上海市格致中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

格致中学 二O二五学年度第一学期第二次测验 高二年级 数学试卷（共4页） (测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷) 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题（本题共有12个小题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分 42分) n 1.若复数z满足z(1+i)=2,则复数z的模等于 2.已知向量a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，则ab 3.若向量ā=(1,3,2)，b=（-2,2-m,m+5),且a16,则实数m= 4. 已知函数y=cosx,x∈ 24 则此函数的值域为 5.第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这 对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象 n 征.现工厂决定从20只相同的“喜洋洋”，15只相同的“乐融融”和10个相同的 那 全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测， 若“喜洋洋”抽取了4只，则n= 6.若正方体的表面积为6，则它的外接球的表面积为 7.现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000,001,002，…499， 利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取， 到行末后接着从下一行第一个数继续.则抽出的第三袋牛奶的编号是 阳 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 8. 若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可以组成首项为 4的等差数列，则a+b的值为 9.下列说法正确的序号是 ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则 敬 某个个体被抽到的概率是01： ②已知一组数据1,2，m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5 ③数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23： ④数据8.1,8.1,8.9,5.3,8.2,9.8,6.5的极差为4.5. 二O二五学年度第一学期高二数学第二次测验 第1页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 10.甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样，某一天两人要进行一场五局三 胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比 赛甲应分 元奖金才公平. 11.对于数列{x,},若x≤x,≤…≤xn,则称数列{x}为“增数列”，若x,2x之…之x。, 则称数列{x}为“减数列”，否则称数列{xn}为“摆动数列”.己知数列{a,}共4 项，且a,∈{，2,3,4(=1,2,3.4)，则数列{a}是“摆动数列”的概率为 12.已知函数y±1i(径x+)(1>0,0<0<π)的部分图像如图1所示，A、B分 别为该图像的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点，点C为该部分 图像与x轴的交点：将绘有该图像的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时 |AB=V10,S是△ABC及其内部的点构成的集合，设集合T={2 e S0s2, 则集合T表示的区域的面积为 二、选择题（本题共有4个小题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分， 满分14分) 13.己知事件A和事件B满足A∩B=☑，则下列说法正确的是 () A.事件A和事件B独立 B.事件A和事件B互斥 C.事件A和事件B对立 D.事件A和事件B互斥 14.在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是 A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 1S.如图，己知正三棱柱ABC-AB,C,AC=AA,E,F分别是棱BC,AC,上 的点.记EF与AA所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为B,二面角 F-BC-A的平面角为Y,则 A.a≤B≤Y B.B≤a≤y C.Bsy≤a D.a≤y≤B 16.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋 手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P,P2,P,且P>P2>P,>0.记该棋手连 胜两盘的概率为P，则 （) A.P与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，P最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，P最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，P最大 二O二五学年度第一学期高二数学第.二次测验第2页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、解答题（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17.(本题共2小题，第1小题5分，第2小题5分，满分10分) 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x 表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次试验的结果， 设A表示“两个点数之和等于8”，B表示“至少有一颗骰子的点数为5”，C表示“红 色骰子上的点数大于4” (1)请写出一个等可能的样本空间2，并求事件A,B,C的概率： (2)写出事件AUB,A∩B对应的子集并求出它们的概率. 18.(本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题6分，满分10分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD: (2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P-ABCD的体积为 3 求PB与平面ABCD所成的线面角的大小. 19.(本题共3小题，第1小题3分，第2小题3分，第3小题4分，满分10分) 法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最 杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交 流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随 机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计， 得到样本的频率分布直方图，如图所示： (1)求a; (2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的平均数（精确到0.1） (单位：分钟)： (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅 读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人 进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率频* 个红距 0.05 0.010 0.005十土-☐ 03500708090100分钟 二0二五学年度第-学期高二数学第二次测验 第3页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 20.（本题共3小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分，满分14分) 我们可以用多种方法证明命题：如果平面四边形一组对边的平方和等于另一 组对边的平方和，那么它的对角线互相垂直， 即在平面四边形ABCD中，若AB+CDP=AD+CB,则AC⊥BD. (1)请用向量的方法进行证明. (2)在平面四边形ABCD中，命题“AB+CD=AD?+lCB”是命题“AC⊥BD” 的 条件（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必 要”)，并将此命题在空间进行推广.（只写结论，无需证明） (3)请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试根据表格提示将勾股定理推广到 空间. 勾股定理的类比 三角形ABC 四面体O-ABC 条件 AB⊥AC OA、OB、OC两两垂直 结论 AB2+AC2=BC2 请在答题纸上完成上表中的类比结论，并给出证明. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP