专题01 直线方程、直线与圆、圆与圆（专项训练）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的概念、方程及位置关系，以20个题型构建从基础到综合的递进训练体系，突出高频考点与实际应用，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线方程|6题型|涵盖倾斜角与斜率、平行垂直判定、方程求解等基础计算|从概念（倾斜角、斜率）到性质（平行垂直）再到方程应用，形成完整逻辑链| |直线与圆|9题型|包含位置关系判断、弦长切线、最值及实际问题，标注高频难点|以圆的方程为基础，递进考查点/线与圆的位置关系，结合代数运算与几何性质| |圆与圆|5题型|涉及位置关系判断、公共弦、公切线及最值问题|从两圆位置关系判定到公共弦/公切线计算，延伸至动态最值，体现知识综合应用|

专题01 直线方程、直线与圆、圆与圆 常考题型·精准突破 题型01 直线的倾斜角与斜率 题型11 直线与圆的弦长问题 题型02 直线与线段相交求参数 题型12 直线与圆的切线问题 题型03 两直线的平行与垂直（重） 题型13 直线与圆的最值问题 题型04 求直线的方程（高频） 题型14 直线与圆中的定点定值问题（难） 题型05 点到直线的距离公式 题型15 直线与圆的实际问题 题型06 对称问题 题型16 圆与圆的位置关系的判断（高频） 题型07 求圆的方程（重） 题型17 根据圆与圆的位置关系求参数 题型08 点与圆的位置关系 题型18 公共弦问题（重） 题型09 直线与圆的位置关系的判断（重） 题型19 公切线问题 题型10 已知直线与圆的位置关系求参数 题型20 圆与圆位置关系中的最值问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破  题型01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高一下·上海嘉定·期末）直线的倾斜角为（    ）． A．0° B．75° C．90° D．不存在 2．（25-26高二上·湖南长沙·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知点，，则直线AB的倾斜角（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若直线的倾斜角等于，则实数（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 题型02 直线与线段相交求参数 1．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设点，，若直线与线段没有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）已知点，，若直线始终与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围是__________. 题型03 两直线的平行与垂直 1．（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川巴中·期末）若直线与垂直，则（   ） A．4 B．1 C．4 D．1 3．（25-26高二上·广西南宁·期末）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．-2 B．1 C．4 D．-2或1 4．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知直线；，则（   ） A．若与相交，则且 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 5．（25-26高二上·辽宁大连·期末）若直线和直线互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C．或0 D．0 题型04 求直线的方程 1．（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知动点到的距离与到的距离相等，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·北京顺义·期末）过点且与直线平行的直线的方程为______． 题型05 点到直线的距离公式 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 2．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 题型06 对称问题 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 5．（25-26高二上·天津西青·期末）与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 7．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型07 求圆的方程 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二·全国·寒假作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型08 点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知，直线，圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高二上·福建莆田·期末）点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知直线l：与圆C：，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的 题型09 直线与圆的位置关系的判断 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 3．（2026·云南·模拟预测）已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 5．（多选）（25-26高二下·四川南充·期中）对于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率有可能不存在 B．直线恒过定点 C．直线的倾斜角有可能是 D．直线与圆相交 题型10 已知直线与圆的位置关系求参数 1．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·期中）若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点向圆作的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型11 直线与圆的弦长问题 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 5．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 题型12 直线与圆的切线问题 1．（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 2．（25-26高二上·云南·期中）过点作的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 故选：D. 3．（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 4．过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 题型13 直线与圆的最值问题 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）直线与圆交于两点，则的最小值为 （    ） A． B．2 C． D．4 3．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 4．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知点，过点引直线与圆相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 题型14 直线与圆中的定点定值问题 1．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 2．（25-26高二上·北京·期中）已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，给出下列四个结论： ①若直线与圆M相切，则； ②当时，四边形的面积为； ③直线经过一定点； ④已知点，则为定值； 其中正确结论的序号是______． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 5．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知平面上两定点 和 ，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线 交于点N，证明：恒为定值； (3)若点P、Q在曲线C上，点 满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 题型15 直线与圆的实际问题 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 2．（25-26高二上·广东广州·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=________． 3．（25-26高二上·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 4．（25-26高二上·江西·阶段检测）某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方的处，台风以的速度向正东方向移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为，轮船以的速度向东南方向航行，若将轮船视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为______小时. 5．（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 题型16 圆与圆的位置关系的判断 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 3．（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 4．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二上·四川广元·期末）已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 题型17 根据圆与圆的位置关系求参数 1．（2026·陕西商洛·模拟预测）若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 4．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北石家庄·一模）已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型18 公共弦问题 1．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 5．（25-26高二上·安徽合肥·期末）设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 题型19 公切线问题 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知点到直线的距离分别为3，4，则符合条件的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·三轮复习）在平面直角坐标系中，点到直线的距离等于2，点到直线的距离等于3，若满足条件的直线恰有2条，则实数的取值范围是___________. 题型20 圆与圆位置关系中的最值问题 1．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 3．（多选）（25-26高二下·山西·期末）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 4．（多选）（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知圆，圆则（    ） A．当时，圆与内含 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与相交，则公共弦长的最大值为2 5．（多选）点在圆上，点在圆上，则（ ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两圆的公切线有2条 6．已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：的动点到直线距离的最大值为__________ . 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知，为平面内两定点且，动点满足，记点的轨迹为曲线，动直线与曲线相切，若直线与以为圆心、5为半径的圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 4．（多选）（2026·福建福州·模拟预测）已知，，，，过，分别作直线，，使得，过，分别作直线，，使得，若四条直线，，，围成矩形，则该矩形（    ） A．面积有最大值 B．周长有最大值 C．外接圆面积是定值 D．中心在定圆上 5．（多选）（25-26高二下·广西柳州·期末）已知曲线，则（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线上任意一点到原点的最大距离为 C．曲线所围成图形的面积为 D．函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 6．（多选）（2026·福建泉州·模拟预测）已知点在直线上，点，在圆上，若，且，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与圆相切 B．直线倾斜角为150° C．当时，可能为90° D．若，则的取值范围为 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 8．（25-26高二下·北京·阶段检测）不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组. 9．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线方程、直线与圆、圆与圆 常考题型·精准突破  题型01 直线的倾斜角与斜率 1． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线的斜率不存在， 所以直线的倾斜角为. 2． 【答案】C 【分析】确定斜率，由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，则，所以， 又，所以. 故选：C. 3． 【答案】A 【分析】先根据两点求出斜率，再应用倾斜角和斜率关系求解. 【详解】因为点，，所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角. 故选：A. 4． 【答案】B 【分析】由斜率公式求得斜率，再由倾斜角和斜率关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为. 故选：B． 5． 【答案】A 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，故. 故选：A. 6． 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 题型02 直线与线段相交求参数 1． 【答案】B 【分析】由直线所过定点P和两点间斜率公式求出即可由斜率定义数形结合求解. 【详解】直线过定点， 所以，如图，    由图可知实数k的取值范围是. 故选：B 2． 【答案】D 【分析】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【详解】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 3． 【答案】D 【分析】先由直线的方程得到直线过定点，再由直线与线段有交点得直线的斜率变化范围，进而可得直线倾斜角的范围. 【详解】由直线， 令，解得，所以直线经过定点. 由，则，， 要使直线与连接两点的线段总有公共点， 则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：D. 4． 【答案】C 【分析】因为直线的斜率为，且直线过定点，所以将直线与线段没有交点时，求a的取值范围，转化为过的直线与线段没有交点时，求直线斜率的相反数问题，可得a的取值范围. 【详解】直线过定点. 如图，， 直线与线段没有交点时，直线斜率满足， 所以. 故选：C. 5． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再计算该定点与点所在直线的斜率，根据题意得到直线斜率的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】直线：的斜率为， 直线可变形为，所以直线恒过定点， 直线的斜率为， 线段所在直线的斜率为，    由直线与线段的延长线相交（不含点）可得：， 即，所以. 故选：A 6． 【答案】 【分析】求出直线所过的定点,作出图形，可得或，由两点的斜率公式即可求解. 【详解】可化为, 由，得， 所以直线过定点.    因为直线的方程为， 而即不可能表示， 所以由图可得或. 因为，，， 所以，, 所以或， 故直线l斜率的取值范围是. 故答案为:. 题型03 两直线的平行与垂直 1． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 2． 【答案】B 【分析】利用两直线垂直斜率之积为，列方程求解即可. 【详解】时，不合题意，则时， 直线与直线的斜率分别为， 因为直线与垂直， 所以，解得. 故选：B. 3． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的条件列出方程，求解可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，所以，解得或. 当时，；，即与重合； 当时，；，即，与平行. 所以的值为. 故选：B. 4． 【答案】C 【分析】先根据与平行求解出的值，然后检验是否可能两直线重合，由此可判断ABD；然后根据与垂直列出等量关系求解的值，由此可判断C. 【详解】直线；， 若与垂直，则有，则，故C正确； 若与平行，则有，解得或， 时，，，两直线平行， 时，，，两直线平行. 所以与平行时，或，B选项错误； 与不可能重合，故D选项错误； 若与相交，则且， 当时，两直线垂直相交，满足相交的条件，但不满足A选项的结论，A选项错误. 故选：C. 5． 【答案】C 【分析】根据两条直线垂直的充要条件是，列方程求解即可，避免讨论斜率是否存在的情况. 【详解】因为直线和直线互相垂直， 所以，即， 解得或. 故选：C. 题型04 求直线的方程 1． 【答案】C 【分析】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【详解】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 故选：C 2． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. 3． 【答案】C 【分析】由方向向量求出直线的斜率，进而得到直线方程． 【详解】由直线的一个方向向量，得的斜率， 又在y轴上的截距为，所以的方程为，即． 故选：C． 4． 【答案】D 【分析】首先确定点的轨迹，再求直线方程. 【详解】由条件可知，点的轨迹是线段的垂直平分线， 线段的中点为，，所以所求直线的斜率为， 直线方程为，整理为. 故选：D 5． 【答案】 【分析】由题意可得所求直线的斜率为1，进而结合点斜式求解即可. 【详解】因为直线的斜率为1，则所求直线的斜率为1， 所以所求直线的方程为，即. 故答案为：. 题型05 点到直线的距离公式 1． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 2． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，可得a值，代入两平行线间距离公式，即可得答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，则直线为，即， 则两直线间的距离. 3． 【答案】D 【分析】借助点到直线的距离公式，分直线斜率存在于不存在进行讨论即可得. 【详解】若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. 4． 【答案】C 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 5． 【答案】BC 【分析】根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：BC． 题型06 对称问题 1． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C 2． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 3． 【答案】A 【分析】根据已知点对称，应用点斜式写出对称轴方程，并求出其与轴的交点，再由轴与直线关于对称轴对称，确定相关点在直线上求参数值. 【详解】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 4． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 5． 【答案】D 【分析】取所求直线上任意一点，可求得关于轴的对称点的坐标，将其代入即可求解. 【详解】设与直线关于轴对称的直线为l, 取l上任意一点，则关于轴的对称点为， 所以在直线上，即，亦即. 故选：D. 6． 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 7． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 8． 【答案】A 【分析】设点关于直线的对称点为，求出，进而联立直线与的方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 当三点共线时，最小， 则由题意得，，解得，即， 则，则直线，即， 联立，得，， 故点C的坐标为. 故选：A 9． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    题型07 求圆的方程 1． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 2． 【答案】D 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 3． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 4． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 5． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 题型08 点与圆的位置关系 1． 【答案】C 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 2． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 3． 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 4． 【答案】C 【分析】由点在圆外得到，由直线与圆相交得到，再结合充要条件的概念即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为. 点在圆外等价于； 直线与圆相交等价于，即. 故“点在圆外”是“直线与圆相交”的充要条件. 故选：C 5． 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系求解. 【详解】由题意可知，点在圆外， 则，得， 故的取值范围为. 故选：B 6． 【答案】C 【分析】由直线方程确定所过的定点坐标，再判断该点与圆的位置关系，即可得. 【详解】因为直线为，即， 由，得，则直线过定点. 因为，所以点在圆的内部，则直线与圆相交. 故选：C 题型09 直线与圆的位置关系的判断 1． 【答案】A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 2． 【答案】A 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 3． 【答案】C 【分析】根据直线和半圆的位置关系确定正确答案. 【详解】集合A表示以原点为圆心，半径为1的圆上满足的所有点的集合， 集合B表示直线上的所有点的集合， 结合图形可知，两者交于两点,即的元素个数为2. 4． 【答案】C 【详解】直线：可变形为： ， 令系数为0，则，解得， 直线恒过定点， 圆C：的标准形式为， 是以为圆心，半径是2的圆， ，故过圆内一点的直线与圆恒相交． 5． 【答案】BCD 【分析】将直线方程整理为过定点形式，依次验证斜率存在性、定点、倾斜角、直线与圆的位置关系. 【详解】直线方程整理为. 对于选项A：直线方程中的系数恒为，直线斜率始终存在，故A错误. 对于选项B：令，可得，因此，直线恒过定点，故B正确. 对于选项C：若倾斜角为，则斜率，由， 得，存在实数解，故C正确. 对于选项D：圆的圆心为，半径， 定点满足，即定点在圆内， 因此，过圆内定点的直线必与圆相交，故D正确. 题型10 已知直线与圆的位置关系求参数 1． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可 【详解】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 2． 【答案】A 【分析】整理可得圆C的轨迹方程，根据点到直线距离公式，结合直线与圆的位置关系，数形结合，分析求解，即可得答案. 【详解】由，得， 即表示圆的上半部分（包含与轴交点）， 由圆心到直线的距离， 可得或， 若时，和半圆相切， 若时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图可知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为2，且， 则直线必在的右下方， 所以直线到的距离大于2，到的距离小于等于2， 即与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 3． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有2个交点的位置关系，等价于圆心到直线的距离小于半径，表示出距离，列出不等式求解即可. 【详解】解：由题意得，，半径，直线为， 设圆心到直线的距离为，则由点到直线的距离公式，可得， 若圆与直线有2个交点，则，即，解得，所以. 4． 【答案】A 【分析】设，由，可得点的轨迹方程，结合题意，由点到直线的距离小于等于半径，列不等式计算即可求解. 【详解】设．∵， ∴，化简整理，得， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 由题意可知，直线与圆有公共点， ∴，解得． 5． 【答案】D 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 6． 【答案】D 【分析】首先确定圆的圆心和半径，根据题设得，从而有，求解不等式即可求解. 【详解】因为圆心为，半径， 设两个切点分别为，则由题意可得四边形为正方形，故有， 所以圆心到直线的距离小于或等于， 即，整理得到，解得， 所以实数的取值范围是. 题型11 直线与圆的弦长问题 1． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由弦长公式求解. 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 2． 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再结合圆截轴所得的弦长，利用垂径定理建立关于半径的方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为，    所以，即. 3． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得. 【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此.    4． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 5． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 题型12 直线与圆的切线问题 1． 【答案】A 【分析】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得. 【详解】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 2． 【答案】D 【分析】结合图象，利用二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为平分，且，， 所以， 故选：D. 3． 【答案】D 【分析】设切点为，连接，则，求出的值，结合勾股定理可求得切线长为. 【详解】设切点为，连接，则，如图所示：    圆心为，半径为，， 故切线长为. 故选：D. 4． 【答案】D 【分析】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求，结合切线性质求，，再利用三角形面积公式求的面积，结合对称性可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 由切线性质可得，，， 又点的坐标为， 所以， 所以， 所以的面积， 的面积， 所以四边形的面积. 故选：D. 5． 【答案】C 【分析】由结合切线长定理可得，再借助圆心到直线的距离建立不等式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点P，满足，于是点到该直线的距离， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 题型13 直线与圆的最值问题 1． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 2． 【答案】C 【分析】求出直线的定点，利用圆的性质即可求出的最小值. 【详解】直线，则, 令，解得：, 所以直线的定点为， 由于圆，则圆心，半径, 则 当时，取最小值，此时, 故选：C 3． 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 4． 【答案】D 【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离表示弦长，进而写出的面积解析式；利用基本不等式得到面积最大时，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率． 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或． 5． 【答案】C 【详解】 如图所示，设过点P的直线方程为：，根据点到直线的距离公式可得： 圆心到直线距离为， 作，垂足为，则，， ， 又因为，当且仅当，即：时取最大值， 此时，所以，解得：，所以. 6． 【答案】B 【分析】先确定直线经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最大距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点； 直线变形为，过定点； 因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为. 由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 7． 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 题型14 直线与圆中的定点定值问题 1． 【答案】 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 2． 【答案】①③④ 【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断①；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果判断②；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断③；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断④. 【详解】解：对于①，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离， 解得，所以①正确； 对于②，当时，，，， 因为为圆的两条切线，所以， 所以四边形的面积， 所以②错误； 对于③，因为，，且， 所以四点共圆，且为直径， 所以该圆圆心为，半径为， 所以圆的方程为：， 因为是该圆和圆的相交弦， 所以直线的方程为两圆方程相减， 即， 化简可得：， 所以直线经过定点，所以③正确； 对于④，因为，所以， 因为在直线上，所以 即点C在以为直径的圆上，因为，， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为：，圆心为， 因为点C在该圆上，所以为定值，所以④正确． 所以，正确结论的序号是：①③④ 故答案为：①③④    3． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设圆心，由直线与圆相切，得，求出的值即可； （2）当直线轴时，显然存在；直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，将直线方程与圆方程联立，结合韦达定理和，求解即可. 【详解】（1）因为直线与轴相交于点, 设圆心， 则或（舍）． 所以圆的方程为． （2）当直线轴时，轴平分； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，． 若轴平分， 则， 即， 又， 所以， 即， 所以， 所以， 解得， 所以当点为时，能使得总成立． 4． 【答案】(1)或. (2)或. (3) 【分析】（1）根据直线的截距式方程计算即可求解； （2）根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算求出直线的斜率，即可求解； （3）易知直线的斜率存在.设：，，.联立圆的方程，根据韦达定理表示，结合两点表示斜率公式化简计算即可证明. 【详解】（1）当直线经过原点时，直线的方程为； 当直线不经过原点时，设直线的方程为， 则解得所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）圆的标准方程为，其圆心为，半径为1. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）略 5． 【答案】(1)； (2) 若直线的斜率为0，则， 若直线的斜率不为0， 设直线为， 直线与曲线C交点为， 联立 所以，所以， D、B两点的弦的中点的纵坐标为， 联立与，所以的纵坐标为， ， 所以恒为定值； (3)； 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得曲线的方程； （2）设直线联立得出韦达定理结合弦长公式计算证明； （3）设直线为及，结合斜率之积计算得出，进而得出定点. 【详解】（1）设,因为，，所以， 所以，化简可得， 所以曲线的方程为. （2）略 （3）设直线为，， 联立， 所以， 所以， 又因为点 满足直线、的斜率之积为， 所以， 所以， 所以， 即得， 化简得， 所以， 所以或， 当时，即，直线为，定点为； 当时，即， 直线为，定点为不满足直线、的斜率存在，不合题意舍； 当直线为，，直线、的斜率之积为， 所以，所以， 即得，所以或舍； 综上，直线过定点；    题型15 直线与圆的实际问题 1． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 2． 【答案】15 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设，则 ，在中，根据勾股定理可得，解得 中，， 根据勾股定理可得：，解得 故答案为： 3． 【答案】 【分析】设直角坐标系的原点为台风中心，求出以为圆心，以为半径的圆与直线所得弦长即可. 【详解】如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿， 且台风中心在第一象限沿着直线运动，    以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 因为点到直线的距离， 则， 则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时. 故答案为： 4． 【答案】10 【分析】建立平面直角坐标系，小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，则台风侵袭轮船等价于，建立不等式求解即可. 【详解】以为坐标原点，台风移动的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，圆心， 此时轮船的位置为， 则台风侵袭轮船等价于， 所以，解得， 所以台风侵袭轮船的时长为小时. 故答案为：10. 5． 【答案】(1) (2)4辆 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可求得圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又，     则，∴，     ∴，     ∴圆弧所在的圆的方程为. （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴     若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车，     若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，     综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 题型16 圆与圆的位置关系的判断 1． 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2． 【答案】C 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 3． 【答案】A 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 4． 【答案】A 【分析】首先要将两圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数. 【详解】将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 圆心距， 因为， 所以两圆内切，公切线有1 条. 故选：A. 5． 【答案】C 【分析】圆关于直线对称，说明圆心在该直线上，求出圆的圆心和半径，根据圆的半径与圆心距的关系判断选项. 【详解】由圆得，，圆心，半径， 圆关于直线对称，说明圆心在该直线上， 所以，，解得，故，. 由得，圆心，半径，， ，， 所以，所以两圆外切. 故选：C 题型17 根据圆与圆的位置关系求参数 1． 【答案】D 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆有两个交点，再由圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或． 所以实数b的取值范围是． 2． 【答案】C 【分析】问题化为由圆与圆相交，求参数范围即可. 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 3． 【答案】C 【分析】由直线过圆心得出，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 4． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 5． 【答案】B 【分析】先根据求出点的轨迹方程，再根据圆上总存在点满足该条件，得出两圆的位置关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】设点，已知，且， 所以， 化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点， 所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径）， 即， 化简得， 解得. 题型18 公共弦问题 1． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 2． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 3． 【答案】A 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 4． 【答案】C 【分析】设点，依题意点，在以为直径的圆上，求出该圆的方程，由两圆的方程相减求得两圆公共弦的所在直线方程，整理可得该圆经过定点，由圆的相关性质可得当直线时，原点到直线的距离取得最大值即可. 【详解】因为直线：上的动点，可设其坐标为， 如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点，在以为直径的圆上，又，， 则以为直径的圆的方程为， 变形得， 将与相减，可得， 整理得，此即直线的方程. 由，解得即直线过定点，该点在圆内， 由图知，当直线时，原点到直线的距离取得最大值， 故原点到直线距离的最大值为． 故选：C.    5． 【答案】A 【分析】利用两圆心连线即是两圆公共弦的垂直平分线，结合两点式直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线， 所以直线方程为，即， 故选：A. 题型19 公切线问题 1． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 2． 【答案】B 【详解】以A为圆心，3为半径的圆的标准方程为， 以B为圆心，4为半径的圆的标准方程为， 又， 由题意可知直线是两圆的公切线， 因为，所以两圆相交， 即两圆的公切线有2条，则符合条件的直线的条数为2条. 3． 【答案】A 【分析】根据条件，结合两圆的位置关系，可得四边形与四边形均为正方形，结合勾股定理，列式求解，即可得答案 【详解】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为， 因为，所以在圆C内部， 因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交， 设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F， 连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形， 则四边形为矩形，且，， 在中，，所以， 则，即，解得或（舍）， 4． 【答案】C 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 5． 【答案】 【分析】根据圆的定义，将点到直线的距离问题转化为圆的切线问题，通过两圆的位置关系判断公切线的条数，进而求出参数范围. 【详解】满足点到直线的距离等于2的直线为以为圆心，2为半径的圆的切线， 满足点到直线的距离等于3的直线为以为圆心，3为半径的圆的切线， 因为满足条件的直线恰有2条，所以两圆的公切线有且仅有2条， 又两圆外切时有3条公切线，内切时有1条公切线，相离时有4条公切线，相交时有2条公切线， 所以两圆相交，即两圆的圆心距需满足. 又，， ， 所以，即，， 解得且. 故答案为：. 题型20 圆与圆位置关系中的最值问题 1． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 2． 【答案】D 【分析】根据两个圆方程，将问题转化为圆上点到定点的距离最大值，求解即可. 【详解】圆，配方可得：， 所以圆心，半径. 圆，可知圆心，半径， 又因为两圆外切，所以圆心距就是两圆的半径和， 即：， 化简得：， 求的最大值，就是点到定点的距离的最大值. 圆心到点的距离， 圆半径为3，所以最大距离为：. 故选：D. 3． 【答案】BD 【分析】由方程可知各圆圆心和半径，对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值． 【详解】由题知圆的圆心，半径， 圆可化为16，故圆的圆心，半径， 则，所以两圆相交，故A错误； 因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确； 由圆的性质可得，且， 所以的取值范围为，故C错误； 由圆的性质可知点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故D正确； 4． 【答案】BD 【分析】过圆心距判断两圆位置关系分析A；利用点的对称变换求圆的对称方程分析B；根据公切线条数对应的位置关系求解分析C；结合圆的弦长性质与直线过圆心条件求，验证相交关系分析D. 【详解】由题意得：圆，所以圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，圆心关于直线的对称点为，半径保持不变，所以对称的圆的方程为，故B正确； 对于C，若圆与圆恰有三条公切线，所以圆与圆外切，所以，解得，故C错误； 对于D，由圆，圆， 两方程相减得公共弦所在直线方程为， 当公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2）， 所以直线过圆心，所以，解得， 所以，所以， 所以两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，故D正确. 故选：BD. 5． 【答案】AB 【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心分别为、，半径分别为、r=1；根据两点间距离公式求出圆心距，与两圆半径之和或半径之差比较即可判断两圆的位置关系，判断选项D；的最小值为可判断A；的最大值为可判断B；根据经过两点直线斜率计算公式即可计算经过两圆圆心的直线斜率，从而判断C. 【详解】根据题意，圆，其圆心，半径， 圆，即， 其圆心，半径，圆心距>，故两圆外离，故公切线有4条，故D错误； 则的最小值为，最大值为，故A正确，B正确； 对于C，两个圆心所在的直线斜率，故C错误. 故选：AB. 6． 【答案】 【分析】借助数形结合思想，结合直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】圆：与圆：的方程相减， 可得，即直线的方程为. 圆：的圆心为，半径， 点到直线的距离， 则圆上的动点到直线距离的最大值为， 故答案为：. 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】C 【分析】由题意可得点的轨迹是以为直径的圆，求得圆的方程，进而求得圆心到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值. 【详解】由题知直线过定点，直线过定点， 又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 又的中点坐标为，半径， 所以圆的方程为. 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：C. 2． 【答案】D 【分析】以线段所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，根据求出点的轨迹方程，设点到直线的距离为，则，当切线过点时，取得最大值，当切线过点时，取得最小值，求出最大值与最小值可得答案. 【详解】以线段所在的直线为轴，垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， ， 因为，所以， 即，点的轨迹曲线是以为圆心，半径为1的圆， 以为圆心、5为半径的圆的方程为， 因为， 所以曲线在圆内， 设点到直线的距离为，所以 当切线过点时，，取得最大值，即为大圆的直径的长，为10， 当切线过点时，最大，此时，取得最小值， 此时，， 则的最大值与最小值的差为. 故选：D. 3． 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 4． 【答案】ACD 【分析】利用点斜式得到四条直线，，，的方程，利用平行线间的距离公式得到与的距离为，与的距离为，再根据选项依次分析即可. 【详解】设直线的斜率为，因直线，，，围成矩形，则的斜率为， 于是直线方程依次为：，，，， 则与的距离为，与的距离为. 对于A项，矩形的面积为，显然,则， 因，当且仅当,即 时取等，此时，故A正确； 对于B项，矩形的周长为， 令，则，即， 所以，当且仅当 ，即 时取等，周长有最大值，故B错误； 对于C项，矩形的外接圆直径为矩形的对角线，长度为， 则外接圆的半径为，故其面积是定值，故C正确； 对于D项，设矩形的中心为 联立直线方程得到的交点为 同理可得的交点为 所以矩形的中心为的中点，则，    由，得到① 由得到② 由①②得到，代入①得到， 化简得到，所以矩形的中心在以圆心为 、半径为的定圆上，故D 正确. 5． 【答案】BCD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图象，由图可得答案. 【详解】已知曲线， 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线为原点； 因此，画出曲线的图象，如图所示， 对于A，曲线的图象有条对称轴，故A错误； 对于B，曲线上任意一点到原点的距离为，则， 由于，所以，当且仅当时取等号， 则，解得，所以曲线上任意一点到原点的最大距离为，故B正确； 对于C，由图象可知，曲线所围成的图形是由个半径为的半圆和个边长为的正方形组成， 因此曲线所围成的图形的面积为，故C正确； 对于D，由于，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，且，，如图所示， 当时，，在上单调递减，此时与曲线有个交点； 当时，，在上单调递增，此时与曲线有个交点； 因此函数的图象与曲线的图象在第一象限有个交点， 根据函数的对称性，函数的图象与曲线的图象在第二象限也会有个交点， 所以函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点，故D正确. 6． 【答案】ABC 【分析】A选项运用点到直线的距离，B选项运用两直线垂直的相关知识，C选项代入和验证直线是否与圆相交，D选项运用，建立直线与圆的半径之间的关系去求半径的范围. 【详解】对于A选项，圆心到直线的距离， 当时，，所以直线与圆相切，故A选项正确； 对于B选项，因为，所以直线， 又因为，所以， 而直线l的倾斜角为，因此直线倾斜角为150°，故B选项正确； 对于C选项，设，，圆心O到直线的距离为， 设为A点到直线的距离，则， 因为，所以为等腰直角三角形 则，由B选项得出直线的方程为， 联立，得出A点坐标为，设直线方程为， 则圆心O到直线距离为， 点A到直线的距离为， 又因为，所以， 解得，则，，故直线与圆相交，所以C选项正确 对D选项，若，且，所以为等边三角形，则 点A到直线的距离，设直线方程为， 则圆心O到直线距离为， ， 因为，， 所以，化简可得，故，所以， 又因为，得出，故，所以， 若，则， 若，则（舍去）或，所以，故D选项错误 7． 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 8． 【答案】 【分析】由，可知点与点到直线的距离都为，以，为圆心，半径分别作圆，判断两圆公切线个数即可求解. 【详解】由，得， 根据点到直线的距离公式，可知点与点到直线的距离都为， 分别以，为圆心，半径作圆、圆， ，，所以两圆外离， 根据圆的位置关系，外离的两圆有条公切线 结合图形，可知这条公切线对应的直线都满足点、到直线的距离为，且每条公切线对应一组实数对， 因此，满足条件的实数对共有对. 9． 【答案】 【分析】建系后由距离关系得的轨迹为圆，在定直线上，将对称转化，问题化为圆上点到定点距离的最小值，再减去半径可得结果. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线方程、直线与圆、圆与圆 常考题型·精准突破 题型01 直线的倾斜角与斜率 题型11 直线与圆的弦长问题 题型02 直线与线段相交求参数 题型12 直线与圆的切线问题 题型03 两直线的平行与垂直（重） 题型13 直线与圆的最值问题 题型04 求直线的方程（高频） 题型14 直线与圆中的定点定值问题（难） 题型05 点到直线的距离公式 题型15 直线与圆的实际问题 题型06 对称问题 题型16 圆与圆的位置关系的判断（高频） 题型07 求圆的方程（重） 题型17 根据圆与圆的位置关系求参数 题型08 点与圆的位置关系 题型18 公共弦问题（重） 题型09 直线与圆的位置关系的判断（重） 题型19 公切线问题 题型10 已知直线与圆的位置关系求参数 题型20 圆与圆位置关系中的最值问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破  题型01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高一下·上海嘉定·期末）直线的倾斜角为（    ）． A．0° B．75° C．90° D．不存在 【答案】C 【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线的斜率不存在， 所以直线的倾斜角为. 2．（25-26高二上·湖南长沙·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定斜率，由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，则，所以， 又，所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知点，，则直线AB的倾斜角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两点求出斜率，再应用倾斜角和斜率关系求解. 【详解】因为点，，所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角. 故选：A. 4．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率公式求得斜率，再由倾斜角和斜率关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为. 故选：B． 5．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若直线的倾斜角等于，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，故. 故选：A. 6．（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 题型02 直线与线段相交求参数 1．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线所过定点P和两点间斜率公式求出即可由斜率定义数形结合求解. 【详解】直线过定点， 所以，如图，    由图可知实数k的取值范围是. 故选：B 2．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【详解】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 3．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线的方程得到直线过定点，再由直线与线段有交点得直线的斜率变化范围，进而可得直线倾斜角的范围. 【详解】由直线， 令，解得，所以直线经过定点. 由，则，， 要使直线与连接两点的线段总有公共点， 则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：D. 4．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设点，，若直线与线段没有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为直线的斜率为，且直线过定点，所以将直线与线段没有交点时，求a的取值范围，转化为过的直线与线段没有交点时，求直线斜率的相反数问题，可得a的取值范围. 【详解】直线过定点. 如图，， 直线与线段没有交点时，直线斜率满足， 所以. 故选：C. 5．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再计算该定点与点所在直线的斜率，根据题意得到直线斜率的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】直线：的斜率为， 直线可变形为，所以直线恒过定点， 直线的斜率为， 线段所在直线的斜率为，    由直线与线段的延长线相交（不含点）可得：， 即，所以. 故选：A 6．（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）已知点，，若直线始终与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】求出直线所过的定点,作出图形，可得或，由两点的斜率公式即可求解. 【详解】可化为, 由，得， 所以直线过定点.    因为直线的方程为， 而即不可能表示， 所以由图可得或. 因为，，， 所以，, 所以或， 故直线l斜率的取值范围是. 故答案为:. 题型03 两直线的平行与垂直 1．（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 2．（25-26高二上·四川巴中·期末）若直线与垂直，则（   ） A．4 B．1 C．4 D．1 【答案】B 【分析】利用两直线垂直斜率之积为，列方程求解即可. 【详解】时，不合题意，则时， 直线与直线的斜率分别为， 因为直线与垂直， 所以，解得. 故选：B. 3．（25-26高二上·广西南宁·期末）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．-2 B．1 C．4 D．-2或1 【答案】B 【分析】根据两直线平行的条件列出方程，求解可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，所以，解得或. 当时，；，即与重合； 当时，；，即，与平行. 所以的值为. 故选：B. 4．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知直线；，则（   ） A．若与相交，则且 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 【答案】C 【分析】先根据与平行求解出的值，然后检验是否可能两直线重合，由此可判断ABD；然后根据与垂直列出等量关系求解的值，由此可判断C. 【详解】直线；， 若与垂直，则有，则，故C正确； 若与平行，则有，解得或， 时，，，两直线平行， 时，，，两直线平行. 所以与平行时，或，B选项错误； 与不可能重合，故D选项错误； 若与相交，则且， 当时，两直线垂直相交，满足相交的条件，但不满足A选项的结论，A选项错误. 故选：C. 5．（25-26高二上·辽宁大连·期末）若直线和直线互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C．或0 D．0 【答案】C 【分析】根据两条直线垂直的充要条件是，列方程求解即可，避免讨论斜率是否存在的情况. 【详解】因为直线和直线互相垂直， 所以，即， 解得或. 故选：C. 题型04 求直线的方程 1．（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【详解】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 故选：C 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方向向量求出直线的斜率，进而得到直线方程． 【详解】由直线的一个方向向量，得的斜率， 又在y轴上的截距为，所以的方程为，即． 故选：C． 4．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知动点到的距离与到的距离相等，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定点的轨迹，再求直线方程. 【详解】由条件可知，点的轨迹是线段的垂直平分线， 线段的中点为，，所以所求直线的斜率为， 直线方程为，整理为. 故选：D 5．（25-26高二上·北京顺义·期末）过点且与直线平行的直线的方程为______． 【答案】 【分析】由题意可得所求直线的斜率为1，进而结合点斜式求解即可. 【详解】因为直线的斜率为1，则所求直线的斜率为1， 所以所求直线的方程为，即. 故答案为：. 题型05 点到直线的距离公式 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 2．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，可得a值，代入两平行线间距离公式，即可得答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，则直线为，即， 则两直线间的距离. 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】借助点到直线的距离公式，分直线斜率存在于不存在进行讨论即可得. 【详解】若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. 4．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 5．（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：BC． 题型06 对称问题 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点对称，应用点斜式写出对称轴方程，并求出其与轴的交点，再由轴与直线关于对称轴对称，确定相关点在直线上求参数值. 【详解】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 5．（25-26高二上·天津西青·期末）与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取所求直线上任意一点，可求得关于轴的对称点的坐标，将其代入即可求解. 【详解】设与直线关于轴对称的直线为l, 取l上任意一点，则关于轴的对称点为， 所以在直线上，即，亦即. 故选：D. 6．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 7．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 8．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点关于直线的对称点为，求出，进而联立直线与的方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 当三点共线时，最小， 则由题意得，，解得，即， 则，则直线，即， 联立，得，， 故点C的坐标为. 故选：A 9．已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    题型07 求圆的方程 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 3．圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 4．已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 5．（25-26高二·全国·寒假作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 题型08 点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 3．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 4．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知，直线，圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由点在圆外得到，由直线与圆相交得到，再结合充要条件的概念即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为. 点在圆外等价于； 直线与圆相交等价于，即. 故“点在圆外”是“直线与圆相交”的充要条件. 故选：C 5．（24-25高二上·福建莆田·期末）点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系求解. 【详解】由题意可知，点在圆外， 则，得， 故的取值范围为. 故选：B 6．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知直线l：与圆C：，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的 【答案】C 【分析】由直线方程确定所过的定点坐标，再判断该点与圆的位置关系，即可得. 【详解】因为直线为，即， 由，得，则直线过定点. 因为，所以点在圆的内部，则直线与圆相交. 故选：C 题型09 直线与圆的位置关系的判断 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 3．（2026·云南·模拟预测）已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据直线和半圆的位置关系确定正确答案. 【详解】集合A表示以原点为圆心，半径为1的圆上满足的所有点的集合， 集合B表示直线上的所有点的集合， 结合图形可知，两者交于两点,即的元素个数为2. 4．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 【答案】C 【详解】直线：可变形为： ， 令系数为0，则，解得， 直线恒过定点， 圆C：的标准形式为， 是以为圆心，半径是2的圆， ，故过圆内一点的直线与圆恒相交． 5．（多选）（25-26高二下·四川南充·期中）对于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率有可能不存在 B．直线恒过定点 C．直线的倾斜角有可能是 D．直线与圆相交 【答案】BCD 【分析】将直线方程整理为过定点形式，依次验证斜率存在性、定点、倾斜角、直线与圆的位置关系. 【详解】直线方程整理为. 对于选项A：直线方程中的系数恒为，直线斜率始终存在，故A错误. 对于选项B：令，可得，因此，直线恒过定点，故B正确. 对于选项C：若倾斜角为，则斜率，由， 得，存在实数解，故C正确. 对于选项D：圆的圆心为，半径， 定点满足，即定点在圆内， 因此，过圆内定点的直线必与圆相交，故D正确. 题型10 已知直线与圆的位置关系求参数 1．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可 【详解】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 2．（25-26高一下·重庆·期中）若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得圆C的轨迹方程，根据点到直线距离公式，结合直线与圆的位置关系，数形结合，分析求解，即可得答案. 【详解】由，得， 即表示圆的上半部分（包含与轴交点）， 由圆心到直线的距离， 可得或， 若时，和半圆相切， 若时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图可知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为2，且， 则直线必在的右下方， 所以直线到的距离大于2，到的距离小于等于2， 即与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 3．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有2个交点的位置关系，等价于圆心到直线的距离小于半径，表示出距离，列出不等式求解即可. 【详解】解：由题意得，，半径，直线为， 设圆心到直线的距离为，则由点到直线的距离公式，可得， 若圆与直线有2个交点，则，即，解得，所以. 4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由，可得点的轨迹方程，结合题意，由点到直线的距离小于等于半径，列不等式计算即可求解. 【详解】设．∵， ∴，化简整理，得， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 由题意可知，直线与圆有公共点， ∴，解得． 5．（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点向圆作的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定圆的圆心和半径，根据题设得，从而有，求解不等式即可求解. 【详解】因为圆心为，半径， 设两个切点分别为，则由题意可得四边形为正方形，故有， 所以圆心到直线的距离小于或等于， 即，整理得到，解得， 所以实数的取值范围是. 题型11 直线与圆的弦长问题 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由弦长公式求解. 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 2．（2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再结合圆截轴所得的弦长，利用垂径定理建立关于半径的方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为，    所以，即. 3．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得. 【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此.    4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 5．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 题型12 直线与圆的切线问题 1．（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得. 【详解】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 2．（25-26高二上·云南·期中）过点作的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象，利用二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为平分，且，， 所以， 故选：D. 3．（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，连接，则，求出的值，结合勾股定理可求得切线长为. 【详解】设切点为，连接，则，如图所示：    圆心为，半径为，， 故切线长为. 故选：D. 4．过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求，结合切线性质求，，再利用三角形面积公式求的面积，结合对称性可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 由切线性质可得，，， 又点的坐标为， 所以， 所以， 所以的面积， 的面积， 所以四边形的面积. 故选：D. 5．已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由结合切线长定理可得，再借助圆心到直线的距离建立不等式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点P，满足，于是点到该直线的距离， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 题型13 直线与圆的最值问题 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 2．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）直线与圆交于两点，则的最小值为 （    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】求出直线的定点，利用圆的性质即可求出的最小值. 【详解】直线，则, 令，解得：, 所以直线的定点为， 由于圆，则圆心，半径, 则 当时，取最小值，此时, 故选：C 3．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 4．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离表示弦长，进而写出的面积解析式；利用基本不等式得到面积最大时，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率． 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或． 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知点，过点引直线与圆相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，设过点P的直线方程为：，根据点到直线的距离公式可得： 圆心到直线距离为， 作，垂足为，则，， ， 又因为，当且仅当，即：时取最大值， 此时，所以，解得：，所以. 6．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最大距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点； 直线变形为，过定点； 因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为. 由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 7．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 题型14 直线与圆中的定点定值问题 1．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【答案】 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 2．（25-26高二上·北京·期中）已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，给出下列四个结论： ①若直线与圆M相切，则； ②当时，四边形的面积为； ③直线经过一定点； ④已知点，则为定值； 其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断①；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果判断②；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断③；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断④. 【详解】解：对于①，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离， 解得，所以①正确； 对于②，当时，，，， 因为为圆的两条切线，所以， 所以四边形的面积， 所以②错误； 对于③，因为，，且， 所以四点共圆，且为直径， 所以该圆圆心为，半径为， 所以圆的方程为：， 因为是该圆和圆的相交弦， 所以直线的方程为两圆方程相减， 即， 化简可得：， 所以直线经过定点，所以③正确； 对于④，因为，所以， 因为在直线上，所以 即点C在以为直径的圆上，因为，， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为：，圆心为， 因为点C在该圆上，所以为定值，所以④正确． 所以，正确结论的序号是：①③④ 故答案为：①③④    3．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设圆心，由直线与圆相切，得，求出的值即可； （2）当直线轴时，显然存在；直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，将直线方程与圆方程联立，结合韦达定理和，求解即可. 【详解】（1）因为直线与轴相交于点, 设圆心， 则或（舍）． 所以圆的方程为． （2）当直线轴时，轴平分； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，． 若轴平分， 则， 即， 又， 所以， 即， 所以， 所以， 解得， 所以当点为时，能使得总成立． 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)或. (2)或. (3) 【分析】（1）根据直线的截距式方程计算即可求解； （2）根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算求出直线的斜率，即可求解； （3）易知直线的斜率存在.设：，，.联立圆的方程，根据韦达定理表示，结合两点表示斜率公式化简计算即可证明. 【详解】（1）当直线经过原点时，直线的方程为； 当直线不经过原点时，设直线的方程为， 则解得所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）圆的标准方程为，其圆心为，半径为1. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）略 5．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知平面上两定点 和 ，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线 交于点N，证明：恒为定值； (3)若点P、Q在曲线C上，点 满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 【答案】(1)； (2) 若直线的斜率为0，则， 若直线的斜率不为0， 设直线为， 直线与曲线C交点为， 联立 所以，所以， D、B两点的弦的中点的纵坐标为， 联立与，所以的纵坐标为， ， 所以恒为定值； (3)； 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得曲线的方程； （2）设直线联立得出韦达定理结合弦长公式计算证明； （3）设直线为及，结合斜率之积计算得出，进而得出定点. 【详解】（1）设,因为，，所以， 所以，化简可得， 所以曲线的方程为. （2）略 （3）设直线为，， 联立， 所以， 所以， 又因为点 满足直线、的斜率之积为， 所以， 所以， 所以， 即得， 化简得， 所以， 所以或， 当时，即，直线为，定点为； 当时，即， 直线为，定点为不满足直线、的斜率存在，不合题意舍； 当直线为，，直线、的斜率之积为， 所以，所以， 即得，所以或舍； 综上，直线过定点；    题型15 直线与圆的实际问题 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 2．（25-26高二上·广东广州·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=________． 【答案】15 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设，则 ，在中，根据勾股定理可得，解得 中，， 根据勾股定理可得：，解得 故答案为： 3．（25-26高二上·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 【答案】 【分析】设直角坐标系的原点为台风中心，求出以为圆心，以为半径的圆与直线所得弦长即可. 【详解】如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿， 且台风中心在第一象限沿着直线运动，    以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 因为点到直线的距离， 则， 则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时. 故答案为： 4．（25-26高二上·江西·阶段检测）某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方的处，台风以的速度向正东方向移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为，轮船以的速度向东南方向航行，若将轮船视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为______小时. 【答案】10 【分析】建立平面直角坐标系，小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，则台风侵袭轮船等价于，建立不等式求解即可. 【详解】以为坐标原点，台风移动的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，圆心， 此时轮船的位置为， 则台风侵袭轮船等价于， 所以，解得， 所以台风侵袭轮船的时长为小时. 故答案为：10. 5．（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【答案】(1) (2)4辆 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可求得圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又，     则，∴，     ∴，     ∴圆弧所在的圆的方程为. （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴     若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车，     若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，     综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 题型16 圆与圆的位置关系的判断 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 3．（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 4．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先要将两圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数. 【详解】将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 圆心距， 因为， 所以两圆内切，公切线有1 条. 故选：A. 5．（25-26高二上·四川广元·期末）已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【分析】圆关于直线对称，说明圆心在该直线上，求出圆的圆心和半径，根据圆的半径与圆心距的关系判断选项. 【详解】由圆得，，圆心，半径， 圆关于直线对称，说明圆心在该直线上， 所以，，解得，故，. 由得，圆心，半径，， ，， 所以，所以两圆外切. 故选：C 题型17 根据圆与圆的位置关系求参数 1．（2026·陕西商洛·模拟预测）若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆有两个交点，再由圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或． 所以实数b的取值范围是． 2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为由圆与圆相交，求参数范围即可. 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】由直线过圆心得出，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 4．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 5．（2026·河北石家庄·一模）已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据求出点的轨迹方程，再根据圆上总存在点满足该条件，得出两圆的位置关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】设点，已知，且， 所以， 化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点， 所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径）， 即， 化简得， 解得. 题型18 公共弦问题 1．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 2．（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】设点，依题意点，在以为直径的圆上，求出该圆的方程，由两圆的方程相减求得两圆公共弦的所在直线方程，整理可得该圆经过定点，由圆的相关性质可得当直线时，原点到直线的距离取得最大值即可. 【详解】因为直线：上的动点，可设其坐标为， 如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点，在以为直径的圆上，又，， 则以为直径的圆的方程为， 变形得， 将与相减，可得， 整理得，此即直线的方程. 由，解得即直线过定点，该点在圆内， 由图知，当直线时，原点到直线的距离取得最大值， 故原点到直线距离的最大值为． 故选：C.    5．（25-26高二上·安徽合肥·期末）设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两圆心连线即是两圆公共弦的垂直平分线，结合两点式直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线， 所以直线方程为，即， 故选：A. 题型19 公切线问题 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 2．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知点到直线的距离分别为3，4，则符合条件的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】以A为圆心，3为半径的圆的标准方程为， 以B为圆心，4为半径的圆的标准方程为， 又， 由题意可知直线是两圆的公切线， 因为，所以两圆相交， 即两圆的公切线有2条，则符合条件的直线的条数为2条. 3．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，结合两圆的位置关系，可得四边形与四边形均为正方形，结合勾股定理，列式求解，即可得答案 【详解】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为， 因为，所以在圆C内部， 因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交， 设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F， 连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形， 则四边形为矩形，且，， 在中，，所以， 则，即，解得或（舍）， 4．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 5．（25-26高三·全国·三轮复习）在平面直角坐标系中，点到直线的距离等于2，点到直线的距离等于3，若满足条件的直线恰有2条，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据圆的定义，将点到直线的距离问题转化为圆的切线问题，通过两圆的位置关系判断公切线的条数，进而求出参数范围. 【详解】满足点到直线的距离等于2的直线为以为圆心，2为半径的圆的切线， 满足点到直线的距离等于3的直线为以为圆心，3为半径的圆的切线， 因为满足条件的直线恰有2条，所以两圆的公切线有且仅有2条， 又两圆外切时有3条公切线，内切时有1条公切线，相离时有4条公切线，相交时有2条公切线， 所以两圆相交，即两圆的圆心距需满足. 又，， ， 所以，即，， 解得且. 故答案为：. 题型20 圆与圆位置关系中的最值问题 1．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 2．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】D 【分析】根据两个圆方程，将问题转化为圆上点到定点的距离最大值，求解即可. 【详解】圆，配方可得：， 所以圆心，半径. 圆，可知圆心，半径， 又因为两圆外切，所以圆心距就是两圆的半径和， 即：， 化简得：， 求的最大值，就是点到定点的距离的最大值. 圆心到点的距离， 圆半径为3，所以最大距离为：. 故选：D. 3．（多选）（25-26高二下·山西·期末）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 【答案】BD 【分析】由方程可知各圆圆心和半径，对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值． 【详解】由题知圆的圆心，半径， 圆可化为16，故圆的圆心，半径， 则，所以两圆相交，故A错误； 因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确； 由圆的性质可得，且， 所以的取值范围为，故C错误； 由圆的性质可知点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故D正确； 4．（多选）（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知圆，圆则（    ） A．当时，圆与内含 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】BD 【分析】过圆心距判断两圆位置关系分析A；利用点的对称变换求圆的对称方程分析B；根据公切线条数对应的位置关系求解分析C；结合圆的弦长性质与直线过圆心条件求，验证相交关系分析D. 【详解】由题意得：圆，所以圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，圆心关于直线的对称点为，半径保持不变，所以对称的圆的方程为，故B正确； 对于C，若圆与圆恰有三条公切线，所以圆与圆外切，所以，解得，故C错误； 对于D，由圆，圆， 两方程相减得公共弦所在直线方程为， 当公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2）， 所以直线过圆心，所以，解得， 所以，所以， 所以两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，故D正确. 故选：BD. 5．（多选）点在圆上，点在圆上，则（ ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两圆的公切线有2条 【答案】AB 【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心分别为、，半径分别为、r=1；根据两点间距离公式求出圆心距，与两圆半径之和或半径之差比较即可判断两圆的位置关系，判断选项D；的最小值为可判断A；的最大值为可判断B；根据经过两点直线斜率计算公式即可计算经过两圆圆心的直线斜率，从而判断C. 【详解】根据题意，圆，其圆心，半径， 圆，即， 其圆心，半径，圆心距>，故两圆外离，故公切线有4条，故D错误； 则的最小值为，最大值为，故A正确，B正确； 对于C，两个圆心所在的直线斜率，故C错误. 故选：AB. 6．已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：的动点到直线距离的最大值为__________ . 【答案】 【分析】借助数形结合思想，结合直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】圆：与圆：的方程相减， 可得，即直线的方程为. 圆：的圆心为，半径， 点到直线的距离， 则圆上的动点到直线距离的最大值为， 故答案为：. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得点的轨迹是以为直径的圆，求得圆的方程，进而求得圆心到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值. 【详解】由题知直线过定点，直线过定点， 又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 又的中点坐标为，半径， 所以圆的方程为. 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：C. 2．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知，为平面内两定点且，动点满足，记点的轨迹为曲线，动直线与曲线相切，若直线与以为圆心、5为半径的圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】以线段所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，根据求出点的轨迹方程，设点到直线的距离为，则，当切线过点时，取得最大值，当切线过点时，取得最小值，求出最大值与最小值可得答案. 【详解】以线段所在的直线为轴，垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， ， 因为，所以， 即，点的轨迹曲线是以为圆心，半径为1的圆， 以为圆心、5为半径的圆的方程为， 因为， 所以曲线在圆内， 设点到直线的距离为，所以 当切线过点时，，取得最大值，即为大圆的直径的长，为10， 当切线过点时，最大，此时，取得最小值， 此时，， 则的最大值与最小值的差为. 故选：D. 3．（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 4．（多选）（2026·福建福州·模拟预测）已知，，，，过，分别作直线，，使得，过，分别作直线，，使得，若四条直线，，，围成矩形，则该矩形（    ） A．面积有最大值 B．周长有最大值 C．外接圆面积是定值 D．中心在定圆上 【答案】ACD 【分析】利用点斜式得到四条直线，，，的方程，利用平行线间的距离公式得到与的距离为，与的距离为，再根据选项依次分析即可. 【详解】设直线的斜率为，因直线，，，围成矩形，则的斜率为， 于是直线方程依次为：，，，， 则与的距离为，与的距离为. 对于A项，矩形的面积为，显然,则， 因，当且仅当,即 时取等，此时，故A正确； 对于B项，矩形的周长为， 令，则，即， 所以，当且仅当 ，即 时取等，周长有最大值，故B错误； 对于C项，矩形的外接圆直径为矩形的对角线，长度为， 则外接圆的半径为，故其面积是定值，故C正确； 对于D项，设矩形的中心为 联立直线方程得到的交点为 同理可得的交点为 所以矩形的中心为的中点，则，    由，得到① 由得到② 由①②得到，代入①得到， 化简得到，所以矩形的中心在以圆心为 、半径为的定圆上，故D 正确. 5．（多选）（25-26高二下·广西柳州·期末）已知曲线，则（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线上任意一点到原点的最大距离为 C．曲线所围成图形的面积为 D．函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 【答案】BCD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图象，由图可得答案. 【详解】已知曲线， 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线为原点； 因此，画出曲线的图象，如图所示， 对于A，曲线的图象有条对称轴，故A错误； 对于B，曲线上任意一点到原点的距离为，则， 由于，所以，当且仅当时取等号， 则，解得，所以曲线上任意一点到原点的最大距离为，故B正确； 对于C，由图象可知，曲线所围成的图形是由个半径为的半圆和个边长为的正方形组成， 因此曲线所围成的图形的面积为，故C正确； 对于D，由于，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，且，，如图所示， 当时，，在上单调递减，此时与曲线有个交点； 当时，，在上单调递增，此时与曲线有个交点； 因此函数的图象与曲线的图象在第一象限有个交点， 根据函数的对称性，函数的图象与曲线的图象在第二象限也会有个交点， 所以函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点，故D正确. 6．（多选）（2026·福建泉州·模拟预测）已知点在直线上，点，在圆上，若，且，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与圆相切 B．直线倾斜角为150° C．当时，可能为90° D．若，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】A选项运用点到直线的距离，B选项运用两直线垂直的相关知识，C选项代入和验证直线是否与圆相交，D选项运用，建立直线与圆的半径之间的关系去求半径的范围. 【详解】对于A选项，圆心到直线的距离， 当时，，所以直线与圆相切，故A选项正确； 对于B选项，因为，所以直线， 又因为，所以， 而直线l的倾斜角为，因此直线倾斜角为150°，故B选项正确； 对于C选项，设，，圆心O到直线的距离为， 设为A点到直线的距离，则， 因为，所以为等腰直角三角形 则，由B选项得出直线的方程为， 联立，得出A点坐标为，设直线方程为， 则圆心O到直线距离为， 点A到直线的距离为， 又因为，所以， 解得，则，，故直线与圆相交，所以C选项正确 对D选项，若，且，所以为等边三角形，则 点A到直线的距离，设直线方程为， 则圆心O到直线距离为， ， 因为，， 所以，化简可得，故，所以， 又因为，得出，故，所以， 若，则， 若，则（舍去）或，所以，故D选项错误 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 8．（25-26高二下·北京·阶段检测）不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组. 【答案】 【分析】由，可知点与点到直线的距离都为，以，为圆心，半径分别作圆，判断两圆公切线个数即可求解. 【详解】由，得， 根据点到直线的距离公式，可知点与点到直线的距离都为， 分别以，为圆心，半径作圆、圆， ，，所以两圆外离， 根据圆的位置关系，外离的两圆有条公切线 结合图形，可知这条公切线对应的直线都满足点、到直线的距离为，且每条公切线对应一组实数对， 因此，满足条件的实数对共有对. 9．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】建系后由距离关系得的轨迹为圆，在定直线上，将对称转化，问题化为圆上点到定点距离的最小值，再减去半径可得结果. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $