第17章《因式分解》 单元检测卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版八年级上册《因式分解》单元检测卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，全面覆盖因式分解核心方法，适配单元复习，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8小题/24分|因式分解定义、公因式、公式法应用|结合几何直观（纸片拼接）考查完全平方公式结构| |填空题|6小题/18分|提公因式法、规律探究、完全平方式|通过等式规律培养抽象能力，渗透模型意识| |解答题|8小题/58分|综合分解、证明（整除）、阅读材料（十字相乘法/分组分解法）|以图形面积问题（剪拼正方形）强化空间观念，阅读题培养创新意识与推理能力|

第章《因式分解》检测卷 学年人教版数学八年级上册 满分 分　考试时间 分钟　姓名：________　班级：________　得分：______ 一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） ．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　） ． ． ． ． ．因式分解： （　　） ．　　．　　．　　． ．下列因式分解正确的是（　　） ． ． ． ． ． 与 的公因式是（　　） ．　　．　　．　　． ．如果 ，那么 的值为（　　） ．　　．　　．　　． ．分解因式： （　　） ． ． ． ． ．现有甲、乙、丙三种不同的纸片（尺寸如图），其中甲是边长为 的正方形，乙是边长为 的正方形，丙是长为 、宽为 的长方形。用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片 块、乙纸片 块，还需取丙纸片（　　） ． 块　　． 块　　． 块　　． 块 ．利用因式分解计算 的结果是（　　） ．　　．　　．　　． 二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） ．因式分解： ______。 ．因式分解： ______。 ．已知 ，且 ，则 ______。 ．观察下列等式： ，… 按此规律，第 个等式可以表示为 ______。 ．若二次三项式 是完全平方式，则常数 的值为 ______。 ．若 ，则 的值为 ______。 三、解答题（本大题共 小题，共 分） ．分解因式： ； 。（分） ．先分解因式，再求值： ，其中 。（分） ．已知 、、 是 的三条边长，且满足 ，请判断 的形状，并说明理由。（分） ． 求证：两个连续整数的积一定能被 整除； 求证：⁰⁶ ⁰⁵ ⁰⁴ 能被 整除。（分） ．如图①，从边长为 的正方形纸片中剪去一个边长为 的正方形，剩余部分沿虚线剪开后拼成如图②的长方形（不重叠、无缝隙）。 用含 的代数式表示剩余部分的面积（要求用因式分解化简）； 若拼成的长方形的一边长为 ，求另一边的长。（分） ．如图，把 个长为 、宽为 （ ）的长方形纸片紧密拼接成一个大正方形，中间留出一个空白的小正方形。 用含 、 的代数式表示图中空白小正方形的边长和面积； 观察图形，写出 、、 之间的等量关系； 若 ，求空白小正方形的面积。（分） ．【阅读材料】对于形如 的二次三项式，可以先把它的一次项系数拆成两个数的和，使这两个数的积恰好等于常数项，从而把这个二次三项式分解为 。例如： 。我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法。 【解决问题】 分解因式： ； 分解因式： ； 若二次三项式 能分解为两个一次因式的积（ 为整数），直接写出所有满足条件的 的值。（分） ．【阅读材料】对于四项以上的多项式，可以先合理分组，再分别分解或运用公式，这种分解因式的方法叫做分组分解法。例如： 。 【解决问题】 分解因式： ； 分解因式： ； 已知 ，且 ，判断 与 之间的数量关系，并说明理由。（分） （参考答案与解析） 一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） ． 【分析】根据因式分解的定义逐项判断：右边必须是几个整式的积，且与原式相等。 解： 是整式乘法，不是因式分解； 的右边不是积的形式； ： ，正确； ： 原式，错误。故选 。 ． 【分析】两项都是平方项且符号相反，用平方差公式。 解： 。故选 。 ． 【分析】逐项用提公因式法、公式法检验，注意分解不能漏项、要彻底。 解：： ，正确； ：右边漏加 ，应为 ； ：应为 ； ： ，分解不彻底。故选 。 ． 【分析】公因式的系数取各项系数的最大公约数，字母取公共字母的最低次幂。 解：系数 与 的最大公约数是 ，公共字母只有 ，取最低次幂 。 公因式为 。故选 。 ． 【分析】先提公因式 ，再逆用完全平方公式，最后整体代入。 解： 。故选 。 ． 【分析】先展开 ，合并同类项后再用完全平方公式。 解： 。故选 。 ． 【分析】拼接成的正方形面积等于各纸片面积之和，利用完全平方公式的结构判断。 解： 块甲与 块乙的面积和为 。 若拼成正方形，由完全平方公式 ， 还需面积 ，即 块丙纸片。故选 。 ． 【分析】把 、 看成 和 ，逆用平方差公式。 解： 。 。故选 。 二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） ． 【分析】前两项与末项恰构成完全平方式。 解： 。 ． 【分析】先把 变形为 ，再提公因式 。 解： 。 ． 【分析】先用平方差公式分解 ，再整体代入求 。 解： 。 ÷ 。 ． 【分析】从各等式的结构找规律：第 个等式左边为 ，右边是完全平方式。 解：第 个等式为 。 验证： ，规律成立。 ． 【分析】完全平方式的结构为 ，常数项 ，据此确定中间项。 解： 中间项应为 。 。 ． 【分析】把前三项分为一组提出 ，凑出 后整体代入。 解： 。 三、解答题（本大题共 小题，共 分） ．（分） 【分析】 先提公因式 ，再用平方差公式； 先提公因式 ，再用完全平方公式。 解： 。 。 【评分标准】每小题正确提出公因式得 分，用公式分解彻底再各得 分。 ．（分） 【分析】前两项与末项构成完全平方式，分解后整体代入。 解： 。 当 时，原式 。 【评分标准】正确用完全平方公式分解得 分，代入求出值为 得 分。 ．（分） 【分析】把等式两边同乘 再移项，配方成三个完全平方式的和等于 。 解： 是等边三角形。理由如下： 由 ，得 ， 即 。 ， ，即 。 是等边三角形。 【评分标准】两边同乘 并正确配方得 分，说明三个非负数同时为 得 分，得出等边三角形得 分。 ．（分） 【分析】把式子分解因式，说明含有因数 、。 证明：设这两个连续整数为 和 （ 为整数）。 则 与 中必有一个偶数，其积 必为偶数， 两个连续整数的积一定能被 整除。 证明：⁰⁶ ⁰⁵ ⁰⁴ ⁰⁴ ⁰⁴ 。 ⁰⁴ 是 的倍数， ⁰⁶ ⁰⁵ ⁰⁴ 能被 整除。 【评分标准】 设出两个连续整数得 分，说明一奇一偶并得出结论得 分； 正确提取 ⁰⁴ 得 分，得出整除结论得 分。 ．（分） 【分析】剩余面积 大正方形面积 小正方形面积，用平方差公式分解后可确定长方形两边。 解： 剩余部分的面积 。 由 知长方形的面积 。 一边长为 另一边的长为 。 【评分标准】 正确列式 得 分，分解因式化为 得 分； 得出另一边长为 得 分。 ．（分） 【分析】由图形结构知空白小正方形边长为 ；大正方形面积 个长方形面积 空白正方形面积。 解： 空白小正方形的边长为 ，面积为 。 大正方形的边长为 ，其面积等于 个长方形与空白小正方形的面积之和， 。 由 得 。 空白小正方形的面积为 。 【评分标准】 写出边长 得 分，面积 得 分； 写出等量关系 得 分； 正确代入得 分，求出面积为 得 分。 ．（分） 【分析】 按材料的方法，把常数项分解成两个因数之积，使这两个因数之和等于一次项系数； 把 分解成两个整数的积，分四种情况逐一讨论。 解： ， 。 ， 。 设 ，则 。 、 的取值只有四种情况： ，此时 ； ，此时 ； ，此时 ； ，此时 。 满足条件的 的值为 、、 或 。 【评分标准】 正确分解得 分； 正确分解得 分； 每写出一个正确的 值得 分，共 分。 ．（分） 【分析】按材料的方法分组：有公因式的分到一组，能套公式的分到一组。 解： 。 。 与 相等。理由： 由 知 ， ，即 。 【评分标准】 正确分组并分解得 分； 前三项组成完全平方式得 分，再用平方差分解彻底得 分； 利用的结论写出乘积为 得 分，结合条件判断 并说明理由得 分。 学科网（北京）股份有限公司 $