专题05有理数的乘方及混合运算精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方及混合运算核心知识点，系统梳理乘方概念（底数、指数、幂）、符号法则（正负数及0的乘方规律）、科学记数法（a×10ⁿ的规范表示）及混合运算顺序（先乘方再乘除后加减），构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料通过11类分层题型（含基础到拔高压轴）及7个易错点提示，结合拉面根数、算24点等生活实例，培养学生抽象能力与运算能力。课中辅助教师精准教学，课后助力学生通过解题思路指导与拔高题训练查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

专题05有理数的乘方及混合运算精讲学案 核心立意 理解乘方、底数、指数、幂的概念，掌握乘方符号法则与科学记数法；牢记有理数三级运算顺序，熟练开展含乘方的混合运算，合理运用运算律简算，重点攻克(-a)n与-an这类符号易错题型。 乘方相关概念： 求n个相同因数积的运算叫做乘方，结果称为幂；an中a是底数，n是指数；一个数可看作自身1次方，指数1省略不写；底数为负数、分数时，书写必须添加括号。 乘方符号法则： ①正数的任何次幂都是正数； ②负数奇次幂为负、偶次幂为正； ③0的任意正整数次幂都为0； ④任意有理数的偶次幂具有非负性。 科学记数法： 把大于10的数写成a10n（1 a<10，n为正整数）；n等于原数整数位数减1。 有理数混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算从左向右依次计算； ③有括号优先算括号内，顺序为先小括号、再中括号、最后大括号。 混合运算简算技巧： 运算过程中可灵活使用加法、乘法运算律分组凑整、约分简化计算；每一步遵循先定符号，再算绝对值。 1.区分(-a)n与-an：(-a)n底数是-a；-an底数只有a，负号不属于底数，二者极易混淆； 2.0的正整数次幂为0，不要错误理解成0的任意次幂都为0； 3.科学记数法中a必须满足1a<10，不要写错a的范围、数错n的值； 4.混合运算容易跳步、颠倒运算顺序，尤其乘方优先，不能先算乘除再算乘方； 5.运用分配律时，注意连同符号相乘，防止漏乘、符号出错。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型八 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型九 算 “24” 点 ★★★ 题型十 含乘方的有理数混合运算 ★★ 题型十一 计算器 —— 有理数 ★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档基础；★★★中档综合；★★★★拔高压轴 题型一： 有理数幂的概念理解 解题思路：①分清底数、指数、幂；②底数为负数或分数时，必须添加括号；③区分(-a)n与-an的底数差异。 1．的意义是（     ） A．乘以 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 2．对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二：有理数的乘方运算 解题思路：①先确定底数与指数；②依据乘方符号法则定符号；③转化为相同因数相乘计算绝对值。 4．________． 5．若，则________． 6．对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 7．三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 题型三：有理数乘方逆运算 解题思路：①理解乘方与开方的互推关系；②根据幂和指数反推底数，注意负数偶次幂对应双解。 8．已知，则x＝_______． 9．已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 10．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 __． 11．已知，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 题型四：乘方运算的符号规律 解题思路：①正数任何次幂为正；②负数奇次幂负、偶次幂正；③0的正整数次幂为0；④偶次幂具有非负性。 12．______． 13．计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 14．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 15．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 题型五：乘方的应用 解题思路：①读懂倍增/衰减类实际模型；②找准底数、指数；③列出乘方算式计算；④结合实际解释结果。 16．拉面是一道美味佳肴，细腻爽滑的面条搭配上丰富的调料，令人回味无穷．某拉面馆的师傅用一根很粗的面条，拉一次变成根，拉次变成根，拉次变成根，照这样下去，拉次后，师傅手中的拉面的根数是__________．用幂的形式表示 17．所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 18．一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 19．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 题型六：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 解题思路：①写成a\times10^n形式，满足1a<10；②n等于原数整数位数减1。 20．为认真贯彻落实党的“十九大”和中央政治局关于“八项规定”的精神，厉行节约、反对铺张浪费，某市严格控制“三公”经费支出，共节约“三公”经费亿元，亿元用科学记数法表示为_____． 21．随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 22．我国神舟二十号飞船在轨道运行速度约为，则按该速度飞行100天路程用科学记数法表示为___________． 23．被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型七：将用科学记数法表示的数变回原数 解题思路：①根据n的值，把a的小数点向右移动n位；②不足数位补0。 24．山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 25．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 26．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 27．截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 题型八：程序流程图与有理数计算 解题思路：①读懂流程图运算顺序与分支条件；②代入数值，按规则分步计算；③循环类问题反复代入求值。 28．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，则最终输出的结果是______． 29．如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A．23 B．19 C．18 D．17 30．如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是____________． 31．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 题型九：算 “24” 点 解题思路：①选定数字，尝试搭配加减乘除、乘方；②优先凑38、46、122等组合；③验证算式结果是否等于24。 32．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 33．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 34．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 题型十：含乘方的有理数混合运算 解题思路：①运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；②同级从左往右，有括号先算括号内；③每一步先定符号，再算绝对值。 35．计算：___________． 36．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 37．定义运算，则_______． 38．有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（　　） A．114 B．128 C．56 D．42 题型十一：计算器 —— 有理数 解题思路：①认清计算器乘方、正负转换按键；②按书写顺序依次输入算式；③核对输入，避免底数括号遗漏造成错误。 39．求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．      C． D．   40．关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是______． 41．如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能： ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ：将荧幕显示的数变成它的倒数； ：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是（    ） A． B．10 C． D． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)． (2)． 3．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 4．已知，，，…，． (1)填空：_____，是一个_____（填“正”或“负”）数． (2)计算：． (3)当时，的值为多少？ 5．如图是一个数学游戏活动，、、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及、、、四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号） (1)6经过、、、的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)经过▅、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是______． 6．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 7．手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05有理数的乘方及混合运算精讲学案 核心立意 理解乘方、底数、指数、幂的概念，掌握乘方符号法则与科学记数法；牢记有理数三级运算顺序，熟练开展含乘方的混合运算，合理运用运算律简算，重点攻克(-a)n与-an这类符号易错题型。 乘方相关概念： 求n个相同因数积的运算叫做乘方，结果称为幂；an中a是底数，n是指数；一个数可看作自身1次方，指数1省略不写；底数为负数、分数时，书写必须添加括号。 乘方符号法则： ①正数的任何次幂都是正数； ②负数奇次幂为负、偶次幂为正； ③0的任意正整数次幂都为0； ④任意有理数的偶次幂具有非负性。 科学记数法： 把大于10的数写成a10n（1 a<10，n为正整数）；n等于原数整数位数减1。 有理数混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算从左向右依次计算； ③有括号优先算括号内，顺序为先小括号、再中括号、最后大括号。 混合运算简算技巧： 运算过程中可灵活使用加法、乘法运算律分组凑整、约分简化计算；每一步遵循先定符号，再算绝对值。 1.区分(-a)n与-an：(-a)n底数是-a；-an底数只有a，负号不属于底数，二者极易混淆； 2.0的正整数次幂为0，不要错误理解成0的任意次幂都为0； 3.科学记数法中a必须满足1a<10，不要写错a的范围、数错n的值； 4.混合运算容易跳步、颠倒运算顺序，尤其乘方优先，不能先算乘除再算乘方； 5.运用分配律时，注意连同符号相乘，防止漏乘、符号出错。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型八 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型九 算 “24” 点 ★★★ 题型十 含乘方的有理数混合运算 ★★ 题型十一 计算器 —— 有理数 ★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档基础；★★★中档综合；★★★★拔高压轴 题型一： 有理数幂的概念理解 解题思路：①分清底数、指数、幂；②底数为负数或分数时，必须添加括号；③区分(-a)n与-an的底数差异。 1．的意义是（     ） A．乘以 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 【答案】C 【详解】解：的意义是个相乘． 2．对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 3．先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，根据对数的定义，分别计算和的值，再进行减法运算． 【详解】解：计算：根据对数的定义，求满足的指数． ，，，因此，即． 计算：同理，求满足的指数． ，因此，即． 求差：． 故选A． 题型二：有理数的乘方运算 解题思路：①先确定底数与指数；②依据乘方符号法则定符号；③转化为相同因数相乘计算绝对值。 4．________． 【答案】1 【详解】解：． 5．若，则________． 【答案】2 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 6．对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 7．三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算和有理数的乘方，以及分类讨论思想，根据题意可得，则，可求得，；或，或，以上两种情况均不成立． 【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1，， b的形式，也可以表示为0，，a的形式， ∴这两组的数分别对应相等， ①当，则， 那么，，， ， 此时，， ②当， 若与三个互不相等的有理数矛盾， 若则不成立， ③当，则与三个互不相等的有理数矛盾， 故选：A． 题型三：有理数乘方逆运算 解题思路：①理解乘方与开方的互推关系；②根据幂和指数反推底数，注意负数偶次幂对应双解。 8．已知，则x＝_______． 【答案】3 【分析】本题考查有理数乘方运算，根据有理数乘方运算计算即可． 【详解】∵， ∴ 故答案为：3． 9．已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用同指数幂的除法法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 10．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 __． 【答案】56 【分析】设，根据新运算可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 11．已知，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据乘方的逆运算以及绝对值的意义得出符合题意的的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当时，， 当时，， ∴的值为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义以及乘方的逆运算是解本题的关键． 题型四：乘方运算的符号规律 解题思路：①正数任何次幂为正；②负数奇次幂负、偶次幂正；③0的正整数次幂为0；④偶次幂具有非负性。 12．______． 【答案】 【分析】本题考查了指数幂的运算，解决本题的关键是正确计算正负号． 根据指数运算法则和有理数乘法法则，分别计算各部分的符号和指数，再合并相乘． 【详解】解：． 故答案为：． 13．计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 14．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 15．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 题型五：乘方的应用 解题思路：①读懂倍增/衰减类实际模型；②找准底数、指数；③列出乘方算式计算；④结合实际解释结果。 16．拉面是一道美味佳肴，细腻爽滑的面条搭配上丰富的调料，令人回味无穷．某拉面馆的师傅用一根很粗的面条，拉一次变成根，拉次变成根，拉次变成根，照这样下去，拉次后，师傅手中的拉面的根数是__________．用幂的形式表示 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，规律探索，正确归纳增长规律是解题关键． 由题可知，每次拉面后根数是前一次的倍，归纳出拉次的根数为，再代入得到结果． 【详解】解：根据题意，拉次变成根，即根；拉次变成根，即根；拉次变成根，即根；依此类推，拉次后根数为根． 故答案为：． 17．所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 半衰期是放射性物质质量缩减为原来一半所用的时间，初始质量为， ∴ 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为. 18．一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 【答案】D 【分析】水浮莲每天面积增加1倍，即后一天面积是前一天面积的2倍，可通过逆推直接得到长满一半池塘的天数． 【详解】解：∵水浮莲每天增加1倍， ∴后一天的水草面积为前一天水草面积的倍，即前一天水草面积是后一天水草面积的一半， ∵天刚好长满整个池塘， ∴长满池塘面积一半的时间为天． 19．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 【答案】 【分析】根据题目给出的十六进制与十进制的对应规则，第一空直接按规则将十六进制转换为十进制计算即可，第二空先求出乘积对应的十进制结果，再将十进制结果转换为十六进制即可． 【详解】解：由表格可知，十六进制的对应十进制的， 根据转换规则得； 由表格可知，十六进制的对应十进制，对应十进制， 先计算十进制下的乘积得， 将十进制转换为十六进制得， 由表格可知，十进制对应十六进制的，因此结果为． 题型六：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 解题思路：①写成a\times10^n形式，满足1a<10；②n等于原数整数位数减1。 20．为认真贯彻落实党的“十九大”和中央政治局关于“八项规定”的精神，厉行节约、反对铺张浪费，某市严格控制“三公”经费支出，共节约“三公”经费亿元，亿元用科学记数法表示为_____． 【答案】元 【详解】解：亿元＝元＝元． 21．随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为，需要满足，为整数．题中数据的小数点向左移动位，可以得到，此时，即可求解． 【详解】解：． 22．我国神舟二十号飞船在轨道运行速度约为，则按该速度飞行100天路程用科学记数法表示为___________． 【答案】 【分析】先计算100天的总飞行小时数，再根据路程等于速度乘时间计算总路程，最后根据科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数，将结果表示出来即可． 【详解】解：100天的总飞行时间， 飞行总路程． 23．被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出6根国产巨型钢丝绳的总质量，再将单位由转化为，然后用科学记数法表示出来即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：6根国产巨型钢丝绳的总质量为， ， 即这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为． 题型七：将用科学记数法表示的数变回原数 解题思路：①根据n的值，把a的小数点向右移动n位；②不足数位补0。 24．山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 【答案】150000 【详解】解：． 25．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【详解】解：千米/小时米/小时． 26．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【答案】7 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】解：∵表示的原数为81505000000， ∴原数中“0”的个数为7， 故答案为：7． 27．截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【答案】B 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】解：=5760000=576万． 故选：B． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 题型八：程序流程图与有理数计算 解题思路：①读懂流程图运算顺序与分支条件；②代入数值，按规则分步计算；③循环类问题反复代入求值。 28．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，则最终输出的结果是______． 【答案】29 【分析】根据运算程序列式计算，直至结果大于15即可． 【详解】解：若开始输入的值是， 则，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，输出结果． 29．如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A．23 B．19 C．18 D．17 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ∴经过顺序的运算结果为23． 故选：A． 30．如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了程序图与有理数的运算，根据程序要求先计算，若结果输出，若结果，再次代入，循环计算即可． 【详解】解：当输入x为时，，，将再次输入； 当输入的数为时，，，所以输出的结果为． 故答案为：． 31．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 题型九：算 “24” 点 解题思路：①选定数字，尝试搭配加减乘除、乘方；②优先凑38、46、122等组合；③验证算式结果是否等于24。 32．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 33．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 34．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 题型十：含乘方的有理数混合运算 解题思路：①运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；②同级从左往右，有括号先算括号内；③每一步先定符号，再算绝对值。 35．计算：___________． 【答案】1 【详解】解： ． 36．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 37．定义运算，则_______． 【答案】 【详解】解：根据定义 ． 38．有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（　　） A．114 B．128 C．56 D．42 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据题目给出的数列规则，先通过已知的前三个数求出a的值，再依次求出第四、第五、第六个数，利用相邻三个数的关系逐步推导即可． 【详解】解：∵数列中任意相邻三个数满足第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差， 且前三个数为，a， ∴， 即 解得 由a、、b的关系得： ∴第五个数为 则第六个数为， ∴第6个数为． 故选：B． 题型十一：计算器 —— 有理数 解题思路：①认清计算器乘方、正负转换按键；②按书写顺序依次输入算式；③核对输入，避免底数括号遗漏造成错误。 39．求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．      C． D．   【答案】A 【分析】先明确乘方 的底数与指数，再按照“底数 → 乘方键 → 指数 → 等号”的顺序判断按键步骤是否正确． 【详解】解：∵计算，底数是，指数是． ∴按照计算器乘方的按键顺序，应为依次按键：． 40．关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是______． 【答案】 【分析】本题考查计算器—有理数、有理数的混合运算，根据计算器的特点，可以写出相应的算式．熟练掌握计算器的输入特点是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得， 对应的算式是：． 故答案为：． 41．如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能： ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ：将荧幕显示的数变成它的倒数； ：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是（    ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字变化规律，根据题意分别计算出第1，2，3，4，5，6步显示结果，从而得出数字的循环规律，再求解可得答案 【详解】解：由题意知第1步结果为， 第2步结果为， 第3步结果为， 第4步结果为， 第5步结果为， 第6步计算结果为10， 运算的结果以100、0.01、0.1、0.01、100、10六个数为周期循环， ， 第2019步之后显示的结果为0.1，即． 故选：C． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算有理数乘方，绝对值，再算有理数的乘法，再从左往右依次计算即可； （2）先算括号里的有理数乘方，将除法变为乘法，按照先乘除后加减的顺序计算，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 3．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 4．已知，，，…，． (1)填空：_____，是一个_____（填“正”或“负”）数． (2)计算：． (3)当时，的值为多少？ 【答案】(1)，正 (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的乘方，偶数个负数相乘的积是正数得出答案即可； （2）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：（1），是一个正数； （2）； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键. 5．如图是一个数学游戏活动，、、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及、、、四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号） (1)6经过、、、的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)经过▅、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是______． 【答案】(1)34 (2)C、B、A． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是严格遵循运算顺序进行计算，并通过结果逆向推导运算步骤． （1）按A、B、C、D顺序依次运算； （2）通过结果反推被遮挡的运算顺序． 【详解】（1）解：列式为 答：计算结果是34． （2）解：由得 对进行（平方）、（减3）、（乘）运算： ，符合要求． 故答案为：C、B、A． 6．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)千克 (2)元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，科学记数法等知识．注意对于绝对值大于10的数，可以用科学记数法表示为形式，其中，，n为整数位数减1﹒ （1）先把14亿化为，再根据题意列式计算，最后用科学记数法表示即可求解； （2）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：14亿， （千克）． 答：一年大约能节约大米千克． （2）解：（元）． 答：可卖得人民币元． 7．手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【答案】 拉扣7次后共有128根面条 【分析】每次拉扣后，面条根数变为拉扣前的2倍，可推得拉扣次后面条总根数为，代入计算即可得到最终结果. 【详解】解：根据题意可得 初始有1根面条， 第1次拉扣后面条根数是， 第2次拉扣后面条根数是， 第3次拉扣后面条根数是， …… 故第7次拉扣后面条根数是. 答：拉扣7次后共有128根面条. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $