培优专题02 圆锥曲线常考的最值范围问题与跨模块综合16大题型（期末复习专项训练）高二数学上学期人教B版

培优专题02 圆锥曲线常考的最值范围问题与跨模块综合题型 题型1 弦长最值 题型9 求离心率的最值或范围（重点） 题型2 由圆锥曲线的定义求最值（重点） 题型10 椭圆双曲线共焦点问题（重点） 题型3 由圆锥曲线的有界性求最值（重点） 题型11 椭圆双曲线抛物线综合问题（重点） 题型4 求圆锥曲线中的三角形面积最值（常考点） 题型12 圆锥曲线与平面向量综合问题（重点） 题型5 求圆锥曲线中的四边形面积最值（常考点） 题型13 圆锥曲线与立体几何综合轨迹问题 题型6 求线段或者距离的最值（难点） 题型14 圆锥曲线与立体几何综合解答题（难点） 题型7 求夹角的最值（难点） 题型15 求参数的范围与最值 题型8 求斜率的最值或范围 题型16 圆锥曲线与直线和圆的综合问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 弦长最值（共3小题） 1．已知直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆恰过原点，求弦长的取值范围． 2．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且，的面积为2. (1)求的方程； (2)若直线交于两点，以线段为直径的圆的另一个交点为，且，求的最大值． 题型二 由圆锥曲线的定义求最值（共3小题） 4．(25-26高二上·北京第五中学·期中)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高二上·重庆第一中学校·月考)点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为 . 6．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期中)已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 题型三 由圆锥曲线的有界限求最值（共3小题） 7．(25-26高二上·上海复旦大学附属中学·期中)已知点在椭圆上运动，则的最大值为 ． 8．椭圆的长轴的顶点为，动点在椭圆内，且，则的取值范围是 ． 9．(25-26高二上·浙江浙东北ZDB联盟·期中)已知椭圆，为上的一动点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 题型四 求圆锥曲线中的三角形面积最值（共3小题） 10．(25-26高二上·贵州贵阳华师一学校·期中)在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 11．(25-26高二上·海南华侨中学·月考)已知椭圆的上、下两个焦点分别为，过点垂直于轴的直线交椭圆于两点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②求面积的最大值. 12．(25-26高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知平面内的动点的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点与两定点，的距离之比，（且的常数），其方程为，定点分别为椭圆的上焦点与上顶点，且椭圆与轴的两个交点之间的距离为，过点作斜率为的直线交圆于点， (1)求椭圆的标准方程； (2)若为锐角（其中是原点），求斜率的取值范围； (3)设椭圆的下焦点为，求面积的最大值. 题型五 求圆锥曲线中的四边形面积取值（共3小题） 13．(25-26高二上·江西江西师范大学附属中学·期中)已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴正负半轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． (1)若是等腰三角形，求点的坐标； (2)①设直线，的斜率为，求的值； ②求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最大值． 14．(23-24高二上·湖南长沙长郡中学·)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 15．(25-26高二上·上海大学附属中学·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 题型六 求线段或者距离最值（共2小题） 16．（2025年高考全国一卷数学真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 17．(25-26高三上·天津第五十五中学·调研)已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值. 18．(25-26高二上·吉林实验繁荣高级中学·)已知圆，过点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E，F两点，设曲线C与x轴交于P，Q两点（点P在点Q左边），直线PE与直线QF相交于点N，试求的最小值，并说明理由． 题型七 求夹角最值（共3小题） 19．(25-26高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知双曲线：的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线PA、PF、PB的斜率成等差数列； (3)若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线PM、PN的夹角为，求的取值范围． 20．(25-26高二上·江苏常州高级中学·期中)已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，设是椭圆上的一点，过E，F两点的直线交轴于点，若，求的取值范围； (3)若斜率为的直线与椭圆交于A、B两点（直线PA斜率为正），直线PA、PB（若、重合，直线PB即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于M、N两点，为PN中点.求的最大值. 21．(24-25高二下·安徽宣城·期末)已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 题型八 求斜率范围或最值（共3小题） 22．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期中)已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 23．(25-26高三上·天津河北区·)已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，过点的直线与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线的斜率为0，求的值和的取值范围. 24．(25-26高二上·山东临沂兰山区·)已知圆，定点为圆内一点，点为圆上任意一点.线段的垂直平分线交于，当点在圆上运动时，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线，与交于，两点，与轴交于点. （i）求的最小值； （ii）若以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点在的内部（包括在边界上），求的取值范围. 题型九 求离心率的最值或范围（共3小题） 25．(24-25高三下·河南部分学校·模拟)已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．(23-24高二下·云南昆明云南师范大学附属中学·期中)已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点且点在轴上的射影恰为该双曲线的右焦点交双曲线于另一点，满足，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十 椭圆双曲线共焦点问题（共3小题） 28.(24-25高二上·山东百师联考·期中)【多选题】已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（   ） A．椭圆的方程为 B． C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点， 29．(22-23高二上·江苏泰州·期中)【多选题】已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 30．(22-23高二上·安徽宿州泗县第一中学·期中)【多选题】如图，是椭圆与双曲线（ ）在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 题型十一 椭圆双曲线抛物线综合问题（共3小题） 31．(25-26高三上·山东威海文登区·期中)若抛物线：的焦点与椭圆：的右焦点重合，的准线交于，两点，为等腰直角三角形，则的离心率为 ． 32．(24-25高三下·海南三亚·)已知是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于异于原点的两点，若，则双曲线的渐近线方程是 . 33．（山东省聊城市2025届高考模拟试题（三）数学试题）已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，连接与轴交于点，若是的角平分线，则椭圆的离心率为 ． 题型十二 圆锥曲线与平面向量综合问题（共3小题） 34．（2025届甘肃省白银市实验中学高三模拟预测数学试题）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，，离心率为e，点P在E的右支上，且，，若，则 ． 35．(24-25高三下·江西新余实验中学·)已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 ；若点满足，若，则双曲线的渐近线方程为 . 36．(24-25高三下·安徽合肥第八中学·)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，E是线段MN的中点，P是x轴上一点，且，，则C的离心率为 ． 题型十三 圆锥曲线与立体几何综合轨迹问题（共3小题） 37．(24-25高三下·上海七宝中学·三模)已知长方体中，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是 . 38．(25-26高二上·山东日照·期中)【多选题】如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（    ）    A．若，则点在圆上 B．若，则点在双曲线上 C．若，则点在抛物线上 D．若，则点在椭圆上 39．(24-25高三上·河北廊坊·期末)【多选题】如图所示，棱长为的正方体中，点是棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．点到平面的距离是到平面的距离的倍 B．若点平面，且与所成角是，则点的轨迹是双曲线的一支 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．若线段 ，则的最小值是 题型十四 圆锥曲线与立体几何综合解答题（共3小题） 40．(24-25高二上·江西抚州·)如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面相切，切点分别为，数学家丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，记为，为椭圆的两个焦点.设直线分别与该圆锥的母线交于两点，过点的母线分别与球相切于两点，已知，.以直线为轴，在平面内，以线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于两点，分别为椭圆左右顶点，记的斜率为，的斜率为.求出； (3)已知为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于两点（，两点异于点），且，求的面积最大值. 41．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点圆分别为.这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为G.Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为2，5，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是 .    42．（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟数学试卷）如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面α相切，切点分别为 ，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，为椭圆Γ的两个焦点.设直线分别与该圆锥的母线交于A，B两点，过点A的母线分别与球相切于 C，D 两点，已知以直线为x轴，在平面α内，以线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求椭圆Γ的标准方程. (2)点 T在直线上，过点T作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M，N，A，B分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接，设直线与交于点P.证明:点 P 在直线上. 题型十五 求参数的范围与最值（共3小题） 43．(25-26高二上·上海建平中学·期中)如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为．曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合． (1)直接写出椭圆和双曲线的离心率， (2)已知直线过点与曲线交于、两点，若，求直线的方程： (3)已知斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值． 44．(25-26高三上·上海控江中学·开学考)已知椭圆． (1)求椭圆的离心率； (2)设、、是椭圆上的不同三点，若，点为线段的中点，求证：点在椭圆上； (3)已知直线过点且斜率为，直线与椭圆相交于，设与的面积比为，当时，求实数的取值范围． 45．（山东省济南市章丘区第一中学等多校名校联盟2025届高三下学期4月质量检测数学试题）已知等轴双曲线过点，直线与交于两点，与其渐近线交于两点. (1)求的方程； (2)设，求的取值范围. 题型十六 圆锥曲线与直线和圆的综合（共3小题） 46．(24-25高三下·上海控江中学·调研)设双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记作圆，过作圆的切线分别交的两支于点，若，则的离心率为 . 47．(24-25高三下·天津武清区杨村第一中学·)已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 . 【答案】 【来源】天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高三下学期第二次热身练数学试题 【分析】作出辅助线，由抛物线的性质，二倍角公式和垂径定理得到，结合即可求解. 【详解】显然直线l的方程斜率不为0，因为焦点， 所以设直线l的方程为，联立得， 故，故， 所以， 显然G为的中点，过G作y轴的垂线，垂足为H，则H是的中点， 设，则， ， ， 而，当且仅当，轴时取等号，则， 所以当时，. 故答案为： 48.（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 $培优专题02 圆锥曲线常考的最值范围问题与跨模块综合题型 题型1 弦长最值 题型9 求离心率的最值或范围（重点） 题型2 由圆锥曲线的定义求最值（重点） 题型10 椭圆双曲线共焦点问题（重点） 题型3 由圆锥曲线的有界性求最值（重点） 题型11 椭圆双曲线抛物线综合问题（重点） 题型4 求圆锥曲线中的三角形面积最值（常考点） 题型12 圆锥曲线与平面向量综合问题（重点） 题型5 求圆锥曲线中的四边形面积最值（常考点） 题型13 圆锥曲线与立体几何综合轨迹问题 题型6 求线段或者距离的最值（难点） 题型14 圆锥曲线与立体几何综合解答题（难点） 题型7 求夹角的最值（难点） 题型15 求参数的范围与最值 题型8 求斜率的最值或范围 题型16 圆锥曲线与直线和圆的综合问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 弦长最值（共3小题） 1．已知直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆恰过原点，求弦长的取值范围． 【答案】 【分析】解法1：设直线的方程为，联立椭圆方程化简，最后根据弦长公式求出的取值范围； 解法2：设两点坐标，分别代入椭圆方程，两式相加，利用均值不等式进行求解. 【详解】.解法1 ： 联立方程 消去得， 整理得，直线与椭圆交于两点， 所以 设， 由过原点得根据向量垂直的性质，即， 把代入，展开得到， 根据韦达定理，代入上式化简得到， 根据弦长公式， 所以 ． 令， 则上式化为． 再令， 则上式化为． 即； 解法2 ：由题可知：以为直径的圆过原点，所以，令, 所以，则 设，， 将其代入椭圆方程（这里），得到 ，进一步变形为， 两式相加得， 由基本不等式，已知，由，可得， 又因为，根据基本不等式，所以，即， 综上，； 故本题答案为：. 2．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且，的面积为2. (1)求的方程； (2)若直线交于两点，以线段为直径的圆的另一个交点为，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）由，再结合的面积，即可求出，从而可求解. （2）结合题意作出图形，求得三点共线，且，然后再分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，再与椭圆方程联立，利用韦达定理从而可求解. 【详解】（1）由题得，所以， 所以，即①， 因为的面积为，所以， 即②，联立①②，得， 故的方程为． （2）如图，因为以线段为直径的圆相交于异于原点的点， 根据直径所对的圆周角为90°得到三点共线． 三点共线，且． 因为，所以原点到直线的距离为1. 当直线斜率不存在时，直线的方程为或． 当时，不妨设， 则，当时，同理． 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即． 所以原点到直线的距离为，则． 联立，消元得， 则，即， 设，则， 由，得，则， ， 令，， 则． 由，所以当，即时，， 综上可知，的最大值为． 题型二 由圆锥曲线的定义求最值（共3小题） 4．(25-26高二上·北京第五中学·期中)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 5．(25-26高二上·重庆第一中学校·月考)点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以 ，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以 ， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程，可得， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以 ， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9    6．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期中)已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 点到直线的距离为． 点到直线的距离， 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是2. 故选：B 题型三 由圆锥曲线的有界限求最值（共3小题） 7．(25-26高二上·上海复旦大学附属中学·期中)已知点在椭圆上运动，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为直线与椭圆有公共点求解. 【详解】设，因为点在椭圆上运动， 所以直线与椭圆有公共点， 由得，则， 解得， 所以的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 8．椭圆的长轴的顶点为，动点在椭圆内，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得点的轨迹方程为，根据题意可得，结合数量积的坐标运算可求的取值范围. 【详解】由椭圆，得，解得，所以，， 设，则，所以， 由，得， 两边平方得， 所以， 所以，即， 所以点的轨迹方程为， 又因为动点在椭圆内，所以，即， 故． 故答案为：． 9．(25-26高二上·浙江浙东北ZDB联盟·期中)已知椭圆，为上的一动点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】依题意设，利用点到直线的距离、辅助角公式及余弦函数的性质求出最大值. 【详解】椭圆，即，又为上的一动点， 设 ， 则点到直线距离， 又， 所以当时有最大值， 即点到直线距离的最大值为． 故选： D． 题型四 求圆锥曲线中的三角形面积最值（共3小题） 10．(25-26高二上·贵州贵阳华师一学校·期中)在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)4. 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线距离公式列出三角形面积，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）由椭圆：的短轴长为4，得， 由椭圆的离心率，得，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，解得，则， ， 原点到直线的距离，因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为4.      11．(25-26高二上·海南华侨中学·月考)已知椭圆的上、下两个焦点分别为，过点垂直于轴的直线交椭圆于两点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题知，，进而解方程即可得答案； （2）①联立方程，由韦达定理可得，化简即可证明； ②由题可得点到直线的距离,，弦长,再由面积公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）∵椭圆的上、下两个焦点分别为， ∴，∵过点的直线与椭圆相交于两点，当轴时，， ∴，即， ∴，即， ∴，∴，即，解得或（舍）， ∴，即椭圆的标准方程为. （2）如图，直线与椭圆交于两点，设， 联立方程，得， 则，则，即或, 由韦达定理可得， 所以， 因为， 所以，综上，为定值0， ②点到直线的距离, 弦长, 即, 所以, 由于， 由均值不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为. 12．(25-26高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知平面内的动点的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点与两定点，的距离之比，（且的常数），其方程为，定点分别为椭圆的上焦点与上顶点，且椭圆与轴的两个交点之间的距离为，过点作斜率为的直线交圆于点， (1)求椭圆的标准方程； (2)若为锐角（其中是原点），求斜率的取值范围； (3)设椭圆的下焦点为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据阿波罗尼斯圆定义结合椭圆方程可得，，进而可得，即可得椭圆方程； （2）可知斜率存在且不为零，，与圆的方程联立可得韦达定理，根据和运算求解； （3）解法一：利用垂径定理求，进而可得，换元令，结合基本不等式求最值；解法二：利用割补法求得，换元令，结合基本不等式求最值. 【详解】（1）取，由阿波罗尼斯圆定义可得， 由题可知，代入上式可解得， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）由题设可知：斜率存在且不为零，设， 联立方程，消去y得， 则，解得， 设两交点，，可得，， 若使为锐角，则满足， 因为 ， 可得，解得，可得或， 所以斜率的取值范围为. （3）解法一：因为斜率存在且不为零，设， 圆的圆心为，半径， 则点到直线的距离为， 且原点到直线的距离，则， 可得 ， 令，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积的最大值为3； 解法二：由题意可知：，，同号， 且， ， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积的最大值为3. 题型五 求圆锥曲线中的四边形面积取值（共3小题） 13．(25-26高二上·江西江西师范大学附属中学·期中)已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴正负半轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． (1)若是等腰三角形，求点的坐标； (2)①设直线，的斜率为，求的值； ②求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)或． (2)①；②证明见解析，定点． (3) 【分析】（1）根据给定条件，求出曲线的方程，再利用等腰三角形特性求出点的坐标. （2）①由（1）直接得到直线，的斜率，即可得解；②结合已知探求直线的斜率关系，设出直线方程，与曲线的方程联立，利用斜率坐标公式结合韦达定理计算推理即得. （3）由（2）中信息，求出四边形面积的函数关系，再求出最大值即得. 【详解】（1）设点，由，得， 整理得曲线的轨迹方程为，可得， 设点，若是等腰三角形，则，解得， 所以点的坐标为或. （2）①由（1）知，， 则直线的斜率，直线的斜率，有， 又直线，的斜率为，所以； ②因为，则直线的斜率，即， 设直线，代入得：， 设，则，， 因为， 整理得， 则，而，解得， 所以直线恒过定点； （3）由（2）得，， 则， 令，则， 而，则当时，取得最大值，即取得最大值，此时， 所以当直线方程为时，四边形面积的最大值为. 14．(23-24高二上·湖南长沙长郡中学·)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii），证明见解析. 【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示；（i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当时的取值范围即可；（ii）设，，直线方程联立圆得方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点的坐标即可证明． 【详解】（1）设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点P的轨迹的方程为； （2）由题可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 易得，，则， 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号，又，所以的最大值为； （ii）证明：由题可得，设，， 联立，消得，， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上． 15．(25-26高二上·上海大学附属中学·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 【答案】(1)8 (2) (3)或或或. 【分析】（1）求出的值，得利用焦点三角形的周长即可； （2）设，结合数量积公式计算结合椭圆方程计算求解； （3）分斜率不存在或斜率为0和斜率存在且不为0两种情况，设直线联立得出弦长结合面积公式计算求斜率即可. 【详解】（1）因为椭圆，所以， 由椭圆几何定义得的周长. （2）由题意，设，，， 故有， 解得，所以点的坐标为， （3）当斜率不存在或斜率为0时，得，与条件矛盾舍去， 故斜率存在且不为0时， 设 ， ， 故， 同理， 所以或， 故直线方程为或或或. 题型六 求线段或者距离最值（共2小题） 16．（2025年高考全国一卷数学真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 17．(25-26高三上·天津第五十五中学·调研)已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件得，将点坐标代入方程，结合，即可求得的值，即可得答案. （2）由题意直线l的斜率不为0，设其方程为，与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，根据弦长公式，可得的表达式，求出P点坐标，即可得的表达式，代入所求，利用换元法，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）因为左焦点为，所以， 由点在椭圆上， 代入可得， 又，与上式联立可得， 所以椭圆E的方程为： （2）当直线l的斜率为0时，线段的垂直平分线为，与不相交，不符合题意， 故直线l的斜率不为0，设其方程为，， 联立，可得， ， ， 则 =. 又，， 由可得，直线PQ的斜率为， 所以， 所以， 令，则，所以 代入上式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最小值为 18．(25-26高二上·吉林实验繁荣高级中学·)已知圆，过点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E，F两点，设曲线C与x轴交于P，Q两点（点P在点Q左边），直线PE与直线QF相交于点N，试求的最小值，并说明理由． 【答案】的最小值为4，理由见解析 【分析】先求得P、Q两点坐标，设直线l的方程为，与圆C联立，根据韦达定理，可得，求出直线PE和QF的方程，两直线联立，结合韦达定理，可得出N点的横坐标，即可得N的轨迹，分析即可得答案. 【详解】因为，令，解得或5， 所以， 设直线l的方程为， 联立，得， ， ， 直线PE的斜率，所以直线PE的方程为， 直线QF的斜率，所以直线QF的方程为， 联立，得， 整理得 ， 所以点N的轨迹为， 因为点，所以的最小值为4. 题型七 求夹角最值（共3小题） 19．(25-26高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知双曲线：的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线PA、PF、PB的斜率成等差数列； (3)若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线PM、PN的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，把点的坐标代入双曲线方程得，求解即可； （2）设直线的方程为,，，将直线方程代入双曲线方程，利用根与系数的关系可得，，计算可得，可证结论； （3）设，设切线方程为，代入双曲线方程，由切线可得，设切线PM、PN的斜率为，利用夹角公式可得，可求的取值范围． 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线为，即，所以 又双曲线过点，所以， 所以，所以 ，解得，， 所以双曲线的标准方程为：； （2）双曲线的右焦点坐标为，其中，即； 设，直线的方程为. 将直线方程代入双曲线方程得， 化简得：，设，， 则，， ，，， ， 所以，，成等差数列； （3）设，设切线方程为 ，即， 代入双曲线方程得， 所以，整理得， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 整理得， 设切线PM、PN的斜率为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号，所以， 所以 的取值范围为. 20．(25-26高二上·江苏常州高级中学·期中)已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，设是椭圆上的一点，过E，F两点的直线交轴于点，若，求的取值范围； (3)若斜率为的直线与椭圆交于A、B两点（直线PA斜率为正），直线PA、PB（若、重合，直线PB即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于M、N两点，为PN中点.求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意联立方程求解即可； （2）设，由可得，结合计算可得的取值范围； （3）设出直线方程，与椭圆方程联立利用韦达定理，结合斜率坐标公式推证得，再利用余弦定理建立函数关系求出正弦最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设， 则，， 若，则， 即，解得， 因为在椭圆上，则， 化简可得， 因为，所以，解得或， 即的取值范围； （3）设直线，由消去得， 设，则，直线的斜率分别为， 则 ，则，即， 在中，令，则， 在中，， 在中，, 因为， 所以， 即，解得， ， 当且仅当时取等号， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以取最小值时， 有最大值为. 21．(24-25高二下·安徽宣城·期末)已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据数量积的坐标公式可求出，然后根据离心率求出，进而可得到椭圆的标准方程. （2）（i）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理，将直线的方程表示出来，进而可求得定直线的方程；（ii）根据直线的斜率将表示出来，然后利用基本不等式的性质求出最大值. 【详解】（1）由题意知，，， 所以，即. 又，所以，. 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为. 由，得， 设，，则，， 所以. 因为椭圆的左，右顶点分别为，， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 所以， 解得，所以点在定直线上. （ii）设直线的倾斜角分别为，则， 由（i）知， 所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 题型八 求斜率范围或最值（共3小题） 22．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期中)已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得 ，即可求出的范围，从而得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； （3）由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 23．(25-26高三上·天津河北区·)已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，过点的直线与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线的斜率为0，求的值和的取值范围. 【答案】(1)，离心率为. (2)，. 【分析】（1）根据已知条件可得：，进而求得，由此即可求解方程及离心率； （2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，由韦达定理可得：，，表示出直线的方程为，令即可求解的值，最后根据求解的取值范围. 【详解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为. （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 设直线的方程为，，， 联立化简并整理得， 由题意得，即，应满足， 所以，， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以直线的方程为，令， 得 ，所以， 此时应满足即应满足，或， 综上所述，满足题意，此时. 24．(25-26高二上·山东临沂兰山区·)已知圆，定点为圆内一点，点为圆上任意一点.线段的垂直平分线交于，当点在圆上运动时，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线，与交于，两点，与轴交于点. （i）求的最小值； （ii）若以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点在的内部（包括在边界上），求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）4；（ii）. 【分析】（1）根据椭圆定义即可得，则得到椭圆标准方程； （2）（i）转化得，再根据的范围即可得到最值； （ii）计算出以为直径的圆方程和的垂直平分线方程，联立解出交点坐标，最后代入坐标得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题意得圆心，半径为4， ， 所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆， 则椭圆的标准方程为， 则，， 所以的方程为． （2）（i）因为,分别为的左右焦点，直线经过的右焦点． 所以， 即，因为， 所以， 即最小值为4． （ii）当时，以为直径的圆方程为：， 的垂直平分线方程为：， 此时显然以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点在的内部． 当时，的中点坐标为， 则以为直径的圆方程为：， 的垂直平分线方程为：， ,得或, 因为以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点在的内部， 则有，解得或， 综上，取值范围是．      题型九 求离心率的最值或范围（共3小题） 25．(24-25高三下·河南部分学校·模拟)已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用点坐标表示的中点的坐标，再代入椭圆方程，利用椭圆方程与基本不等式，表示不等关系式，转化为离心率的不等式，即可求解. 【详解】设， 的中点为，由， 得， 而， 故， 即， 整理得， 因为的任意性，此不等式恒成立， 故，即， 解得. 故椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 26．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出，然后结合椭圆的定义，以及离心率公式代入计算，再由三角函数的值域，即可得到范围. 【详解】因为以为直径的圆与C的一个交点为P，所以． 又，所以，， 所以 ， 所以离心率， 因为，所以， ，， 故． 故选：D 27．(23-24高二下·云南昆明云南师范大学附属中学·期中)已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点且点在轴上的射影恰为该双曲线的右焦点交双曲线于另一点，满足，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，可得，利用点在双曲线上，可求得，可求离心率的范围. 【详解】设又 由，则，可得， 所以，解得， ， 点在双曲线上， ， ， 故双曲线离心率的取值范围是. 故选：C． 题型十 椭圆双曲线共焦点问题（共3小题） (24-25高二上·山东百师联考·期中)【多选题】已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（   ） A．椭圆的方程为 B． C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点， 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的关系可求解选项A；利用椭圆和双曲线的定义求解选项B、C；利用向量数量积的坐标表示求解选项D. 【详解】 由双曲线：的方程可知，双曲线的焦点，， 离心率为， 所以椭圆的焦点为，，离心率为， 所以椭圆中，， 所以椭圆的方程为，A正确； 因为点是与的一个公共点， 所以点在双曲线上， 所以根据双曲线的定义可知， ，且， 所以，B正确； 根据对称性，不妨设，则， 又根据椭圆的定义可知，， 所以联立，解得 ，所以，所以为等腰三角形，C正确； 设，则，， 所以， 解得，此时， 所以存在点的坐标为或或或， 使得，D错误； 故选：ABC. 29．(22-23高二上·江苏泰州·期中)【多选题】已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据焦点三角形与椭圆双曲线的联系，结合余弦定理，面积公式即可求解. 【详解】设，，又∵， 即， 又∵，，令， ∴，， ∴，故A正确； ，， ，故B正确； 当时，，得， ∴ ，故C不正确． 设，证明椭圆的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由椭圆定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 设，证明双曲线的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由双曲线定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 由 ，故D正确． 故选:ABD． 30．(22-23高二上·安徽宿州泗县第一中学·期中)【多选题】如图，是椭圆与双曲线（ ）在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】AB 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理，找到的关系，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：由椭圆和双曲线的定义：，故，故A正确； 对B：在中，由余弦定理： 即，故时，，故B正确； 对C：时，，由（当且仅当时等号成立）， ，所以等号取不到，故C错误； 对D：对△，将其视作是椭圆中的焦点三角形， 则由余弦定理可得， 解得，故 ， 同理，将△视作双曲线中的焦点三角形，则， 则，故D错误. 故选：AB. 题型十一 椭圆双曲线抛物线综合问题（共3小题） 31．(25-26高三上·山东威海文登区·期中)若抛物线：的焦点与椭圆：的右焦点重合，的准线交于，两点，为等腰直角三角形，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线和椭圆的性质，结合为等腰直角三角形，找出存在的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 由题意知，椭圆的右焦点坐标为，则（为椭圆半焦距），即. 将代入椭圆方程中，可得：， 又，解得. 又的准线交于，两点，可设，，则.    因为为等腰直角三角形，所以，，且， 又， 所以，即， 整理得， 又，所以. 故答案为： 32．(24-25高三下·海南三亚·)已知是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于异于原点的两点，若，则双曲线的渐近线方程是 . 【答案】或 【分析】分、在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过作交轴于点，结合抛物线定义、，可得答案. 【详解】当、在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称，所以， 过作交轴于点， 设，则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以渐近线方程为； 当，在焦点右侧时， 过作交轴于点， 所以，设， 则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以渐近线方程为. 故答案为：或. 33．（山东省聊城市2025届高考模拟试题（三）数学试题）已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，连接与轴交于点，若是的角平分线，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【来源】山东省聊城市2025届高考模拟试题（三）数学试题 【分析】利用角平分线定理，转化线段之比，再利用已知线段以及抛物线焦半径公式可求出点，从而可得方程求解，最后可求得离心率. 【详解】 利用角平分线定理： 因为是的角平分线，所以有， 设，根据抛物线的定义可得， 由图可知与之比等于点横坐标与之比， 则有，解得，根据，交点在第一象限， 所以，即把点代入椭圆方程可得： ， 又因为， 所以联立上面两式可得：， 解得， 所以， 即离心率， 故答案为： 题型十二 圆锥曲线与平面向量综合问题（共3小题） 34．（2025届甘肃省白银市实验中学高三模拟预测数学试题）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，，离心率为e，点P在E的右支上，且，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意得，由余弦定理列方程即可求解. 【详解】 由题意， 设，所以， 整理得，即，解得. 故答案为：. 35．(24-25高三下·江西新余实验中学·)已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 ；若点满足，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 2 【来源】江西省新余市实验中学2024-2025学年高三下学期押题卷（一）数学试题 【分析】由双曲线的定义可结合第一空，由条件确定为的内心，再结合得到，进而可求解. 【详解】依题意，，，则；则； 先证在中，若，则为的内心． 由， 可得：， 整理得． 又， 所以． 因为，分别为，方向的单位向量，故AO与的角平分线共线． 同理与的角平分线共线，与的角平分线共线， 故点为的内心． 所以由条件可知：点为的内心，设的内切圆半径为， 则，故，故， 而， 故，故，则，， 故所求渐近线方程为. 故答案为：2； 36．(24-25高三下·安徽合肥第八中学·)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，E是线段MN的中点，P是x轴上一点，且，，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据向量关系得出，结合得出，最后利用点差法即可求出. 【详解】因是线段的中点，，则，故， 又，则，即， 设，则， 过E作x轴的垂线，垂足为R，则，， 则，则， 设，则， 两式作差得，，即， 即， 故C的离心率为． 故答案为： 题型十三 圆锥曲线与立体几何综合轨迹问题（共3小题） 37．(24-25高三下·上海七宝中学·三模)已知长方体中，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据题意，判断得的轨迹为抛物线一部分，建立平面直角坐标系，写出直线和抛物线段的方程，由题意，计算点到线段的最短距离，再由等体积法计算三棱锥最小体积. 【详解】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为， 连接因为平面，故， 而平面，故平面， 而平面，故，故为的平面角， 则，，由，则， 又、平面，故，，则， 由抛物线定义可知，的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分， 所以的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分， 当点到线段距离最短时，三角形面积最小，即三棱锥体积最小， 取中点为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 则直线的方程为：，即， 抛物线的方程为，则， 由题意，令，得，代入，得，所以点的坐标为， 所以动点到直线的最短距离为， 因为，所以， 所以三棱锥体积的最小值为. 故答案为：. 38．(25-26高二上·山东日照·期中)【多选题】如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（    ）    A．若，则点在圆上 B．若，则点在双曲线上 C．若，则点在抛物线上 D．若，则点在椭圆上 【答案】ACD 【分析】根据线面角的定义和可推导得到，建立平面直角坐标系后，可整理得到点轨迹为圆，知A正确；由面面角定义和可推导得到，知B错误；由可推导得到，结合抛物线定义知C正确；由可推导得到，在平面直角坐标系中求得动点轨迹后可知D正确. 【详解】对于A，平面，平面，，， ，，又，，， 在平面中，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图平面直角坐标系，    设，，则，， 由得：，整理可得：， 点在圆上，A正确； 对于B，作，垂足为，作交于点；作，垂足为，作交于点；   平面平面，平面，平面与平面所成角即为平面，平面与平面所成角， 即，， ，，又， ，点在的平分线上，B错误； 对于C，由AB知：，，又， ，即在平面中，点到定点的距离等于到定直线的距离， 点在抛物线上，C正确； 对于D，由AB知：，，又， ， 在选项A的平面直角坐标系中，设，则，，   ，， 整理可得：，点在椭圆上，D正确. 故选：ACD. 39．(24-25高三上·河北廊坊·期末)【多选题】如图所示，棱长为的正方体中，点是棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．点到平面的距离是到平面的距离的倍 B．若点平面，且与所成角是，则点的轨迹是双曲线的一支 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．若线段 ，则的最小值是 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A；利用坐标法，列出关于异面直线所成角的余弦值的式子，即可判断B；利用坐标法，求三棱锥的外接球的球心坐标和半径，即可判断C；利用坐标法，表示两点间的距离，转化为平面几何问题，即可求最值. 【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，则，， 所以，点到平面的距离为， 点到平面的距离为，所以，，故A正确； 对于B选项，设点，，，   若与所成角是， 则， 整理为，为双曲线方程， 所以点的轨迹是双曲线，故B错误； 对于C选项，、、、， 设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为， 则,方程组中前个式子和后个式子相减， 得，得，再回代方程组得，， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确； 对于D选项， 由，可设点，即，， ， ， 上式的意义可以理解为平面直角坐标系中， 动点到定点和的距离和的倍， 显然，动点到定点和的距离和的最小值是两定点和间的距离， 距离为， 所以的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的使用，不仅可以表示角，距离，还可以求解轨迹方程，球心坐标等问题. 题型十四 圆锥曲线与立体几何综合解答题（共3小题） 40．(24-25高二上·江西抚州·)如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面相切，切点分别为，数学家丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，记为，为椭圆的两个焦点.设直线分别与该圆锥的母线交于两点，过点的母线分别与球相切于两点，已知，.以直线为轴，在平面内，以线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于两点，分别为椭圆左右顶点，记的斜率为，的斜率为.求出； (3)已知为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于两点（，两点异于点），且，求的面积最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据题设有、求椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）设，，的方程为，联立椭圆及韦达定理可得，再由斜率的两点式有，整理化简即可得结果； （3）设直线为，联立椭圆方程应用韦达定理及向量垂直的坐标表示可得关于参数的方程，即可求参数，进而确定直线过定点，最后三角形面积公式得关于的表达式，即可求最大值. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由切线长定理知，， 则，解得， 由，解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，，因为直线过点且斜率不为0， 可设的方程为，代入椭圆方程，得， 其判别式，所以，. 两式相除得，即. 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点A的坐标为，点的坐标为， 所以，. 从而. （3）由题意知，直线的斜率不为0，则不妨设直线的方程为. 联立得，消去得， ，化简整理，得. 设，，则，. 由，则. ，，，得， 将，代入上式，得， 得，解得或（舍去）， 直线的方程为，则直线恒过点， . 设，则，， 易知在上单调递增， 当时，取得最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，注意应用韦达定理及向量垂直的坐标表示求得，得到直线过定点为关键. 41．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点圆分别为.这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为G.Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为2，5，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是 .    【答案】6 【分析】在椭圆上任取一点，连接交球于，交球 于点，根据可知，则，由此可求得最小值. 【详解】解：在椭圆上任取一点，连接交球于点，交球于点，    连接，在与中有： ，（为圆的半径，为圆的半径，）， ， 为公共边，所以，所以， 设点沿圆锥表面到达的路线长为， 则， 当且仅当为直线与椭圆交点时取等号， ，所以最小值为6. 故答案为：6. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是证明得出 ，从而，转化为 三点共线时求. 42．（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟数学试卷）如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面α相切，切点分别为 ，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，为椭圆Γ的两个焦点.设直线分别与该圆锥的母线交于A，B两点，过点A的母线分别与球相切于 C，D 两点，已知以直线为x轴，在平面α内，以线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求椭圆Γ的标准方程. (2)点 T在直线上，过点T作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M，N，A，B分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接，设直线与交于点P.证明:点 P 在直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据切线长定理可得，可得，，从而可求解. （2）根据题意设出直线，分别与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系从而可求解. 【详解】（1）设椭圆Γ的标准方程为 ， 由切线长定理知， 则，解得. 由，解得 . 所以椭圆Γ的标准方程为 （2） 设, 已知，设， 联立方程组 ， 消去 y得 ， 显然， 由，可得 ，，       所以， 联立方程组， 消去 y得 ， 显然， 由，可得 ，， 同理                因为 M，N是切点，且，所以直线的方程为 ，即， 显然直线MN过定点，即M，D，N三点共线，则 ， 解得或（舍去）， 联立方程组，解得 ， 即点 P 在直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型十五 求参数的范围与最值（共3小题） 43．(25-26高二上·上海建平中学·期中)如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为．曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合． (1)直接写出椭圆和双曲线的离心率， (2)已知直线过点与曲线交于、两点，若，求直线的方程： (3)已知斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值． 【答案】(1)椭圆离心率为，双曲线离心率为； (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的方程求得a，b，c求解； （2）设，由得到，再分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在时分析判断. （3）根据设直线方程为，由，且，得到，再根据，得到直线m与曲线的交点都在椭圆上，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【详解】（1）由椭圆知：，则 ， 所以椭圆的离心率为 ； 由双曲线，，则 ， 所以双曲线的离心率为 ； （2）设，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 当交点在第一象限且在椭圆上时，或， 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于x轴下方时，也不成立，综上直线l的方程为 （3）因为斜率为的直线过点，所以设直线方程为，， 因为，且， 所以， 而 ， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为. 44．(25-26高三上·上海控江中学·开学考)已知椭圆． (1)求椭圆的离心率； (2)设、、是椭圆上的不同三点，若，点为线段的中点，求证：点在椭圆上； (3)已知直线过点且斜率为，直线与椭圆相交于，设与的面积比为，当时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据椭圆方程求出，即得其离心率； （2）设，利用代入坐标，化简得到，因点为线段的中点，故，化简计算，即可证得； （3）设直线，代入，得到韦达定理，由，结合，即得，利用韦达定理，计算推得，由求出，利用双勾函数的图象单调性即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由可得，则， 则椭圆的离心率为. （2）    如图，设， 因是椭圆上的不同三点，则，（*） 由可得， 即①②， 由可得：， 即， 将（*）代入整理得：. 又因点为线段的中点，故， 由 ，可知点在椭圆上. （3）依题意，设直线，将其与联立， 消元整理得：， 显然，且，因， 则，又，则， 由 ， 因，则得，故，即得. 又函数在上单调递减，在上单调递增，且， 又由解得或，由解得或， 由函数图象可得或， 故实数的取值范围为.    45．（山东省济南市章丘区第一中学等多校名校联盟2025届高三下学期4月质量检测数学试题）已知等轴双曲线过点，直线与交于两点，与其渐近线交于两点. (1)求的方程； (2)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等轴双曲线得到方程的一般形式，再将所过的点代入后可得方程； （2）联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理用表示，再利用函数的性质可求范围. 【详解】（1）∵等轴双曲线E过点， ①若E的焦点在x轴上，不妨设，代入，可得， ∴， ②若E的焦点在y轴上，不妨设，代入，可得，不符题意， 综上所述，. （2）设，，，， 联立可得， ∴，，解得， ∴，， 显然双曲线E的渐近线方程为，不妨设C为直线：与直线l的交点， 联立可得，同理， ∴， ∵，∴， ∴的取值范围为. 题型十六 圆锥曲线与直线和圆的综合（共3小题） 46．(24-25高三下·上海控江中学·调研)设双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记作圆，过作圆的切线分别交的两支于点，若，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据已知有且点位于双曲线的右支，应用正弦定理及双曲线的定义得、，再应用余弦定理得到齐次方程，即可求离心率. 【详解】由题知，、两点位于双曲线的两支，且， 且点位于双曲线的右支，如图所示， 在中，由正弦定理得， ， ， ， 在中，， 即， 化简得，即. 故答案为： 47．(24-25高三下·天津武清区杨村第一中学·)已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 . 【答案】 【分析】作出辅助线，由抛物线的性质，二倍角公式和垂径定理得到，结合即可求解. 【详解】显然直线l的方程斜率不为0，因为焦点， 所以设直线l的方程为，联立得， 故，故， 所以， 显然G为的中点，过G作y轴的垂线，垂足为H，则H是的中点， 设，则， ， ， 而，当且仅当，轴时取等号，则， 所以当时，. 故答案为： 48．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD $