． ，， ，． Ⅲ发现第个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即，则． 像这样分解因式的方法叫作十字相乘法． 【初步应用】 仿照此方法，分解因式： ． 【类比应用】若可用以上方法进行因式分解，求的所有整数值． 【拓展应用】 分解因式： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学课时自测（人教版专用） 第十七章17.2用公式法分解因式（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D 0 A B D 0 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9.x2+6x+8=(x+2)(x+4) 10. a+6 11. ±12 12. 27 三、解答题（共6小题，共64分） 13.(10分) 【答案】 1)原式(6x5分 (2)原式=(x2+1+2x)(x2+1-2X)3分 (x+12(x-12 5分 14.(10分) 【答案】 (1)解：由题意，得 (x)△(1-x) =(-x)3-(1-x)2+(-x(1-X)十1.2分 =-x2-(1-2x+x2-x+x2+1 =-x3-1+2x-x2-x+x2+1 1/4 =-x3+x. 5分 (2)-x3+x =-X(K2-1)8分 =-xx+1)x-1). 10分 15.(10分) 【答案】 (1)解： .172-152 -(17+15)、(17-15) 2分 =32×2 =64 -8x8… 5分 .172152的结果是8的8倍； ②：(2n+1P(2n-12 -(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)…. 8分 =4n×2 =8n, :两个连续奇数2n+1与2n-1a为整数的平方差是8的整数倍…10分 16.(10分) 【答案】 (1)14.… 2分 (2)由题意得2×x-(1-x)×1=0, 2/4 1 解得3 5分 (3)原式=(x2-2x(x2-2x-11)-(3)×8 (X2-2x2-1x2+24 X -(x2-2x-3)(x2-2x-8) -(X+1)0X-3)0X+2)(K-4)10分 17.(12分) 【答案】 (1) a3-3a2+a-3 =(a3-3a2)t(a-3) =a2(a-3)+(a-3)×1 =(a2+1)(a-3). 3分 (2)△ABC是等腰三角形. .5分 理由如下 '.'a2-2ac+c2=ab-bc, ..a2-2ac+c2-ab+bc=0, ∴.(a-c)2-b(a-c)=0, 7分 ∴.(a-c)(a-c-b)=0, .a-C=0或a-C-b=0.9分 a,b,c是△ABC的三边长， ∴.a=c, ∴.△ABC为等腰三角形. 12分 18.(12分) 【答案】 3/4 (1)解 ①2-5x+6-(k-26k-3).2分 ②32t2X-8-(3x-400x+2).4分 (2).二次项乘数1=曰1×1，常数项-81×8-8×1=4×2=-2×4， .2m-4-1+87或2m-4-8+1=-7或2m-4-4+2=-2或2m-4-2+4-2…6分 解得m=5.5(舍去)或m=1.5(舍去)或m=1或m=3, .m=3或m1 .8分 (3) +b)+3a+b)-10-(at)-5I[a+b)-2-atb+5)(atb-2. ②x4-5x2+4=(x2.4(X2-1)=(x+2)0x-2)0x+1)x-1)12分 4/4………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学课时自测(人教版专用) 第十七章 17.2 用公式法分解因式 建议用时：40分钟，满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列因式分解结果正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 3.嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙(    ) 密码及对应的明文： 在书架上 里面花瓶的 后面衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置． A. 在衣柜的花瓶里面 B. 在衣柜的后面 C. 在书架上花瓶的里面 D. 在书架上花瓶的后面 4.若可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.如图，有一张边长为的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒用表示其底面积与侧面积的差，则可因式分解为(    ) A. B. C. D. 6.下列多项式中：，能用公式法分解因式的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.小清在练习因式分解时，发现多项式被污染了，翻看答案因式分解的结果是，则中的数字是(    ) A. B. C. D. 8.下面是投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答错误的是(    ) 分解因式：． 解：          ． 其中运用到的方法是    和    ． A. 代表 B. 代表 C. 可能代表提公因式法 D. 可能代表完全平方公式法 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：          ． 10.如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形纸片之间不重叠、无缝隙，则拼成的长方形的另一边长是          ． 11.如果多项式是完全平方式，则          ． 12.已知，，则的值为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分分解因式： ． 14.本小题分定义一种运算：． 如：． 计算： 将计算所得的多项式分解因式． 15.本小题分 【发现】两个连续奇数的平方差是的整数倍． 【验证】的结果是的多少倍 【证明】两个连续奇数与为整数的平方差是的整数倍． 16.本小题分 让我们来规定一种运算：，例如：，再如：按照这种运算规定，请解答下列问题：            当时，求的值 将下面的式子进行因式分解：． 17.本小题分 我校数学社团的小亮、小颖两位同学利用分组分解法进行因式分解： 小亮： ． 小颖： 请你在他们解法的启发下，解决下面问题： 因式分解：． 已知，，是的三边长，且满足，判断的形状并说明理由． 18.本小题分 【阅读理解】 用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ二次项系数． Ⅱ常数项，验算：“交叉相乘之和”． ，， ，． Ⅲ发现第个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即，则． 像这样分解因式的方法叫作十字相乘法． 【初步应用】 仿照此方法，分解因式： ． 【类比应用】若可用以上方法进行因式分解，求的所有整数值． 【拓展应用】 分解因式： ． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $